TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
———————o0o——————–
TÔ THỊ LỊCH
CẤU TRÚC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Hình học
HÀ NỘI - 2014
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
———————o0o——————–
TÔ THỊ LỊCH
CẤU TRÚC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Hình học
Người hướng dẫn khoa học:
Th.S Phạm Thanh Tâm
HÀ NỘI - 2014
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm đã
tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, tạo điều kiện để em có thể hoàn thành
khóa luận này.
Qua đây em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các
thầy cô trong tổ Hình học và các thầy cô trong khoa Toán, Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt qua
trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới
gia đình, bạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập vừa qua.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Tô Thị Lịch
LỜI CAM ĐOAN
Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn của thầy
giáo Th.S Phạm Thanh Tâm em đã hoàn thành bài khóa luận của
mình.
Em xin cam đoan bài khóa luận là kết quả của quá trình làm việc
nghiêm túc, sự cố gắng, nỗ lực tự bản thân dưới sự hướng dẫn, chỉ
bảo tận tình của thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm.
Trong khóa luận này em đã tham khảo một số tài liệu ghi trong
mục Tài liệu tham khảo.
Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Tô Thị Lịch
Mục lục
Mở đầu 4
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6
1.1 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN . . . . . . . . . . . . 7
1.3 ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 TOÁN TỬ ĐA THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 KHÔNG GIAN XÍCH 17
2.1 KHÔNG GIAN XÍCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 KHÔNG GIAN BẤT KHẢ QUY . . . . . . . . . . . . 30
2.3 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN 41
3.1 DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN . . . . . . . . . . . . 41
3.2 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

KẾT LUẬN 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO 52
3
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đại số tuyến tính là một môn học cơ bản của toán học cao cấp.
Ngày nay, đại số tuyến tính được ứng dụng vào hàng loạt các lĩnh vực
khác nhau, từ Giải tích tới Hình học vi phân và Lý thuyết nửa nhóm,
từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ thuật, . Những kiến thức cơ bản của đại
số tuyến tính như ánh xạ tuyến tính, cấu trúc của toán tử tuyến tính
là những kiến thức quan trọng, không thể thiếu. Hơn nữa việc tìm
cho mỗi toán tử tuyến tính (trong trường hợp có thể) một cơ sở của
không gian, sao cho trong cơ sở đó toán tử tuyến tính có ma trận đơn
giản, cụ thể là càng gần ma trận đường chéo càng tốt là một bước
cơ bản trong các bài toán. Để làm được điều đó việc nghiên cứu các
toán tử tuyến tính đóng vai trò quan trọng.
Thấy được tầm quan trọng của vấn đề, cùng với sự hướng dẫn tận
tình của thầy giáo Th.S. Phạm Thanh Tâm, tôi đã chọn đề tài nghiên
cứu “CẤU TRÚC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cấu trúc toán tử tuyến tính.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về cấu trúc toán tử tuyến tính trong phạm vi của môn
Đại số tuyến tính.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số kiến thức chuẩn bị và cấu trúc của toán tử tuyến
tính.
Tô Thị Lịch 4 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: hệ thống lại các
kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp.
6. Kết cấu khóa luận
Ngoài phần mở đầu, danh mục và tài liệu tham khảo, khóa luận
gồm 3 phần:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Không gian xích và không gian bất khả quy
Chương 3: Dạng chuẩn tắc Jordan.
Dù đã hết sức cố gắng nhưng do đây là bước đầu làm quen với
việc nghiên cứu khoa học nên còn nhiều bỡ ngỡ, đồng thời vì thời gian
thực hiện không nhiều và kiến thức còn hạn chế nên khóa luận không
tránh khỏi những sai sót, mong nhận được những góp ý quý báu của
quý thầy cô và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Tô Thị Lịch
Tô Thị Lịch 5 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
Cho E là một không gian vectơ trên trường K.
ĐỊNH NGHĨA. Một ánh xạ tuyến tính từ E vào E được gọi là một
toán tử tuyến tính của E.
Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính của E ký hiệu là L(E).
Khi đó L(E) là một không gian vectơ với các phép cộng và nhân vô
hướng. Nếu dimE = n thì ta có dimL(E) = n
2
.

Ánh xạ hợp thành của 2 toán tử tuyến tính luôn tồn tại và lại là
một toán tử tuyến tính. Ta có thể coi việc lấy ánh xạ hợp thành như
là một phép nhân trong L(E).
Đặc biệt, ánh xạ đồng nhất id
E
là một toán tử tuyến tính có vai
trò như một phần tử đơn vị trong L(E).
Ngoài những tính chất chung của không gian các ánh xạ tuyến
tính, không gian các toán tử tuyến tính còn có những tính chất sau:
BỔ ĐỀ 1.1.1. Cho ϕ, ψ, µ là những toán tử tuyến tính của E và c ∈ K.
Ta có:
i) (ϕψ + ϕ)µ = ϕµ + ψµ
ii) ϕ(ψ + µ) = ϕψ + ϕµ
iii) c(ϕψ) = (cϕ)ψ = ϕ(cψ).
ĐỊNH LÝ 1.1.2. Không gian véc tơ L(E) là một vành có đơn vị.
BỔ ĐỀ 1.1.3. Cho ϕ là một toán tử tuyến tính của một không gian
vectơ hữu hạn sinh. Các điều kiện sau là tương đương:
6
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính
i) ϕ là một đơn ánh.
ii) ϕ là một toàn ánh.
iii) ϕ là một tự đẳng cấu.
Bây giờ ta sẽ xem ma trận của một toán tử tuyến tính thay đổi
như thế nào khi ta đổi cơ sở.
ĐỊNH LÝ 1.1.4. Cho S và T là hai cơ sở của không gian véc tơ E và
P là ma trận chuyển cơ sở từ S sang T . Nếu A và B là các ma trận
biểu diễn của toán tử tuyến tính ϕ của E theo các cơ sở S và T thì:
B = P
−1
AP.

