TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
===®^C3G3===
NGUYỄN THỊ MAI LAN
■
PHÉP NGHỊCH ĐẢO
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
• • • •
Chuyên ngành: Hình học
Người hướng dẫn khoa học GV. BÙI VĂN BÌNH
HÀ NỘI - 2014
Trong quá trình thực hiện khoá luận em đã nhận được nhiều sự giúp đỡ quý báu
và bổ ích từ các thầy cô và bạn bè. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa
Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tâm giảng dạy, truyền thụ kiến thức và
kinh nghiệm quý báu để em hoàn thành tốt khoá học. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm
ơn sâu sắc của mình tới thầy Bùi Văn Bình, thầy đã trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình giúp đỡ
và chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khoá luận.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học - khoa Toán, thư viện nhà
trường, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện, động viên, giúp đỡ để em hoàn thành
khoá luận này.
Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2014 Sinh viên
Nguyễn Thị Mai Lan
Tôi cam đoan khoá luận “Phép nghịch đảo ” là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự
hướng dẫn của thầy Bùi Văn Bình .
Tôi xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong khoá luận này không trùng với kết
quả của bất cứ tác giả nào khác. Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2014 Sinh viên
Nguyễn Thị Mai Lan
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1. Lí do chon đề tài

■
Hình học là môn học hấp dẫn, thu hút nhiều học sinh yêu thích môn
toán. Việc giải các bài tập tìm ra những cách giải hay, độc đáo, sẽ phát huy
tính sáng tạo và niềm say mê với môn học. Mỗi bài tập hình học có thể giải
bằng nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp tổng hợp, phương pháp
vectơ, phương pháp tọa độ và phương pháp biến hình.
Trong đó, ở nhiều trường hợp phép biến hình là công cụ hữu hiệu cho
phép giải toán hợp lí và ngắn gọn hơn trong việc giải các lớp bài toán hình
học như: bài toán chứng minh, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình và bài
toán tính toán.
Trong chương trình THPT một số phép biến hình đã được đưa vào
giảng dạy như : phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép
tịnh tiến, phép vị tự, phép đồng dạng tuy nhiên phép nghịch đảo cũng là một
phép biến hình nhưng lại không được đề cập đến. Hầu như các bài áp dụng
phép nghịch đảo là các bài toán hay, các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia,
quốc tế. Việc sử dụng phép nghịch đảo để giải quyết các bài toán hình học
nhiều khi rất cần thiết. Đặc biệt trong nhiều bài toán, nhiều khi không dùng
phép nghịch đảo thì việc tìm một lời giải trở nên gặp rất nhiều khó khăn cho
người học toán.
Phép nghịch đảo là một công cụ quan trọng trong hình học, nó xuất
hiện như một điều tất yếu của sự phát triển tư duy toán học - tư duy biến
hình. Trong mỗi bài toán có sử dụng phép nghịch đảo để giải quyết thì phép
nghịch đảo là một mắt xích quan ừọng, một định hướng thông suốt trong
quá trình tư duy. Ngoài ra, phép nghịch đảo với các tính chất khác biệt của
nó đưa đến hướng giải quyết mới trong việc giải một số lớp bài toán của
hình học.
Với những lý do trên chúng tôi lựa chọn đề tài “Phép nghịch đảo” để
thực hiện khóa luận tốt nghiệp Đại học.
4
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo và ứng dụng
của nó trong việc giải các lớp bài toán hình học.
Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện thể hiện
việc sử dụng phép nghịch đảo vào giải các lớp bài toán hình học.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo Phạm vi nghiên cứu: ứng
dụng của phép nghịch đảo trong việc giải các lớp bài toán hình học
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng họp, đánh giá.
Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề và các tài liệu tham
khảo có liên quan.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khóa luận gồm hai chương:
Chương 1 : Phép nghịch đảo
Chương 2 : Phép nghịch đảo và ứng dụng trong việc giải các lớp bài
toán hình học.
CHƯƠNG 1 : PHÉP NGHỊCH ĐẢO
1.1. Định nghĩa
1.1.1 Không gian bảo giác
Không gian bảo giác E
n
( n = 2,3) bổ sung phần tử {oo} ( điểm vô
cực) đuợc gọi là không gian bảo giác B"
Quy uớc: Trong không gian B
n
mỗi đuờng thẳng hay mặt phẳng đều đi qua
{oo}.
1.1.2 Phép nghịch đảo
Trong không gian bảo giác B
n

