THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 1
MỘT SỐ CÁCH GIẢI KHÁC NHAU BÀI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA
Để giúp các bạn học sinh giải quyết tốt kiến thức hình học không gian qua đề thi
THPT Quốc gia, đề thi đại học, tôi xin đưa ra một số cách giải khác nhau qua 3 ví
dụ đề thi Bộ giáo dục đã tổ chức, qua đó hy vọng sẽ giúp ích được cho các em trong
quá trình ôn tập và sẽ đạt kết quả cao trong các kì thi THPT Quốc gia.
Câu 7 (THPT QG 2015). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng (ABCD) bằng
o
45
. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SB, AC.
Bài giải:
Cách 1 (hình học thuần túy)
*) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Từ giả thiết, ta có:
o
SCA 45
và
AC SA a 2
.
Suy ra thể tích của khối chóp S.ABCD là:

3

2
S.ABCD ABCD
1 1 a 2
V .S .SA .a .a 2
3 3 3
  
.

*) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC
Kẻ
BE/ /AC
và
BE AC

     
AC/ /(SBE) d AC,SB d AC,(SBE) d A,(SBE)   
.
Kẻ
AM BE
BE (SAM)
gt SA BE






(1)
Kẻ
AH SM

kết hợp với (1)
BE AH
. Suy ra
 
AH (SBE) d A,(SBE) AH  
.
Từ cách kẻ, ta có
EAB
cân tại A
2
2 2 2
a 2 a 2
AM AB BM a
22

     



.
SAM
vuông tại A, ta có:
THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 2
 
2 2 2

2 2 2
2
a2
a 2.
1 1 1 SA.AM a 10
2
AH
AH SA AM 5
SA AM
a2
a2
2
     





.
Suy ra:
 
a 10
d AC,SB
5

.
Vậy
3
S.ABCD
a2

V
3

và
 
a 10
d AC,SB
5

.
Cách 2 (ứng dụng thể tích tính khoảng
cách)
*) Tính thể tích khối chóp S.ABCD như
cách 1.
*) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
SB và AC
Kẻ
BE/ /AC
và
BE AC

22
AE AB a SE SB SA AB a 3       
Kẻ
22
SM BE SM SB MB   


 
2

2
a 2 a 10
a3
22

  



.

Suy ra
2
SBE
1 1 a 10 a 5
S SM.BE . .a 2
2 2 2 2

  
.
Ta có
3
S.ABE S.ABCD
1 a 2
VV
26


 
3

S.ABE
2
SBE
a2
3.
3.V
a 10
6
d A,(SBE)
S5
a5
2

   
.
Vậy
3
S.ABCD
a2
V
3

và
 
a 10
d AC,SB
5

.
THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999



F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 3
Cách 3 (giải tích không gian)
Từ giả thiết ta có:
o
SCA 45 SA AC a 2   
.
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta
có:
 
 
   
A 0;0;0 ,S 0;0;a 2 ,C a;a;0 ,B a;0;0

 
   
AS 0;0;a 2 ,AC a;a;0 ,AB a;0;0
.
3
S.ABCD S.ABC
1 a 2
V 2V 2. AB,AC .AS
63

  

.


Ta có:
 
BS a;0;a 2

 
BS,AC .AB
a 10
d SB,AC
5
BS,AC


  


.
Vậy
3
S.ABCD
a2
V
3

và
 
a 10
d AC,SB
5


.

Cách 4 (dùng bài toàn cơ bản tính
khoảng cách)
Bài toán cơ bản:

Cho tứ diện vuông S.ABC tại A,
 
AH SBC
, ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1
AH AS AB AC
  
.

Áp dụng: Kẻ
BE/ /AC
và
BE AC ABE  
vuông cân tại A.
y
z
x
O
D
C
B
A
S

H
C
B
A
S
THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 4
Từ giả thiết ta có:
 
 
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
d A,(SBE) AS AB AE a a
a2
     
.
   
a 10
d A,(SBE) d AC,SB
5
  
.
Cách 5 (Tính khoảng cách từ thể tích, tỉ
số thể tích, công thức heron)
Gọi

O AC BD
và N là trung điểm của
SD.
SB/ /ON SB/ /(ANC)
.
     
d SB,AC d SB,(ANC) d S,(ANC)  
.
Ta có:


33
S.ANC S.ADC S.ABCD
SN SN 1 1 1 a 2 a 2
V .V . V . .
SD SD 2 2 2 3 12
   
.
Ta lại có:
22
1 a 3
AN SD
22
a 7 AN CN AC 3 7 2 2
CN ND DC p a
2 2 4
AC a 2






   

     







.
   