ĐỊNH NGHĨA. Hai ma trận vuông A và B có cùng cấp được gọi là
đồng dạng (kí hiệu A ≈ B) nếu tồn tại một ma trận khả nghịch P
sao cho:
B = P
−1
AP.
BỔ ĐỀ 1.1.5. Hai ma trận vuông đồng dạng với nhau khi và chỉ khi
chúng là những ma trận của cùng một toán tử tuyến tính.
1.2 KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN
Cho E là một không gian vectơ hữu hạn trên trường K và ϕ là một
toán tử tuyến tính của E.
ĐỊNH NGHĨA. Một không gian con E

của E được gọi là một không
gian bất biến của ϕ nếu ϕ(E

)⊆ E

.
Nhận xét: E
0
= 0, E
1
= E là hai không gian con bất biến tầm
thường của ϕ.
BỔ ĐỀ 1.2.1. Không gian con E

của E là một không gian con bất biến
khi và chỉ khi ảnh của một hệ sinh của E


nằm trong E

.
BỔ ĐỀ 1.2.2. Cho E

là một không gian con của E với dimE

= r. Giả
sử S = {x
1
, x
2
, , x
n
} là một cơ sở của E sao cho R = {x
1
, , x
r
} là
một cơ sở của E

. Khi đó E

là một không gian bất biến của ϕ khi và
chỉ khi ma trận A của ϕ theo S có dạng:
A =

A

B

0 C

Tô Thị Lịch 7 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính
với A

là một ma trận vuông cấp r. Khi đó A

là một ma trận của ánh
xạ thu hẹp ϕ

của ϕ lên E

.
ĐỊNH LÝ 1.2.3. Giả sử E=E
1
⊕ E
2
⊕ ⊕ E
r
là tổng trực tiếp các
không gian bất biến E
1
, , E
r
. Cho S, S
1
, , S
r
là những cơ sở của

E, E
1
, , E
r
sao cho S là hợp của S
1
, , S
r
. Gọi A là ma trận của
toán tử tuyến tính ϕ theo S, gọi A
1
, , A
r
lần lượt là ma trận của các
ánh xạ thu hẹp của ϕ trên E
1
, , E
r
theo S
1
, , S
r
. Khi đó
A =











A
1
0 0
0 A
2
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 A
r











Một ma trận A có dạng như trên sẽ càng đơn giản nếu các ma
trận A
1
, , A
r
có cấp càng nhỏ. Như vậy là ta phải tìm một sự phân
tích E thành một tổng trực tiếp các không gian bất biến sao cho các
không gian này có số chiều nhỏ nhất có thể được.
Vấn đề trên dẫn đến việc tìm các không gian bất biến một chiều.
Cần phải nhớ lại rằng mọi không gian con một chiều của E đều được
sinh bởi một véc tơ x = 0 và được viết dưới dạng E
x
= {ax|a ∈ K}.
BỔ ĐỀ 1.2.4. E
x
là một không gian bất biến của toán tử tuyến tính ϕ
khi và chỉ khi tồn tại số c ∈ K sao cho ϕ(x) = cx.
ĐỊNH NGHĨA. Một số c ∈ K được gọi là một giá trị riêng của ϕ nếu
tồn tại véc tơ x = 0 của E sao cho ϕ(x) = cx. Véc tơ x được gọi là
một véc tơ riêng của ϕ.
Tập tất cả các giá trị riêng của ϕ được gọi là phổ của ϕ.
ĐỊNH NGHĨA. Một toán tử tuyến tính được gọi là chéo hóa được nếu
nó có thể biểu diễn được bởi một ma trận đường chéo.
ĐỊNH LÝ 1.2.5. Giả sử S = {x
1
, , x

n
} là một cơ sở của E. Ma trận
của toán tử tuyến tính ϕ đối với cơ sở S là một ma trận đường chéo
khi và chỉ khi x
1
, , x
n
là những vectơ riêng của ϕ. Khi đó các phần
tử trên đường chéo của ma trận là các giá trị riêng của x
1
, , x
n
.
Tô Thị Lịch 8 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính
ĐỊNH LÝ 1.2.6. Cho x
1
, , x
r
là các véc tơ riêng của toán tử tuyến
tính ϕ và c
1
, , c
r
là các giá trị riêng tương ứng. Nếu c
1
, , c
r
là hoàn
toàn khác nhau thì x

