KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 20112012 Môn: Toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (646.36 KB, 6 trang )
UBND HUYỆN NGỌC HỒI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
Môn: Toán
Thời gian: 14/02/2012
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI:
(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức A=
2
( x y) x x y y
x y
.
x y
x x y y x y
+ −
−
−
÷
÷
−
+ −
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ So sánh A và
A
Bài 2: (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: 24x
3
- 26x
2
+ 9x - 1
b/ Chứng minh rằng:
2 2 2 2
2 2 2 2 2
4x y x y
3
(x y ) y x
+ + ≥
+
với x, y
≠
0
Bài 3: (2 điểm) Cho hệ phương trình:
1 m
2
x 1 y 2
2 3m
1
y 2 x 1
+ =
− −
− =
− −
a/ Giải hệ phương trình với m = 1
b/ Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.
Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC có
µ
A
= 90
0
, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt theo thứ tự là
hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh các hệ thức:
a/
2
2
AB HB
AC HC
=
b/ DE
3
= BD.CE.BC
Bài 5: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm
di động E, F sao cho : AE + EF + FA = 2a.
a/ Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định .
b/ Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích
∆
CEF lớn nhất
Hết
ĐỀ CHÍNH THỨC
UBND HUYỆN NGỌC HỒI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC
SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
Môn: Toán
(Bản hướng dẫn gồm 03 trang)
Bài Nội dung Điểm
1
4.0
1a
Điều kiện để A có nghĩa là x
≥
0, y
≥
0 ; x
≠
y
0,25
( ) ( )
( ) ( )
2
x y x y
( x y ) ( x y)(x xy y)
A .
x y ( x y)( x y)
x y x xy y
− +
+ − + +
= −
− − +
+ − +
0,5
x y x xy y
A . x y
x xy y x y
+ + +
= + −
− + +
0,5
2
x y ( x y) (x xy y)
A .
x xy y x y
+ + − + +
=
− + +
0,5
xy
x xy y
=
− +
0,25
1b
Vì x
≥
0; y
≥
và x≠y nên
2
( x y)−
>0
x xy y xy 0⇒ − + > ≥
0,5
Do đó : 0
≤
A =
xy xy
1.
x xy y xy
< =
− +
hay 0 ≤ A<1
0,5
Ta có : A -
A A( A 1) 0= − ≤
Vậy A
A≤
0,5
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A=0
⇔
x=0 hoặc y = 0
0,5
2
4,0
2a
24x
3
-26x
2
+9x-1 = 24x
3
- 12x
2
-14x
2
+ 7x + 2x - 1
0,5
= 12x
2
(2x-1) - 7x(2x-1) + (2x-1)
0,25
= (2x - 1)(12x
2
- 7x + 1)
0,25
= (2x - 1)(12x
2
- 4x - 3x + 1)
0,25
= (2x - 1)[4x(3x - 1) - (3x - 1)]
0,25
= (2x - 1)(3x - 1)(4x - 1)
0,5
2b
Đặt A =
2 2 2 2
2 2 2 2 2
4x y x y
(x y ) y x
+ +
+
Sử dụng (a - b)
2
≥
0
⇔
a
2
+ b
2
≥
2ab
0,5
C/m
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2xy x 2xy x 4x
2. .
x y y x y y x y
+ ≥ =
÷
+ + +
0,5
Tương tự
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2xy y 4y
x y x x y y x
+ ≥ + ≥
÷
+ +
2 2
x y
; 2
0,5
Ta có: 2.A
2 2
2 2
4(x y )
2 6
x y
+
≥ + =
+
⇒
A
≥
3
Vậy BĐT được C/m, xảy ra dấu bằng "=" khi x = y
0,5
3
.
4,0
3a
Điều kiện:
x 1
y 2
≠
≠
Đặt:
1
u
x 1
1
v
y 2
=
−
=
−
Điều kiện
u 0
v 0
≠
≠
0,5
Ta có hệ phương trình:
u mv 2(1)
2v 3mu 1(2)
+ =
− =
0,5
Với m = 1 ta có
3
u
u v 2
5
2v 3u 1 7
v
5
1 3
8
x
x 1 5
3
1 7
19
y
y 2 5
7
=
+ =
⇔
− =
=
=
=
−
⇒ ⇔
=
=
−
0,5
Vậy với m = 1, hệ phương trình có nghiệm là
8
x
3
19
y
7
=
=
0,5
3b
Từ (1)
u 2 mv⇒ = −
. Thế vào (2) ta có:
2
2
2
2 2
2v 6m 3m v 1
(3m 2)v 1 6m
1 6m
v , m R
3m 2
1 6m 4 m
u 2 m( )
3m 2 3m 2
− + =
⇔ + = +
+
⇔ = ∀ ∈
+
+ −
⇒ = − =
+ +
1,0
Để hệ có nghiệm thì
m 4
u 0 4 m 0
1
v 0 1 6m 0
m
6
≠
≠ − ≠
⇔ ⇔
−
≠ + ≠
≠
0,5
Vậy với
m 4
1
m
6
≠
−
≠
thì hệ phương trình có nghiệm
0,5
4
4,0
4a
E
D
H
C
B
A
Ta có: AB
2
= BH.BC
0,5
AC
2
= CH.BC
0,5
⇒
2
2
AB HB
AC HC
=
0,5
4b
Ta có: AH
2
= HB.HC
⇒ AH
4
= HB
2
.HC
2
(1)
0,5
Trong tam giác vuông AHB có HB
2
= BD.AB
Trong tam giác vuông AHC có HC
2
= EC.AC
0,5
Thay HB
2
, HC
2
vào (1) ta được
AH
4
= BD.AB.EC.AC = BD.EC.BC.AH
⇒ AH
3
= BD.EC.BC
0,75
Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên các đường chéo AH = DE
Suy ra DE
3
= BD.EC.BC
0,75
5
4,0
5a
K
H
F
E
D
C
B
A
Trên tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF , Vẽ CH ⊥ EF , H ∈ EF .
0,5
∆ DFC = ∆ BKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 90
0
; DC = BC )
⇒ CF = CK .
0,5
Vì EF = 2a – ( EA + FA )
= ( AB + AD ) – ( EA + FA )
= AB – EA + AD – FA
= EB + FD = EB + BK = EK.
Do đó ∆ CEF = ∆ CEK ( c.c.c) Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau
và bằng a
0,5
CH không đổi , C cố định , CH ⊥ EF ⇒ EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố
định ( C, a).
0,5
5b
∆ HCF = ∆ DCF ( H = D = 90
0
; CF chung; CH = CD = a )
⇒ S
HCF
= S
DCF
.
Chứng minh tương tự ta có : S
HCE
= S
BCE
do đó
S
HCF
+ S
HCE
= S
DCF
+ S
BCE
0,5
⇒ S
CEF
=
1
2
S
CDFEB
⇒ S
CEF
=
1
2
( a
2
– S
AEF
)
S
AEF
≥ 0 ⇒ S
CEF
≤
1
2
a
2
0,5
Dấu “ =” xảy ra ⇔ S
AEF
= 0
⇔ E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D .
0,5
Vậy E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D thì S
CEF
đạt giá trị lớn nhất .
0,5
Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa phần đó.