cho điểm o ( ^ 00) cố định và số thực k
Ỷ 0. Phép biến hình trong không gian B
n
biến :
M —>M' = N (M)
Nếu M = o thì M' = 00 Nếu M = 00 thì M' = o
5
Nếu M Ể {o, oo| thì nằm trên OM và OM'. OM= k đuợc gọi là phép
nghịch đảo cực o, phuơng tích k.
Kí hiệu: NQ hoặc N(0, k)
Nhận xét: N(0, k) = Xo = N(0, -k) trong đó Xo là phép đối xứng tâm o.
1.2Tính chất
1.2.1 Tính chất 1
Phép nghịch đảo là phép biển hình đối hợp: N
2
là phép đồng nhất.
Thật vậy, với V Mta có:
Nq(M) = M* •e3
>
ỠM.CjM
7
= k <=>ỠM\ỠM= k <=>Nq(M') = M Hay
(Nq°Nq)=(M) = Nq(Nq(M) ) = Nq(M') = M
1.2.2 Tính chất 2
Nếu NQ(M) = M'thì 0,M,M'thẳng hàng. (hiển nhiên theo định nghĩa)
Nếu M,0,Nkhông thẳng hàng và Nq(M) = M
7
, Nq(7V,) = N' thì
tứ giác MMN'N là tứ giác nội tiếp.
Thật vậy:

Vì NQ(M) = M', NQ (N) = N' nên ta có ÕM.QM'= k
=> Bốn điểm M, N, M', N' cùng thuộc một đuờng tròn hay tứ giác
MMTSTNlà tứ giác nội tiếp.
1.2.3 Tính chất 3
Nếu phuơng tích nghịch đảo k > 0 thì phép nghịch đảo NQ có tập
các điểm bất động là siêu cầu tâm o, bán kính là Vk ( g ọ i là siêu cầu
nghịch đảo)
Nếu phuơng tích nghịch đảo k< 0 thì phép nghịch đảo không có điểm bất
động.
Thật vậy:
Điểm M bất động qua phép nghịch đảo NQ <=> Nq(M) = M<=>OM
2
= k
Nếuk > 0 thì Me
Nếu k < 0 thì không có điểm bất động nào
1.3Định lí
6
1.3.1 Đinh ỉỉl
Cho hai điểm M, N và ảnh M', N
7
của chúng qua phép nghịch đảo Nq.
ĐỘ dài của MN và MTM' liên hệ bởi công thức sau:
|k|.MN
MTST' =
OM.ON
Thật vậy:
ìSs Truông hợp o, M, N không thẳng hàng Theo tính chất 2 ta có tứ
giác MMT^TN nội tiếp nên
AOMN-AONM
s

MTST_ OM_ OM'.OM_ |k|
yra
MN ON
ON.OM OM.ON
IkLMN
Hay MTST'=
OM.ON
^Truông hợp o, M, N thẳng hàng
_ _____ __ ___ ỵ k (OM-ONÌ kNM
Ta có : MTSr= ON- OM'=
=
L-=L=k.^===U = =E£EL
ON OM OM.ON OM.ON
Lấy tri tuyêt đối hai vế ta có : MTSÍ'=
OM.ON
Nhân xét:
m
Nếu qua phép nghịch đảo Nq, siêu càu (Ci) = ( Oi,R) biến
ứiàĩih siêu cầu (C2) = ( 0
2
,R) thì:
R
IU=lk|
OO^-R^
Chứng mình:
7
1 _
=|
Gọi MN là đường kính của (Ci) mà o eMN và M, N
1