1
, , x
r
là độc lập tuyến tính.
HỆ QUẢ 1.2.7. Nếu dimE = n thì mỗi toán tử tuyến tính của E chỉ
có nhiều nhất n giá trị riêng phân biệt.
HỆ QUẢ 1.2.8. Nếu dimE = n và toán tử tuyến tính ϕ có n giá trị
riêng phân biệt thì ϕ chéo hóa được.
ĐỊNH NGHĨA. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Một số c ∈ K
được gọi là một giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại một véc tơ
khác không x ∈ K
n
sao cho Ax = cx. Véc tơ x gọi là véc tơ riêng của
A.
Tập hợp các giá trị riêng của A gọi là phổ của A.
A và ϕ có cùng tập các giá trị riêng và véc tơ riêng.
ĐỊNH NGHĨA. Ma trận A gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với
một ma trận đường chéo.
ĐỊNH LÝ 1.2.9. Cho A là một ma trận vuông cấp n.
i) Ma trận A là chéo hóa được khi và chỉ khi không gian véc tơ K
n
có một cơ sở gồm các véc tơ riêng của A.
ii) Nếu phổ của ma trận A có n giá trị riêng phân biệt thì A là
chéo hóa được.
1.3 ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG
Ta xét ma trận:
A − tI =











a
11
− t a
12
a
1n
a
21
a
22
− t a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
a
n1
a
n2
a
nn
− t










với t là một biến số. Đây là một ma trận trên vành các đa thức K[t].
Đặt:
f
A
(t) := |A −tI|.
Tô Thị Lịch 9 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính
ĐỊNH NGHĨA. f
A
(t) được gọi là đa thức đặc trưng của A.
Ta có thể tính đa thức đặc trưng một cách đơn giản như sau:
Theo định nghĩa của định thức thì f

A
(t) là một đa thức bậc n với
hệ số đầu là (−1)
n
. Giả sử:
f
A
(t) = (−1)
n
t
n
+ a
n−1
t
n−1
+ + c
0
.
Để tính hệ số a
n−r
của t
n−r
(r = 1, , n) ta cần xét các biểu thức có
dạng:
|A(i
1
, , i
r
; i
1

, , i
r
)|(a
i
r+1
i
r+1
− t) (a
i
n
i
n
− t),
trong đó 1 ≤ i
1
≤ ≤ i
r
≤ n là một dãy số tùy ý và i
r+1
, , i
n
là
dãy số nhận được từ dãy số 1, , n sau khi đã xóa đi các số i
1
, , i
r
.
Từ định nghĩa của định thức có thể thấy ngay rằng:
a
n−r

= (−1)
n−r

1≤i
1
≤ ≤i
r
≤n
|A(i
1
, , i
r
; i
1
, , i
r
)|.
Đặc biệt là ta có:
a
n−1
= (−1)
n−1
(a
11
+ + a
nn
)
a
0
= |A|.

Để thuận tiện người ta gọi một ma trận con dạng A(i
1
, , i
r
; i
1
, , i
r
)
là một ma trận con chính cấp r của A và định thức |A(i
1
, , i
r
; i
1
, , i
r
)|
là một định thức con chính cấp r của ma trận A. Như vậy là hệ số
a
n−r
của t
n−r
trong đa thức đặc trưng f
A
(t) chỉ phụ thuộc vào tổng
các định thức con chính cấp r của A. Người ta còn gọi tổng các phần
tử trên đường chéo chính là vết của ma trận A.
VÍ DỤ: Xét ma trận vuông
J :=









0 . . . c
0
1 0 . . c
1
. . . . .
. . . 0 .
0 . . 1 c
n−1








Tô Thị Lịch 10 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính
Khai triển định thức J theo cột cuối ta sẽ thấy |J| = (−1)
n−1
c
0

. Mọi
ma trận con chính cấp r (r = 1, , n − 1) của ma trận J khác ma
trận J(n − r + 1, , n; n − r + 1, , n) đều chứa một cột chỉ chứa
các số 0. Vì vậy định thức của những ma trận này bằng 0. Ma trận
J(n −r + 1, , n; n −r + 1, , n) là ma trận cũng có dạng như J. Vì
vậy:
|J(n −r + 1, , n; n − r + 1, , n)| = (−1)
r−1
c
n−r+1
.
Sử dụng công thức tính các hệ số của đa thức đặc trưng theo các định
thức con chính ta sẽ nhận được:
f
J
(t) = (−1)
n
(t
n
− c
n−1
t
n−1
− − c
0
).
Đa thức đặc trưng là một bất biến của các ma trận đồng dạng.
BỔ ĐỀ 1.3.1. f
A
(t) = f

