UBND TỈNH ĐIỆN BIÊN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Cuộc thi Thiết kế bài giảng điện tử e – Learning

Bài giảng
Tiết 27: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (tiết 1)
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Vân

Điện thoại di động: 01254068666
Trường THPT Thành phố - Thành phố Điện Biên Phủ

Phương trình mặt phẳng: PTMP
Mặt phẳng: mp
Phương trình tổng quát: PTTQ
CHÚ Ý
Vevtơ pháp tuyến: VTPT

Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy, vectơ được gọi là
vectơ pháp tuyến của đường thẳng a nếu:
n
r
0n ≠
r r
Đúng - Click chuột để tiếp
tục.
Đúng - Click chuột để tiếp
tục.
Chưa đúng - Click chuột để
tiếp tục.
Chưa đúng - Click chuột để

tiếp tục.
Em đã trả lời đúng câu hỏi
này!
Em đã trả lời đúng câu hỏi
này!
Đáp án của em là:
Đáp án của em là:
Đáp án đúng là:
Đáp án đúng là:
Em chưa hoàn thành câu hỏi này!
Em chưa hoàn thành câu hỏi này!
Em phải hoàn thành câu hỏi
này trước khi tiếp tục.
Em phải hoàn thành câu hỏi
này trước khi tiếp tục.
Trả lời.Trả lời.
Tiếp tục.Tiếp tục.
n
r
A)
Giá của vuông góc với đường thẳng a.
B)
Giá của song song với đường thẳng a.

Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy, PTTQ của đường thẳng
đi qua và nhận làm VTPT là:
( ) ( )
0 0
0A x x B y y
− − + =

0 0
0Ax x By y
− + − =
Đúng - Click chuột để tiếp
tục.
Đúng - Click chuột để tiếp
tục.
Chưa đúng - Click chuột để
tiếp tục.
Chưa đúng - Click chuột để
tiếp tục.
Em đã trả lời đúng câu hỏi
này!
Em đã trả lời đúng câu hỏi
này!
Đáp án của em là:
Đáp án của em là:
Đáp án đúng là:
Đáp án đúng là:
Em chưa hoàn thành câu hỏi
này!
Em chưa hoàn thành câu hỏi
này!
Em phải hoàn thành câu hỏi
này trước khi tiếp tục.
Em phải hoàn thành câu hỏi
này trước khi tiếp tục.
Trả lời.Trả lời.
Tiếp tục.Tiếp tục.
0 0

0Ax By C+ + =
0Ax By C+ + =
( ; )n A B
r
0 0 0
( ; )M x y
A)

B)
C)
D)

Câu 3: Trong mp Oxy, một VTPT của đường
thẳng 3x - y + 1 = 0 có tọa độ là:
Đúng - Click chuột để tiếp
tục.
Đúng - Click chuột để tiếp
tục.
Chưa đúng - Click chuột để
tiếp tục.
Chưa đúng - Click chuột để
tiếp tục.
Em đã trả lời đúng câu hỏi
này!
Em đã trả lời đúng câu hỏi
này!
Đáp án của em là:
Đáp án của em là:
Đáp án đúng là:
Đáp án đúng là:

Em chưa hoàn thành câu hỏi
này!
Em chưa hoàn thành câu hỏi
này!
Em phải hoàn thành câu hỏi
này trước khi tiếp tục.
Em phải hoàn thành câu hỏi
này trước khi tiếp tục.
Trả lời.Trả lời.
Tiếp tục.Tiếp tục.
A) ( - 3; - 1)
B) ( 3; 1)
C) ( -6; -2)
D) ( 6; -2)

α
d
I) VÉC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
1) Định nghĩa: (Sgk/69)
thì được gọi là vectơ pháp tuyến của .
( )
α
n
r
*) Chú ý 1:
Nếu là VTPT của một mặt phẳng thì ,
cũng là VTPT của mặt phẳng đó.
kn
r
( 0)k

≠
n
r
( )
α
Cho mặt phẳng
( )
α
n
r
0
r
Vectơ khác và có giá vuông góc với
α
A
B
C
α
a
b
0
n
≠
r
r
Một mp có bao nhiêu VTPT?
Vậy 1 vectơ được gọi
là VTPT của mp khi nào?
( )
α

