Dạng tuyến tính rưỡi và dạng hermite
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.21 MB, 54 trang )
KHOA TOÁN
Th.S
- 2014
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân K36 – CN Toán
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Th.S
Thúy- ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành đề tài
khóa luận tốt nghiệp của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các
thầy cô trong tổ hình và các thầy cô trong khoa Toán trƣờng ĐHSP Hà
Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành tốt đề tài khóa luận tốt
nghiệp này.
Dù đã hết sức cố gắng, nhƣng do đây là lần đầu tiên làm quen với
việc nghiên cứu khoa học và do năng lực còn hạn chế nên khó tránh khỏi
những sai sót. Em mong nhận đƣợc sự chỉ bảo, đóng góp của quý thầy
cô để cho bài khóa luận tốt nghiệp đƣợc tốt hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân K36 – CN Toán
Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân
cùng sự hƣớng dẫn tận tình chỉ bảo của cô giáo
Thúy em đã hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.
Em xin cam đoan đề tài khóa luận tốt nghiệp là do bản thân nghiên
cứu với sự hƣớng dẫn của cô giáo không hề
trùng với bất cứ đề tài nào.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân K36 – CN Toán
6
1. Lí do chọn đề tài 6
2. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu 6
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 6
4. Mục đích nghiên cứu 6
5. Phƣơng pháp nghiên cứu 6
6. Cấu trúc luận 6
7
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 7
1.1. Số phức 7
1.1.1. Định nghĩa số phức 7
1.1.2. Biểu diễn hình học các số phức 7
1.1.3. Các phép toán trên số phức 8
1.1.4. Dạng lượng giác của các số phức 9
1.2. Không gian vectơ 12
1.2.1. Định nghĩa không gian vectơ 12
1.2.2. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 13
1.2.3. Không gian vectơ con 14
1.3. Ma trận 14
1.4. Ánh xạ tuyến tính 17
1.4.1. Định nghĩa 17
1.4.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính 17
1.5. Bài tập 19
CHƢƠNG 2: DẠNG TUYẾN TÍNH RƢỠI VÀ DẠNG HERMITE 24
2.1. Các định nghĩa và ví dụ 24
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân K36 – CN Toán
2.2. Tính trực giao theo một dạng tuyến tính Hermite 27
2.3. Ma trận hermite 31
2.3.1. Chuyển vị liên hợp 31
2.3.2. Chuyển vị liên hợp theo khối 32
2.3.3. Ma trận hermite 33
2.3.4. Ma trận của một dạng tuyến tính rưỡi Hermite trong một
cơ sở 35
2.3.5. Cơ sở
- trực giao 38
2.4. Phân loại các dạng Hermite trên không gian vectơ có số
chiều hữu hạn 40
2.5. Phân tích Gauss của một dạng Hermite 41
1.5.1. Trường hợp n=2 41
1.5.2. Trường hợp n
3 42
2.6 Bài tập chƣơng 2 46
53
54
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 6 K36 – CN Toán
U
1.
Có thể nói rằng Đại số tuyến tính là một môn học khá quan trọng
đối với mỗi sinh viên ngành toán, là môn học nghiên cứu về các không
gian vectơ, ma trận, định thức, hệ phƣơng trình tuyến tính… Và nó là
môn cơ sở giúp chúng ta học tốt hơn những môn học nhƣ là: hình học
afin, hình học euclide, hình học xạ ảnh, giải tích hàm… Ngoài ra, nó có
nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học khác.
Chúng ta có thể tìm hiểu, mở rộng, nghiên cứu sâu hơn về Đại số
tuyến tính. Và với sự say mê yêu thích môn học này cùng với sự hƣớng
dẫn của , em đã mạnh dạn chọn đề tài
- DH làm đề tài khóa luận tốt nghiệp đại
học cho mình.
2.
Đối tƣợng: Dạng tuyến tính rƣỡi- Dạng Hermite.
Phạm vi: những kiến thức liên quan tới Dạng tuyến tính rƣỡi- Dạng
Hermite.
3.
Nghiên cứu Dạng tuyến tính rƣỡi- Dạng Hermite.
4.
Nghiên cứu Dạng tuyến tính rƣỡi- Dạng Hermite để cung cấp kiến
thức cơ bản cho việc tiếp thu và học các môn hình học tiếp theo và một
số môn thuộc bộ môn giải tích trong chƣơng trình đại học.
5.
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và tài liệu liên
quan.
Chƣơng 1: Cơ sở lí thuyết
Chƣơng 2: Dạng tuyến tính rƣỡi – Dạng Hermite
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 7 K36 – CN Toán
:
1.1.
1.1.1. Định nghĩa số phức
Mỗi biểu thức
a bi
với
,ab
, đƣợc gọi là số phức, trong đó a đƣợc gọi là phần tử thực
của số phức
đƣợc kí hiệu là Re
, b đƣợc gọi là phần tử ảo của số
phức
đƣợc kí hiệu là Im
,
i
đƣợc gọi là đơn vị ảo và
2
1i
.
Tập hợp tất cả các số phức đƣợc kí hiệu là . Vì vậy,
,a bi a b
và
.
1.1.2. Biểu diễn hình học các số phức
Cho mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy. Ta cho mỗi số phức
a bi
tƣơng ứng với một điểm M(a,b) có hoành độ a, tung độ b.
Điểm M(a,b) đƣợc gọi là ảnh hay điểm biểu diễn số phức
a bi
.
Phép tƣơng ứng trên là một song ánh từ tập hợp các số phức trên mặt
phẳng tọa độ. Vì thế, mặt phẳng tọa độ cùng với song ánh trên đƣợc gọi
là mặt phẳng phức .
M(a,b)
O
b
a
y
x
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 8 K36 – CN Toán
Ta có nhận xét, trong mặt phẳng phức
Số thực
0ai
đƣợc biểu diễn bằng các điểm trên trục Ox, do
đó trục Ox đƣợc gọi là trục thực.
Số thuần ảo
0bi bi
đƣợc biểu diễn bằng các điểm trên trục Oy,
do đó trục Oy đƣợc gọi là trục ảo.
Ta đi đến hai khái niệm quan trọng: Cho số phức
a bi
Số phức
''
đƣợc gọi là số đối của số phức
và viết
''
nếu
ảnh của
''
đối xứng với ảnh của
qua gốc O. Vì thế, ta có
''
a bi
.
Số phức
'''
đƣợc gọi là số phức liên hợp của số phức
và viết
'''
nếu ảnh của
''
đối xứng với ảnh của
qua gốc Ox. Vì thế, ta có
'''
.a bi
1.1.3. Các phép toán trên số phức
Cho hai số phức
' ' '
,a bi a bi
.
Phép tổng, hiệu, tích, thƣơng các số phức
' ' '
a a b b i
.
' ' ' '
a a b b i
.
' ' ' ' '
aa bb ab ab i
.
1
2 2 2 2
' ' ' '
'
'
' ' ' '
aa bb ab ab
i
a b a b
.
Nghịch đảo của số phức
'
,
,
'
0
, kí hiệu
1
'
'
1
hay
là số phức.
1
2 2 2 2 2 2
''
''
'
' ' ' ' ' '
11ab
i
a b a b a b
.
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 9 K36 – CN Toán
: Thực hiện các phép toán sau
a)
a bi a bi
. c)
a bi a bi
.
b)
a bi a bi
. d)
( 0)
a bi
ab
a bi
a)
2a bi a bi a a b b i a
.
b)
2a bi a bi a a b b i bi
.
c)
2 2 2 2
a bi a bi a b ab ba i a b
.
d)
22
2
2 2 2 2 2 2
12a bi a b ab
a bi i
a bi a b a b a b
.