B
(t) nếu A và B là hai ma trận đồng dạng.
HỆ QUẢ 1.3.2. Tổng các định thức con chính cấp r của hai ma trận
đồng dạng là như nhau, r = 1, 2, , n.
ĐỊNH NGHĨA. Cho E là một không gian véc tơ hữu hạn sinh và ϕ
là một toán tử tuyến tính của E. Đa thức đặc trưng của ϕ (ký hiệu
f
ϕ
(t)) là đa thức đặc trưng của một ma trận biểu diễn của ϕ.
Các kết quả về đa thức đặc trưng của ma trận đều có thể phát biểu
lại cho đa thức đặc trưng của toán tử tuyến tính.
Phổ của một ma trận có thể đặc trưng như sau:
ĐỊNH LÝ 1.3.3. Phổ của A là tập nghiệm trong K của đa thức đặc
trưng của A.
HỆ QUẢ 1.3.4. Mọi ma trận trên trường số phức đều có giá trị riêng
và véc tơ riêng.
HỆ QUẢ 1.3.5. Một ma trận vuông cấp n là chéo hóa được nếu đa thức
đặc trưng của nó có n nghiệm phân biệt.
ĐỊNH LÝ 1.3.6. (Cayley – Hamilton).
Cho A ∈ Mat(n, K) bất kỳ, f
A
(t) là đa thức đặc trưng của A.
Khi đó ta có:
f
A
(A) = 0.
Tô Thị Lịch 11 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính
CHỨNG MINH:
Xét ma trận D = (d

ij
), trong đó d
ij
là phần bù đại số của phần
tử ở vị trí (i, j) của ma trận A − tI(i, j = 1, , n). Khi đó theo tính
chất của ma trận phụ hợp ta có:
(A − It)D = f
A
(t)I.
Do d
ij
là những đa thức của t có bậc nhỏ hơn n nên ta có thể viết D
dưới dạng
D = D
0
+ D
1
t + + D
n−1
t
n−1
,
trong đó D
0
, D
1
, , D
n−1
là những ma trận cấp n với phần tử trong
K. Giả sử

f
A
)(t) = (−1)
n
(c
0
+ c
1
t + + c
n
t
n
).
Ta có
(A −tI)(D
0
+ D
1
t + + D
n−1
t
n−1
) = (−1)
n
(c
0
+ c
1
t + + c
n

t
n
)I.
Khai triển vế phải rồi so sánh các hệ số của các lũy thừa của t ở hai
vế ta nhận được các đẳng thức:
AD
0
= (−1)
n
c
0
I,
AD
1
− D
0
= (−1)
n
c
1
I,

AD
n−1
− D
n−2
= (−1)
n
c
n−1

I,
−D
n−1
= (−1)
n
c
n
I.
Nhân các đẳng thức trên lần lượt với I, A, , A
n
và cộng lại thì ta
thấy tổng các vế phải triệt tiêu còn tổng các vế trái chính là f
A
(A).
Do đó
f
A
(A) = (−1)
n
(c
0
I + c
1
A + + c
n−1
A
n−1
+ c
n
A

n
) = 0. 
Tô Thị Lịch 12 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính
1.4 TOÁN TỬ ĐA THỨC
Cho E là một không gian vectơ hữu hạn sinh trên trường K và ϕ
là một toán tử tuyến tính của E.
ĐỊNH NGHĨA. Các toán tử lũy thừa của ϕ là các toán tử tuyến tính:
ϕ
0
= id
E
, ϕ
r
= ϕ.ϕ
r−1
(r > 0).
Ứng với mỗi đa thức f = f(t) = c
0
+ c
1
t + + c
r
t
r
∈ K[t] ta có toán
tử đa thức
f(ϕ) = c
0
id

E
+ c
1
ϕ + + c
r
ϕ
r
.
Nhận xét: Phép nhân các toán tử đa thức thỏa mãn luật giao hoán
vì:
f(ϕ).g(ϕ) = f.g(ϕ) = g.f(ϕ) = g(ϕ).f(ϕ)
với mọi đa thức f, g ∈ K[t].
Một đa thức f ∈ K[t] có hệ số đầu bằng 1 được gọi là một đa thức
chuẩn hóa.
ĐỊNH NGHĨA. Đa thức cực tiểu của ϕ (ký hiệu là g
ϕ
) là đa thức chuẩn
hóa g ∈ K[t] có bậc nhỏ nhất sao cho g(ϕ) = 0.
Gọi E

là không gian con bất biến của ϕ; ϕ
1
, ϕ
2
lần lượt là toán tử
ϕ hạn chế lên E

và cảm sinh lên
E
/

E

. Người ta gọi đa thức cực tiểu
của ϕ
1
và ϕ
2
là đa thức cực tiểu của E

và
E
/
E

.
BỔ ĐỀ 1.4.1. Nếu f ∈ K[t] là một đa thức thỏa mãn điều kiện f(ϕ) =
0 thì g
ϕ
là ước của f.
HỆ QUẢ 1.4.2. Đa thức cực tiểu của E