0
r
⊥
và có giá với mp

Khi vectơ đó khác
( )
α

2) Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm tọa độ của một VTPT
của mặt phẳng tọa độ (Oxy).
z
x
y
o
ur
k
r
i
r
j
Giải:
Ta có:
(Oxy)Oz ⊥
( )
0;0;1k
=
r
tọa độ một VTPT của mp tọa độ (Oxy) là:


⇒
( )
1;0;0i
=
r
Tọa độ một VTPT của mp tọa độ (Oyz) là:

( )
0;1;0j =
r
Tọa độ một VTPT của mp tọa độ (Oxz) là:

Tương tự:
Em hãy
xác định
yêu cầu
của bài
toán?
Tìm tọa
độ một
VTPT
của mp
(Oxy).
VTPT của mp (Oxy) cần thỏa mãn
những điều kiện nào?
⊥
và có
giá
với mp

(Oxy).
0
r
Khác
Em hãy tìm tọa độ một VTPT
của (Oyz), (Oxz)?

P
Ví dụ 2:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A( 2; 1; 0), B( 1; -3; 4).
Tìm tọa độ một VTPT của mặt
phẳng (P) là mặt phẳng trung trực
của đoạn thẳng AB.
Giải:
Vì (P) là mặt phẳng trung trực của AB
⇒
AB ( 1; 4;4)
= − −
uuur
Tọa độ một VTPT của mp trung trực (P) là:
Vị trí của AB với mp(P)?
VTPT của mp (P) là vectơ nào?
( )AB P⊥
nên
(2;8; 8)u
= −
r
Vectơ có
là VTPT của mp(P)?

2u AB u
= − ⇒
r uuur r
Ta có:
cũng là VTPT của mp(P)
. A
. B

Ví dụ 3: Trong các vectơ sau đây vectơ nào không phải
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với trục Ox.
Đúng - Click chuột để tiếp
tục.
Đúng - Click chuột để tiếp
tục.
Chưa đúng - Click chuột để
tiếp tục.
Chưa đúng - Click chuột để
tiếp tục.
Em đã trả lời đúng câu hỏi
này!
Em đã trả lời đúng câu hỏi
này!
Đáp án của em là:
Đáp án của em là:
Đáp án đúng là:
Đáp án đúng là:
Em chưa hoàn thành câu hỏi
này!
Em chưa hoàn thành câu hỏi
này!

Em phải hoàn thành câu hỏi
này trước khi tiếp tục.
Em phải hoàn thành câu hỏi
này trước khi tiếp tục.
Trả lời.
Trả lời.
Tiếp tục.
Tiếp tục.
( )
0;1;0n
r
( )
1;0;0u −
r
1
;0;0
2
v
 
 ÷
 
r
( )
2;0;0a
r
A)
B)
C)
D)


Ví dụ 4:
Cho véc tơ

(1;2;3), ( 2;1;4)a b= = −
r r
a) Hãy xác định tọa độ của vectơ
b) Tính ,
.n b
r r
.n a
r r
Giải:
( ) ( )
) 2.4 1.3;3.( 2) 4.1;1.1 ( 2).2 5; 10;5a n = − − − − − = −
r
Chú ý 2: Biểu thức ad – bc, với a, b, c ,d là những số, được gọi là
một định thức cấp 2.
a c
b d
Kí hiệu là:
a c
b d
( cách tính

= ad – bc)
2 3
1 4
;n

=



r
1 2
2 1
;
−

÷

3 1
4 2
−
( 1; 2; 3)
( 2; 1; 4)
a
b
=
= −
r
r
1
-2
1
-2
3
4
3
4
2

1
2
1
1 3
2 4
−
= 1.4 – (-2).3 = 10


Nhận xét:
a
r
b
r
Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ,
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b= =
r r
,a b
 
 
r r
a b
∧
r r
kí hiệu là (hoặc ), được xác định
như sau:
2 3 3 1
1 2

2 3 3 1
1 2
, ; ;
a a a a
a a
a b
b b b b
b b
 
 
=
 ÷
 
 
r r
( )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
; ;a b a b a b a b a b a b
= − − −