1.1.4. Dạng lượng giác của các số phức
Trong mặt phẳng phức mỗi số phức
a bi
đƣợc biểu diễn
bởi một điểm duy nhất M(a,b). Khi
0
ta nhận đƣợc vectơ
OM
.
Độ dài
r= OM
đƣợc gọi là môđun của số phức
và kí hiệu
.
Góc định hƣớng
Ox,OM
tạo bởi tia Ox và vectơ
OM
đƣợc
xác định sai kém một bội nguyên tùy ý của
2
. Góc
đƣợc gọi là
acgumen của số phức
và kí hiệu là
Arg
.
Ta có các hệ thức
rcos
rsin
r>0
a
b
22
r=
cos , sin =
rr
ab
ab
r cos sini
(r>0) (1)
Hệ thức (1) đƣợc gọi là dạng lƣợng giác của số phức
. Khi đó
biểu thức
a bi
đƣợc gọi là dạng đại số của số phức
.
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 10 K36 – CN Toán
Cho hai số phức
'
,
khác 0 viết dƣới dạng
''
r cos sin r cos sinii
Ta nhận đƣợc các hệ thức sau:
''
''
rr cos sin
r
cos sin
r
r cos sin r cos sin
n
nn
i
i
ii
(với n là số nguyên dƣơng)
22
r cos sin
0,1,2 , 1
n
n
kk
i
n n n n
kn
Ứng với mỗi giá trị của k ta kí hiệu
n
là
k
.
Căn bậc n của mỗi số phức
0
có đúng n giá trị khác nhau; đặc
biệt, mỗi số phức
0
đều có hai căn bậc 2, đó là hai phức đối nhau.
Mọi đa thức bậc n với hệ số phức
1
0 1 1 0
0
nn
nn
P a a a a a
đều có đúng n nghiệm phức ( phân biệt hay trùng nhau).
1.1.4.1. Phép nâng lũy thừa của số phức
Lũy thừa với số mũ n nguyên của số phức
, kí hiệu là
n
, là số
phức xác định nhƣ sau
- Nếu n là số nguyên dƣơng thì
.
n
(n thừa số).
- Nếu
0n
thì
0
1
.
- Nếu n là số nguyên âm và
0
thì
1
n
n
.
Để nâng lũy thừa bậc
*
nn
một số phức khác 0,
a bi
có
thể thực hiện nhƣ sau:
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 11 K36 – CN Toán
Với n nhỏ ta khai triển
n
n
a bi
theo công thức Nhị thức
Newtơn rồi rút gọn biểu thức.
Với n lớn ta viết số phức đã cho dƣới dạng lƣợng giác
cos sin , =Arig
rồi áp dụng công thức Moivre.
cos sin
n
n
i
.
Hãy đƣa về dạng đại số của
x yi
các số phức sau đây
10
1 i
Ta có:
1 2 cos sin
44
ii
Do đó
10
10
10 10
1 2 cos sin
44
ii
32 cos sin 32
22
ii
.
1.1.4.2. Phép khai căn của số phức
Căn bậc n ( n nguyên dƣơng ) của số phức
, kí hiệu là
n
là số
phức
'
sao cho
'
n
.
Để khai căn bậc
*
,1n n n
một số phức khác 0,
a bi
, ta
viết số phức
dƣới dạng lƣợng giác
r cos sini
trong đó
r= ,
là acgumen của
, rồi áp dụng công thức
2k 2k
r cos sin
n
k
i
n n n n
k = 0,1,2,….,n-1.
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 12 K36 – CN Toán
: Tìm giá trị căn:
4
1
.
Ta có
1 cos sini
Do đó
4
1 cos k sin k k=0,1,2,3.
4 2 4 2
i
Suy ra
01
2 2 2 2
2 2 2 2
ii
23
2 2 2 2
2 2 2 2
ii
.
1.2.