thứ tự là ảnh
của M, N qua Nq .
8
1.3.2. Đinh lí 2
Cho phép nghịch đảo Nq, k > 0 của không gian B
n
. Hai điểm
M, M' tuơng ứng với nhau qua phép nghịch đảo Nq khỉ và chỉ khỉ qua
M và M' có n siêu cầu trực giao với siêu cầu nghịch đảo.
Chứng minh
Ta chứng minh định lí ừong không gian B
2
, trong không gian B
3

tiến hành tương tự
(=>) Giả sử M và M' tương ứng nhau qua phép nghịch đảo NQ , k
> 0 của không gian B
2
. Ta phải chứng minh hai đuờng ừong (Ci), (C
2
)
trực giao với siêu cầu nghịch đảo (C) = (o, Vk)
(C
2
) = (MTST)
R
R
2
=|k|

o
_o
OOị+
=|
|k|.MN
OM.O
N
Gọi (C) là đường tròn bất kì qua M, M'.
Ta có ^0/(0 = ÕM.ÕĨV? (1)
Mặt khác : Nk(M) = M' <» OM . OM' = k (2)
Từ (1) và (2) ta có 0/(C) = ÕM.ÕĨVr =(^)
2
=> (C) trực
giao với (C)
Do qua M, M' có vô số đường ừòn nên có hai đường tròn (Ci), (C
2
) trực giao
với siêu càu nghịch đảo (C) = (o, Vk)
(<=) Giả sử có hai đường ừòn qua M,M' trực giao với siêu càu nghịch
đảo là (Ci), (C
2
).
Khi đó o nằm trên trục đẳng phuơng MM'của (Ci), (C2)
^0/(Ci) = ẩP 0/(C
2
) = ÕM.ÕM
7
=(>/k)
2
= k

Suy ra M, M' tuơng ứng nhau qua phép nghịch đảo NQ , k > 0
1.3.3. Đinh lí 3
Phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa hai đuờng cong nhưng làm ngược
hướng của hình.
Chứng mình
Để chứng minh định lí 1.3.3 tà chứng minh bổ đề sau đây:
Bổ đề : Trong không gian B
n
, phép nghịch đảo Nghiến đường
cong (C) thành đường cong (C). Nếu A, A' là hai điểm tương ứng trên (C),
(C) và tại đó có các tiếp tuyến thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua
đường trung trực của AA'.
1
Chứng minh bổ đề
M', A' cùng thuộc một đường tròn (K), khi M dần tới A thì M' dần tới A'và
cát tuyến AM dần đến tiếp tuyến At, cát tuyến AM dần đến tiếp tuyến A't',
đường ừòn (K) dần tới đường tròn (K
0
).
Khi M = A thì At, A't' cũng là các tiếp tuyến của đường tròn (Ko), do đó
chúng đối xứng nhau qua đường trung trực của AA'.
Chứng minh định lí
Giả sử CÓ hai đường cong (C) VÀ (D) CẮT nhau Ở A, qua NQ biến
thành hai đường cong tương ứng (C), (D
1
) cắt nhau tại A' = Nq (A)
1
Theo bổ đề trên thì các tiếp tuyến At và A't'đối xứng nhau qua đường
trung trực của AA', các tiếp tuyến Au và Au' cũng đối xứng nhay qua đường
trung trực AA'.

Theo phép đối xứng trục ta có:
(At,Au) = - (A't\ Au')
Do đó phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa hai đường cong và làm ngược
hướng của mình.
1.3.4Đinh lí 4 »
Phép nghịch đảo biển siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo thành
siêu cầu đi qua cực nghịch đảo và biển siêu cầu đi qua cực nghịch đảo
thành siêu phang không đi qua cực nghịch đảo.
Chứng minh:
Ta chứng minh trong B
2
. Việc chứng minh trong B
3
hoàn toàn tương
tự.
Trong B
2
ta chứng minh phép nghịch đảo biến đường thẳng không đi
qua cực nghịch đảo thành đường ừòn đi qua cực nghịch đảo.
Giả sử trong B
2
có phép nghịch đảo No và d là đường thẳng nào đó
không đi qua o
Hạ OH _L d, H ed, H'= N£)(H)
Xét M bất kì thuộc d và M = NQ (M)
1
Khi đó ÕM.ÕĨVf= ÕRÕH =k => Tứ giác MMNH là tứ
giác nội tiếp.
=>( HM, MM) = (HH, MH) = 90°
Do OH

