Bài toán vui:
Năm nay (2014) Con cao 120cm, Bố cao 180cm.
Mỗi năm con cao thêm 5cm. Hỏi đến năm nào con cao bằng bố.
+5
+5
+5
180
120
125
130
135
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Bài giảng
CẤP SỐ CỘNG
Chương trình Đại số và giải tích Nâng cao, Lớp 11
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
Thành phố Điện Biên Phủ, Tỉnh Điện Biên
KIỂM TRA BÀI CŨ:
Cho dãy số: 1, 3, 5, …, 2n+1,….
a. Chứng minh dãy số trên là dãy số tăng.
b. Có nhận xét gì về các số hạng của dãy số trên.
3
1
5 9
7
2n+1
u
1
u
2
u

3
u
4
u
5
u
n
+2
+2
+2
+2
Nhận xét: Từ số hạng thứ hai u
2
, mỗi số hạng bằng tổng
số hạng ngay trước nó với một giá trị không đổi 2
.
1. Định nghĩa.
2. Số hạng tổng quát.
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng.
4. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng.
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong
đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số
hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi .
(u
n
) là cấp số cộng
Số d gọi là công sai của cấp số cộng.
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong
đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số
hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi .

(u
n
) là cấp số cộng
Số d gọi là công sai của cấp số cộng.
Chú ý: Khi d = 0
Với dãy 5, 5, 5, 5, 5 với u
1
= 5 và d = 0.
thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.
1. ĐỊNH NGHĨA
−
⇔ = + ∀ ≥
n
n 1
u u d n 2víi
Ví dụ 1:
a.Dãy các số tự nhiên lẻ: 1, 3, 5, 7, , 2n+1, … là một cấp số
cộng với công sai d = 2.
b.Dãy số hữu hạn gồm: 15, 10, 5, 0, -5, -10, -15 là cấp số cộng
với công sai d = -5.
Cột 1
Cột 1
Cột 2
Cột 2
A. d = 0
B. d = 2
C. d = -2
B -2, 0, 2, 4, 6, 8, , 2n
C
-1, -3, -5, -7, -9, , -(2n+1)

A
1, 1, 1, 1, 1, , 1,
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
SAI
You answered this correctly!
You answered this correctly!
Your answer:
Your answer:
The correct answer is:
The correct answer is:
You did not answer this question
completely
You did not answer this question
completely
BẠN CẦN TRẢ LỜI TRƯỚC KHI TIẾP TỤC
BẠN CẦN TRẢ LỜI TRƯỚC KHI TIẾP TỤC
TRẢ LỜI
TRẢ LỜI
TRẢ LỜI
TRẢ LỜI
XÓA
XÓA
XÓA
XÓA
Chọn phương sai đúng ở cột 2 cho các cấp số cộng ở
cột 1.
ĐÚNG
ĐÚNG

SAI
SAI
You answered this
correctly!
You answered this
correctly!
Your answer:
Your answer:
The correct answer is:
The correct answer is:
You did not answer this
question completely
You did not answer this
question completely
BẠN CẦN TRẢ LỜI TRƯỚC KHI
TIẾP TỤC
BẠN CẦN TRẢ LỜI TRƯỚC KHI
TIẾP TỤC
TRẢ
LỜI
TRẢ
LỜI
XÓAXÓA
x
7
=
y
7
=
Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho dãy các điểm M

n
=(x
n
;y
n
)
n=1,2,
Trong (x
n
) là cấp số cộng với công sai d
1
= 1,
(y
n
) là cấp số cộng với công sai d
2
= 2.
Tìm tọa độ của điểm M
7
(x
7
; y
7
)
BẬC THANG
CẤP HÌNH VUÔNG
XẾP THÁP
LÁ CÂY
13 lá
11 lá

9 lá
7 lá
5 lá
3 lá
1 lá
1. ĐỊNH NGHĨA
(u
n
) là cấp số cộng, công sai d:
−
≥= + ∀
n
n 1
n 2u u d , víi
Ví dụ 2:
Chứng minh các dãy số sau là một cấp số cộng:
a) 1; -3; -7; -11; -15.
b) u
1
= 1, u
n
= u
n-1
+ 2 , với mọi n ≥ 2.
Ví dụ 2:
Chứng minh các dãy số sau là một cấp số cộng:
a) 1; -3; -7; -11; -15.
b) u
1
= 1, u

n
= u
n-1
+ 2 , với mọi n ≥ 2.
Giải:
a.Dãy 1, -3, -7, -11, -15 là cấp số cộng với u
1
= 1 và d = -4.
b.Dãy (u
n
) là cấp số cộng với u
1
= 1 và d = 2.
Nhận xét: Một cấp số cộng hoàn toàn xác định khi biết số
hạng đầu tiên u
1
và công sai d.
Nếu d>0 thì (u
n
) là dãy số tăng, ngược lại d<0 thì (u
n
) là dãy số giảm.
Nếu d>0 thì (u
n
) là dãy số tăng, ngược lại d<0 thì (u
n
) là dãy số giảm.
1. ĐỊNH NGHĨA
(u
n

