TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHÒATOÁN’
NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC
KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
CỔ ĐIỂN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • •
Chuyên ngành: Đại số
Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ
KIỀU NGA
HÀ NỘI – 2014
■
Đề tài khóa luận tốt nghiệp: “ K H A I T H Á C T Ừ M Ộ T S Ố B Ấ T Đ Ẳ N G
T H Ứ C C Ổ Đ I Ể N ”

được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận
tình của các thày cô và bạn bè.
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tói cô giáo hướng dẫn - TS.
Nguyễn Thị Kiều Nga đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Đồng thời em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ Đại số
trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014 Sinh viên
Nguyễn Thị Bích Ngọc
Khóa luận được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn tận tình
của TS. Nguyễn Thị Kiều Nga.
Khóa luận là kết quả nghiên cứu của em, không trùng vói bất kì đề tài nào khác.
Tất cả các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực.
Em xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình.
Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014 Sinh viên
Nguyễn Thị Bích Ngọc
LỜI CẢM ƠN
MUC LUC

•
•
• ■
• MỘT SỐ KÍ HIỆU sử DỤNG TRONG KHÓA LUẬN
• • • •
•

ữịữj

= ữịŨ

2 "I" ữịữ^

+ + ữịữ

n

+ й
2
^з "I" ^2^4 •"
•••
a



n

• 1 <i<j<n
• ^/(o
1

,a
2
, ,ữ
n
): tổng hoán vị theo N

biến số a
b
a
2
, , a
n
• cyc
• ^F ( A , B , C

) = / (аД c) + / ( B , C , A )

+ / (c,a,fc)
• ợyc
• Ví dụ: Y ^ A

2

B

= q
2
fc + fc
2
c + c

2
fl
• cyc
• GTLN: Giá trị lớn nhất GTNN: Giá trị nhỏ nhất
• MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
• Nói chung, cuộc sống của mỗi con người luôn có sự tìm kiếm và khẳng
định giá ttị bản thân. Mỗi vật có chỗ đứng ttong thế giới luôn thay đổi này là
nhờ giá trị của nó nhưng người ta thường không nhận ra rằng mọi vật chỉ có
thể nhận giá tri trong quan hệ so sánh. Chính quan hệ đó đã tạo ra các bất đẳng
thức của cuộc sống.
• Thực tế dù câu nói “mọi so sánh đều khập khiễng” có đứng đắn đến
mức nào thì con người vẫn không ngừng đánh giá - so sánh.
• Các bài toán so sánh đặtravề sau ngày càng khó hơn với sự mở rộng của
các phép toán. Tất cả các nhà toán học đều có chung một quan điểm là “Các
K Ế T Q U Ả C Ơ B Ả N C Ủ A T O Á N H Ọ C T H Ư Ờ N G Đ Ư Ợ C
B I Ể U T H Ị B Ằ N G N H Ữ N G B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C C H Ứ
K H Ô N G P H Ả I B Ằ N G N H Ữ N G Đ Ẳ N G T H Ứ C ” .

Điều đó cũng
giống như trong cuộc sống người ta luôn gặp sự khác nhau giữa các sự vật hiện
tượng và ngay trong bản thân mỗi sự vật hiện tượng cũng biến đổi theo từng
giây phút. Mặt khác, trong đời sống xã hội chúng ta luôn sử dụng tư duy bất
đẳng thức để đánh giá hoạt động của doanh nghiệp, hoạt động xuất nhập khẩu,
thị trường chứng khoán, tài chính, ngân hàng Vì thế để phát triển tư duy và
đánh giá tốt các sự biến đổi trong cuộc sống thì càn phải có tư duy tốt về bất
đẳng thức toán học.
• Nói riêng, ữong chương trình toán phổ thông các bài toán về bất đẳng
thức thường là những bài toán đem lại cho học sinh nhiều thú yị song chúng
cũng là những bài toán khó. Chúng thường có mặt trong các đề thi học sinh

