Đề thi học sinh giỏi môn toán tham khảo bồi dưỡng học sinh các tỉnh (4)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (106.15 KB, 5 trang )
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2007 - 2008
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN: 180 PHÚT
Bài 1 ( 5 điểm ): Cho biểu thức:
P(x) =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
− − +
+ −
+ − − +
a) Rút gọn biểu thức P(x).
b) Tính giá trò của x để P(x) =
1
2
.
c) Chứng minh rằng P(x)
≤
2
3
với mọi x ≠ 1 và x
≥
0
Bài 2 ( 5 điểm ):
Cho phương trình có ẩn x (m là tham số): x – mx + m – 1 = 0
1. Chứng tỏ phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với
∀
m. Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình
và giá trò của m tương ứng.
2. Đặt
2 2
1 2 1 2
6B x x x x= + −
a) Chứng minh B = m
2
– 8m + 8
b) Tính giá trò nhỏ nhất của B và giá trò của m tương ứng.
Bài 3 ( 4 điểm ):
a) tính giá trò của biểu thức: M = x + y, biết:
(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008x x y y+ + + + =
b) giải hệ phương trình:
1
1 1
1
x y
x y
+ =
+ =
Bài 4 ( 3 điểm ):
Cho đường tròn tâm O, dây AB < 2R. Gọi C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Kẻ hai dây CD
và CE cắt dây AB lần lượt tại hai điểm M và N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác DENM nội tiếp.
b) Cho AN = BM. Chứng tỏ rằng tứ giác DENM là hình thang.
Bài 5( 3 điểm ):
Cho tam giác nhọn ABC. Lấy điểm E
∈
AB, điểm D
∈
AC. Kẻ DF // CE (F
∈
AB), kẻ EM // BD (M
∈
AC). Chứng minh rằng: FM // BC.
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài 1 (5 điểm):
ĐKXĐ: x
≥
0, x
≠
1 0,25 đ
a) P(x) =
( ) ( )
15 11 3 2 2 3
1 3
1 3
x x x
x x
x x
− − +
− −
− +
− +
0,25 đ
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
15 11 3 2 3 2 3 1
1 3
x x x x x
x x
− − − + − + −
− +
0,25 đ
=
( ) ( )
15 11 3 7 6 2 3
1 3
x x x x x
x x
− − − + − − +
− +
0,25 đ
=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 5
5 7 2
3 1 3 1
x x
x x
x x x x
− −
− + −
=
+ − + −
0,25 đ
=
2 5
3
x
x
−
+
0,25 đ
b) Để P(x) = thì
2 5
3
x
x
−
+
= 0,25 đ
( ) ( )
2 5 2 3x x− = +
0,25 đ
-10 - = 3 – 4
-11 = -1 0,25 đ
x = 0,25 đ
Vậy khi x = thì P(x) =
c) Để P(x)
≤
thì
2 5 2
3
3
x
x
−
≤
+
0,25 đ
2 5 2
0
3
3
x
x
−
− ≤
+
0,25 đ
( )
6 15 6
0
3 3
x x
x
− − −
≤
+
0,50 đ
( )
16
0
3 3
x
x
−
≤
+
0,25 đ
Do x
≥
0 và x
≠
1 nên 3(
x
+ 3) > 0 0,50 đ
=> -16
x
≤
9 0,25 đ
Vậy
( )
16
0
3 3
x
x
−
≤
+
∀
x
≠
1 và x
≥
0 0,25 đ
Bài 2 (5 điểm):
Phương trình: x – mx + m – 1 = 0 (*)
1.