và
E
/
E

là ước của g
ϕ
.
ĐỊNH NGHĨA. Cho A là ma trận vuông cấp n. Đa thức cực tiểu của

A (kí hiệu là g
A
) là đa thức chuẩn hóa f ∈ K[t] có bậc nhỏ nhất sao
cho f(A) = 0.
BỔ ĐỀ 1.4.3. Giả sử A là một ma trận của toán tử tuyến tính ϕ. Ta
có:
i) f(A) là ma trận của toán tử đa thức f(ϕ), với mọi đa thức f ∈
K[t].
ii) g
A
= g
ϕ
.
Tô Thị Lịch 13 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính
HỆ QUẢ 1.4.4. i) Đa thức cực tiểu một ma trận (hay của một toán tử
tuyến tính) là ước của đa thức đặc trưng.
ii) Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức cực tiểu.
ĐỊNH NGHĨA. Với mỗi đa thức f ∈ K[t], ta đặt H(f) := kerf(ϕ).
BỔ ĐỀ 1.4.5. Cho f ∈ K[t] một đa thức tùy ý.
i) H(f) là một không gian bất biến.
ii) f là đa thức cực tiểu của H(f) nếu f là một đa thức chuẩn hóa
và là ước của g
ϕ
.
BỔ ĐỀ 1.4.6. Nếu f
1
, f
2
∈ K[t] là hai đa thức nguyên tố cùng nhau

thì
H(f
1
.f
2
) = H(f
1
) ⊕ H(f
2
).
CHỨNG MINH:
Do (f
1
, f
2
) = 1 nên tồn tại các đa thức g
1
, g
2
∈ K[t] sao cho
1 = f
1
g
1
+ f
2
g
2
.
Suy ra:

id
E
= (f
1
g
1
+ f
2
g
2
)(ϕ). (1.1)
Đặt:
x
1
= (f
1
g
1
)(ϕ(x)), x
2
= (f
2
g
2
)(ϕ(x)), với mọi x ∈ E
Ta có:
x = id
E
(x) = (f
1

g
1
+ f
2
g
2
)(ϕ(x)) (theo (1.1))
= (f
1
g
1
)(ϕ(x)) + (fg)(ϕ(x)) = x
1
+ x
2
.
Mặt khác: do H(f
1
.f
2
) ⊂ E nên với mọi x ∈ H(f
1
f
2
) thì x = x
1
+x
2
.
Ta có:

f
2
(ϕ)(x
1
) = f
2
(ϕ)[(f
1
g
1
)ϕ(x)] = f
2
(f
1
g
1
)ϕ(x)
= g
1
(f
1
f
2
(ϕ(x))) = g
(θ)
= (θ).
Tô Thị Lịch 14 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính
Do đó: x
1

∈ H(f
2
).
Tương tự, ta có:
x
2
∈ H(f
1
).
Vậy với mọi x ∈ H(f
1
f
2
) thì x = x
1
+x
2
, với x
1
∈ H(f
2
), x
2
∈ H(f
1
).
Suy ra H(f
1
f
2

) = H(f
1
) + H(f
2
).
Ta đi chứng minh:
H(f
1
) ∩ H(f
2
) = 0.
Thật vậy: Lấy x ∈ H(f
1
) ∩ H(f
2
), ta được:







x ∈ H(f
1
)
x ∈ H(f
2
)
Suy ra: f

1
(ϕ)(x) = 0 và f
2
(ϕ)(x) = 0. Dẫn đến x
1
= 0 và x
2
= 0. Do
x ∈ H(f
1
) ∩ H(f
2
) nên
x ∈ H(f
1
) + H(f
2
) = H(f
1
f
2
).
Suy ra: tồn tại x ∈ H(f
1
), x ∈ H(f
2
) sao cho
x = x
1
+ x

2
.
Vì thế x = 0 hay H(f
1
) ∩ H(f
2
) = 0. Vậy:
H(f
1
.f
2
) = H(f
1
) ⊕ H(f
2
). 
ĐỊNH LÝ 1.4.7. Giả sử g
ϕ
= g
p
1
1
g
p
r
r
, với g
1
, g
2

, , g
r
là những đa thức
bất khả quy khác nhau. Ta có:
E = H(g
p
1
1
) ⊕ ⊕ H(g
p
r
r
). (1)
CHỨNG MINH:
Do g
ϕ
(ϕ(x)) = 0, với mọi x ∈ E nên E = H(g
ϕ
). Ta chứng minh
định lý bằng phương pháp quy nạp theo r:
Nếu r = 1 thì công thức (1) là hiển nhiên. Giả sử (1) đúng với
r = k, nghĩa là nếu g
ϕ
= g
p
1
1
g
p
k

k
thì
E = H(g
p
1
1
) ⊕ ⊕ H(g
p
k
k
).
Tô Thị Lịch 15 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính
Ta cần chứng minh (1) đúng với r = k + 1. Thật vậy: Giả sử
g
ϕ
= g
p
1
1
g
p
k
k
g
p
k+1
k+1
ta có
E = H(g

p
1
1
g
p
k
k
g
p
k+1
k+1
) = H(g
p
1
1
g
p
k
k
) ⊕ H(g
p
k+1
k+1
) (theo 1.4.3)
= E = H(g
p
1
1
) ⊕ ⊕ H(g
p

r
r
).
Vậy (1) đúng với r = k + 1. Nên (1) đúng với r ∈ N. 
1.5 BÀI TẬP
Bài 1.1. Chứng minh rằng nếu ϕ và ψ là hai toán tử tuyến tính của
E thỏa mãn điều kiện ϕψ = id
E
thì ψ là một tự đẳng cấu của E và
ϕ là toán tử nghịch đảo của ψ.
Bài 1.2. Cho A và B là hai ma trận đồng dạng. Giả sử A là một
ma trận khả nghịch. Chứng minh rằng B cũng là một ma trận khả
nghịch và A
−1
đồng dạng với B
−1
.
Bài 1.3. Cho E

là một không gian bất biến của toán tử tuyến tính
ϕ và ϕ

là ánh xạ thu hẹp của ϕ trên E. Chứng minh rằng mọi không
gian bất bến của ϕ

cũng là không gian bất biến của ϕ.
Bài 1.4. Tập hợp tất cả các véc tơ riêng của cùng một giá trị riêng
có lập nên một không gian véc tơ không?
Bài 1.5. Chứng minh rằng hai ma trận đồng dạng với nhau có cùng
tập các giá trị riêng.

