TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
===®^C3G3===
PHẠM THÙY LINH
PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG VÀ BÀI
TẬP
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
Người hướng dẫn khoa học GV. BÙI VĂN BÌNH
HÀ NỘI – 2014
■
Trong quá trình thực hiện khoá luận em đã nhận được nhiều sự giúp đỡ quý báu và bổ
ích từ các thầy cô và bạn bè. Em xin chân thảnh cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tâm giảng dạy, truyền thụ kiến thức và kinh nghiệm quý
báu để em hoàn thành tốt khoá học. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc của mình
tới thầy Bùi Văn Bình, thầy đã trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình giúp đỡ và chỉ bảo em trong
suốt quá trình thực hiện khoá luận.
Em xin chân thảnh cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học - khoa Toán, thư viện nhà
trường, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện, động viên, giúp đỡ để em hoàn thành khoá
luận này.
Xuân Hòa, ngày 16 tháng 5 năm 2014 Sinh viên
Phạm Thùy Lỉnh
Tôi cam đoan khoá luận “Phép đối xứng qua siêu phẳng và bài tập” là kết quả nghiên cứu
của tôi dưới sự hướng dẫn của thầy Bùi Văn Bình.
Tôi xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong khoá luận này không trùng với kết quả
của bất cứ tác giả nào khác. Nếu sai xót tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Xuân Hòa, ngày 16 tháng 5 năm 2014 Sinh viên
LỜI CẢM ƠN
Phạm Thùy Lỉnh
LỜI CAM ĐOAN
MỤC LỤC
PHÀN I: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình toán THPT ở nước ta hiện nay, một số phép
biến hình được đưa vào giảng dạy nhưng chỉ áp dụng vào trong mặt phẳng.
Trên thực tế, việc vận dụng các phép biến hình vào hình học không gian
nhiều khi sẽ đem lại hiệu quả cao và tránh cho học sinh một số sai lầm và
ngộ nhận khi giải toán theo cách thông thường.
Để giúp học sinh thấy được ứng dụng của phép biến hình vào giải các lớp
bài toán: Bài toán chứng minh, Bài toán tính toán, Bài toán dựng hình, Bìa
toán quỹ tích .và để cho học sinh có thêm hứng thú học tập và sáng tỏ thêm
phần nào đó về phép biến hình nên tôi đã chọn đề tài Đối xứng qua siêu
phẳng và bài tập”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu sâu hơn về phép biến hình, đặc biệt là phép đối xứng qua siêu
phẳng.
- Làm rõ tính ưu việt của phép đối xứng trong giải toán hình học.
3. Đối tượng, phạm vỉ nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Phép đối xứng qua siêu phẳng.
- Phạm vi nghiên cứu: Giải các bài toán hình học không gian bằng phép đối
xứng.
4. Nhiệm vụ nghiền cứu
- Trình bày cơ sở lí thuyết về phép đối xứng
- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về phép đối xứng ừong không
gian.
- Đề xuất các phương pháp vận dụng phép đối xứng để giải quyết một số bài
toán hình học.
5
- Xây dựng hệ thống bài tập và ví dụ minh họa.
5. Phương pháp nghiền cứu
- Nghiên cứu sử dụng các lí luận, các công cụ Toán học.
- Nghiên cứu sách tham khảo, các tài liệu liên quan.

6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 3 phàn:
Phàn I: Mở đầu:
Phần II: Nội dung:
- Chương 1: Kiến thức chuẩn bị:
- Chương 2: Sử dụng phép đối xứng qua siêu phẳng để giải quyết
các bài toán hình học.
- Chương 3: Ví dụ minh họa:
Phần III: Kết luận:
PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Các khái niệm về phép biến hình
1.1. Định nghĩa phép biến hình
Mỗi song ánh f: E
n
-^E
n
được gọi là phép biến hình của không gian E
n
.
Như vậy, cho một phép biến hình f:E
n
—»E
n
là cho một quy tắc để
với bất kì điểm MeE
n
, ta tìm được một điểm M = f(M) hoàn toàn xác định
thỏa mãn 2 điều kiện sau đây:
- Nếu M, N là 2 điểm phân biệt của E
n