giỏi và các kỳ thi cao đẳng, đại học. Để giải quyết chúng đòi hỏi phải có sự
sáng tạo, kiên trì, linh hoạt của người yêu thích toán.
4
• Tất nhiên có rất nhiều phương pháp để giải các bài toán này và việc lựa
chọn một phương pháp tối ưu cho lời giải hay và ngắn gọn, đẹp mắt là việc rất
quan trọng. Một trong các phương pháp đó là chúng ta sử dụng các bất đẳng
thức kinh điển, nhờ nó mà hầu hết các bài toán đều được giải quyết một cách
nhanh chóng.
• Được sự động viên, chỉ bảo tận tình của cô Nguyễn Thị Kiều Nga cùng
với sự say mê của bản thân, em mạnh dạn nghiên cứu và thực hiện khóa luận
với đề tài “ K H A I T H Á C T Ừ M Ộ T S Ố B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C C Ổ
Đ I Ể N ” .
2. Muc đích và nhiêm vu nghiên cứu
• • • o
• Khai thác các ứng dụng của một số bất đẳng thức cổ điển.
3. Đối tượng nghiên cứu
• Một số bài tập về bất đẳng thức.
4. Phương pháp nghiên cứu
• Đọc tài liệu, so sánh, phân tích và tổng hợp.
5
1.1Quan hệ thứ tự trên R và bất đẳng thức
• Trên tập số thực M xác định quan hệ “<” được định nghĩa như sau:
Với mọi A , B

thuộc R, ta có
•

A < B

nếu& - A


là số dương. Ta kí hiệu A < B

nếu A < B


hoặc A - B A < B

còn được viết là B > A A < B

còn được viết là B
> A
• Ta có tổng và tích của các số thực dương là một số thực dương.
• Cho hai biểu thức A

và B

. Nếu xảy ra các quan hệ A < B , A < B ,
B > A , B > A

thì ta gọi đó là một bất đẳng thức. A

gọi là vế trái, B

gọi là
vế phải của bất đẳng thức đó.
1.2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức Với các biểu thức A

và
B


theo định nghĩa ta có A < B

khi và chỉ khi B - A

>0 A < B


khi và chỉ khi B - A

>0 Cho A , B , C , D

là các biểu thức. Khi
đó ta có các tính chất sau đây: A<B và B<c thì A<c A < B V À
C<Dthì A + C < B + D A < B

khi và chỉ khi A + C < B +
C A < B

khi và chỉ khi M A < M B [ M >

o)
•

A < B

khi và chỉ khi M A > M B

(m < o)
•


A < B

khi và chỉ khi - A > - B
• A<B và C>D thì A-C<B-D
• A<B và C<D, A, B, c, D >0 thì AC<BD
• A<B, A, B>0 , rc e N thìA"<5"
• ,11 А < В ,

A ,

В

cùng dấu thì — >
-r
• A В
• A<B, A,fi>0,neN th\4Ã<4B
1.3. Hàm sổ lồi, hàm số lõm
1.3.1. Định nghĩa tập lồi
• Tập Ả

C L

X

được gọi là tập lồi
nếu:
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
6
•


У Х

1

, Х

2

e A;V/le [0,1] = > À X ^

+

(1 - X ) ^ A V Í
D Ụ :

các nửa khoảng, tam giác, đường tròn đơn vị trong mặt phẳng là các tập
lồi.
1.3.2. Định nghĩa hàm số lồi, hàm số lõm
• Hàm số / (jt)được gọi là lồi trên [a,z?]nếu vói mọi X

V

X

2

e [ A , B ]

với

• mọi A , S S >

0 thỏa mãn A + S S =

1
T A C 0 F [ A X

L

+ S S X

2

) < A F [ X

L

) + S S F [ X

2
) Hàm F ( X )

được gọi là
hàm lõm trên [ A , B ]

nếu - F ( X )

là hàm lồi trên [А

, B ] .

1.3.3. Tính chất cơ bản của hàm lồi
• Tính chất 1. Cho D

là tập lồi trong K Giả sử F

2

( X ) , . . . , F

N

( X

)là
các hàm lồi xác định trên D .

Cho Ả Ị

> 0, với mọi I = L , 2 , . . . , N .

Khi đó
hàm số /îj/j (jc) + Лз/з (jc) + + Ằ

N

F

N

(jc) cũng lồi trên D .