2
ACN
a5
S p p AN p AC p CN
4

     
.
Suy ra:
   
3
S.ANC
2
ANC
a2
3.

3V
a 10
12
d S,(ANC) d SB,AC
S5
a5
4

   
.
N
O
D
C
B
A
S
THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 5
Cách 6 (Mở rộng: khi bài toán yêu cầu
xác định và tính độ đoạn vuông góc
chung)
Sau khi ta dựng AH. Chúng ta sẽ đi dựng
đoạn PQ vuông góc chung của SB và AC
như sau:
Từ H, kẻ

 
//HQ BM Q SB
.
Từ Q, kẻ
 
//QP HA P AC
.

Từ các cách trên, ta có:
//
AH SB
AH AC PQ
PQ AH







chính là đoạn vuông góc chung của
SB và AC.
Để tính độ dài PQ, thì với bài này chúng ta sẽ đi tính AH, từ đó
 
10
,
5
a
d SB AC PQ  
.











H
M
Q
P
D
C
B
A
S
NHẬN XÉT: VỚI TƢ DUY HÌNH HỌC KHÔNG GIAN NHƢ TRÊN, CÁC
BẠN CÓ THỂ NGHĨ THÊM NHIỀU CÁCH GIẢI KHÁC (VÍ DỤ BẠN CÓ
THỂ GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ CÁC VỊ TRÍ KHÁC, NHƢ LÀ GỐC O
TRÙNG VỚI ĐIỂM A, CÁC BẠN SẼ CÓ HƢỚNG ĐI KHÁC). HY VỌNG
ĐÂY LÀ MỘT VÍ DỤ GIÚP CÁC BẠN NÂNG CAO TƢ DUY VỀ HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN.
CHÚC CÁC BẠN NGÀY MỘT CỐ GẮNG+NGÀY MỘT TỐT HƠN!
THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h


Page 6
Câu 5 (A-2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,
ˆ
30
o
ABC 
,
SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể
tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).
Bài giải:
Cách 1: (Dùng hình học không gian thuần túy)
Ta kẻ
SH BC
(SH chính là chiều cao của khối
chóp S.ABC).
+) Ta có:
.
1
.
3
S ABC ABC
V S SH


11
.( . ).
32
AB AC SH


3
1 1 3 3
( . . ).
3 2 2 2 2 16
a a a
a
(đvtt).
+) Mặt khác:
.
1
. ( ;( ))
3
S ABC SAB
V S d C SAB



Suy ra:
33
.
3. 3.
3 39
16 16
( ;( ))
1
13
1 13 3
.
.
2

2 4 2
S ABC
SAB
aa
Va
d C SAB
S
aa
SJ AB

   



Cách 2: (Dùng giải tích không gian)
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, với I, J lần lượt là trung điểm của AC và AB.
Ta dễ dàng có:
3 3 3 3
(0;0; ), ( ; ;0), ( ; ;0), ( ; ;0)
2 4 4 4 4 4 4
a a a a a a a
S A B C
.
- Thể tích khối chóp S.ABC là:
3
.
1
,.
6 16
S ABC

a
V SB SA SC



(đvtt).
- Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) là:
3
.
3
3 39
16
( ;( ))
1
13
,
2
S ABC
SAB
a
Va
d C SAB
S
SB SA

  


.
THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999



F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 7

Cách 3: (Các bạn có thể kết hợp giữa hình học không gian với giải tích không
gian)
- Ta có:
.
1
.
3
S ABC ABC
V S SH


11
.( . ).
32
AB AC SH
3
1 1 3 3
( . . ).
3 2 2 2 2 16
a a a
a
(đvtt).
(Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng công thức khoảng cách
từ một điểm đến mặt phẳng trong giải tích không gian)

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ (ta xác định tọa độ các điểm như cách 2):
-Phương trình mặt phẳng (SAB) đi qua điểm
3
(0;0; )
2
a
S
và có véctơ pháp tuyến
22
33
, ;0;
48
aa
n SB SA






là:
12 2 3 3 0x z a  
.
Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB):
22
12( ) 2 3.0 3
39
4
( ;( ))
13

12 (2 3)
a
a
a
d C SAB
  


.
Cách 4: (Sử dụng tính chất tỷ lệ để tìm khoảng cách)
- Ta có:
.
1
.
3
S ABC ABC
V S SH


11
.( . ).
32
AB AC SH
3
1 1 3 3
( . . ).
3 2 2 2 2 16
a a a
a
(đvtt).

-Kẻ
HK SI
, ta có HK chính là khoảng cách
từ H đến mặt phẳng (SAB), do đó:
( ;( )) 2 ( ;( )) 2d C SAB d H SAB HK

2 2 2
2
3
.
. 39
24
2 2.
13
3
24
aa
SH HI a
SH HI
aa
  








.