1.2.1. Định nghĩa không gian vectơ
Cho
V
mà các phần tử đƣợc kí hiệu là
,,
… và
K
- là một
trƣờng. Giả sử
V
đƣợc trang bị hai phép toán, bao gồm
a) Phép cộng:
,,V V V
,
b) Phép nhân:
, , .K V V
,
thỏa mãn những điều kiện (hoặc tiên đề) sau đây
(i)
, , , V
(ii)
' ' '
, : 0.VV
(iii)
0 ,0 0 ,VV
.
(iv)
,, V
(v)
, , ,KV
(vi)
, , ,KV
(vii)
, , ,KV
(viii)
1,V
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 13 K36 – CN Toán
Khi đó
V
cùng với hai phép toán đã cho đƣợc gọi là một không
gian vectơ trên trƣờng
K
hay
K
- không gian vectơ.
Các phần tử của
V
gọi là vectơ, các phần tử
K
gọi là các vô hƣớng.
Phép cộng “ +” gọi là cộng vectơ, phép nhân “.” gọi là nhân vectơ với vô
hƣớng.
Khi
K
thì
V
đƣợc gọi là không gian thực. Khi
K
thì
V
đƣợc gọi là không gian phức.
Tập các vectơ tự do trong không gian với phép toán cộng vectơ
và phép nhân vectơ với một số thực nhƣ đã định nghĩa trong chƣơng
trình toán phổ thông trung học là một không gian vectơ thực.
1.2.2. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ
a) Một hệ vectơ của
V
đƣợc gọi là một hệ sinh của
V
nếu mọi vectơ
của
V
đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó.
b) Một hệ vectơ của
V
đƣợc gọi là một cơ sở của
V
nếu mọi vectơ
của
V
đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này.
Không gian vectơ
V
đƣợc gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ
sinh gồm hữu hạn phần tử.
a) Số vectơ trong mỗi cơ sở của
K
- không gian vectơ hữu hạn sinh
0V
đƣợc gọi là số chiều của
V
trên trƣờng
K
và kí hiệu là dim
V
hay rõ hơn là
dim
K
V
.
Nếu
0V
, ta quy ƣớc
dim 0V
.
b) Nếu
V
không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó đƣợc gọi
là không gian vectơ vô hạn chiều.
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 14 K36 – CN Toán
: Trƣờng số phức là một - gian không vectơ với cơ sở
1
.
Đồng thời cũng là một - gian không vectơ với cơ sở
1, i
. Do đó
dim 1,dim 2
Tổng quát:
dim ,dim 2 .
nn
nn
1.2.3. Không gian vectơ con
Giả sử
V
là một
K
- không gian vectơ và
W
là một tập con của
V
.
Ta bảo tập
W
là ổn định ( hay đóng kín) đối với hai phép toán trên
V
nếu:
,
,
x y W x y W
x W K x W
Ta bảo
W
là một không gian vectơ con của
V
nếu
W
ổn định với
hai phép toán trên
V
, và cùng với hai phép toán
V
hạn chế trên nó,
W
cũng là một không gian vectơ trên trƣờng
K
.
1.3.
1
Cho K là một trƣờng tùy ý. Một bảng gồm
mn
phần tử
ij
aK
với (
1 in
, 1≤ j ≤ n) có dạng
11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
đƣợc gọi là ma trận cấp
mn
. Mỗi
ij
a
đƣợc gọi là thành phần của ma
trận. Kí hiệu là
ij
mn
Aa
.
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 15 K36 – CN Toán
Vectơ dòng (hay hàng)
12
, , ,
i i in
a a a
đƣợc gọi là dòng( hay hàng)
thứ i của ma trận A.
Vectơ cột
1
2
j
j
mj
a
a
a
đƣơc gọi là cột thứ j của ma trận A.
Khi
mn
thì ma trận
ij
mn
a
đƣợc gọi là ma trận vuông cấp n. Kí
hiệu
ij
nn
Aa
.
1) Ma trận đơn vị
Phần tử đơn vị của vành
( , )Mat n n K
là ma trận
1 0 0
0 1 0
0 0 1
n
I
Ta gọi
n
I
là ma trận đơn vị cấp n.