thì f(M), f(N) là 2 điểm phân biệt của
E J J .
- Với mỗi điểm M" eE
n
bao giờ cũng có một điểm MeE
n
sao cho f(M) = M'.
Điểm f(M) được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f.
Ngược lại, điểm M được gọi là tạo ảnh của điểm f(M) qua phép biến hình f
6
nói trên. Người ta nói, phép biến hình f biến điểm M thành điểm f(M) và ta
có f(M) = M .
Điểm M được gọi là điểm bất động của phép biến hình f nếu f(M) =
M.
Phép biến hình f được gọi là phép đồng nhất nếu mọi điểm M e E
n
đều là điểm bất động của f, kí hiệu là : e.
1.2. Ví du
■
Trong chương trình hình học lớp 11, chúng ta đã được học một số phép
biến hình, ví dụ như:
Phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng, cho điểm o cố định. Phép
biến hình biến mỗi điểm o thành chính nó, biến mỗi điểm M khác o thảnh
điểm M’ sao cho o là trung điểm cảu đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối
xứng tâm o. Điểm o được goi là tâm của phép đối xứng đó và là điểm bất
động duy nhất của phép đối xứng tâm o, kí hiêu Đ
0
.
Phép đối xứng trục: Cho đường thẳng A e E
n

. Phép biến hình biến
mỗi điểm M không thuộc A thành M’ sao cho A là đường trung trực của
đoạn MM’ được gọi là phép đối xứng trục, kí hiệu là Đ
A
. Các điểm thuộc A
đều là điểm bất động cảu phép Đ
A
.
2. Phép biến hình đẳng cự
2.1. Định nghĩa
Phép biến hình f: E
n
—»E
n
được gọi là phép biến hình đẳng cự của
E
n
nếu nó bảo toàn khoảng cách của 2 điểm bất kì, tức là:
f là phép biến hình đẳng cự nếu d(M,N) = d (f(M),f(N)) VM,N eE
n
ừong đó d(M,N) là khoảng cách của 2 điểm M,N.
2.2. Tính chất
a. Phép biến hình đẳng cự là phép biến hình afin.
7
b. Phép biến hình đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc.
c. Phép biến hình đẳng cự biến 1 siêu cầu của E
n
thành một siêu cầu có cùng
bán kính.
2.3. Định lý

Tập hợp các phép biến hình của E
n
lập thảnh một nhóm với phép toán
lấy tích ánh xạ và được kí hiệu là Isom(E
n
).
3. Phép đối xứng qua siêu phẳng:
3.1. Định nghĩa
Trong En cho siêu phẳng OL Phép biến hình của không gian cho ứng
mỗi điểm M với điểm M’ xác định như sau:
a. MM’ vuông góc với siêu phang a.
b. MM’ cắt a tại o là trung điểm của nó.
Gọi là phép đối xứng qua siêu phẳng a, phép đối xứng này kí hiệu
là Đ
a
. Siêu phẳng a được gọi là siêu phẳng đối xứng của phép đối xứng.
3.2. Tính chất
a. Phép đổi xứng qua siêu phẳng là 1 phép biến hình đẳng cự nên nó có đầy đủ
tính chất của phép biển hình đẳng cự.
Chứng minh:
Gọi M,N là 2 điểm bất kì trong E
n
. Xét phép đối xứng qua siêu phẳng
a
Đ
a
: M -► M’
N->N’
Gọi I, J làn lượt là trung điểm của MM’, NN’ thì ta có:
ITIITẤ _1_ li.1_1_

8
LT11 1 ™1T11 I Jt; ■ «IX ^
f -i
-▼1—iTXA ■ Jt; ■ t/i. 1■
' ‘‘
▼ J
r
T
“A “V
Vậy d(M,N)= ~ - , I -«vMTO
Phép đối xứng qua siêu phẳng là phép biến hình đẳng cự.
b. Đ
a
là phép đổi hợp.
Chứng minh:
Gọi M’ = Đ
a
(M) ta có: Đ
a
(Đ
a
(M)) = Đ
a
(M’) = M = id(M) => Đ
a
là phép
đối hợp
c. Oi là quỹ tích điểm bất động của Đ
a
.

CHƯƠNG II: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG ĐẺ
GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC.
1. Giải bài toán chứng minh
1.1. Bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh chứa đựng trong tất cả các lạo bài toán hình học
khác: các bài toán tính toán, bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích.
Đó là bài toán cần chứng minh mệnh đề A=> B với A là giả thiết,
B là kết luận. Ta đi từ giả thiết A đến kết luận B bằng những suy luận toán
học hợp logic ừên cơ sở các định lí, định nghĩa, tính chất.
1.2. Sử dụng phép đổi xứng trong bài toán chứng minh
Nếu ta thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đường đã cho
ừong giả thiết A với các điểm hay các đường trong kết luận B thông qua
phép đối xứng thì nhờ tính chất đẳng cự của phép đối xứng, ta nhận được
kết quả về tính đồng quy, thẳng hang, quan hệ song song, quan hệ vuông
góc, các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau, các tam giác, các đường
tròn bằng nhau Từ đó ta sẽ dễ dàng giải quyết được bài toán chứng minh.
9
1.3. Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng
Nếu mệnh đề A=> đã được khẳng định nhờ sử dụng phép đối xứng
thì ta có thể sử dụng phép đối xứng xét mệnh đề đảo B=^ , xét
các trường hợp đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa của mệnh đề này ta
sẽ được bài toán mới.
1.4. Một sổ ví dụ
Ví du 1: Cho hình chóp S.ABC đều. Gọi A, B , c làn lượt là trung điểm
các cạnh BC, CA, AB.Chứng minh rằng : Tứ diện S.ABA và
S.BCB bằng nhau.
1
Lời eiảiĩ
Xét phép đối xứng qua 2 mặt phẳng (SAA) và (SCC). (hình 1.1)
s

Ta có: Đ
CA
. : s
SAA
=> Tứ diện S.ABA và S.BCB bằng nhau.
Ví du 2: Chứng minh rằng: Đa giác đều n cạnh có n trục đối xứng
Đ , : s. ABÁI—
>•
SAA
Đ , : S.ACA
Hình
A
B
A’
Đ___, : s
h
A h
c h
>
A
>c
■
+

a
sc
Ta ứiấy:
Giả sử (d) là trục đối xứng của đa giác, ta có,trong phép biến đổi Đ
(d)


thì đường thẳng bất động duy nhất chính là (d).
* Trường hợp 1: n chẵn (Hình 1.3)
Ta gọi số đỉnh của đa giác điều là 2k ( k G )
Gọi o là tâm đối xứng của đa giác đều.
Gọi các đỉnh của đa giác là A
0
A
1
A
2k
_
• Giả sử, đỉnh Ao là điểm bất động trong Đ
(d)
.Khi đó, (d) chính là
đường thẳng AoO.
Do o là tâm đối xứng của đa giác đều nên o là trung điểm của các
đoạn thẳng nối các đỉnh đối diện nhau, biến đỉnh này thành đỉnh kia. Trong
Đ
(d)
: A Q I — > = »
Vậy (d) chính là đường thẳng nối 2 đỉnh AiA
k

•Xét phép đối xứng trục AiA
k
, ta có:
Đ(d) • A)
1

Aj I—> A

2
I—
ỉ-
A
2
k- ^
Vậy, A
0
A
k
chính là đường trung trực của đa giác đều n đỉnh ( n chẵn).
Ta đi xét tương tự đối với trường hợp các đỉnh còn lại là điểm bất động.
• Giả sử, trong phép biến hình Đ
(d)
không có đỉnh nào bất động. Khi đó, ta
thấy Đ
(d)
: A
0
A
1
1—►
Do không có đỉnh nào bất động nên (d) chính là đường trung trực của
A
0
A
1
hay Đ
(d)
: Aq t—>

Do đa giác đều n đỉnh ( n chẵn) có các cạp cạnh đôi diện song song và
bằng nhau nên (d) cũng chính là đường trung trực của cạnh đối diện với
A Q A P
• Xét phép đối xứng trục là đường trung trực của A Q A ^
Ta có: Đ ^ I A Q I — >
Aị I—►
A
2
1—>
A
k
^
\+ ^
A
2
k-
l—
^
=> Trung trực của A
0
A
1
chính là trục đối xứng của đa giác đều n đỉnh ( n
chẵn).
Ta đi xét tương tự với các đường trung trực của các đoạn thẳng còn
lại của đa diện dều
•Vậy đa diện đều n đỉnh (n chẵn) có n trục đối xứng, trong đó, có
n , , , n
— trục đôi xứng là đường thăng nôi 2 đỉnh đôi diện nhau và — trục đôi
xứng là đường thẳng trung trực của 2 cạnh đối diện nhau trong đa giác đều.

* Trường hợp 2 : n lẻ (Hình 1.2)
Gọi các đỉnh của đa giác đều là AoA
2
k ( k G ).
Gọi o là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đều, ta thấy Đ
(d)
:0^
• Giả sử, trong phép biến hình Đ
(d)
có Ao là điểm bất động.
Ta có Đ ^ I A Q I — >
Vậy (d) chính là đường thẳng A
0
O.
Ta thấy, do đa giác n đỉnh (n lẻ) nên A
0
O đi qua trung điểm của cạnh đối
diện đỉnh Ao.
A
0
O là trục đối xứng của đa giác nên A
0
O chính là đường trung trực của
cạnh đối diện đỉnh A
0
.
A
0
O đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều.
•Xét phép đối xứng trục qua A

0
O
Ta có : Đ
(Ao0)
: Aq I »
Aj I—>
A
k
^
A
k
_ h->
A
n
_ -
Vậy AoO là trục đối xứng của đa giác đều n cạnh ( n lẻ).
• Giả sử, Đ
(d)
không đi qua điểm bất động nào của đa giác, ta có
Đ(d)
:
AA
1
^
=>(d) đi qua ừung điểm của đoạn A
0
Ai => (d) chính là đường trung trực
của đoạn A
0
Ai Do đa giác lẻ cạnh nên đường trung trực của A Q A Ì sẽ đi qua

đỉnh đối diện của cạnh A
0
Ai =>- (d) đi qua đỉnh A
k
của đa giác đều =ф Đ
(d)
đi
qua đỉnh bất biến (mâu thuẫn với giả sử trên).
•Vậy đa diện n cạnh (n lẻ) có n trục đối xứng là trục đi
qua 1 đỉnh và А
tâm đường tròn ngoại tiếp của đa diện.
Ví du 3: Cho hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng: ABCD có 6 mặt
phẳng đối xứng.
Lời giải :
Gọi M là trung điểm của CD.(Hình 1.4)
Gọi (P) là mặt phẳng đối xứng của tá diện đều ABCD. Khi đó,
Đp:ABCD
Trong phép biến hình Đ(P), biến các đỉnh thành 1 trong các đỉnh của tứ
diện.
Đp :A^
Vì (P) là mặt phẳng đối xứng của ABCD nên khi A bất động thì B, c hoặc
D cũng phải là điểm bất động.
Giả sử A và B là điểm bất động, khi đó:
Đp :Ai—>
^>Do A, B là điểm bất động mà (P) là mặt phẳng đối xứng của ABCD nên
c, D đối xứng qua phép biến hình Đ(P)
Đp :CH-> Dm.
=> (P) đi qua đường thẳng trung trực của đoạn CD
Mà M là trung điểm của CD =>■ AM là đường thẳng trung trực của
CD

Mặt phẳng (P) được xác định bởi 3 điểm A, B, M hay (P) chính là mặt
phang trung trực của CD
=^>(ABM) chính là mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều ABCD.
Mặt khác, xét mặt phẳng (ABM), ta thấy
® AMB • Al—>■
=>• Phép Đ biến tứ diện đều ABCD thành chính nó.
=Ф(АВМ) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện.
+ Tương tự xét với trường hợp А, с là điểm bất động và A, D là điểm bất
động.ta nhận thấy mặt phẳng đi qua AC và trung điểm cạnh BD và mặt phẳng đi
qua cạnh AD và trung điểm cạnh BC là mặt phẳng đối xứng của hình tó diện đều
ABCD.
=> Điểm A bất động ta có tương ứng 3 mặt phẳng đối xứng.
+ Ta đi xét lần lượt khi B, c, D là điểm bất động mỗi trường hợp ta thấy có
3 mặt phẳng đối xứng.
Tứ diện đều ABCD có 6 cạnh=> có 6 mặt phẳng trung trực của các cạnh
đó
=> tứ diện đều ABCD có 6 mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng trung trực
của các cạnh tứ diện.
=>Khi (P) đi qua 1 đỉnh bất động của hình tứ diện đều thì hình tứ diện có 6
mặt phẳng đối xứng.
Khi (P) không đi qua đỉnh bất động nào =>Khi đó, giả sử, (P) cắt mặt
phang (ABC) theo 1 giao tuyến cố định.
Ta đi xét phép đối xứng qua (P): Đ
(p)
: Ai—»
В
Mà A’B’C’D’chmh là tò diện ABCD.
Khi đó, điểm A có thể biến thành : AI—»■
Giả sử, Đ
(P)

biến AI—^ , khi đó,giao tuyến của (P) với (ABC)
chính là đường trung trực của đoạn AB
Do A đều nên đường trung trực của AB là đường thẳng đi qua c và vuông
góc với AB tại trung điểm của nó =>(P) chứa điểm c ( hay c là điểm bất động)
=4>Mâu thuẫn với giả thiết
=> (P) không đi qua đỉnh bất động thì không tồn tại (P) là mặt phẳng đối
xứng của tứ diện ABCD.
Vậy tứ diện đều ABCD có tất cả 6 mặt phẳng đối xứng mà mỗi mặt chứa
một cạnh và đi qua trung điểm của cạnh đối diện, (đpcm)
Ví du 4: Chứng minh rằng: Hình lập phương ABCDA’B’C’B’ có 9 mặt
phẳng đối xứng.
Lời eiảỉ:
Giả sử hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có mặt phẳng đối xứng
phẳng (P) biến hình lập phương thành chính nó. (hình 1.5)
Gọi o là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình lập phương ABCDA’B’C’D\
Đ
(p)
biến hình lập phương thành
chính nó nên điểm o bất động.
Xét các trường hợp sau: Hình 1.5
• Trường hợp lĩ A là điểm bất động trong phép đối xứng Đ
(p)
, hay A nằm
trong (P)
Do Đ
(p)
biến cạnh thành cạnh, mà A là điểm bất động =>A’, B hoặc D cũng
phải là điểm bất động theo A.
Giả sử, В là điểm bất động =>- Đ
(P)

: Bi—^
Khi đó, mặt phẳng (P) được xác định bởi 3 điểm А, в, о không thẳng hàng.
Ta đi xét mặt phẳng (ABO) hay chính là mặt phẳng (ABC’D’) đi qua 2
cạnh đối diện của hình lập phương.
Vậy mặt phẳng đối xứng của hình lập phương là mặt phẳng (ABC’D’) đi
qua 2 cạnh đối diện của hình lập phương.
Vì hình lập phương có 6 cặp cạnh đối diện là (AB,C’D’); (CD, А’В’);
(АСД’С
5
); (BD, B’D’); (A’B,D’C); (AB’, DC’) nên hình lập phương có 6 mặt
phẳng đối xứng.
Xét mặt phẳng (ABC’D’) có nên ta xét phép đối
I
xứng qua mặt phẳng (ABC’D’) : Đ
(ABCE)1)
:Ah^
B( >
D
A'b->
B' >
С'и
D’l
Ta thấy: Đ
(ABC
,
D0
: ABCDA'B'C'DW lA'B'C'D'
Vậy khi mặt phẳng đối xứng đi qua điểm bất động thì hình lập phương có 6
mặt phẳng đối xứng là các mặt phẳng đi qua các cặp cạnh đối diện của hình lập
phương.

• Trường hợp 2: (P) không đi qua đỉnh nào của hình lập phương. Giả sử (P)
cắt cạnh mặt phẳng (ABCD) theo một giao tuyến (d) thì (d) bất động.
Vì Oệế nên (P)= xác định.
Khi đó, (P) cắt hình lập phương theo một thiết diện là hình bình hành.
Vì (d) c
1
nên (ABCD) bất động =>(d) là trục đối xứng của hình vuông
ABCD.
Gọi (d')= n D' =>(d’) là trục đối xứng của hình
vuông A’B’C’D\
Vậy mặt phẳng đối xứng của hình lập phương đi qua trung điểm của 4
cạnh song song thuộc 2 mặt đối diện song song. Vì hình lập phương có 3 cặp
mặt phẳng đối diện song song nên có 3 mặt phẳng đối xứng thỏa mãn điều kiện
trên.
Thử lại
Gọi M, N, p, Q lần lượt là trung điểm A’B’, C’D’, CD, AB.
Khi đó, MN, NP, PQ, QM lần lượt là các trục đối xứng của các hình vuông
A’B’C’D\ C’D’DC, ABCD, ABB’A\
Ta có :Đ
(MNPQ)
: A I — >
B K -
Di—>
A'^
B'^
C ' H
D'^
Vậy Đ
(MNPQ)
: ABCDA'B'C'D'|—» A'B'C'D'

Khi (P) không đi qua đỉnh bất động nào của hình lập phương thì hình
lập phương có 3 mặt phẳng đối xứng.
Kết luân
Hình lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng ừong đó có 6 mặt phẳng mà
mỗi mặt đi qua 2 cặp cạnh đối diện song song không cùng nằm trên một mặt
của hình lập phương; 3 mặt mà mỗi mặt đi qua trung điểm của 4 cạnh song song
thuộc 2 mặt đối diện song song.
Ví du 5: Cho góc tam diện Oxyz. Chứng minh rằng: 3 mặt phẳng đối xứng
của 3 góc phẳng không chứa các góc đó cắt nhau theo một giao tuyến.
Lời siải:
• Gọi (P) là mặt phẳng đối xứng của yOz
Vì (P) không chứa mặt phẳng xOy
=> _L
• Trên Oy và Oz lấy 2điểm в và с sao cho OB = ОС.
Từ (1) và (2) => (P) và (Q)cắt mặt phẳng theo giao tuyến là các
đường trung trực của các cạnh А
=> Giao tuyến (d) của (P) và (Q) đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của A
và vuông góc (ABC).
Ví du 6 : Cho A không vuông, trực tâm H. Chứng minh rằng:
a. Các điểm đối xứng của H qua các cạnh BC, CA, AB làn
lượt là Hi, H
2
, H
3
nằm trên đường tròn (ABC).
b. Các đường tròn (HBC); (HCA); (HAB) đều bằng (ABC) và
tâm của 3 đường tròn này là đỉnh của một tam giác bằng A
Lời eiải:
Đ
BC

H =
a. Ta có Đ
A C
H =
của Đ B C thì BHC= (3)
Từ (1) ; (2); (3) =^> tứ giác ABHiC nội tiếp
Mà A, B, c <E (ABC) =4> Hi e (ABC).
Tương tự, ta có: H
2
G (ABC)
H
3
G (ABC)
=>■ (đpcm).
b. Ta có: Đgc: Hi—>
A н->
=> = mà BHjC = => = (*)
Tương tự, ta có : A I—>
®AC -A
(***)
Từ (*) ; (**) ; (***) ta có : (AHB) = (AHC) = (BHC) = (ABC)
=> (đpcm).
Lại có : PHN = (hai góc đối đỉnh) (2) H' h 1 6 Mà theo tính chất bảo toàn góc
2. Giải bài toán tính toán
2.1. Bài toán tính toán
Trong hình học ta thường bắt gặp một số bài toán tính toán như : tính
độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc, tỉ số độ dài đoạn thẳng, tính chu vi, diện tích
cảu các hình học. Đe giải bài toán tính toán thông thường ta thường sử dụng các
bước sau :
1. Xác định các yếu tố cần tính toán, các yếu tố đã biết.

2. Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố cần tính
toán.
3. Tiến hành tính toán theo dữ liệu đã được thiết lập.
2.2. Sử dụng phép đối xứng trong bài toán tính toán
Ta sử dụng các tính chất của phép đối xứng để tìm ra các góc bằng
nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các tam giác hay đường tròn bằng nhau .Từ
đó dựa vào những yếu tố đã biết của bài toán và các kết quả ta vừa tìm được
nhờ sử dụng tính chất của phép đối xứng để tìm ra đại lượng càn tính toán.
+ Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một mặt phẳng :
Cho mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và điểm N x
0
;y
0
;z
0
.
Khi đó, điểm N’ đối xứng với N qua mặt phẳng (P) có toạ độ được xác định như
sau :
• Gọi (d) là đường thẳng đi qua N và vuông góc với (P).
Phương trình đường thẳng (d) là: (t là tham số).
• Gọi H là giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P). Tọa độ của H là
nghiệm của hệ phương trình :
= +
' (t là tham số)
I + + =
=> + + +
Trong đó : t = —
• Vì N’ đối xứng với N qua mặt phẳng (P) nên H là trung điểm của
NN\
Trong đó : t =

+
+
+
+ +
2.3. Môt số ví du
• ■
Ví du 1 : Tìm ảnh của đường thẳng (d) có phương trình
trong phép đối xứng qua các mặt phẳng tọa độ.
I
Lời giải :
Tacó N a,b,c G =>• là vectơ chỉ phương của (d).
Ta gọi N là điểm đối xứng của N qua mặt phẳng (Oxy).
=> -
KS± У
а, и, —
Ta xét: M x
0
;y
0
;z
0
G
Đ „ : Ml—■> —
Оху
+ Đường thẳng (d ) đối xứng với (d) qua (Oxy) có vectơ chỉ phương
VJI'V và đi qua M .
Phương trình đường thẳng (d ) có dạng : - (t là tham
I
số)
+ Tương tự, ta có :

Đ
0xz
:
d
(d ) có vectơ chỉ phương
Lí

a,—
và đi qua điểm p x
0
;—
2