BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
HỒ THỊ HOÀI LIÊN

KHẢO SÁT TÍNH LIÊN TỤC
TRÊN TÔPÔ ZARISKI CỦA CÁC HÀM SỐ
TRONG TOÁN PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
HỒ THỊ HOÀI LIÊN
KHẢO SÁT TÍNH LIÊN TỤC
TRÊN TÔPÔ ZARISKI CỦA CÁC HÀM SỐ
TRONG TOÁN PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Hình học & Tôpô
Mã số: 60.46.01.05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. NGUYỄN HUỲNH PHÁN
NGHỆ AN - 2014
LỜI CẢM ƠN
2222
2
3
Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc của mình tới PGS. TS. Nguyễn Huỳnh Phán, người đã nhiệt tình từng
bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề tài: từ việc gợi ý, cung cấp
các tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp thực hiện và truyền đạt
nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn đến việc

chỉnh sửa và hoàn chỉnh nội dung của bài luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học,
Khoa Toán của Trường Đại học Vinh đã giúp tôi hoàn thành tất cả các học
phần của Khóa học, nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và các
phương pháp học tập hữu ích; giúp tôi hoàn thành các học trình, đặc biệt là
luận văn tốt nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào
tạo tỉnh Nghệ An, Ban Giám Hiệu trường PTTH Quỳnh Lưu 2, cùng toàn thể
quý đồng nghiệp, các bạn cùng khóa học, gia đình đã động viên, giúp đỡ và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Chân thành cảm ơn!
Nghệ An, tháng 10 năm 2014
Tác giả
Hồ Thị Hoài Liên
MỤC LỤC
Trang

3333
3
4
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khái niệm hàm số liên tục là một trong những khái niệm quan trọng
trong chương trình toán phổ thông. Hàm số liên tục có nhiều ứng dụng như
chứng minh phương trình có nghiệm, chứng minh phương trình có nghiệm
trong khoảng nào đó, ứng dụng tính liên tục của hàm số để tính đạo hàm, tích
phân và các ứng dụng của chúng trong đời sống, trong vật lý, trong hóa học
Khái niệm hàm số liên tục trong toán phổ thông được nghiên cứu với
tôpô thông thường trên ℝ
n

, là tôpô mà mỗi tập con của ℝ
n
gọi là tập mở nếu nó
là hợp tùy ý các hình cầu mở trong ℝ
n
. Khi n = 1, ℝ là tập số thực, là tôpô mà
mỗi tập con của ℝ

gọi là tập mở nếu nó là hợp tùy ý các khoảng mở trong ℝ.
Ta đã biết một tập hợp cho trước có thể có nhiều tôpô trên đó. Nếu như
một tập được cho nhiều tôpô khác nhau, nó là những không gian tôpô khác
nhau.
Trên ℝ
n
bên cạnh tôpô thông thường còn có nhiều tôpô khác như tôpô
rời rạc, tôpô Zairski. Tôpô Zairski là tôpô mà các tập mở là phần bù của tập
nghiệm của một hệ các phương trình đa thức n biến. Mỗi tập nghiệm của một
họ các đa thức như vậy gọi là tập đại số Zariski. Ta nhận thấy rất nhiều hình
trong hình học phổ thông là tập đại số Zariski như đường thẳng, mặt phẳng,
đường tròn, hypebol, parabol, elip…
T
ôpô Zairski cho phép nghiên cứu các tính chất hình học thông qua các
công cụ của đại số như nhóm, vành, idean. Như vậy tôpô Zariski trên trường
số thực

ℝ, trên mặt phẳng ℝ
2
và trên không gian ℝ
3
có mặt một cách tự nhiên

cùng với tôpô thông thường.Vì vậy việc nghiên cứu tính liên tục của các hàm
trên ℝ, ℝ
2
,

ℝ
3
đối với tôpô này là cần thiết.
Chính vì vậy, tôi muốn nghiên cứu tính liên tục của các hàm số trong
chương trính toán phổ thông trên tôpô Zairski, so sánh với tính liên tục của
các hàm số trong chương trình toán phổ thông nên tôi chọn đề tài là: “Khảo
4444
4
5
sát tính liên tục trên tôpô Zariski của các hàm số trong toán phổ
thông”.
2. Đối tượng phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là tính liên tục trên tôpô Zariski của các hàm số
trong chương trình toán phổ thông hiện nay.
Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu tính liên tục của các hàm số trong
toán phô thông theo tôpô Zariski và so sánh với tôpô thông thường trên ℝ,
ℝ
2
,

ℝ
3
.
3. Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu
Chúng tôi nghiên cứu những điểm giống nhau cũng như các điểm khác

nhau của tính liên tục của các hàm số trong toán phổ thông đối với tôpô
Zariski và tôpô thông thường.
4. Phương pháp nghiên cứu
Chủ yếu là phương pháp nghiên cứu lý thuyết và minh họa qua các ví dụ.
Cụ thể luận văn dùng phương pháp so sánh, phân tích, tương tự hóa, khái quát
hóa, tổng hợp… đánh giá tính liên tục của các hàm số trong toán phổ thông.
5. Dự kiến đóng góp
Tập hợp một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản phục vụ cho luận
văn. Nêu hệ thống các hàm số trong toán phổ thông liên tục đối với tôpô
Zairski. Bên cạnh đó chúng tôi đã chỉ ra rất nhiều những hàm số trong toán
phổ thông liên tục đối với tôpô thông thường nhưng không liên tục đối với
tôpô Zariski.
6. Kế cấu luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
được kết cấu thành hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Tính liên tục trên tôpô Zariski của các hàm số trong toán
phổ thông.
5555
5
6
CHƯƠNG I
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tôpô,
tôpô thông thường, tính liên tục trên tôpô thông thường. Tập đại số, iđêan và
cấu xạ trong tôpô Zariski. Nội dung này làm cơ sơ sở cho chương sau.
1.1. Không gian mêtric, không gian tôpô và tính liên tục của ánh xạ
1.1.1. Không gian mêtric, không gian tôpô tôpô
1.1.1.1 Định nghĩa
Cho X

≠ ∅
là một tập. Một mêtric trên X là một hàm d: X x X →ℝ thỏa mãn
các tính chất sau:
1) d(x, y)
≥
0 ; d(x, y) = 0
⇔
x = y;
2) d(x, y) = d(y, x) ;
3) d(x, y)
≥
d(x, z)+ d(z, y)
với mọi x, y, z
∈
X.
1.1.1.2 Định nghĩa
Không gian mêtric X = (X, d) là một tập X cùng với một mêtric d trên nó.
Trường ℝ là một không gian mêtric với mêtric d (x, y) = |x-y|.
1.1.1.3 Ví dụ
Hàm số d : ℝ
n
x ℝ
n
ℝ
d : =
2
1
)(
∑
=

−
n
i
ii
yx
, x = (x
1
, x
2, …,
x
n
) ; y = (y
1
, y
2, …,
y
n
)
là một mêtric trên ℝ
n
.
Cho X là một không gian mêtric. Với mọi a
∈
X và số
ε
> 0 ta gọi:
B(a,
ε
) ={x
∈

X: d(x, a) <
ε
}
là
ε
-lân cận của điểm a.
6666
6
7
Tập con M X gọi là mở nếu hoặc M = ∅ hoặc mọi a
∈
M, tồn
tại
ε
sao cho B(a,
ε
) M.
1.1.1.4 Định nghĩa
Không gian tôpô là một cặp (X, ) trong đó X là một tập hợp, là một họ
các tập con của X thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
1) X ∈ và ∅ ∈ ;
2)
1
U
,
2
U
∈

⇒


1
U

∩
2
U
∈
3)
∈
t
U
(
∈∀t
T
)
⇒
∈
Mỗi phần tử của được gọi là một tập mở của X; Họ được gọi là tôpô
trên X. Mổi phần tử x của X được gọi là một điểm. Không gian tôpô sẽ được
ký hiệu là (X, ). Hoặc ngắn gọn là X. Khi chỉ kí hiệu không gian tôpô là X thì
ta ngầm hiểu rằng trên X đã được trang bị một tôpô nào đó.
1.1.1.5 Nhận xét
Họ các tập mở trong không gian mêtric nói trong Ví dụ 1.1.1.3 lập nên
một tôpô. Nên các không gian mêtric là không gian tôpô, tôpô trên nó gọi là
tôpô sinh bởi mêtric.
1.1.1.6 Nhận xét
1) X và ∅ là những tập mở;
2) Giao của hai tập mở là mở;
3) Hợp của một họ tùy ý các tập mở là mở.

1.1.1.7 Ví dụ
là họ các tập con của tập của tập các số thực ℝ sao cho A∈

khi và chỉ
khi A là hợp của một họ nào đó các tập có dạng:
(a, b), (-
∞
, c), (d, +
∞
) (a, b, c, d ∈ℝ, a < b).
Khi đó, (ℝ, ) là một không gian tôpô.
7777
7
8
1.1.1.8 Nhận xét
Giao hữu hạn các tập mở là mở.
1.1.1.9 Định nghĩa
Tập V X được gọi là lân cận của x nếu tồn tại tập mở G trong X sao
cho x

G

V.
1.1.1.10 Nhận xét
G là tập mở khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm thuộc nó.
1.1.1.11 Định nghĩa
Họ tất cả các lân cận của điểm x được gọi là hệ lân cận của x, ký hiệu V
x
.
1.1.1.12 Định nghĩa

Họ B
x
⊂

V
x
được gọi là một cơ sở lân cận của điểm x nếu
∀
V∈V
x
,
∃
B ∈ B
x
sao cho x ∈ B
⊂
V.
1.1.1.13 Định nghĩa
Cơ sở tôpô của không gian tôpô X là một họ các tập con của X mà mổi
tập mở là hợp tùy ý của những phần tử trong họ này.
1.1.1.14 Định nghĩa
Cho không gian tôpô (X, ): tập F
⊂
X được gọi là một tập đóng, nếu
phần bù của F (ký hiệu là X\F) là mở.
Ta có kết quả hiển nhiên suy từ định nghĩa tôpô.
1.1.1.15 Định lý
Họ tất cả các tập đóng của không gian tôpô X có tính chất:
1) X và ∅ là tập đóng;
2) Họ tập đóng đóng kín với phép giao tùy ý, nghĩa là giao tùy ý các tập

đóng là tập đóng.
8888
8
9
3) Họ tập đóng đóng kín với phép hợp hữu hạn, nghĩa là hợp
hữu hạn các tập đóng là tập đóng.
1.1.1.16 Ví dụ
Xét tập hợp các số thực ℝ. Tập A
⊂
ℝ là mở khi và chỉ khi:

∀
x∈A,
ε
∃
> 0 sao cho (
, )x x
ε ε
− + ⊂
A.
Họ các tập mở của ℝ là một tôpô trên ℝ, được gọi là tôpô tự nhiên trên
ℝ (hay tôpô thông thường trên ℝ).
Họ tất cả các khoảng mở với các điểm đầu mút hữu tỉ là một cơ sở của
tôpô tự nhiên.
1.1.1.17 Định nghĩa
Cho dãy số {x
n
}
⊂
. Ta nói rằng dãy số này có ℝ giới hạn là x

0

và được ký hiệu bởi = x
0
nếu
*
0, n
ε
∀ > ∃ ∈¥
sao cho
m n
∀ ≥
thì |x
m
– x
0
|
<
ε
.
Nếu A
⊂
ℝ, thì A đóng đối với tôpô tự nhiên khi và chỉ khi
0
{ } ,lim
n n
x
x A x x
→∞
∀ ⊂ =

∈ℝ ⇒ x
0

∈ A.
1.1.1.18 Định nghĩa
Tôpô trên ℝ
n
sinh bởi mêtric d(x, y) =
2
1
)(
∑
=
−
n
i
ii
yx
, x, y∈ ℝ
n
, gọi là
tôpô tự nhiên hay tôpô thông thường.
1.1.1.19 Định nghĩa
Giả sử trên X trang bị hai tôpô 1
,
2
ta nói rằng
1
mạnh hơn
2

(
2
yếu hơn
1
),
nếu
2

⊂

1
tức là mỗi tập mở đối với
2
cũng mở đối với
1
9999
9
10
1.1.1.20 Định nghĩa
Cho
(X, ) là không gian tôpô và A
⊂
X là tập bất kỳ.
Khi đó họ A: = {TA|
∀
T
∈
} lập thành một tôpô trên A. Cặp (A,A) được
gọi là không gian con của
(X,


); A được gọi là tôpô cảm sinh bởi.
10101010
10
11
1.1.2. Ánh xạ liên tục
1.1.2.1 Định nghĩa
Cho hai không gian tôpô (X,), (Y,) và ánh xạ f: X Y. Khi đó, f được
gọi là liên tục tại điểm x
0

X nếu với mỗi lân cận W của f(x
0
)

Y, tồn tại
lân cận V của x
0
sao cho f(V)

W.
Nếu f liên tục tại

x

X thì f được gọi là liên tục trên X.
Nếu f: (X,)(Y, là ánh xạ liên tục thì ta còn nói ánh xạ f là (,) -liên tục.
1.1.2.2 Định lý
Cho (X,), (Y,) là hai không gian tôpô, ánh xạ f: X Y liên tục tại điểm
x

∈
X khi và chỉ khi với mọi lân cận W của f(x) thì
1−
f
(W) là lân cận của x
(xem
[6]).
1.1.2.3 Định lý
Cho ánh xạ f: (X, ) (Y, ). Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
1) f liên tục trên X;
2) Nghịch ảnh của mỗi tập mở trong Y là tập mở trong X;
3) Nghịch ảnh của mỗi tập đóng trong Y là tập đóng trong X
(xem
[6]).
1.1.2.4 Định lý
Cho ba không gian tôpô (X,
), (Y,), (Z, ) và hai ánh xạ liên tục
f: X
Y, g:Y Z. Khi đó ánh xạ tích h = g
o
f : X Z cũng liên tục

(xem
[6]).
11111111
11
12
1.1.2.5 Nhận xét
Giả sử X là không gian tôpô, ℝ


là tập các số thực với tôpô tự nhiên,
f: X
→
ℝ liên tục
,0, >∀∈∀⇔
ε
Xx
tồn tại lân cận U của x sao cho
' , | ( ') ( )|x U f x f x
ε
∀ ∈ − <
(xem
[6]).
1.1.2.6 Định lý
Cho (X, d) và (ℝ, |.| ) là các không gian mêtric và ánh xạ f: X
→
ℝ.
Khi đó các điều kiện sau tương đương:
1) f liên tục tại a
∈
X;
2)
0, 0: , ( , ) | ( ( ), ( ))|x X d x a f x f a
ε δ δ ε
∀ > ∃ > ∈ < ⇒ <
;
3)

)()(:}{ afxfaxXx
nnn

→⇒→⊂∀
(xem
[2]).
1.1.2.7 Định lý
Giả sử f, g: X
→
ℝ liên tục. Khi đó, các hàm số |f|, f + g, f - g, fg,
min(f, g), max(f, g) liên tục. Nếu g(x)
≠
0(
∈∀x
X), thì f/g cũng liên tục
(xem
[6]
).
1.1.3. Các hàm sơ cấp cơ bản
Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản
Hàm lũy thừa y = là số thực).
Hàm số mũ y = (a > 0 và a).
Hàm số lôgarít y = log
a
x (a > 0 và a).
Hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.
Các hàm số lượng giác ngược:
y = arcsinx; y = arccosx; y = arctanx; y = arccotx.
Hàm số hypebôlic
shx = ; chx = ; thx = ; cthx = ;
12121212
12
13

1.1.4. Tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản
1.1.4.1. Định lý
Mổi hàm số sơ cấp cơ bản đều liên tục đối với tôpô thông thường tại
mọi điểm thuộc miền xác định của nó (xem
[8]).
1.2. Tôpô Zariski
1.2.1. Vành đa thức
1.2.1.1 Định nghĩa
Cho A là vành giao hoán có đơn vị.
Vành đa thức n biến x
1
, x
2
,…, x
n
trên A là tập A[X]: = A[x
1
, x
2
,…., x
n
].
Mỗi phần tử f của A[X] được gọi là đa thức, nó có dạng
1 2
1 2
1 2
, , , 1 2

=
n

d
r
r r
n
r r r n
n
r r r
f x x x
λ
≤
+ + +
∑
với d là một số tự nhiên nào đó và
, , ,
1 2
r r r
n
λ

∈
A gọi là các hệ tử.
Khi A là trường và
, , ,
1 2
r r r
n
λ
≠ 0, ta gọi chúng là các hệ số.
Các biểu thức
2

1
1 2

r
r r
n
n
x x x
với hệ tử tương ứng khác 0 gọi là các đơn thức.
Bậc của đơn thức
1 2
1 2

r
r r
n
n
x x x
là tổng các số mũ r
1
+ r
2
+… + r
n
.
Bậc của f
≠
0 là bậc lớn nhất của các đơn thức trong f và ký hiệu là degf.
Nếu f = 0, ta quy định deg f =
−∞

.
Nếu 0
≠
f
∈
A, ta nói degf = 0.
Khi degf = 1, ta nói f là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng
f = a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ … + a
n
x
n
+ a
n+1
,
trong đó ít nhất phải có một hệ số khác không.
13131313
13
14
Người ta thường viết một đa thức nhiều biến theo thức tự các
biến và theo giá trị giảm dần của bậc các đơn thức, nghĩa là:
1 2 1 2
>