2) Ma trận nghịch đảo
Ma trận
( , )A Mat n n K
đƣợc gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn
tại ma trận
( , )B Mat n n K
sao cho
n
AB B A I
Khi đó B đƣợc gọi là ma trận nghịch đảo của A và kí hiệu
1
BA
.
Hai ma trận A và B cùng thuộc
,Mat n n K
ta nói 2 ma trận A
và B đồng dạng nếu có một ma trận khả nghịch
,C Mat n n K
sao
cho
1
B C AC
.
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 16 K36 – CN Toán
3) Ma trận chuyển vị
Cho
()
ij m n
Aa
thì ma trận
()
ji n m
a
là ma trận chuyển vị của ma
trận A. Kí hiệu là
t
A
.
Tính chất
11
( ) , ( ) ( )
t t t t
A A A A
( ) , ( . )
t t t t t t
A B A B AB B A
4) Ma trận A đƣợc gọi là đối xứng nếu A
t
= A.
Cho
1 2 1 2
, , , và , , ,
nn
e e e e
là hai cơ sở không
gian vectơ
n
chiều
V
. Ta gọi ma trận vuông cấp
n
,
ij
nn
Cc
trong đó
ij
c
đƣợc xác định bởi
1
, 1,2,
n
j ij i
i
c e j n
đƣợc gọi là ma trận chuyển từ cơ sở
e
sang
.
Gọi
'
1
1
'
2
2
'
và
n
n
x
x
x
x
x
x
lần lƣợt là các tọa độ của vectơ
xV
lần lƣợt
đối với cơ sở
và e
thì ta có công thức đổi tọa độ từ cơ sở
e
sang
cơ sở
viết dƣới dạng ma trận là
'
1
1
'
2
2
'
n
n
x
x
x
x
C
x
x
.
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 17 K36 – CN Toán
1.4.
1.4.1. Định nghĩa
Cho
,VW
là hai không gian vectơ trên trƣờng
K
. Ánh xạ
:f V W
đƣợc gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu
f f f
f k kf
Ánh xạ tuyến tính cũng còn đƣợc gọi là đồng cấu tuyến tính hay gọi
là đồng cấu.
Tính chất
1)
00f
.
2)
,f f V
.
3)
1 1 2 2 1 1 2 2
m m m m
f f f f
.
: Ánh xạ không
:VW
là một ánh xạ tuyến tính.
1.4.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Giả sử
,VW
là
K
- không gian vectơ hữu hạn chiều,
1
,
n
e e e
là một cơ sở của
V
,
1
,
m
là một cơ sở của
W
. Mỗi ánh xạ
tuyến tính
:f V W
đƣợc xác định duy nhất bởi hệ vectơ
1
, ,
n
f e f e
. Các vectơ
j
fe
lại biểu thị tuyến tính một cách duy
nhất qua cơ sở
1
,
m
của
W
:
1
, 1,2
m
j ij i
i
f e a j n
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 18 K36 – CN Toán
trong đó
ij
aK
. Nói tóm lại ánh xạ tuyến tính
f
đƣợc xác định một
cách duy nhất bởi hệ thống các vô hƣớng
1 ,1
ij
a i m j n
.
Ta sắp xếp chúng thành ma trận
11 12 1
21 2 2
12
n
n
ij
mn
m m mn
a a a
a a a
Aa
a a a
gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính
:f V W
đối với cặp cơ sở
e
và
Cho
:f V W
là ánh xạ tuyến tính, có ma trận
ij
mn
Aa
đối với
cặp cơ sở
và e
.
Nếu
V
có tọa độ là
1
, ,
n
xx
trong cơ sở
e
thì tọa độ của
vectơ
fW
trong cơ sở
sẽ là
1
, ,
m
yy
tính bởi công thức
1
1,2, ,
n
i ij j
j
y a x
im
hay là
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m mn n
y a x a x a x
y a x a x a x
y a x a x a x
Ta gọi công thức trên là biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính
f
đối với cặp cơ sở
và e
đã cho.