1
cố định => M nằm trên đường tròn đường kính
Ngược lại, Lấy điểm N' bất kì ừên đường tròn đường kính OH,
N = NQ (N
1
), tương tự như trên ta có:
(NH, NN) = (NH, HH
1
) = 90° =^OH _LHN ^ N e d Vậy Nq((1) =
(OK)
Do tính chất: Phép nghịch đảo là phép biến hình đối hợp nên
phép nghịch đảo biến đường tròn đi qua cực nghịch đảo thành đường
thẳng không đi qua cực nghịch đảo.
1.3.5 Đinh lí 5
Phép nghịch đảo biến siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo
thành siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo.
Chứng minh:
Ta chứng minh trong B
2
trong B
3
tiến hành tương tự:
Giả sử cho phép nghịch đảo No và (C) là đường tròn không đi qua
o. (C) có tâm I, OI cắt (C) tại A, B.
Gọi A',B' thứ tự là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo NQ và
1
(C) là đường tròn đường kính AB'. Ta chứng minh (C) = NQ(C).
- Với V M e(C), M= NQ(M)
Nếu M =A hoặc B thì M trùng A'hoặc B'tức M e( AT3').
Nếu M Ể {A,B} thì tó giác AMMA' là tứ giác nội tiếp.

=>AMO = AAM
Tứ giác BMMB'nội tiếp ^>A'BM= BMM Do M
G(C) =^AMB= 90° tức là M e(C). (1)
Với VNeíC) đều có A, B là ảnh của A',B' qua phép nghịch đảo NQ.
=>N = NQ (N
1
) nằm trên đường tròn đường kính AB Vậy V N*
e(C) đều có N e(C) sao cho N^(N) = N'. (2)
Từ (1) và (2) suy ra (C) = NQ(C).
Hệ quả:
Các siêu cầu có tính chất: Phương tích của cực nghịch đảo đối với nó
bằng phương tích nghịch đảo là hình kép.
1.3.6. Đinh lí 6:
- Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực NqVỒ NQ là phép vị tự
ỉ k'
tâm o, tỉ số
k
Chứng minh:
Giả sử NQVầ NQ là hai phép nghịch đảo cùng cực của không gian B"
(n = 2,3) bất kỳ.
Xét điểm M = Nq(M), M'=Nq(M). Khi đó ta có:
ÕM.CM= k, ÕM\ÕM'= k'
=> OM = ^ OM hay M" = yk (M).
ỵ
Do bất kỳ trong không gian B
n
=> NQ ° NQ= .
1
- Tích của hai phép nghịch đảo không cùng cực phương tích dương cỏ thể
phân tích một cách duy nhất thành tích của một phép đổi xứng qua siêu

phẳng và một phép nghịch đảo hoặc một phép nghịch đảo và một phép đối
xứng qua siêu phẳng mà siêu phẳng đổi xứng là siêu phẳng đẳng phương
của hai siêu cầu nghịch đảo.
Chứng minh:
Chứng minh định lí trong không gian B
2
, trong B
3
tiến hành chứng
minh tương tự.
Trong E
2
xét phép nghịch đảo Nq,Nq,, к , k' > 0 và (C), (ơ) là
hai siêu cầu nghịch đảo. Do о ^ O' nên 3 Д là trục đẳng phương của (C),(ơ).
Với M G E
2
, Nếu NQ(M) = M và NQ.(M) = M'thì ( МММ')
trực giao với cả (C), (ơ) và tâm ( МММ') nằm trên Л.
Xét Mi = S
A
(M), li = M"M
1
n ■ Do tâm của ( МММ") trên
Д nên Mi e( МММ') là tứ giác nội tiếp.
(M'M", М'О) = (ЩГ ,lp) -»(ММ', MO) = (IịM" , IịO)
1
( vì MMi // OIi). Vậy tứ giác PM^Onội tiếp =>Ii = NQ,(0) => li cố
định.
Xét phép nghịch đảo N* = N (I
b

^ I / (МММ')), k = '9l/ (МММ') là
hằng số do { (МММ')} là bộ phận chum liên hợp (C), (ơ) có trục đẳng
phương là СЮ'. Ta có NQ=NQ, = N* °S
A
.
Xét M
2
= S
A
(M"),1
2
= М'ЧУ^П . Do đó MM
2
M"M
1
là hình ứiang cân
trục A nên Ib h đối xứng qua Д.
Xét phép nghịch đảo N** = .
Ta có: NQ°NQ, = S
A
»N**
1.3.7. Đinh lí 7
Phép nghịch đảo bảo toàn tỷ số kép của bổn điểm thẳng hàng thuộc
đường thắng đi qua cực nghịch đảo.
Chứng mình:
Giả sử А, B, c, D thẳng hàng nằm trên đường thẳng d đi qua
cực О của phép nghịch đảo NQ và giả sử A',B
,
,C',D' là ảnh
tương ứng của chúng.

1
Theo định lí 1 ta có :
/-If д I к.AC r
v
R
r
квс
“OA. OC’ ~~ OA. OB
TV A
t k.AD
k.BD
OÆÔD’
DB
ORQD
Q ( A'R'r-'rVï _ C'A' . D'A' _ AC . AD
S u y r a :
( A B C D ) =
C&
:
D# rc
:
BD
(ABC
CHƯƠNG 2
PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC
• • •
LỚP BÀI TOÁN HÌNH HỌC
2.1. Dấu hiệu nhận biết phép nghịch đảo trong các lớp bài toán
hình học
Đe có thể giải được bài toán bằng cách sử dụng phép nghịch đảo

được hay không thì trước hết phải nhận ra được dấu hiệu của lớp bài
toán có khả năng giải được bằng phép nghịch đảo hay không. Dưới
đây là là một số dấu hiệu nhận biết phép nghịch đảo ừong bài toán.
Dấu hiệu 1: Trong giả thiết (hình vẽ) hay kết luận của bài toán có
tích độ dài đại số, hay tích độ dài của hai đoạn thẳng. Chẳng hạn OM.
OM' = k với o, M, M thẳng hàng, điểm o thường là giao điểm của một
số đường tròn hoặc một số đường thẳng còn M và M' nằm trên hai
đường tròn hoặc một nằm trên đường thẳng còn điểm kia nằm trên một
đường tròn, k là hằng số xác định thường là phương tích của o với
đường tròn M, M.
Dấu hiệu 2: Trong dữ kiện bài toán có nhiều đường tròn tương
giao với nhau: tiếp xúc, trực giao, cắt nhau theo một góc a cho
trước Vì phép nghịch đảo có khả năng biến đường ừòn thành đường
thẳng và ngược lại đồng thời bảo tồn góc giữa hai đường cong nên khi
gặp bài toán có dấu hiệu trên ta có thể nghĩ đến việc dùng phép nghịch
đảo để đưa bài toán về dạng đơn giản.
2.2. Phép nghịch đảo và bài toán chứng minh
2.2.1. Bài toán chứng mình
Bài toán chứng minh là bài toán cơ bản trong toán học nói chung
và ừong hình học nói riêng. Bài toán chứng minh chứa đựng trong hàu
hết các bài toán hình khác như bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích,
bài toán tính toán.
Để giải bài toán chứng minh thông thường xuất phát tò giả thiết
A và những mệnh đề đúng đã biết, bằng lập luận chặt chẽ, quy tắc suy
luận logic, dựa vào các định nghĩa, tiên đề tính chất, hệ quả của các đối
tượng hình học để đi đến kết luận B. Trong một số trường họp có thể
phải chứng minh thêm một số bài toán phụ làm cơ sở để chứng minh
bài toán ban đầu.
2.2.2. Phương pháp giải
Để giải một bài toán chứng minh có ứng dụng phép nghịch đảo,

thông thường bao gồm các thao tác sau:
Nghiên cứu kỹ đề tài, vẽ hình chính xác.
Xác định rõ yếu tố cần chứng minh, các yếu tố cố định và quan
hệ ban đầu giữa các yếu tố đó.
Dựa vào kết quả phân tích ở trên, lựa chọn một phép nghịch đảo
với cực nghịch đảo và phương tích nghịch đảo xác định.
Xác định ảnh và mối quan hệ giữa các ảnh của các yếu tố hình
học để thể chuyển bài toán về một bài toán mới đơn giản hơn.
Giải bài toán mới.
Dựa vào tính chất của phép nghịch đảo để suy ra điều phải
chứng
minh.
2.2.3. Các ví du
Ví du 1: (Định lí Feuerbach)
Chứng minh rằng đường tròn đi qua các trung điểm các cạnh của
tam giác tiếp xúc với đường ttòn nội tiếp và ba đường tròn bàng tiếp.
Lời giải:
Gọi K, L,M lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC,
CA của AABC.
Giả sử :(S )là đường tròn đi qua các các điểm K, L, M (Si )là
đường tròn nội tiếp AABC.
(S
2
) là đường tròn bàng tiếp tiếp xúc vơi các cạnh AB.
Ta có: E = (Si) n AB, D = (S
2
) n
AB Độ dài của các cạnh BC, CA,
AB là a, b, c.
Ta lấy p gBC, Q G AC sao cho PQ là tiếp tuyến chung của

đường tròn Si và s
2
(không chứa cạnh nào của AABC).
Giả sử: Li = KL f|PQ, Mi = KM f|PQ-
Xét phép nghịch đảo N = N ( K,
KD) ta có: N (D) = D, N
(E) = E N [(SO] = (Si*), N
[(Sa)] = (Sa*)
Vị tự (Si) và (S
2
) với tâm vị tự K ta có (Si*) n AB = E, (S
2
*) n AB = D
Do đó ta có:(Si*) = (Si), (S
2
*) = (S
2
) hay Si, s
2
bất biến qua phép
nghịch đảo N (K, KD).
Mặt khác qua phép nghịch đảo : N = ( K, KD) ta lại có: N [(S)] =
M*L*.
Ta cần chứng minh đường thẳng M*L* tiếp xúc với các đường tròn
(Si) và (S
2
).
- Đường phân giác của góc c là trục đối xứng của các đường tròn (Si) và
(S
2

), do đó : PC = AC = b và QC = BC = a.
b -
Ta có : A PLL! ~ APCQ : L
X
L = CQ. ^ = a—^
PC b
=> KL
t
= KL - LL
t
= ^ - =
(a
" ty
2
= — = KL* (1)
Từ (1) và (2) ta được : Li = L* và Mi = M*.
Suy ra đường tròn (S) qua phép nghịch đảo biến thành đường
thẳng PQ tiêp xúc với đường tròn (Si) và (S
2
)
Ví du 2: Cho đường tròn tâm o. đường kính AB và đường thẳng
d _L AB. Đường tròn tâm A cắt (O) ở c và cắt d ở D'. AC cắt d tại c,
AD' giao với (O) tại giao điểm thứ hai D.
Chứng minh rằng : cc = DD'
Lời giải:
Gọi I là giao điểm của d và AB; đặt к = ALAB
Xét phép nghịch đảo N = ]Чд, ta có N(B) = I. Theo giả thiết d
_LAB và do tính chất bảo toàn góc của phép nghịch đảo nên:
N(AB) J_N(d) => N(d) -LAB (1)
Mặt khác led =^>B G N(d) (2)

Từ (1) và (2) suy ra N(d) = (O), suy ra:
N(C) = С ACẢC = к và N(D) = D' <^> AD.AD' = к Lại có c, D'
e(A) => AC = AD' =>AC = AD =>cc = Dơ.
*) Gọi p, P' lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến tại A với ВТ, в T'
Ta có: ОМ 1 АТ, BP _L АТ => ом // BP Xét trong ЛАВР có О là
trung điểm AB, ом // BP => ОМ là đường trung bình của AABP Mà
M là trung điểm của AB nên AP = 2.AM Tương tự ta có AP' =
2.AM Do đó AP. AP = 4k không đổi
Lập luận tương tự phàn trên, thay M M, к bởi p, P', 4k ta có TT' đi qua
điểm cố định B
4
= N
2
(B
3
) với B
3
= N3 (B), và hai phép nghịch đảo :
N2 = N (B, BA
2
), N3 = N ( A, 4k).
Ví du 3: ( Bất đẳng thức PTÔLÊMÊ)
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: AC.BD <AB.CD + AD.BC.
Lời giải:
Xét phép nghịch đảo : N = N (D)
N (A) = A\ N (B) = B\ N (C) = c.
Với 3 điểm A', B', ơ bất kỳ ta luôn có: АЪ' + B'C > CA' |k|.AB |
k|.BC _ |k|.CA ^DADB
+
DB.DC “ DC.DA

<^> AC.BD <AB.CD + AD.BC
Dấu “ = ” xảy ra <» A', B', ơ thẳng hàng ứieo thứ tự
<^> Bốn điểm А, B, c, D đồng phẳng và tứ giác ABCD nội tiếp.
Ví dụ 4: Cho 4 điểm không thẳng hàng А, B, c, D.
CMR: Góc giữa hai đường tròn ( ABC) và ( ABD) bằng góc giữa hai
đường tròn (CDA) và (CDB).
Lời giải:
Xét phép nghịch đảo N = N (А, к), к Ф0
Ta có: N (В) = в
1
, N (С) = с, N(D)=D’.
Suy ra: N[(ABC)] = B'C
N[(ABD)] = B' D'
N[(CDA)] = С D'
N[(CDB)] = (B'CD')
Gọi D'x là tiếp tuyến của đường tròn (B'CD
1
) tại D'.
Ta có СТШ = CD’x = ị sđ CD’
Do đó góc giữa B' С và B' D' bằng góc giữa с D' và (B' с D'). Do
tính chất bảo toàn góc giữa hai đường của phép nghịch đảo suy ra góc
giữa (ABC) và (ABD) bằng góc giữa (CDA) và (CDB).
Ví du 5: Cho đường ừòn (O, R) cố định và đường kính di động
BC của nó. Giả sử A là điểm cố định khác о , không nằm trên (O) và
AB, AC cắt (О) tại điểm thứ hai lần lượt tại B', с.
a, CMR: Các đường ừòn (ABC), (AB'C) đi qua điểm cố định khác А
b, CMR: Đường tròn ơle của ДАВС đi qua điểm cố định khác o.
a, Xét phép nghịch đảo Ni = N (O, - R
2
), Ni (B) = c.

Gọi Ai = Ni (A). Do A cố định nên Ai cố định.
Khi đó tứ giác ABAiC nội tiếp nên đường ừòn (ABC) đi qua Ai cố
định.
Lời giải: С
Xét phép nghịch đảo N2 = N (A, £p A/ (O)).
N
2
(B)=B\ N
2
(C)=C
=^>N
2
[(ABC)] = BC , mà BC đi qua o cố định =>
Đường tròn (AB' C) đi qua Oi = N2 (O) cố định).
b, Đường tròn ơle của tam giác ABC đi qua trung điểm o của BC, hai
chân đường cao B', c do đó đường tròn (OB' C).
Do N
2
(O) = Oi, N
2
(B') = B, N2 (C) = c nên N
2
[(OB' C)] = (OiBC). Vì
Oi cố định nên thay vai trò của điểm A ở câu a) bỏi Oi ta có (OiBC) đi
qua D = N
2
(Oi) cố định và (OiBC) đi qua D' = N
2
( D).
Ví du 6 : Trong không gian (

(
ệ
?
) tâm o, bán kính R và điểm A cố
định nằm ngoài (W). Mặt phẳng (a) thay đổi qua tâm o cắt ( ^) theo
đường tròn (S).
a, CMR: Mặt càu (‘ễ) qua A và (S) đi qua một điểm cố định khác A
b, Điểm M di động trên (S), AM cắt mặt cầu (
(
ệ
p
) tại N. CMR: N
di chuyển ừên một đường ừòn (S') và mặt càu qua A và (S') đi qua một
điểm cố định khác A.
a) Gọi CD là đường kính bất kỳ của (S).
Xét phép nghịch đảo: N1 = N (O, - R
2
), N1 (C) = D.