) là cấp số cộng, công sai d:
−
= + ∀ ≥
n
n 1
u u d , víi n 2
Ví dụ 3:
Kiểm tra xem dãy số (u
n
) sau có phải là một cấp số cộng hay
không
a. u
n
= 2n với mọi n∈N*,n≥2.
b. u
n
= n
2
với mọi n∈N*,n≥2.
Ví dụ 3:
Kiểm tra xem dãy số (u
n
) sau có phải là một cấp số cộng hay
không
a. u
n
= 2n với mọi n∈N*,n≥2.
b. u
n
= n

2
với mọi n∈N*,n≥2.
Nhận xét: Một cấp số cộng hoàn toàn xác định khi biết số
hạng đầu tiên u
1
và công sai d.
Ta có:
a. u
n-1
= 2(n-1)
u
n
= 2n = 2(n-1) + 2 = u
n-1
+ 2
Vậy (u
n
) là cấp số cộng với u
1
= 2 và d = 2.
b. u
n-1
= (n-1)
2
= n
2
-2n +1
u
n
– u

n-1
= 2n – 1 (không phải là hằng số)
Vậy (u
n
) không phải là cấp số cộng.
•
Xét hiệu u
n
– u
n-1
bằng một số không đổi
•
Công sai d = u
n
– u
n-1
•
Xét hiệu u
n
– u
n-1
bằng một số không đổi
•
Công sai d = u
n
– u
n-1
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI

SAI
You answered this
correctly!
You answered this
correctly!
Your answer:
Your answer:
The correct answer is:
The correct answer is:
You did not answer this
question completely
You did not answer this
question completely
BẠN CẦN TRẢ LỜI TRƯỚC KHI
TIẾP TỤC
BẠN CẦN TRẢ LỜI TRƯỚC KHI
TIẾP TỤC
TRẢ
LỜI
TRẢ LỜI XÓAXÓA
O
x
A
1
A
2
A
3
A
4

A
5
A
6
A
7
A
8
Trên trục Ox lấy các điểm A
1
A
2
,…, A
n
, … sao cho với mỗi số
nguyên n, OA
n
= n. (n = 1,2, ….)
Ta vẽ các đường tròn có đường kính OA
n
Gọi u
n
là diện tích của các đường tròn đường kính OA
n
(u
n
) tạo thành một cấp số cộng, đúng hay sai ?
A
9
A) Đúng

B) Sai
u
1
u
2
u
3
u
k-1
u
k
u
k+1
d
Tìm mối quan hệ giữa 3 số
hạng liên tiếp trong (u
n
)?
? d
Nhận xét:
1 1
2
− +
+
=
k k
k
u u
u
( )

1
1
= + −
n
u u n d
Tính u
n
theo u
1
và d
u
4
Ta có:


1 3
2
2 4
3
2
2

?
k
u u
u
u u
u
u
+

=
+
=
=
u
n
Ta có:


2 1
3 2 1
4 3 1
1
1
2
.
.
.

3


n
u u d
u u d u d
u u d u d
u u d
= +
= + = +
= + = +

= = +
1. ĐỊNH NGHĨA
(u
n
) là cấp số cộng, công sai d:
−
≥
= + ∀
n
n 1
n 2
u u d víi
2. TÍNH CHẤT :
ĐỊNH LÍ 1:
− +
+
= ∀ ≥
k 1 k 1
k
u u
u , ( k 2)
2
Ví dụ 4:
Cho cấp số cộng (u
n
) có u
1
=-1 và u
3
=3. Tính u

2
, u
4
.
Ví dụ 4:
Cho cấp số cộng (u
n
) có u
1
=-1 và u
3
=3. Tính u
2
, u
4
.
Ta có suy ra công sai

nên u
4

= 5.
1 3
2
u +u
u = =1
2
2 1
d = u - u = 2
Chứng minh:

Gọi d là công sai của cấp số cộng (u
n
) . Với mọi k≥ 2 ta có:
u
k+1
= u
k
+ d, u
k-1
= u
k
- d.
Suy ra 2 u
k
= u
k-1
+ u
k+1.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Chứng minh:
Gọi d là công sai của cấp số cộng (u
n
) . Với mọi k≥ 2 ta có:
u
k+1
= u
k
+ d, u
k-1

= u
k
- d.
Suy ra 2 u
k
= u
k-1
+ u
k+1.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
1. ĐỊNH NGHĨA
(u
n
) là cấp số cộng, công sai d:
−
≥
= + ∀
n
n 1
n 2
u u d víi
2. TÍNH CHẤT :
ĐỊNH LÍ 1:
− +
+
= ∀ ≥
k 1 k 1
k
u u

u , ( k 2)
2
Ví dụ 5: Ba góc A, B, C của tam giác vuông ABC theo thứ tự
lập thành một cấp số cộng. Tính 3 góc đó.
Ví dụ 5: Ba góc A, B, C của tam giác vuông ABC theo thứ tự
lập thành một cấp số cộng. Tính 3 góc đó.
Ta có:
+ Giả sử A ≤ B ≤ C mà tam giác ABC vuông nên góc C = 90
0
(1)


+ Mặt khác A,B,C theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên 2B = A+C (2)
+ Tổng số đo 3 góc trong một tam giác A + B + C = 180
0
(3)
Từ (1) (2) (3) suy ra A = 30
0
, B = 60
0
, C = 90
0
.
Cột 1
Cột 1
Cột 2
Cột 2
A. 3
B. 11
C. 6

D. 12
E. 16
B
A
D
E
C
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
SAI
You answered this
correctly!
You answered this
correctly!
Your answer:
Your answer:
The correct answer is:
The correct answer is:
You did not answer this
question completely
You did not answer this
question completely
BẠN CẦN TRẢ LỜI TRƯỚC
KHI TIẾP TỤC
BẠN CẦN TRẢ LỜI TRƯỚC
KHI TIẾP TỤC
TRẢ
LỜI
TRẢ LỜI XÓAXÓA

Chọn các số tương ứng ở cột 2 cho các ô tròn cột 1 (theo
thứ tự) để các ô tròn trên một đường thẳng chứa các số
tương ứng lập thành cấp số cộng.
1. ĐỊNH NGHĨA
(u
n
) là cấp số cộng, công sai d:
−
≥
= + ∀ ∈
¥
n
n 1
,n 2
*
u u d nvíi
3. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
ĐỊNH LÍ 2:
2. TÍNH CHẤT :
ĐỊNH LÍ 1:
− +
+
= ∀ ≥
k 1 k 1
k
u u
u , ( k 2)
2
( )
− ≥= + ∀ ∈

¥
n
1
n 1 ,n 2
*
u u d nvíi
Ví dụ 6:
Cho cấp số cộng (u
n
) có u
1
=13, d=-3. Tính u
31.
Ví dụ 6:
Cho cấp số cộng (u
n
) có u
1
=13, d=-3. Tính u
31.
Ta có: với n = 31
u
31
= u
1
+ (31-1).d = 13 + 30.(-3) = -77.

Chứng minh: (Sử dụng phương pháp quy nạp)
+ Công thức đúng với n=1 vì u
1

= u
1
+ 0d,
+ Giả sử công thức đúng với n = k (k∈ N
*
) tức là u
k
= u
1
+ (k-1)d.
Khi đó ta có u
k+1
= u
k
+ d = u
1
+ (k-1)d + d = u
1
+ kd.
Vậy công thức cũng đúng khi n = k+1. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Chứng minh: (Sử dụng phương pháp quy nạp)
+ Công thức đúng với n=1 vì u
1
= u
1
+ 0d,
+ Giả sử công thức đúng với n = k (k∈ N
*
) tức là u
k

= u
1
+ (k-1)d.
Khi đó ta có u
k+1
= u
k
+ d = u
1
+ (k-1)d + d = u
1
+ kd.
Vậy công thức cũng đúng khi n = k+1. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
1. ĐỊNH NGHĨA
(u
n
) là cấp số cộng, công sai d:
−
≥
= + ∀ ∈
¥
n
n 1
,n 2
*
u u d nvíi
3. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
ĐỊNH LÍ 2:
2. TÍNH CHẤT :
ĐỊNH LÍ 1:

− +
+
= ∀ ≥
k 1 k 1
k
u u
u , ( k 2)
2
( )
− ≥= + ∀ ∈
¥
n
1
n 1 ,n 2
*
u u d nvíi
Ví dụ 7:
Cho cấp số cộng (u
n
) có u
3
=10, u
6
= 1. Tính u
100.
Ví dụ 7:
Cho cấp số cộng (u
n
) có u
3

=10, u
6
= 1. Tính u
100.
Ta có với n = 100, tìm u
1
và d. Mặt khác
suy ra d = -3 và u
1
= 16.
Do đó u
100
= u
1
+ 99.d = 16 + 99.(-3) = -281.
6 1
6 3
3 1
u = u + 5.d
u -u = 3.d
u = u + 2.d


⇒



Cột 1
Cột 1
Cột 2

Cột 2
A. 2
B. 14
C. 7
D. 12
E. 19
F. 24
G.17
C
D
E
B
G
A
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
SAI
You answered this
correctly!
You answered this
correctly!
Your answer:
Your answer:
The correct answer is:
The correct answer is:
You did not answer this
question completely
You did not answer this
question completely

BẠN CẦN TRẢ LỜI TRƯỚC KHI
TIẾP TỤC
BẠN CẦN TRẢ LỜI TRƯỚC KHI
TIẾP TỤC
TRẢ
LỜI
TRẢ LỜI XÓAXÓA
F
Chọn các số tương ứng ở cột 2 cho các ô tròn cột 1 (theo
thứ tự) để các ô tròn trên một đường thẳng chứa các số
tương ứng lập thành cấp số cộng.
ĐÚNG
ĐÚNG
SAI
SAI
You answered this
correctly!
You answered this
correctly!
Your answer:
Your answer:
The correct answer is:
The correct answer is:
You did not answer this
question completely
You did not answer this
question completely
BẠN CẦN TRẢ LỜI TRƯỚC KHI
TIẾP TỤC
BẠN CẦN TRẢ LỜI TRƯỚC KHI

TIẾP TỤC
TRẢ
LỜI
TRẢ LỜI XÓAXÓA
Cho cấp số cộng (u
n
) gồm 5 số hạng mà u
1
+ u
3
= 28 và
u
3
+ u
5
= 40. Tìm cấp số cộng đó?
A) 11, 14, 17, 20, 23
B) 8, 11, 14, 17, 20
C) 14, 17, 20, 23, 26
Mai và Hùng chơi trò xếp que diêm thành hình tháp trên mặt
sân, cách xếp thể hiện như sau:
- - - - - - - - - - - - -
Tầng 100 (tầng đáy) Cần có bao nhiêu que diêm?
Tầng 1
3 que
Tầng 2
7 que
Tầng 3
11 que
Tầng 4

15 que
Tầng thứ 100 là u
100
= u
1
+ (100-1)d (n≥ 2)
với u
1
=3, d=4 nên u
100
= 399
Hình tháp khi xếp được 100 tầng thì sẽ cần bao
nhiêu que diêm hay tìm u
1
+ u
2
+u
3
+… + u
100
= ?
Giả sử (u
n
) là một cấp số cộng với công sai d. Xét n số hạng đầu
tiên của cấp số cộng ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa chúng
như sau.
u
1
u
2

u
3
… u
n-1
u
n

u
n
u
n-1
u
n-2
… u
2
u
1
+d
+d
+d
- d
- d
- d
Nhận thấy: Có n cột có tính chất ở mỗi cột đều có tổng của hai số
luôn bằng nhau.
(u
1
+ u
n
) = (u

2
+ u
n-1
) = (u
3
+ u
n-2
) =… = (u
n-1
+ u
2
) = (u
n
+ u
1
)

Từ đó 2(u
1
+ u
2
+ u
3
+…+ u
n
)= n (u
1
+ u
n
)

1. ĐỊNH NGHĨA
(u
n
) là cấp số cộng, công sai d:
−
≥
= + ∀ ∈
¥
n
n 1
,n 2
*
u u d nvíi
3. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
ĐỊNH LÍ 2:
2. TÍNH CHẤT :
ĐỊNH LÍ 1:
− +
+
= ∀ ≥
k 1 k 1
k
u u
u , ( k 2)
2
( )
− ≥= + ∀ ∈
¥
n
1

n 1 ,n 2
*
u u d nvíi
4. TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG
ĐỊNH LÍ 3:
( )
( )
= + + + +
 
+ −
+
 
= =
n 1 2 3 n
1
1 n
n
S u u u u
2u n 1 d n
u u n
S
2 2
Ví dụ 8: Một cấp số cộng có 4 số hạng. Tổng các số hạng bằng 22. Hiệu giữa số
hạng cuối và số hạng đầu là 9. Tìm cấp số cộng đó.
Ví dụ 8: Một cấp số cộng có 4 số hạng. Tổng các số hạng bằng 22. Hiệu giữa số
hạng cuối và số hạng đầu là 9. Tìm cấp số cộng đó.
Giải:
( )
1 4 1 4 4
4 1 1

4 1
n
2 u u 22 2u 2u 22 u 10
d 3
2u 2u 18 u 1
u u 9
(u ) : 1, 4, 7, 10.
 + = + = =
 

⇔ ⇔ ⇒ =
  
− = =
− =

 

⇒
Mai và Hùng chơi trò xếp que diêm thành hình tháp trên mặt
sân, cách xếp thể hiện như sau:
- - - - - - - - - - - - -
Tầng 1
3 que
Tầng 2
7 que
Tầng 3
11 que
Tầng 4
15 que
Tầng thứ 100 là u

100
= 399, d=3
Hình tháp khi xếp được 100 tầng thì sẽ cần:
u
1
+ u
2
+u
3
+… + u
100
= 50(u
1
+ u
100
)=20100 (que diêm)