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 19 K36 – CN Toán
1.5.
Bài 1. Thực hiện các phép tính:
a)
2 5 3 2ii
c)
3 2 2 3ii
b)
3 2 3 5
1
4 3 2 6
ii
d)
1 2 1 3ii
Bài 2. Thực hiện các phép tính:
a)
4 3 2ii
b)
13ii
c)
3
12i
d)
2
1
i
i
Bài 3. Cho
'
,
là hai số phức bất kì. Chứng minh:
a)
''
c)
''
.
b)
''
d)
'
'
'
0
Bài 4. Viết dƣới dạng đại số các số phức sau:
a)
00
cos45 sin45i
c)
cos sin
66
i
b)
00
3 cos120 sin120i
Bài 5. Viết dƣới dạng lƣợng giác các số phức sau:
a)
13i
b)
22i
c)
3 i
d)
30i
Bài 6. Dùng công thức Moivre để tính:
a)
5
00
cos12 sin12i
c)
16
1 i
b)
7
00
2 cos30 sin30i
d)
12
13
22
i
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 20 K36 – CN Toán
Bài 7. Giải phƣơng trình
a)
2
10
b)
6
1 2 0
c)
arg ,0 arg 2
Bài 8. Với các phép toán cộng và nhân vectơ với một vô hƣớng trong
K
- không gian vectơ
n
K
, các tập sau có phải là
K
- không gian vectơ
không?
1)Tập các phần tử dạng
, , ,
n
x x x K
2) Tập các phần tử dạng
2
0, , ,
n
n
x x K
3) Tập các phần tử dạng
12
, , ,
n
n
x x x K
sao cho:
12
0
n
x x x
4) Tập các phần tử dạng
12
, , ,
n
n
x x x K
sao cho:
12
1
n
x x x
Bài 9.
, 1, ,
i
V i n
là những
K
- không gian vectơ. Xét tích Đề các
1
n
VV
với hai phép toán:
' ' ' '
1 1 1 1
11
, , , , , ,
, , , ,
n n n n
nn
v v v v v v v v
v v v v
Chứng minh rằng
1
n
VV
là
K
- không gian vectơ.
Bài 10.
Cho
,ab
u x C
là một hàm số cố định, xét ánh xạ
f:
,,a b a b
CC
;
f v x u x v x
,ab
v x C
Chứng minh
f
là ánh xạ tuyến tính.
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 21 K36 – CN Toán
Bài 1.
a)
53i
c)
15i
b)
11
46
i
d)
25i
Bài 2.
a)
11 2i
c)
36
55
i
b)
24i
d)
1 i
Bài 3.
Giả sử
' ' '
,a bi a bi
. Ta có:
a)
' ' '
a a b b i
' ' ' ' '
a a b b i a bi a bi
b)
' ' '
a a b b i
' ' ' ' '
a a b b i a bi a bi
c)
' ' ' ' '
aa bb ab ab i
' ' ' ' ' ' '
aa bb ab ab i a bi a bi
d)
2 2 2 2
''
'
'
' ' ' '
11
a b a b
Bài 4. Viết dƣới dạng đại số các số phức sau:
a)
00
22
cos45 sin45
22
ii
b)
00
1 3 3 3 3
3 cos120 sin120 3
2 2 2 2
i i i
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 22 K36 – CN Toán
c)
2 cos sin 3
66
ii
Bài 5. Viết dƣới dạng lƣợng giác của các số phức:
a)
00
1 3 2 cos60 sin60ii
c)
00
3 2 cos30 sin30ii
b)
00
2 2 2 cos45 sin45ii
d)
00
3 0 3 cos0 sin0ii
Bài 6.
a)
00
13
cos60 sin60
22
ii
b)
00
1 3 2 6
2 cos210 sin210 2
2 2 2 2
i i i
c) Vì
1 2 cos sin
44
ii
, nên
16
16
8
1 2 cos4 sin4 2ii
d) Vì
13
cos sin
2 2 3 3
ii
, nên
12
13
cos4 sin4 1
22
ii
Bài 7.
a)
13
22
i
b)
6
22
1 2 cos sin , 0,1,2,3,4,5
66
kk
ik
c) Đặt
a bi
, ta có
22
0 0
arg 0 0
cos 1
cos
2
bb
a
ab
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 23 K36 – CN Toán
Bài 8. a) Có b) Có c) Có d) Không.
Bài 9. Dễ thấy nó thỏa mãn 8 tiên đề của định nghĩa không gian vectơ.
Ví dụ: vectơ
0, ,0
, vectơ đối của
11
, , là , ,
nn
v v v v
.
Bài 10.
Vì tích của hai hàm liên tục là một hàm liên tục nên
,ab
u x v x C
,
,
ab
u x v x C
11
1
f v x v x u x v x v x u x v x u x v x
11
f v x v x f v x f v x
(1)
,
;
ab
l v x C
;
f lv x u x lv x l u x v x
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
f
là phép biến đổi tuyến tính trong
,ab
C
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 24 K36 – CN Toán
2:
VÀ
2.1.
Cho E là một -không gian vectơ.
1. Ta gọi mọi ánh xạ
:EE
thỏa mãn
(i)
' 3 ' '
, ( , , ) , ( , ) ( , ) ( , )x x y E x x y x y x y
(
là nửa tuyến tính so với vị trí thứ nhất).
(ii)
' 3 ' '
, ( , , ) , ( , ) ( , ) ( , )x y y E x y y x y x y
(
là tuyến tính so với vị trí thứ hai).
là trên
EE
(hay: trên E).
. Cho dạng tuyến tính rƣỡi
trên
EE
2
*
1 1 1 1
( , ) , , , , , , , , , , , , .
n p n p
n p x x y y E
Khi đó, ta có
1 1 1
1
, ( , )
p
n
k k j j k j k j
k j k n
jp
x y x y
.
Bằng công thức truy hồi theo n ta có:
11
, , ,
nn
k k k k
kk
Y E x Y x Y
Từ đó ta có
1 1 1 1
11
1
1
,,
,
,
pp
nn
k k j j k k j j
k j k j
p
n
k j k j
kj
k j k j
kn
jp
x y x y
xy
xy
Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy
Nguyễn Thúy Ngân 25 K36 – CN Toán
. Một dạng tuyến tính rƣỡi
trên
EE
đƣợc gọi là
Hermite khi và chỉ khi
2
( , ) , ( , ) ( , )x y E y x x y
.
. Để ánh xạ
:EE
là một dạng tuyến tính rƣỡi
Hermite, điều kiện cần và đủ là
(i)
( , ) , ( , ) ( , )x y E E x y y x
(
là đối xứng hermite).
(ii)
' 3 ' '
, ( , , ) , ( , ) ( , ) ( , )x y y E x y y x y x y
(
là tuyến tính đối với vị trí thứ hai).
. Cho
một dạng tuyến tính rƣỡi Hermite trên
EE
. Ta
gọi ánh xạ
từ
E
vào đƣợc xác định bởi
( ) ( , ), x x x x E
là Hermite với
.
:
trên
n
đƣợc xác định bởi
11
1
(( , , ),( , , ))
nn
n
n n k k
k
x x y y x y
là một dạng tuyến tính rƣỡi Hermite và dạng Hermite liên kết là
2
1
1
( , , )
nn
n
nk
k
x x x
Thật vậy,
''
1 1 1
, , , , , , , , ,
n
n n n
x x x x y y
, ta có
' ' '
1 1 1
''
1 1 1
, , , , , , , ,
, , , , ,
n n n
n n n
x x y x x x x y y
x x x x y y