Bài 1.6. Cho A là một ma trận cấp số lẻ trên trường số thực. Chứng
minh rằng A có ít nhất một giá trị riêng là số thực.
Bài 1.7. Cho E

là một không gian bất biến của ϕ. Chứng minh
rằng E

cũng là một không gian bất biến của f(ϕ) với mọi đa thức
f ∈ K[t].
Bài 1.8. Cho E
1
và E
2
là hai không gian bất biến. Chứng minh rằng
đa thức cực tiểu của E
1
⊕ E
2
là bội số chung nhỏ nhất của các đa
thức cực tiểu của E
1
và E
2
.
Tô Thị Lịch 16 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2
Chương 2
KHÔNG GIAN XÍCH
2.1 KHÔNG GIAN XÍCH
Cho E là một không gian vectơ hữu hạn sinh và ϕ là một toán tử
tuyến tính của E. Với mọi vectơ x ∈ E, ta đặt:

E(x) := {f(ϕ)(x)/f(t) ∈ K[t]}.
Có thể hiểu E(x) là tập hợp các vectơ được sinh ra từ duy nhất
một vectơ x bởi các phép cộng, nhân vô hướng và toán tử ϕ.
BỔ ĐỀ 2.1.1. E(x) là không gian bất biến nhỏ nhất của E chứa x.
CHỨNG MINH:
Với mọi đa thức f, g ∈ K[t] và c ∈ K, ta thấy:
f(ϕ)(x) + g(ϕ)(x) = (f + g)(ϕ)(x) ∈ E(x),
cf(ϕ)(x) = (cf)(ϕ)(x) ∈ E(x).
Do đó E(x) là không gian con của E. Đây là một không gian bất biến
vì
ϕ(f(ϕ)(x)) = [ϕ.f(ϕ)](x) = (tf)(ϕ)(x) ∈ E(x), ∀f(ϕ)(x) ∈ E(x).
17
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính
Nếu E

là một không gian con bất biến của ϕ chứa x thì
ϕ
k
(x) ∈ E

, ∀k ≥ 0.
Do toán tử đa thức f(ϕ) là một tổ hợp tuyến tính các toán tử lũy
thừa ϕ
k
nên f(ϕ)(x) cũng là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ
ϕ
k
(x). Vì vậy f(ϕ)(x) ∈ E

. Do đó E(x) ⊆ E


. 
HỆ QUẢ 2.1.2. E(x) là giao của mọi không gian con bất biến của ϕ
chứa x.
CHỨNG MINH:
Theo bổ đề 2.1.1, E(x) là không gian bất biến nhỏ nhất của ϕ chứa
x. Do vậy, E(x) là giao của mọi không gian con bất biến của ϕ chứa
x. 
ĐỊNH NGHĨA. Một không gian con E

của E được gọi là một không
gian xích (của ϕ) nếu E

= E(x) với một vectơ x nào đó thuộc E.
Khi đó x được gọi là một phần tử sinh của E

.
Từ đây trở đi ta luôn quy ước khi nói tới một không gian xích là
nói tới không gian xích của ϕ.
VÍ DỤ:
1. Nếu υ ∈ E là véc tơ riêng của ϕ, thì không gian xích sinh bởi υ
chính là Kυ.
2. Cho π : K
n
−→ K
n
là phép chiếu lên m < n thành phần đầu,
tức là
π(x
1

, , x
n
) = (x
1
, , x
m
, 0, , 0).
Cho υ = (x
1
, , x
n
).Giả sử hai véc tơ υ
1
= (x
1
, , x
m
, 0, , 0) và
υ
2
= (0, , 0, x
m+1
, , x
n
) đều khác 0. Khi đó Z(υ) = K(υ
1
+ K(υ
2
),
còn Z(υ