N.Xét: Với suy nghĩ tương tự trên các bạn có thể tìm khoảng cách từ điểm H đến
THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 8
mặt phẳng (SAB) bằng nhiều cách khác nữa (ví dụ có thể dùng giải tích không
gian,…), hy vọng các bạn sẽ tự suy nghĩ để nâng cao kiến thức về câu hình học
không gian.
Cách 5: (Tính khoảng cách bằng đoạn thẳng vuông góc)
- Ta có:
.
1
.
3
S ABC ABC
V S SH


11
.( . ).
32
AB AC SH
3
1 1 3 3
( . . ).
3 2 2 2 2 16
a a a

a
(đvtt).
-Kẻ
CT CB
()T BS
và
CJ AT
, khi đó CJ
chính là khoảng cách từ C đến mặt phẳng
(SAB):
22
. 39
( ;( ))
13
CT CA a
d C SAB CJ
CT CA
  



N.Xét: Để tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB), ta tính khoảng cách từ C
đến đường thẳng AT, khi đó ta có thể dùng giải tích không gian để tính, cụ thể:
,
( ; )
CA AT
d C AT
AT




.
Cách 6: (dùng bài toán cơ bản để tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng
(SAB))
THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 9

.
1
.
3
S ABC ABC
V S SH


11
.( . ).
32
AB AC SH
3
1 1 3 3
( . . ).
3 2 2 2 2 16
a a a
a
(đvtt).

- Kẻ
( ), ( )CT AC T BS CM CB M BA   
.
Áp dụng bài toán cơ bản ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1
( ;( ))d C SAB CT CM CB
  
.
Với
3, ,
3
a
CT a CB a CM  

Nên ta có:
39
( ;( ))
13
a
d C SAB 
.
Cách 7: (dùng tỉ số để tính thể tích và dùng giải tích không gian để tính thể
tích và khoảng cách)
Kiến thức: (chỉ áp dụng cho tứ diện)

Cho tứ diện S.ABC. Với mọi A’,B’,C’ lần lượt nằm
trên cạnh SA, SB, SC ta có:
. ' ' '
.

' ' '

S A B C
S ABC
V SA SB SC
V SA SB SC




THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 10
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
(0;0;0),C

(0;0; 3)Ta
,
(0; ;0), ( ;0;0)
3
a
B a M
(0;0; 3)CT a
,
( ;0;0), (0; ;0)
3
a

CM CB a
, ta có:
3

1
,.
66
B TCM C TBM
a
V V CM CB CT

  

.
Mặt khác:
.
.
.
B SCA
B TCM
V BS BA
V BT BM

3
.
16
B SCA
a
V
(đvtt).


N.xét: tiếp tục ta tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) bằng cách lập
phương trình mặt phẳng (BTM), rồi áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm
đến mặt phẳng.
Ta có:
2
2
, ( 3; ; )
3
a
BM BT a a

   

chính là vecto pháp tuyến của mặt phẳng
(BTM).
Suy ra phương trình mặt phẳng (BTM):
2
2 2 3
30
3
a
a x a y z a    
.
Vậy ta có:
 
 
2
2 2 3
2

2
2
2
22
3.0 .0 .0
39
3
( ;( )) ( ;( ))
13
3
3
a
a a a
a
d C SAB d C BTM
a
aa
   
  

    











THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 11
Câu 6(A-2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a,
3
2
a
SD 
, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung
điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
từ A đến mặt phẳng (SBD).
Bài giải:
Cách 1: (Dùng hình học thuần túy)
 Gọi H là trung điểm của AB, từ giả thiết ta có:
()SH ABCD
.
Xét
AHD
vuông tại A, ta có:
2
2
2 2 2 2
5
24
aa

HD AH AD a

    




Xét
SHD
vuông tại H, ta có:
2
2
22
35
24
aa
SH SD HD a

    



Suy ra thể tích khối chóp
S.ABCD là:
3
2
.
11
. . .
3 3 3

S ABCD ABCD
a
V S SH a a  
.

 Kẻ
 
,HI BD I BD
, kết hợp với giả thiết ta có:
 
BD SHI
.
Từ ABCD là hình vuông
 
/ / ,AC BD HI AO O AC BD    

Suy ra:
HI
là đường trung bình trong
ABO
12
24
a
HI AO  
.
Kẻ
 
,HK SI K SI
và từ
 

BD SHI
BD HK
hay
 
HK SBD
 
,( )d H SBD HK
.
THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 12
Do H là trung điểm của AB nên ta có:
   
,( ) 2 ,( ) 2d A SBD d H SBD HK
.
Xét
SHI
vuông tại I ta có:
2 2 2
2 2 2
2
2
.
1 1 1 .
4
3
2

4
a
a
SH HI a
HK
HK SH HI
SH HI
a
a
     





.
Suy ra khoảng cách cần tìm là:
 
2
,( ) 2
3
a
d A SBD HK
.
N.Xét: Các bạn có thể tìm HI bằng cách gắn vào
HBI
vuông tại I có:
2
.sin45
4

o
a
HI HB

Cách 2: (Dùng giải tích không gian)
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Ta có tọa độ các điểm:
;0;0 , ;0;0 , ; ;0
2 2 2
a a a
A B D a
     

     
     
,
 
0;0;Sa
.
   