∆
= (–m)
2
– 4.1.(m – 1) = m
2
– 4m + 4 0,50 đ
= (m – 2)
2
≥
0 0,25 đ
Vậy (*) luôn luôn có nghiệm x
1
, x
2
∀
m 0,25 đ
* phương trình đã cho có nghiệm kép
⇔
0
0
a ≠
∆ =
0,25 đ
⇔
(m – 2)
2
= 0
⇔
m = 2 0,25 đ
Nghiệm kép: x
1
= x
2
=
( ) 2
1
2.1 2 2
m m− −
= = =
0,25 đ
2. a) Ta có:
2 2
1 2 1 2
6B x x x x= + −
( )
2
1 2 1 2 1 2
2 6B x x x x x x= + − −
0,50 đ
( )
2
1 2 1 2
8B x x x x= + −
(1) 0,25 đ
Theo đònh lí Vi–ét thì:
1 2
1 2
( )
1
1
1
1
m
x x m
m
x x m
− −
+ = =
−
× = = −
(2) 0,50 đ
Thay (2) vào (1) có: B = m
2
– 8(m –1) = m
2
– 8m +8 (đpcm) 0,50 đ
b) B = m
2
– 8m +8 = (m
2
– 8m +16) – 8 0,25 đ
= (m – 4)
2
– 8 0,25 đ
Vì (m – 4)
2
≥
0
⇒
(m – 4)
2
– 8
≥
–8 0,50 đ
Vậy giá trò nhỏ nhất của B là – 8 0,25 đ
Dấu “=” xảy ra
⇔
m – 4 = 0
⇔
m = 4 0,25 đ
Bài 3 (4 điểm):
a) Ta có:
(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008x x y y+ + + + =
⇔
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
2008 2008 2008 2008 2008x x y y x x x x+ + + + − + = − +
0,50 đ
⇔
(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008 2008y y x x− + + = − +
0,25 đ
⇔
y = – x +
2 2
2008 2008x y+ − +
0,25 đ
Tương tự ta cũng có:
x = – y +
2 2
2008 2008y x+ − +
0,25 đ
Vậy: x + y = – x +
2 2
2008 2008x y+ − +
– y +
2 2
2008 2008y x+ − +
0,25 đ
⇔
x + y = – x – y
⇔
x + y = – (x + y)
⇔
x + y = 0 0,25 đ
Vậy: với
(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008x x y y+ + + + =
thì M = x + y = 0 0,25 đ
b) Phương trình:
1
1 1
1
x y
x y
+ =
+ =
Giải:
Điều kiện: x
≠
0, y
≠
0 0,25 đ
Nhân vế theo vế hai phương trình của hệ đã cho ta được:
( )
1 1
1x y
x y
+ + =
÷
0,25 đ
⇔
(x + y)(x +y) = xy 0,25 đ
⇔
(x + y)
2
– xy = 0 0,25 đ
⇔
x
2
+ xy + y
2
= 0 0,25 đ
⇔
2
2
3
0
2 4
y y
x
+ + =
÷
0,25 đ
Ta có:
2
2
3
0
2 4
y y
x
+ + >
÷
∀
x
≠
0, y
≠
0 0,25 đ
Vậy hệ đã cho vô nghiệm. 0,25 đ
Bài 4 (3 điểm): Vẽ hình, ghi GT và KL đúng 0,25 đ
Ta có:
·
»
¼
( )
= +
1
2
DMB sd AC DEB
0,25 đ
(Góc có đỉnh bên trong đường tròn)
Và
·
¼
1
2
DEN sd DAC=
0,25 đ
(Tính chất góc nội tiếp)
⇒
·
·
»
¼
¼
2
AC DEB DAC
DMB DEN sd
+ +
+ =
0,25 đ
Hay
·
·
» »
»
»
»
2
AC DE EB DA AC
DMB DEN sd
+ + + +
+ =
Mà
»
»
AC CB=
(gt) 0,25 đ
Nên
» »
»
»
»
( )
0
360sd AC DE EB DA AC+ + + + =
Vậy
·
·
DMB DEN+
= 180
0
Mà
·
DMB
và
·
DEN
là hai góc đối
⇒
tứ giác DENM nội tiếp. 0,25 đ
Do AN = BM (gt)
⇒
AM + MN = BN + MN 0,25 đ
⇒
AM = BN
Mà
»
»
AC CB=
(gt)
⇒
AC = CB (Quan hệ giữa cung và dây) 0,25 đ
⇒
∆
CAM =
∆
CBN (c.g.c) 0,25 đ
⇒
·
·
ACM BCN=
(hai góc tương ứng)
⇒
»
»
AD BE=
(tính chất góc nội tiếp của một đường tròn)
⇒
·
·
BAE DEA=
(tính chất góc nội tiếp) 0,25 đ
Mà hai góc BAE và DEA ở vò trí so le trong nên AB // DE.
Mà MN
∈
AB
⇒
MN // DE 0,25 đ
Vậy tứ giác DENM là hình thang 0,25 đ
Bài 5 (3 điểm):
N
M
C
O
A
B
D
E
N
M
C
O
A
B
D
E
Vẽ hình và ghi GT, KL đúng 0,25 đ
Do DF // CE (gt) nên
AF AD
AE AC
=
(theo đ/l Ta–let) 0,50 đ
⇒
AF.AC = AD.AE (1) 0,50 đ
Do EM // BD (gt) nên
AE AM
AB AD
=
(theo đ/l Ta–let) 0,25 đ
⇒
AM.AB = AD.AE (2) 0,25 đ
Từ (1) và (2)
⇒
AF.AC = AM.AB 0,25 đ
⇒
AF AM
AB AC
=
0,50 đ
⇒
FM // BC (Đònh lí Ta–lét đảo) 0,50 đ
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
M
F
A
B
C
E
D