1
) = K(υ
1
), Z(υ
2
) = K(υ
2
).
BỔ ĐỀ 2.1.3. Đa thức cực tiểu g của không gian xích E(x) có các tính
chất:
i) g là ước của mọi đa thức h ∈ K[t] thỏa mãn tính chất
h(ϕ)(x) = 0.
ii) deg(g) = dimE(x).
Tô Thị Lịch 18 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính
CHỨNG MINH:
i). Với mọi f(ϕ)(x) ∈ E(x), ta có
h(ϕ)(f(ϕ)(x)) = f(ϕ)(h(ϕ)(x)) = f(ϕ)(0).
Theo bổ đề 1.4.1 thì h phải là bội của g.
ii). Đặt deg(g) = m. Với mọi đa thức f ∈ K[t], theo thuật toán
Euclide, ta có:
f = hg + r, với deg(r) < deg(g) = m.
Do đó
f(ϕ)(x) = (hg)(ϕ)(x) + r(ϕ)(x) = h(ϕ)(g(ϕ)(x)) + r(ϕ)(x),
suy ra
f(ϕ)(x) = r(ϕ)(x).
Nên f(ϕ)(x) là tổ hợp tuyến tính của các vectơ x, ϕ(x), , ϕ
m−1
(x).
Vì thế

dimE(x) ≤ m.
Nếu dimE(x) < m, thì ta có một hệ thức tuyến tính không tầm
thường:
c
0
x + c
1
ϕ(x) + + c
m−1
(x) = 0.
Đặt h(t) = c
0
+ c
1
t + + c
m−1
t
m−1
.
Do h(ϕ(x) = 0 nên g là ước của h. Điều này vô lý vì
deg(h) < deg(g) = m.
Do vậy dimE(x) = m = deg(g). 
HỆ QUẢ 2.1.4. Cho x ∈ E là một vectơ tùy ý và g là đa thức cực tiểu
của E(x), h là một đa thức tùy ý trong K[t]. Ta có:
i) h(ϕ)[E(x)] là một không gian xích.
ii) h(ϕ)[E(x)] có đa thức cực tiểu là g : d với d là ước chung lớn
nhất của g và h.
iii) h(ϕ)[E(x)] = E(x), nếu g và h là nguyên tố cùng nhau.
Tô Thị Lịch 19 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính

CHỨNG MINH:
i) Với mọi đa thức f ∈ K[t], ta có: h(ϕ)(f(ϕ)(x)) = f(ϕ)(h(ϕ)(x)).
Suy ra
h(ϕ)[E(x)] = E(h(ϕ)(x)).
Hay h(ϕ)[E(x)] là một không gian xích.
ii) Giả sử g = dg
1
, h = dh
1
. Do d là ước chung lớn nhất của g và
h nên g
1
và h
1
nguyên tố cùng nhau. Ta có thể tìm thấy các đa thức
p, q sao cho
1 = pg
1
+ qh
1
.
Gọi g
2
là đa thức cực tiểu của h(ϕ)[E(x)]. Ta có:
(g
2
h)(ϕ)(x) = g
2
(ϕ)(h(ϕ)(x)) = 0.
Theo định nghĩa của đa thức cực tiểu thì g là ước của g

2
h hay dg
1
là
ước của g
2
dh
1
nên g
1
là ước của g
2
h
1
. Từ 1 = pg
1
+ qh
1
, suy ra:
g
2
= pg
2
g
1
+ qg
2
h
1
.

Do vậy g
1
là ước của g
2
. (1)
Mặt khác ta có:
g
1
(ϕ)[h(ϕ)(x)] = (g
2
h)(ϕ)(x) = (g
1
dh
1
)(ϕ)(x) = (h
1
g)(ϕ)(x)
= h
1
(ϕ)(g(ϕ)(x)) = h
1
(ϕ)(0) = 0
tức
g
1
(ϕ)[h(ϕ)(x)] = 0.
Mà g
2
là đa thức cực tiểu của h(ϕ)[E(x)]. Suy ra g
2

là ước của g
1
.(2)
Từ (1) và (2) suy ra g
1
= g
2
. Do đó g = dg
1
= dg
2
. Suy ra g
2
= g : d.
Vậy h(ϕ)[E(x)] có đa thức cực tiểu là g : d.
iii) Do (h, g) = 1 nên theo (ii), g là đa thức cực tiểu của h(ϕ)[E(x)].
Do đó, theo bổ đề 2.1.3. ii) ta có:
dim h(ϕ) [E(x)] = deg g = dim E(x).
Tô Thị Lịch 20 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính
Mà
h(ϕ) [E(x)] = E(h(ϕ)(x))
= {f
1
(ϕ)(h(ϕ)(x) = (f
1
h)(ϕ)(x)} , với f
1
, h ∈ K [t] .
Nên h(ϕ) [E(x)] ⊆ E(x).

Từ E hữu hạn suy ra E(x) hữu hạn. Do vậy
h(ϕ) [E(x)] = E(x). 
BỔ ĐỀ 2.1.5. Nếu f, g là hai đa thức cực tiểu của E(x
1
) và E(x
2
) thì
đa thức cực tiểu của E(x
1
) ∩E(x
2
) là ước chung lớn nhất của f và g.
CHỨNG MINH:
Gọi h là đa thức cực tiểu của E(x
1
) ∩ E(x
2
). Ta suy ra:
x ∈ E(x
1
) và x ∈ E(x
1
).
Do đó
f(ϕ)(x) = 0 và g(ϕ)(x) = 0.
Theo bổ đề 1.4.1 thì h là ước chung lớn nhất của f và g. 
MỆNH ĐỀ 2.1.6. E(x) = E(y) khi và chỉ khi tồn tại một đa thức f
nguyên tố cùng nhau với đa thức cực tiểu của E(x) sao cho
y = f(ϕ)(x).
CHỨNG MINH:

Điều kiện cần: Giả sử E(x) = E(y), x, y ∈ E. Gọi đa thức cực
tiểu của E(x) là g. Vì
y ∈ E(y) = E(x) = {f(ϕ)(x)/f(t) ∈ K [t]} , nên y = f(ϕ)(x).
Suy ra
E(x) = E(y) = E(f(ϕ)(x)) = f(ϕ)(E(x)) (theo hệ quả 2.1.4(i)).
Tô Thị Lịch 21 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính
Mà f(ϕ) [E(x)] có đa thức cực tiểu là g : d với d = (g, f) (theo hệ
quả 2.1.4(ii)), và E(x) có đa thức cực tiểu là g.
Suy ra g = g : d. Do đó d = 1 = (g, f). Hay g, f nguyên tố cùng
nhau.
Điều kiện đủ: Giả sử có đa thức f nguyên tố cùng nhau với đa
thức cực tiểu g của E(x) sao cho y = f(ϕ)(x).
Ta đi chứng minh E(x) = E(y). Thật vậy, ta có
E(y) = E(f(ϕ)(x)) = f(ϕ)[E(x)].
Do (f, g) = 1 nên theo Hệ quả 2.1.4 (iii) thì f(ϕ)[E(x)] = e(x).
Do vậy E(x) = E(y). 
ĐỊNH LÝ 2.1.7. Tổng của hai không gian xích có các đa thức cực tiểu
nguyên tố cùng nhau là một tổng trực tiếp và cũng là không gian xích.
CHỨNG MINH:
Giả sử hai không gian xích E(x
1
), E(x
2
) có đa thức cực tiểu lần
lượt là f, g trong đó f, g nguyên tố cùng nhau.
Theo bổ đề 2.1.5, ta có E(x
1
) ∩E(x
2

) có đa thức cực tiểu là ước
chung lớn nhất của f và g. Nên đa thức cực tiểu của E(x
1
) ∩ E(x
2
)
là 1. Suy ra:
E(x
1
) ∩ E(x
2
) = (0). (1)
Đặt x = x
1
+ x
2
. Do x
1
∈ E(x
1
), x
2
∈ E(x
2
), suy ra:
x ∈ E(x
1
) + E(x
2
).

Nên E(x) ⊆ E(x
1
) + E(x
2
).
Lại do f, g nguyên tố cùng nhau nên tồn tại các đa thức p, q ∈ K[t]
sao cho
pf + qg = 1.
Suy ra: id
E
= (pf + qg)(ϕ) = p(ϕ).f(ϕ) + q(ϕ).g(ϕ).
Nên
x
1
= id
E
(x
1
) = p(ϕ)(f(ϕ)(x
1
)) + q(ϕ)(g(ϕ)(x
1
)) = q(ϕ)(g(ϕ)(x
1
))
(do f(ϕ)(x
1
) = 0).
Tô Thị Lịch 22 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc toán tử tuyến tính

Suy ra
x
1
= q(ϕ)g(ϕ)(x − x
2
) = q(ϕ).g(ϕ)(x) − q(ϕ).g(ϕ)(x
2
)
= q(ϕ).g(ϕ)(x) ∈ E(x).
Tương tự x
2
∈ E(x). Vậy với mọi x
1
∈ E(x
1
), x
2
∈ E(x
2
), ta có
x
1
+ x
2
∈ E(x).
Suy ra E(x
1
) + E(x
2
) ⊆ E(x).

Do vậy E(x) = E(x
1
) + E(x
2
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: E(x) = E(x
1
) ⊕ E(x
2
). 
ĐỊNH LÝ 2.1.8. Giả sử dimE = n, thế thì E là không gian xích khi và
chỉ khi E có cơ sở x
1
, x
2
, , x
n
thỏa mãn điều kiện ϕ(x
i
) = x
i+1
,với
i = 1, 2, , n − 1.
CHỨNG MINH:
Điều kiện cần: Giả sử dimE = n, E là không gian xích: E = E(x).
Từ đó ta xây dựng hệ x
1
, x
2
, , x

n
như sau:
x
1
= x
1
,
x
2
= ϕ (x
1
) ,

x
n
= ϕ (x
n−1
) .
Ta cần chứng minh {x
1
, x
2
, , x
n
} là cơ sở của E.
Thật vậy: Giả sử hệ {x
1
, x
2
, , x

n
} phụ thuộc tuyến tính.
Khi đó hệ {id
E
(x
1
), ϕ(x
1
), , ϕ(x
n−1
)} phụ thuộc tuyến tính.
Hay hệ

id
E
(x
1
), ϕ(x
1
), , ϕ
n−1
(x
1
)

phụ thuộc tuyến tính.
Suy ra: dimE < n. Điều này vô lý vì dimE = n.
Do đó hệ {x
1
, x

2
, , x
n
} độc lập tuyến tính. Vậy hệ {x
1
, x
2
, , x
n
} là
cơ sở của E.
Điều kiện đủ: Giả sử E có cơ sở {x
1
, x
2
, , x
n
}, thỏa mãn điều
Tô Thị Lịch 23 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2