Giải:
2 1 1 4 4 2
, ; ;
3 7 7 5 5 3
a b
 
 
=
 ÷
 

 
r r
= (2.7 – 3.1; 1.5 – 7.4; 4.3 – 5.2)
= (11; -23; 2)
Tính




,a b
 
 
r r
( ) ( )
4; 2; 1 , 5; 3; 7a b
r r
Áp dụng 1:



biết
Tích có hướng của hai vec tơ
,a b
r r
là:

a
r
Mode  8  1  1  (Nhập tọa độ vectơ )
b

r
On  shift  5 1  2 1 (Nhập tọa độ vectơ )
On  shift  5  3  dấu x  shift  5  4  =
Dùng máy tính casio fx 570 ES (Plus): Tính tích có hướng
của 2 vectơ , :
( )
1 2 3
; ;a a a a
r
( )
1 2 3
; ;b b b b
r
Mode  8  1  1  4  =  2  =  1  =
On  shift  5 1  2 1 5  =  3  =  7  =
On  shift  5  3  dấu x  shift  5  4  =
( ) ( )
4; 2; 1 , 5; 3; 7a b
r r
Áp dụng 2: Cho hai vectơ

,a b
 
 
r r
Sử dụng máy tính casio fx 570 ES (Plus), tính
( )
, 11; 23; 2a b
 
= −

 
r r
Kết quả:

. 1.5 2.( 10) 3.5 0n a = + − + =
r r
. ( 2).5 1.( 10) 4.5 0n b = − + − + =
r r
Giải:
Chú ý 3:
Trong không gian Oxyz cho mp (α)
và hai vectơ không cùng phương
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b= =
r r
có giá song song hoặc nằm trong mp (α) thì (α) có một VTPT là:
,n a b
 
=
 
r r r
α
b
r
a
r
α
b
r
a

r
, 0n a b
 
= ≠
 
r r r r
( )
α
là VTPT của mp
b) Tính ,
.n b
r r
.n a
r r
Ví dụ 4:
( )
(1; 2; 3); ( 2; 1; 4); (5; 10; 5)a b n
= = − = −
r r r
,
;
n a n b
a b

⊥ ⊥




r r r r

r r
không cùng phương
chứa hoặc song
song với giá của hai véc tơ
,a b
r r
( )
n
α
⊥
r
⇒
Giá của

Ví dụ 5: Cho hai vectơ
Tích có hướng của hai vectơ là vectơ:
(3;2; 11)c = −
r
( )
3; 2; 11v = − −
r
( )
3; 2;11d = − −
ur
Đúng - Click chuột để tiếp
tục.
Đúng - Click chuột để tiếp
tục.
Chưa đúng - Click chuột để
tiếp tục.

Chưa đúng - Click chuột để
tiếp tục.
Em đã trả lời đúng câu hỏi
này!
Em đã trả lời đúng câu hỏi
này!
Đáp án của em là:
Đáp án của em là:
Đáp án đúng là:
Đáp án đúng là:
Em chưa hoàn thành câu hỏi
này!
Em chưa hoàn thành câu hỏi
này!
Em phải hoàn thành câu hỏi
này trước khi tiếp tục.
Em phải hoàn thành câu hỏi
này trước khi tiếp tục.
Trả lời.Trả lời.
Tiếp tục.Tiếp tục.
( 3; 2; 11)u = − − −
r
( 2; 3; 0), ( 1; 4; 1)a b= − = −
r r
,a b
r r
A)
B)
C)
D)


Ví dụ 6:
Trong không gian Oxyz cho ba điểm
A( 2; -1; 3), B( 4; 0; 1), C( -10; 5; 3)
Hãy tìm tọa độ một VTPT của mặt
phằng (ABC).
A
B
C
Giải:
Ta có: không cùng phương
và có giá nằm trong (ABC)
( ) ( )
2;1; 2 , 12;6;0AB AC
= − = −
uuur uuur
, (12;24;24)n AB AC
 
= =
 
r uuur uuur
⇒
Tọa độ một VTPT của (ABC) là
Vậy VTPT của mp (ABC) được
xác định như thế nào?

( ) ( )
1;0; 1 , 2;1;1u v
= − =
r r

Ví dụ 7: Cho hai vectơ không
cùng phương có giá song song với mp (P). Một VTPT của mp (P)
có tọa độ là:
Đúng - Click chuột để tiếp
tục.
Đúng - Click chuột để tiếp
tục.
Chưa đúng - Click chuột để
tiếp tục.
Chưa đúng - Click chuột để
tiếp tục.
Em đã trả lời đúng câu hỏi
này!
Em đã trả lời đúng câu hỏi
này!
Đáp án của em là:
Đáp án của em là:
Đáp án đúng là:
Đáp án đúng là:
Em chưa hoàn thành câu
hỏi này!
Em chưa hoàn thành câu
hỏi này!
Em phải hoàn thành câu hỏi
này trước khi tiếp tục.
Em phải hoàn thành câu hỏi
này trước khi tiếp tục.
Trả lời.
Trả lời.
Tiếp tục.

Tiếp tục.
A) (-1; -3; 1)
B) (1; -3; 1)
C) (1; 3; -1)
D) (2; -6; -2)

Ví dụ 8: Một VTPT của mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm
A(1;1;-1), B(2;-1;4) và song song với trục ox có tọa độ là:
Đúng - Click chuột để tiếp
tục.
Đúng - Click chuột để tiếp
tục.
Chưa đúng - Click chuột để
tiếp tục.
Chưa đúng - Click chuột để
tiếp tục.
Em đã trả lời đúng câu hỏi
này!
Em đã trả lời đúng câu hỏi
này!
Đáp án của em là:
Đáp án của em là:
Đáp án đúng là:
Đáp án đúng là:
Em chưa hoàn thành câu hỏi
này!
Em chưa hoàn thành câu hỏi
này!
Em phải hoàn thành câu hỏi
này trước khi tiếp tục.

Em phải hoàn thành câu hỏi
này trước khi tiếp tục.
Trả lời.Trả lời.
Tiếp tục.Tiếp tục.
A) ( 0; -5; 2)
B) (-7; 5; -2)
C) ( 0; 5; -2)
D) ( 0; 5; 2)

α
II) PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
1) Bài toán:
a) Bài toán 1: (Sgk/71)
Giải: Ta có:




( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
Trong không gian Oxyz cho mp đi qua điểm
và nhận làm VTPT.
( )
; ;n A B C=
r
( )
α
( )
0 0 0 0

; ;M x y z
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để điểm
M( x; y; z) thuộc mặt phẳng là:
( )
α
0 0 0 0
( ; ; )M x y zg
. M(x; y; z)

( ; ; )n A B C
r
( )
0 0 0 0
; ;M M x x y y z z
= − − −
uuuuuur
Mà
( ) ( ) ( )
0 0 0
0(1)A x x B y y C z z
⇔ − + − + − =
Vậy (*)
( ) ( )
0
M M M
α α
∈ ⇔ ⊂
0
. 0n M M⇔ =
r uuuuuur

(*)
Em hãy xác định yêu cầu
của bài toán?

Chứng minh:
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
0M A x x B y y C z z
α
∈ ⇔ − + − + − =
( )
M
α
∈
khi nào?

( ) ( )
0
M M M
α α
∈ ⇔ ⊂
Em hãy nhận xét mối quan
hệ
0
, ?n M M
r uuuuuur
0
n M M
⇔ ⊥
r uuuuuur

( ) ( )
2 2 2
1 Ax+By+Cz+D=0(A 0)B C a⇔ + + ≠
( )
0 0 0
AxD By Cz
= − + +
thì pt
Nếu đặt

b) Bài toán 2: (Sgk/ 71)
Giải:
0 0 0
Ax +By +Cz 0D
+ =
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
Ta lấy sao cho
0A
≠
0 0 0
, 0).
D
x y z
A
= − = =
( chẳng hạn nếu thì ta lấy
( )
0 0 0

0 0 0
0
0 ( ( ))
Ax By Cz Ax By Cz
Ax By Cz D D Ax By Cz
⇔ + + − + + =
⇔ + + + = = − + +
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
0M A x x B y y C z z
α
∈ ⇔ − + − + − =
Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng tập hợp các
điểm M(x; y; z) thỏa mãn phương trình Ax + By + Cz + D = 0
là một mặt phẳng nhận vectơ
làm VTPT.

( )
; ;n A B C=
r
( trong đó A
2
+ B
2
+ C
2
= 0)
( )
; ;n A B C
=

r
( )
α
Gọi là mặt phẳng đi qua và nhận làm
VTPT.Ta có:
0
M
(đpcm)

( )
; ;n A B C
⇒ =
r
là một VTPT.
2) Định nghĩa: (Sgk/72)
*) Nhận xét:
+ PT của mp(α) đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
)
và có VTPT là:
( )
; ;n A B C
=
r

( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x B yx y zC z− + − + − =
α
=
( ; ; )
r
n A B C
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
+ Mặt phẳng có PTTQ: Ax + By + Cz + D = 0,

( )
α
(A
2
+ B
2
+ C
2
= 0)
Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, ,
( A
2
+ B
2
+ C
2
= 0)

Là pt bậc nhất 3 ẩn x, y, z và các hệ số
A, B, C không đồng thời bằng 0 lần lượt
“gắn’’ với x, y, z là tọa độ của VTPT.
Em hãy nhận xét đặc điểm
PTTQ của mp?

3) Ví dụ:
Ví dụ 9: Cho mp : 4x -2y – z + 4 = 0.
( )
α
( )
α
a) Tìm một VTPT của
( )
α
b) Trong các điểm sau đây điểm nào thuộc mp .
A( 1; 2; 4) , B( 1; 0; 0), C( 0; 1; 2).
Giải:
( )
α
( )
4; 2; 1n = − −
r
a) Một VTPT của mp là:
( )
A
α
⇒ ∈
b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mp ta có:
( )

α
4.1 – 2.2 – 4 + 4 = 0
( ) ( )
; .C B
α α
∈ ∉
Tương tự, ta có:
α
A
B
C
Để biết được điểm A thuộc
mp hay không thuộc mp ta
làm như thế nào?

Ví dụ 10: Hãy nối các ý ở cột A với các ý ở cột B để được
khẳng định đúng.
2
1
2
Cột A ( PTTQ của mp)
Cột B ( Tọa độ một VTPT )
A.
B.
C.
D.
C
x - 2y + z - 7 = 0
A x - 3z = 0
D -3x + y - 4z = 0

Đúng - Click chuột để tiếp
tục.
Đúng - Click chuột để tiếp
tục.
Chưa đúng - Click chuột để
tiếp tục.
Chưa đúng - Click chuột để
tiếp tục.
Em đã trả lời đúng câu hỏi
này!
Em đã trả lời đúng câu hỏi
này!
Đáp án của em là:
Đáp án của em là:
Đáp án đúng là:
Đáp án đúng là:
Em chưa hoàn thành câu hỏi
này!
Em chưa hoàn thành câu hỏi
này!
Em phải hoàn thành câu hỏi
này trước khi tiếp tục.
Em phải hoàn thành câu hỏi
này trước khi tiếp tục.
Trả lời.
Trả lời.
Tiếp tục.
Tiếp tục.
( )
2;0; 3n

−
r
( )
0;10; 4n
−
r
1
3; ; 4
2
n
 
− −
 ÷
 
r
( )
1; 2;1n
−
r
B
5y -2z + 15 =0

( ) ( ) ( )
2 4 1 5 0x y z
− − + + − =
a) (P) đi qua A(4; -1; 5) và nhận
làm VTPT có phương trình là:
(2; 1;1)n
= −
r

2 14 0x y z
⇔ − + − =
Ví dụ 11: Viết phương trình của mặt phẳng:
b) (Q) đi qua B(1; 1; - 4) và vuông góc với trục Oy;
c) (R) chứa trục Ox và điểm C( 2; -3; 5);
d) Đi qua M(1; 4; 2) và song song với giá của hai
vectơ
( ) ( )
1; 2;3 , 0;3; 4u v
= − = −
r r
a) (P) đi qua A(4; -1; 5) và nhận làm VTPT;
(2; 1;1)n
= −
r
Giải:
Em hãy xác định yêu cầu
bài toán?
Viết phương trình mặt phẳng
Để viết PTMP em cần xác
định những yếu tố nào?
Với 2 yếu tố phải tìm, ở ý a)
mp(P) đã biết những yếu tố
nào?
P
2 1 1
= −
( ; ; )
r
n

4 1 5
−
( ; ; )A
)
)
+


+

Một điểm mp
∈
Một VTPT

Bước 1: Xác định 2 yếu tố của mp
A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0
-Một điểm thuộc mp: M
0
(x
0
;y
0
;z
0

)
Bước 2: Viết PTMP dưới dạng
Thu gọn phương trình trên về dạng
Ax + By + Cz + D = 0
- Một VTPT của mp:
( )
; ;n A B C
=
r
Ax + By + Cz + D = 0
0 0 0 0
( ; ; )M x y zg
( ; ; )n A B C
r