1 2 1 2

r s
r r s s
n n
n n
x x x x x x
nếu r
1
+ r
2
+… + r
n
> s
1
+ s
2
+… + s
n

hoặc r
1
+ r
2
+… + r
n
= s
1
+ s
2

+… + s
n
và tọa độ khác không đầu tiên của
vectơ (r
1
- s
1
, r
2
- s
2
,… , r
n
- s
n
) là dương.
1.2.1.2 Ví dụ
Với 2 biến x
1
, x
2
, ta có:
1 2 2
> >
1 1 2 1 2 2 1 2
>

m m m m
x x x x x x x
x

− −
> >
> >
.
1.2.1.3 Định lý
Nếu A là miền nguyên (nghĩa là với mọi c, d∈A mà cd = 0 thì hoặc c = 0
hoặc d = 0, khi này ta còn nói A không có ước của 0) thì deg fg = deg f + deg g
[5].
1.2.1.4 Định lý
Nếu A là miền nguyên thì vành đa thức A[X] cũng là miền nguyên và
các phần tử khả nghịch của A[X] là phần tử khả nghịch của A (xem
[5])
.
Cho f là đa thức hệ số trên trường K. Coi K
n
là không gian afin n-
chiều. Điểm a = (a
1
, a
2
,…., a
n
)

∈

K
n
gọi là nghiệm của f nếu


1 2
= 0
, , , 1 2
1 2

1 2
( ) =

r
r r
n
r r r n
n
r r r
n
f a a a
a
d
λ
+ + +
∑
≤
Chú ý rằng, mỗi đa thức f xác định một ánh xạ f: K
n

→
K
a
a
f(a)

gọi là ánh xạ đa thức.
1.2.1.5 Định lý
Nếu trường K vô hạn thì f(a) = 0 với
a K f = 0
n
∀ ∈ ⇔
(xem
[5])
.
14141414
14
15
1.2.1.6 Hệ quả
Nếu trường K vô hạn và f (a) = g(a) với mọi a = (a
1
,a
2
,…., a
n
)

∈

K
n
thì f = g
(xem

[7]).
1.2.1.7 Nhận xét

Nếu K là trường hữu hạn thì các tính chất trên không còn đúng. Từ đây
trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn.
1.2.2. Tôpô Zariski
1.2.2.1 Định nghĩa
Cho K là trường, tập con V
⊆
K
n
gọi là tập đại số nếu nó là nghiệm của
một họ (hữu hạn hay vô hạn) các đa thức n biến trong K[X].
1.2.2.2 Ví dụ
1> Tập rỗng
φ
là tập đại số vì phương trình f = 0 với f
∈
K mà f
≠
0 là
vô nghiệm.
2> Tập 1 điểm a = (a
1
, a
2
,…., a
n
)

∈
K
n

là tập đại số vì đó là nghiệm của
hệ n phương trình tuyến tính:
- a = 0
= 1, 2, , n
i i
x
i



Tập nghiệm của họ các đa thức bậc nhất (n ẩn) được gọi đa tạp tuyến
tính
3> Các m - phẳng trong không gian afin K
n
là các tập đại số vì đó là
nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính dạng:
Trong đó n-m ≤ p ≤ n và ma trận hệ số có hạng bằng n-m.
4> K
n
là tập đại số vì nó là nghiệm của phương trình 0 = 0.
15151515
15
16
1.2.2.3 Nhận xét
Khái niệm “Tập đại số” không phụ thuộc vào việc chọn tọa độ, nghĩa là
nếu V là nghiệm của một hệ các đa thức f(x
1
, x
2
, , x

n)
∈
S, thì với tọa độ mới
(y
1
, y
2
,…., y
n)
, ta có

0 1 1 2 2
= c + c + c + + c
= 1, 2, , n
i i i i in n
x y y y
i



thì các điểm trong V với tọa độ mới là nghiệm của hệ phương trình
f(c
10
+ c
11
y
1
+….+ c
1n
y

n
,… , c
n0
+ c
n1
y
1
+….+ c
nn
y
n
) = 0, f
∈
S.
Ta ký hiệu tập nghiệm của đa f là Z(f).
Nếu deg f = 0 thì
f = 0
Z(f)
f 0
n
K
φ

=

≠

neáu
neáu
.

Nếu deg f > 0 thì Z(f) gọi là siêu mặt.
Nói riêng, nếu deg f = 1 (nghĩa là f là đa thức bậc nhất) thì Z(f) là một
siêu phẳng.
Cho S là tập con bất kỳ của K[X].
Ký hiệu Z(S) ={a ∈ K: f(a) = 0, ∀f ∈ S}
là tập nghiệm của tất cả các đa thức trong S (thường gọi vắn tắt là tập
nghiệm của S), nghĩa là Z(S) là một tập đại số.
Ta có:
Z(S) =
Z(f)
f S∈
I
.
khi này ta cũng nói Z(S) là tập đại số của tập các đa thức S.
1.2.2.4 Nhận xét
Tương ứng S
a
Z(S) cho một ánh xạ từ họ tất cả các tập con của vành đa
thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin K
n
.
16161616
16
y
x
17
1.2.2.5 Ví dụ
1> Nếu f là đa thức 1 biến, thì các tập đại số Z(f) chỉ có thể là: tập
rỗng ; là tập hữu hạn hoặc toàn bộ K.
Khi n

=
1 thì mọi đa thức bậc dương chỉ có hữu hạn nghiệm nên tập
đại số trong K là tập hữu hạn. Ngược lại mọi tập hữu hạn trong K đều là tập
nghiệm của đa thức một biến.
2> Cho f = x
2
- y, thì Z(f) = { (a, a
2
) ; a
∈
K }. Nó là một parabol.
x
2
- y = 0
3> f = x
3
- y
2
thì Z(f) = { (a
2
, a
3
) ; a
∈
K }
.
1.2.2.6 Định lý
Cho S và S là hai tập các đa thức trong K[X].
Đặt S = {fg │f ∈ S, g ∈ S }. Ta có: Z(S) ∪ Z(S) = Z(S) (xem
[7])

.
1.2.2.7 Định lý
Cho {S} là một họ các tập đa thức trong K[X].
Khi đó:
Z(S) = Z( S)
[7].
1.2.2.8 Định lý
Cho S ⊆ K[X] và T ⊆ K[Y] là hai hệ đa thức tùy ý. Nếu ta coi S∪T
như một tập đa thức trong K[X, Y] thì: Z(S) x Z(T) = Z(S ∪ T) (xem
[7])
.
17171717
y
x
3
– y
2
=0
x
17
18
1.2.2.9 Nhận xét
Từ các kết quả trên ta tóm tắt lại như sau:
1/ ∅ là tập đại số.
2/ K là tập đại số.
3/ Hợp của hai tập đại số là một tập đại số.
4/ Giao của một họ bất kỳ các tập đại số cũng là một tập đại số.
5/ Tích của hai tập đại số là một tập đại số.
6/ Tương ứng Z: K[X] → K, cho bởi S
a

Z(S) là một ánh xạ từ họ tất
cả các tập con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không
gian afin K
n
.
7/ Nếu S
1

⊇
S
2
thì Z(S
1
)
⊆
Z(S
2
) ;
8/ Z(0) = K
n
;
9/ Z(f) =
φ
với 0
≠
f
∈
K (xem
[7]).
Từ nhận xét trên ta có kết quả sau.

1.2.2.10 Định lý
Họ tất cả các tập đại số trong K lập thành một tôpô, gọi là tôpô Zariski.
Mỗi phần tử của tôpô này (tức là mỗi tập Z(S)) gọi là một tập đóng Zariski
(xem
[7]).
1.2.2.11 Nhận xét
Mỗi tập mở trong tôpô Zariski là tập dạng
K
n
\ Z(S) = K
n
\
( )
f S
Z f
∈
I
=
( )
\ Z(f)
n
f S
K
∈
U
.
Ký hiệu D(f) = K
n
\ Z(f), thì họ tất cả các D(f) lập thành một cơ sở
Tôpô trên K

n
.
18181818
18
19
1.2.2.12 Định lý
Tôpô Zariski trên
ℝ
n
thực sự thô hơn tôpô thông thường (nghĩa là
A ⊂ ℝ
n
là mở trong tôpô Zariski trên ℝ
n
thì A là tập mở trong tôpô thông
thường trên ℝ
n
nhưng điều ngược lại không đúng) (xem
[7]).
Chứng minh
Nếu A ⊂ ℝ
n
là mở Zariski, nghĩa là
A = ℝ
n
\Z(S) =
f S f S
A = \ Z(S) \ ( Z(f)) ( \ Z(f))
n n n
∈ ∈

= =¡ ¡ ¡
I U
,
trong đó Z(f) là tập nghiệm trong ℝ
n
của đa thức f thuộc vành đa thức ℝ
n
[X].
Nhưng Z(f) đóng trong tôpô Zariski và đóng trong tôpô thông thường
vì đa thức f cho ta ánh xạ liên tục
K[x
1
, x
2
,…, x
n
]
∋
ℝ
n
→ ℝ
a
a
f(a)
và
( )
1
Z f f ({0})
−
=

đóng trong tôpô Zariski và đóng trong tôpô thông
thường vì {0} là tập đóng trong ℝ ⇒ ℝ
n
\
( )
Z f
mở trong tôpô thông thường.
Do đó
f S
A = ( \ Z(f)
n
∈
¡
U
là tập mở trong tôpô thông thường.
Ngược lại, có tập đóng A trong tôpô thông thường nhưng không đóng
trong tôpô Zariski. Ví dụ, khi A =
¢
là tập đóng trong tôpô thông thường
nhưng không đóng trong tôpô trong tôpô Zariski vì nó là tập vô hạn (đpcm).
19191919
19
20
1.2.2.13 Định lý
Tập A
⊂

ℝ là tập đóng với tôpô Zarski trên ℝ khi và chỉ khi A thuộc
một trong ba loại sau:
1) A = ∅.

2) A = ℝ.
3) A là tập hữu hạn.
Chứng minh
Vì mổi đa thực một biến
f (x)
∈
ℝ [x] chỉ có thể có tập nghiệm là :
1) Rỗng (khi f = c
∈
ℝ, c≠ 0 ).
2) Hoặc là cả ℝ (khi f(x) = 0).
3) Hoặc là tập hữu hạn khi (degf ≥ 1) do đó tập nghiệm của một họ các
đa thức 1 biến chỉ có thể có một trong ba dạng trên (đpcm).
1.2.2.14 Hệ quả
Cho A
⊂

ℝ đối với tôpô Zarski cảm sinh trên A khi đóW
⊂

A là đóng
trong A theo tôpô Zarski khi và chỉ khi W là rỗng hoặc cả ℝ hoặc tập
hữu hạn.
1.2.3. Iđêan
1.2.3.1 Định nghĩa
Tập con I của vành A gọi là iđêan của A nếu I là vành con của A thoả mãn
điều kiện: hf
∈
I với mọi h
∈

A và f
∈
I.
1.2.3.2 Ví dụ
1> Tập {0} và A là iđêan của A. Chúng gọi là các iđêan tầm thường.
Những iđêan còn lại gọi là iđêan thực sự.
2> Với mọi f
∈
A, tập (f): = {gf ; g
∈
A} là một iđêan, gọi là iđêan
chính sinh bởi f.
3> Cho S
⊆
A là tập con bất kỳ. Thế thì tập
20202020
20
21
(S): = { h
1
f
1
+ h
2
f
2
+……+ h
r
f
r

; h
1
, h
2
,…, h
r

∈
S; f
1
, f
2
,…., f
r

∈
A } là một iđêan bé nhất chứa S, gọi là iđêan sinh bởi S.
Cho I và J là hai iđêan tuỳ ý trong A.
Iđêan sinh bởi các phần tử của I∪J được gọi là iđêan tổng của I và J, ký
hiệu I+J. Iđêan sinh bởi các tích fg với f∈I và g∈J được gọi là iđêan tích của I
và J, ký hiệu là IJ.
1.2.3.3 Định lý
1) I+J = {f+g | f∈I, g∈J} là iđêan nhỏ nhất chứa I và J,
2) IJ = {f
1
g
1
+…+ f
r
g

r
| f
1
,…,f
r
∈ I, g
1
,…;g
r
∈ J, r ≥ 1} là một iđêan
(xem

[5]).
1.2.3.4 Nhận xét
IJ ⊆ I∩J nhưng nhìn chung thì hai iđêan này khác nhau.
1.2.3.5 Định lý
Cho S là một hệ đa các đa thức trong K[X] và I =(S).
Ta có: Z(I) = Z(S) (xem [10]).
1.2.3.6 Định lý
Cho I và J là hai iđêan tuỳ ý trong K[X]. Ta có:
1) Z(I) ∪ S(J) = Z(I ∩ J) = Z(IJ);
2) Z(I) ∩ Z(J) = Z(I + J) (xem [10]).
Bây giờ ta xét một một khái niệm như là ánh xạ “ngược” của Z. Cụ thể,
cho V là tập bất kỳ trong K
n
. Ký hiệu
I
V
: = { f
∈

K[X]; f(a) = 0 với mọi a
∈
V}.
Thế thì I
V

là

iđêan lớn nhất có tập nghiệm chứa V. Ta gọi nó là iđêan
của tập V. Khi V chỉ có 1 điểm, ta viết I
a
thay cho I
{ a }
.
Như vậy, cách xác định tập Z(S) và tập I
V
cảm sinh hai ánh xạ và I
được cho trong sơ đồ sau
21212121
21
22
( )
( )

[ ]
n
K X K
→
¬ 
Z

I
P P
;
trong đó : S
a
Z(S) và I: V
a
I
V
;
P(X) là ký hiệu họ tất cả các tập con của X.
1.2.3.7 Ví dụ
1>
I
φ
= K[X];
2>
n
K
I
= {0};
3> I
a
= (x
1
- a
1
, x
2
- a

2
,… , x
n
- a
n
) với a = (a
1
, a
2
, … , a
n
);
4> Nếu V
⊆
K
2
là tập vô hạn điểm trên parabol y = x
2
thì I
V
= (x
2
- y);
5> Nếu V là d- phẳng trong K
n
mà ta có thể giả sử nó là tập hợp có
dạng V = {(x
1
, x
2

,…., x
d,
0, …0)
∈
K
n
} thì I
V

= (x
d+1
, x
d+2
,…., x
n
).
1.2.3.8 Định lý
Cho V là tập con của K
n
. Ta có
1)
V
V = Z(I ), V
là bao đóng (trong tôpô Zariski) của V;
2)
V
I
= I
V
(xem

[
7]).
Cho I là iđêan của vành A. Ký hiệu
:= {f ∈ A; f
r
∈ I với r là một số tự nhiên nào đó}.
1.2.3.9 Định lý
Cho I là iđêan, thế thì
I
cũng là iđêan và I
⊆

I
(xem [10]).
Nếu I =
I
thì I gọi là iđêan căn.
22222222
22
23
1.2.3.10 Nhận xét
0
là tập hợp các phần tử lũy linh của A. Do đó, 0 là iđêan căn khi và
chỉ khi trong A không có phần tử lũy linh. Những vành như vậy gọi là vành
rút gọn. Ví dụ, mọi miền nguyên là vành rút gọn.
1.2.3.11 Định lý
I
V
là một iđêan căn (xem


[7]).
1.2.3.12 Định lý
Giả sử I, J là các iđêan trong K[X]. Khi đó:
IJ I J I J
= ∩ = ∩
(xem

[7]).
1.2.3.13 Nhận xét
Các ánh xạ và I trong sơ đồ
( )
( )
n
K[ ] KX
→
¬ 
Z
I
P P
thu hẹp trên họ (K
n
) tất cả các tập đại số trong K
n
là hai ánh xạ ngược nhau:
Z(I
V
) = V. Nói cách khác, trong sơ đồ sau,
n
(K[X]) Im (K )
→

¬ 
Z
I
P I Z
và I là các song ánh ngược nhau. Do đó, có thể chuyển việc nghiên cứu các
tập đại số sang nghiên cứu các iđêan dạng I
V
. Hơn nữa, họ tất cả các iđêan I
V
dạng {
n
I ; V K
V
⊆
là tập đại số} lập nên một tôpô trong K[X] đồng phôi với
tôpô Zariski trong K
n
.
23232323
23
24
1.2.4. Vành tọa độ và iđêan của tập hợp con
1.2.4.1 Định nghĩa
Cho V ⊂ K
n
Hàm F: V
→
K gọi là hàm đa thức nếu tồn tại đa thức
f
∈

K[X] sao cho F =
|V
f
, nghĩa là F(a) = f(a) với mọi a
∈
V.
1.2.4.2 Nhận xét
Khái niệm hàm đa thức không phụ thuộc việc chọn tọa độ, vì khi đổi
tọa, tính “đa thức” của F vẫn được bảo tồn.
1.2.4.3 Định nghĩa
Ký hiệu K[V] là tập hợp tất cả các hàm đa thức trên V. Do tổng và tích
các hàm đa thức lại là hàm đa thức nên K[V] là một vành giao hoán, có đơn vị
là hàm F = 1. Ta gọi K[V] là vành tọa độ của V.
1.2.4.4 Ví dụ
Khi V = {a} là tập 1 điểm thì mọi hàm đa thức trên nó là hàm hằng.
Vì vậy, vành đa thức của tập 1 điểm là trường K.
Một hàm đa thức có thể được cho bởi nhiều đa thức khác nhau. Tuy
nhiên, do
|V |
f
V
g=
suy ra f - g
∈
I
V
, nên ta có khái niệm sau.
1.2.4.5 Định nghĩa
Cho I là iđêan thực sự của vành A và f, g
∈

A.
Ta nói f đồng dư với g trên I nếu f - g
∈
I.
Rõ ràng quan hệ đồng dư trên là một quan hệ tương đương trên A. Lớp
tương đương chứa f là tập
f + I
:
=
{ f + h | h
∈
I}.
Định nghĩa trên tập thương A/I theo quan hệ này với hai phép toán
(f + I) + (g + I) = (f+g) + I
(f + I) (g + I) = fg + I
24242424
24
25
thì A/I lập thành một vành.
25252525
25