• Tính chất 2. (Điều kiện để một hàm số là hàm lồi)
• Cho D

là tập lồi trên R
2
. Hàm / : D

M. là hàm lồi trên D

khi và
• chỉ khi (-^,y
1
), (x
2
,y
2
)thuộcDthì
•

Y / { X )

= F Ọ I X Y

+(1 - Ả ) X

2

\

Л У


1

+ (1 - Ằ ) Y

2

)

làhàmlồittên
[0;l]
• Tính chất 3. Cho D

<z]R là tập hợp lồi, hàm số/: D — > R

là hàm lồi
• trên D .

Khi đó vói mọi số thực a thuộc № thì các tập
• К={{
х
’У)
&г>:
/{
х
’У)
<а
}
• N
ữ

={{x,y)eD:f(x,y)<a}
• là các tập lồi trong M.
•

C H Ú Ý :

Các tập №

A

, N

A

gọi là các tập hợp mức của hàm lồi
F ( X , Y ) .

Ta quan niệm tập Ф là tập lồi.
• Tính chất 4. Giả sử / : D

—» K D là tập lồi trong Ш
• Đặt E P I F

= |(jc, j) G M
; Y ,

X

G d| E P I Ý Â Ư Ợ


с gọi là tập lồi trên
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
7
• đồ thị. Hàm / là lồi trên D

khi và chỉ khi E P I Ý Ì Ầ L

tập lồi trong M
Tính chất 5. Cho/(jt)là hàm xác định trên [ A ,

B ]

và có đạo hàm cấp 2 tại
jee[ữ,z?]. Nếu/"(jc)>0, Vjce[a,&]thì /(jc)là hàm lồi ưên [ A , B ] .

Nếu F ( X )


<0, Vjce[a,b]ứù /(jc)là hàm lõm trên [ A , B ] .
1.3.4.Hàm afin
• Cho hàm số/ : D

—»R. Hàm/là hàm afin khi và chỉ khi/(x)vừa là hàm
lồi, vừa là hàm lõm.
•

C H Ú Ý :

Hàm / (jt) có dạng / (x) = A X + B


trong đó A ,

B

là
những số thực được gọi là afin.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
8
• KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỎ
ĐIỂN
• ■
•
2.1. Bất đẳng thức Cauchy(AM - GM)
2.1.1. Định nghĩa
• Với mọi số thực không âm A

L

, A

2

, . . . , A

n
ta có
•
•
• Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A


L

= A

2

= . . . = A .
2.1.2. Chứng minh
• Trước hết ta chứng minh rằng: với Va >0, ne N ta có
• a
n+1
- ịn + ìja + n> 0
• Thật vậy,
• a
n+ì
-{n +1 )ữ + «>0 = a
n+l
-na-a + n
• = ịa
n+1
-a)-n(a-l)
• = aịa
n
-ÝỊ-nịa-Ý)
—

Ữ Ị ^ Ũ —

1
+

2
+ + lỊ
—
N Ị Ữ —

l)
• = (a-l)|^ữ" + a
n
~
l
+ + a)-nJ
• = (a-l)^a" -lỊ + ^a"”
1
-l)+ + («-
l)J
CHƯƠNG
9
•
(
•

= ( Ữ -

1)
2 1
+ 2a
n
”
2
+ 3 A


N

~

3
+ + Ị N -

l)a + n) ~ Ị >

0
• Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy bằng
quy nạp theo N .

Với N

-1 :bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
• Giả sử bất đẳng thức đúng với N

số thực không âm, tức là
CHƯƠNG
1
ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với N

+1 số thực không âm
•
Đăt b

_
fl

l
+ fl
2
+
•••
+ a



n

+


a



n+ỉ

c

_ ^i+a

2

+ + fl

H
•


N

+1
n
• áp dụng (1) với a = — ta có
• c
• íh X
+1
h
- -(n +l)—+ n>0
• c
•

z>"
+1
— (« + l)c"£ + nc"
+1
> 0
<=> b
n+1
> (n +1 )c
n
b - nc
n+ì
= c
n

((« +1 )b - nc)
• ^(ữ


1
+ữ

2

+ — + a

n

+ a

n+1
Ỵ >
ữ
(a

1
+a

2

+ + a

n

Ỵ
•

{


N

+1 )

"
+
\ N
•

( T H E O

giả thiết quy nạp)
• + ữry + + ÍZ , I
• suy ra — — — >
<2

^2

, A

N + Ỉ
•

N

+1
• hay bất đẳng thức đúng với n + 1 số thực dương.
• Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
• Hiển nhiên dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

•

CL + ữry + + ữ ,
•
a
i
=a
2
=
—
= a
n+l
=
1
—<^(h=a 2
• n + l
2.1.3. Khai thác từ bất đẳng thúc Cauchy
CHƯƠNG
1
—
a
n+\
a
i
a
2"-
a
n
2.1.3.1. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy trong chứng minh
bất đẳng thức Ví dụ l.Vói a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

• a
5
+ b
5
+ c
5
> a
2
b
3
+ b
2
c
3
+ c
2
a
3
(1)
• Giải:
• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
• a
5
+a
5
+b
5
+b
5
+b

5
>5a
2
b
3
b
5
+b
5
+c
5
+c
5
+c
5
>5b
2
c
3
c
5
+c
5
+a
5
+a
5
+a
5
> 5c

2
a
3
CHƯƠNG
1
• Cong ve voi v§ cua cac bat dang thuc tren ta dugc
• a
5
+ B

5

+ C

5

>
A

5
B

6
+ B

2

C

3


+ C

2

A

3
Vay bat dang thuc (1)
dugc chung minh.
• Dau “=” xay ra khi va chi khi A = B = C .
• Vi du 2. Voi A , B , C

> 0. Chung minh rang:
• a’b
3
+ b
3
c
3
+ c
3
a
3
> abc (ab
2
+ be
2
+ ca
2

)
(2)
• Giai:
• Chia 2 ve cua (2) choA

3

B

3

C

3

>0. Khi do bat dang thuc can
chung minh tuong duong voi
• 1 1 1 1 1 1
•

— Z R

H— T

H—r ^ ^—I—^—I"'
• a
3
b
3
c

3
a
2
b b
2
c c
2
a
• Ap dung bat dang thuc Cauchy ta co
• 1 1 13
• Z I Z I T" ^ '
•

A

3
fc
3
c
3
1 1 13
• Z I Z I Z~ ^ '
• fc
3
fc
3
C
3
B


2

C
•
• Cong ve voi ve cua cac bat dang thuc tren ta dugc
• 1 1 1 1 1 1
• Z I Z, I ZT ^ Z I Z I” "
• a
3
b
3
c
3
a
2
b b
2
c c
2
a
• Dau bang xay ra khi va chi khi A = B = C .
• Vi du 3.Voi A , B , C

> 0. Chung minh ring:
• (l + a
3
)(l + Z?
3
)(l + c
3

)>(a + Z?c)
3
• Giai:
• Chia ca 2 ve cho B

3

C

3

> Ota dugc
•
5Z I I — ^ ■
6 3
c c
•


•

r
•
•

f,
•
• 1
•



•

1
•


/
•

V

C

/
•
•

I
B E )
• (l
+
fl3
)[l
+
^
• Đăt X = A ,

Y


= —

, Z = — .

Khi đó bất
đẳng thức tương đương với B

С
• (l + *
3
)(l+;y
3
)(l + z
3
)>(l + xyz)
3
^ Ậ Í
+ X

3

) ( L + Y

3

) ( L + Z

3

) > ( L +

X Y Z )
•
op=
4
+
*
3
)(i^
3
)(i+^
+
í^)(i
3
5x
i+
;
3
)
sl
• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
1
3
2 Vậy ta có điều phải chứng minh.
3 Ví dụ 4.VỚĨ A , B , C >

0. Chứng minh rằng:
4 (1 + A

3


) (

1 + B

3

) (

1 + с
3
) > (1 + A B

2

) (

1 + B C

2

)
(

1 + C A

2

)
5 Giải:
6 Với X , Y , Z


>0 ta có
7 ỉj(l + x)(l + y)(l + z) ỉỊ(l + x)ậ + ỵ)(l + z) ~
8
1
-
1

+

1
-2L
+
-JL
+
_?_
9
<
l + л: 1+J 1 + z l + x l+y
1 + z_ị
3 3 ”
10 suy ra ^/(1 + x)(l + y)(l + Z ) >

1 + Ị [ X Ỹ Z
11 hay (ĩ + x)(ĩ + y)ịl +z)>ịl + tfxỹz)
12 Với x = a
3
,y = z = b
3
ta có

13 (l + a
3
)(l + z?
3
)
2
>(l + afc
2
)
3
14 Tương tự ta có
(l + z?
3
)(l + c
3
) >(l + B C

2 >

J

15 (l + c
3
)(l + a
3
)
2
>(l + ea
2
)

3
Nhân vế với
vế của các bất đẳng thức trên ta được
16 (l + a
3
)
3
(l+ b
3
)
3
(l + c
3
)
3
> (l + ab
2
)
3
(l + bc
2
)
3
(l +
ca
2
)
3
hay ịl + a
3

^ịl + b
3
^ịl + c
3
^>ịl + ab
2
^ịl + bc
2
^ịl +
ca
2
^
17 Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
18 Ví dụ 5.VỚĨ A .

>0, { Ỉ

= l,2, ,n) thỏa mãn điều kiện =1 . Chứng
19 ;=1
20 m inh rằng: ——— > —-—
21 tr2-«,. 2n-l
22 Giải:
23 Áp dụng bất đẳng ứiức Cauchy 2 lần cho N

số thực dương ta có:
24 X(2-a
(
.)>n[n(2-fl
(
.)]”

25 i

=1
26
27 n

1
28 2 -a
t
29
30 Suy ra
31 ấ(2-«,)ấy
1
-^
2
32 i=l (=1
z
A

I
33 Vì = 1 nên ta có
34 i

=1
35 / _ -Axh 1^ 2

'V'
1
2 2n
2

2
N

36 (2n-l) V— - — >n V—-—> — — —<=>v—-—
>—-—
37
v
^2-dị ^2-a,. 2n-l j-Ị2-a, 2n-ì
38 hay Ỷ — í-^- + Ẵ
1
«ấ|"—
39 ^2-a,. 2n-l tí M 2-ữ,. 2n-l
40 tức là
n
2
+
41 tr 2-a
(
. 2n-l
42 Vậy ta có điều phải chứng minh.
43 n
44 Ví dụ 6. Vói D Ị

>0 (i = 1,2, ,«) thỏa mãn điều kiện^fl. =1. Chứng
45 1=1
46 minh rằng:
47
48 Giải:
49 s a
t

_s - dị
50 Đặt S

= Vữ, ta có—-1 =
51 i=i A .
52 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho N

-1 số dương ta có
53 !_ 1 = s-q > (n-ĩy^a

l

a

2

a

i

_

1

a

i+v

a


n

,
2
,
54
a
i
a
i
a
i Nhân vế với vế của N

bất đẳng thức trên ta được
55 n
56 (=1
57 Ví dụ 7. Với D Ị

(i = 1 , 2 l à các số thực dương. Chứng minh
rằng:
58 «1 „
2
59 i=l
60 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi«! = A

2

= . . . = A .
61 Giải:
62 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho N


số thực dương ta có
63 (

n An
64 n

( n
65 n

a
i
66 i=1 V 1-1 y
67 r
68 Dâu “=” xảy ra khi và chỉ khi A

]

= A

2

= . . . = A

N
n
>(„-!)■
i
-1
v

a
i V
» ( I

'N
a, dị d ị dị
69 Ta có
70 Dấu bằng
xảy ra khi và chỉ
khi = A

2

=
71 suy ra Ỹj
a
ìỲ,— -
n2
72 i=i Í=1 Ữ Ị
73 hay
74 i=l
75
76 Dâu băng xảy ra khi và chỉ khi ữ, =
A

2

= . . . = A
77 Bài tập tương tự
78 Bài l.Với A , B , C , D >


0 thỏa mãn
A + B + C + D = \ .

Chứng minh
rằng:
79
80 Hướng dẫn:
81 1 . a + a + b + c
+ d ^ 5%Ja
2
bcd
—
—
1 , ^ 5 zld
2
abc
—
—
+

1
>

—

í
/

í

/
=
1 SMù
1
tì-•
« Ẻ « ,
'l+è'
V C j
'i
+
ỉ'
V d J
1
>

5
1
V
u
/
V
— Nhân vế với vế của các bất đẳng thức
ừên ta được điều cần chứng minh.
—
—
—
—
—
—
—

—
—
—
—
—
—
—
—
—
—

A B C D A + B + C + D

Bài 6. V Ớ I A ^ B Ị

(i = 1,2, ,«) là
những số thực dương. Chứng minh rằng:
—
— Hướng dẫn:
— Bất đẳng thức đã cho tương đương với
— 1
—
—
—
—
— Áp dụng bất đẳng ứiức Cauchy ta được
—

p<iỳ—ĩ—+lỳ


a

>

- +lỳ

b

'

n^X + dị+bị nj^‘ì + a
i
+ bị n^X +
dị+bị
Chứng minh rằng: ——f ——I—-—I—- >

2-a 2-b

2-c

2 -d 1
Hướng dẫn:
Sử dụng kết quả của ví dụ 5 với N = 4

Sử dụng ví dụ 7
để chứng minh các bất đẳng thức sau: Bài 3.VỚĨ A,B,C >

0.
Chứng minh rằng:
\A + 2B B + 2C


c + 2ữy
Bài 4. Với A,B,C

>0. Chứng minh rằng:
1 4 9 36
- + - + ->———. A
B C A+B+C
Bài 5. Với A,B,C,D >

0. Chứng minh rằng:
1 1 4 16 ^ 64
- + - + - + — >
1 1 1 o
-+-+->3 A
í
1
1
1
+
+
Bài 2. Cho a,b,c,d >0 ứiỏamãn điều kiện a + b + c + d -1
2
— n
—
(
—
(
n
—

N
—
1
—
(
» >
—
1
— n(i+ữ
(
.
+&,.)>
—
1+
—
n«
—
h
—
+
— r
ô
—
— ỉ=\
—


V
—
^

— —
—
^
i=1
—
/
" n

Í

1

rị«. + №
Yị(
1+ a
i
+ b
i)
V 1-1
>1
V
V i=1 y
1
1
b
ử
r
a
n
<

OP =
+
+
i=i 1 +
a
i + bị
1 1 + dị +
.=1 1 + «i + bị
V
V
í:
—
V
1
— hayP<-Ỷ1 = - = 1
— ntỉ n
— Vậy ta có điều phải chứng minh.
2.1.3.2. Xây dựng bất đẳng thức và áp dụng
— Cơ sở lý luận: Từ bất đẳng thức Cauchy ta xây dựng các bất
đẳng thức trung gian dạng phân thức. Sử dụng các bất đẳng thức trung
gian đó chúng ta chứng minh được một số bất đẳng thức khó.
— Ví dụ l.Vói A , B , C

là các số thực dương. Chứng minh rằng:
— a
3

c
3
a

— + ^r + ^7 > .
— a
2
+b
2
b +c a +c
— Giải:
— Ta có
—

. a

2



+b

2

—
—
— Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
— Đây là một bất đẳng thức khó với cách giải hay. Sử dụng bất
đẳng thức này chúng ta chứng minh các bất đẳng thức hệ quả sau.
—
—
—
—
—

—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Ví dụ 2.YỞIA,B,C

>0, A,P,Ỵ>

0. Chứng minh rằng:
a

2




+{l-a)b

2


a+b

2

b

2



+(l-p)c

2

b

2



+c


2

c

2



+(l -ỵ)a

2



c

2


+a

2

+
>
+
Giả
2
a
\-r-

2,
\-ỄL'
2/
b
>
Ữ


c
2
Giải:
Ta
ab

2

^
v
a

2



+b

2




;
a

2



+(l-a)b

2


a

2



+b

2

a
—
ab ^

ab a + b

ab


= A-AB

- - >A

~——, - = a~ —
a

2



+b

2



2 a

2



+b

2



2

Tương tự ta có
b

2



+(l-j3)c

2

b

2



+c

2

c

2



+{l-ỵ)c

z




c

2


+a

2

>b- Ễ E
>c~ —
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh. Ví

dụ 3. Vói A > 0,B,C <

1. Chứng minh rằng:
a(a

2



+2^-b

2




)

b(b

2



+2c

3



-c

2



)

c(c
2
+ 2a
3
-fl
2
)

a

2



+b

2





+
b

2



+c

2





+

c

2



+a

2

>a

2



+b

2



+ c

2



.
Giải

Từ kết quả của ví dụ 2, chọn a = 2ị\-b), Ị3 = 2ị\-c), ỵ = 2(l-a)
ta có điều cần chứng minh.
Ví dụ 4. Với A,B,C >

0. Chứng minh rằng:
(

3 B

2

- A

2

^
+ B
<a + b
— Sử dụng kết quả của ví dụ 2 với A = P = Ỵ =
A

ta được
—
—
—




r




b-
3c

2



^
—

V-
3a
2>


c

2



+a

ỉ


J

— í 'In
2
_„
2
'\
—

ia —
c
— 2 2
v
c
+ a J
—




r



3b
2



-a
( 2 Q72^
>—ịa + b +

+
+
a
a +b
b +c
/
2
ha
+
<a+b+c
+
a
—




r



3c
2



-b
—

c


2

+
a

2



'
—

a

2



+b

2



b

2




+c

2



c

2



+a

2



—

Ví dụ 6. Với A,B,C

> 0, A

> 0. Chứng minh
rằng:
—

B


3
-
3
—

a

2



+b

2



+ aab b

2



+c

2




+ abc c

2



+ a

2



+
aca
—

Giải:
—

Thật vậy, với A

> Ota
có:
— a
3
— ữ
2
+
fc
2

—

Ầ +B

2

4—(A

2
+
£
2
)
—- >
—

b

2



+ c

2



+ abc a
+ 2

^ b + c ca
a
+
a +

b +
a
>
+
+
a
Tương tự ta có
\
b +c
y
Suy
— >
—

c

2



+ a

2




+ aca a
+ 2
— г
— Sử dụng kêt quả của ví dụ 6 với А

-1 ta có bài toán sau:
— Ví dụ 7. Với A , B , C >

0 .Chứng minh rằng:
—
—
— Sử dụng kêt quả của ví dụ 6 và chọn А

= —

> 0 ta có bài
toán sau:
— а
— Ví dụ 8. Vói A , B , C

> 0 .Chứng minh rằng:
— a
3
ab
3
с
3

>

{a + b + c)a
— ũ -ị~b -\~b ữịỉ?
2
+ c
2
^ + bc с +ữ +c l + 2a
— Ậ 1
— Sử dung kêt quả của ví
du 6 và chon А

=

>0 ta có bài toán sau
— abc
—
— Ví dụ 9. Vói A , B , C >

0. Chứng minh rằng:
— ^a + b + c^
— ca
3
ab
3
bc
3
— c(a
2
+b
2
) + l

+
a(b
2
+c
2
) + l
+
b[c
2
+a
2
) + l
— Ví dụ 10. Với A , B , C

>0. Chứng minh rằng:
—
—
—
— 3 , , 3
+
, 3 , 3
+
3 , 3
+
—

Ũ

+ơ Ь


+с С

+ữ Ữ
— Giải:
— byfb су/с a^Ịã
— —-—I—-—I——
—

v
4a *Jb
4c ;
—
—
— a
A
a(a
3
+b
3
-b
3
) ab
3
hsfb
— Та CO г- = —-— —- — A

—5

7


— A
7

=—5

:
— a +b a +b a +b 4a a
3
+b
a
>
1 +
4 7 4 4 л С. ГГ Г г~ Л
> a + b
3
— а
3
+b
3
>2^а
3
Ь
3
<^>
a



> Ja
3

b
3
— 2
— a
4
bS a
3
+b
3
a
4
b\Ịb
—
Su
y
га
з~Тз" о

3

'

7

3

+
— ö +0 2л/я я +ơ ữ +ơ 2V«
— Tương tự ta có
—


fc
3
+c
3
2л/&
—

с
4
ay/a ^
— + —^> c
— с
3
+ А

3
2 л/с
— Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng
thức cần chứng minh.
— Ví dụ 11. Với A , B , C

>0. Chứng minh rằng:
— a
7
b
5
с
5
1 (b

2
с
2
а
2Л
—
—
7 2
_ , С ^ a
Tương tư ta со —

J >

с

- —
с +a 2 с
>a+b+c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có
2