;0;0 , 0; ;0 ; ;0;
2
a
AB a AD a AS a

  



Thể tích khối chóp S.ABCD là:

3

1
2 2. , .
63
S ABCD S ABD
a
V V AB AD AS

  


 
 
3
.
1
.,
63
S ABD SBD
a
V S d A SBD

  


 
 
3
.

3
2
2
,
1
3
,
2
S ABD
SBD
a
V
a
d A SBD
S
SB SD

   


.
N.xét: Các bạn có thể tính khoảng cách từ A đến mp(SBD) bằng cách lập phương
trình mặt phẳng (SBD) rồi áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt
THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 13
phẳng ta cũng có kết quả như trên.

Cách 3: (Ứng dụng của thể tích để tìm khoảng cách)
 Gọi H là trung điểm của AB, từ giả thiết ta có:
()SH ABCD
.
Xét
AHD
vuông tại D, ta có:
2
2
2 2 2 2
5
24
aa
HD AH AD a

    




Xét
SHD
vuông tại H, ta có:
2
2
22
35
24
aa
SH SD HD a


    



Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD
là:
3
2
.
11
. . .
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SH a a  
.

 Kẻ
HI BD
, kết hợp với giả thiết ta có:
 
BD SHI BD SI  
.
Ta có:
2
2 2 2
2 2 3
.sin45
44

22
o
a a a
HI HB SI SH HI a

       




Suy ra diện tích
SBD
là:
2
1 1 3 3
. . . 2
2 2 4
22
SBD
aa
S SI BD a

  
.
Từ
3

1
26
S ABD S ABCD

a
VV
và
   
3
.
.
2
3.
3
12
6
. ,( ) ,( )
3
33
4
S ABD
S ABD SBD
SBD
a
V
a
V S d A SBD d A SBD
a
S


    
.
N.Xét: Các bạn cũng có thể áp dụng công thức Herong để tính diện tích tam giác

SBD:
   
SBD
S p p SB p SD p BD

   
với
2
SB SD BD
p


. Áp dụng cách ưu
điểm là các bạn không cần phải tìm đường cao SI, nhưng cách này đòi hỏi kỹ
THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 14
năng tính toán hết sức cẩn thận.
Cách 4: (Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD) bằng cách trực tiếp)
* Ý tính thể tích các bạn tính như một trong các cách trên.
* Bây giờ chúng ta chỉ quan tâm đến yêu cầu tính khoảng cách từ A đến
mp(SBD): yêu cầu đặt ra ở đây là phải xác đinh được độ dài trực tiếp kẻ từ A đến
(SBD).
Chúng ta sẽ làm như sau:
Gọi H là trung điểm của AB và
O AC BD
.

Kẻ
 
HI BD I BD

Kết hợp với giả thiết
BD SI
(tính chất ba đường vuông góc).
Kẻ
 
//OP SI P SD BD OP  

kết hợp với
AC BD
,
suy ra:
()BD AOP
.
Kẻ
 
()BD AOP
AQ OP Q OP BD AQ

   

Suy ra:
 
( ) ,( )AQ SBD d A SBD AQ  

Xét
SID

theo talet ta có:

22
2 2 2 2
3 3 3 2
OP OD a
OP SI HI SH
SI ID
      
2
2
1 1 2

2 2 2 4
OPD
aa
S OPOD


   



.
Mặt khác:
 
 
 
 
 

,
2 2 2
,.
,( ) 3 3 3
d P ABCD
PD a
d P ABCD SH
d S ABCD SD
    
.
THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 15
Suy ra:
 
3
.
1 1 . 2
. ,( ) . .
3 3 2 3 18
P AOD AOD
AOOD a a
V S d P ABCD

  
.
Mà

.
.
6
1 1 . 2
. . .
3 3 2 . 3
P AOD
P AOD AOP
V
AQOP a
V S OD OD AQ
OPOD

    
.
Vậy:
 
2
,( )
3
a
d A SBD 
.
N.xét: Đến đây chắc các bạn đã cảm nhận được những điều thú vị qua một bài
hình học không gian trong đề thi đại học, làm được như vậy, sẽ giúp các bạn rất
nhiều trong tư duy toán học. Các bạn có thể vận dụng điều đó để đưa ra các cách
giải khác nhau với các đề thi đại học trong quá trình luyện tập.
CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG!