ÔN TẬP MÔN TOÁN
Biên soạn: Đỗ Cao Long
THI TỐT NGHIỆP THPT
A. CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu Nội dung kiến thức
Điể
m
I
( Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
( Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo
hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của
hàm số. Cực trị. Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và
ngang) của đồ thị của hàm số. Tìm trên đồ thị
những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa
hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);
3,0
II
( Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và
lôgarit.
( Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
( Bài toán tổng hợp.
3,0
III
Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích
xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn
xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối
nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt
cầu và thể tích khối cầu.
1,0

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho
chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2).
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu Nội dung kiến thức Điểm
IV.a
Phương pháp toạ độ trong trong không gian:
 Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
 Mặt cầu.
 Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
 Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt
phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt
phẳng và mặt cầu.
2,0
V.a
( Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên
số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình
bậc hai hệ số thực có biệt thức ( âm.
( Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình
phẳng, thể tích khối tròn xoay.
1,0
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu
Nội dung kiến thức
Điểm
IV.b
Phương pháp toạ độ trong trong không gian:
− Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
− Mặt cầu.
− Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.

− Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt
phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối
của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
2,0
V.b ( Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức.
Căn bậc hai của số phức. Phương trình bậc hai với hệ số
phức. Dạng lượng giác của số phức.
( Đồ thị hàm
phân thức hữu tỉ
dạng ﾧ và một
số yếu tố liên quan.
( Sự tiếp xúc của hai đường cong.
( Hệ phương trình mũ và lôgarit.
( Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng,
1,0
2
+ +
=
+
ax bx c
y
px q
┼- 2Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
thể tích khối tròn xoay
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
┼- 3Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
Chuyên đề I:
Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. Các bài toán liên quan đến ứng dụng

của đạo hàm và đồ thị của hàm số.
1. Chiều biến thiên của hàm số.
Lý thuyết: Quy tắc xét tính
đơn điệu của hàm số
1. Tìm tập xác định
2. Tính đạo hàm .
Giải phương trình
để tìm các nghiệm .
3. Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần từ trái sang
phải và lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Kết luận (hàm số
đồng biến trên khoảng
mà và ngược lại).
Ví dụ: Xét chiều biến
thiên của hàm số
Gợi ý giải:
• Đ/k xác định:
Tập xác định của
hàm số .
• Đạo hàm:
thuộc
Dấu của cùng dấu
với biểu thức .
• Ta có bảng biến thiên
−2
0 2
+ 0
−
0
2

0
• Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên
khoảng và nghịch biến rtreen khoảng
Một lưu ý quan trọng đó là nếu tập xác định là khoảng
hoặc hàm số gián đoạn tại thì ta cần tính các giới hạn
, và , để điền vào bảng biến thiên.
Bài tập:
Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau trên tập xác
định của chúng:
1) ;
2) ;
3) Chứng minh
các bất đẳng thức sau:
a)
b) .
Câu 2 (Đề TN 2007,
Lần 2, Ban KHTN):
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số .
Câu 3 (Đề TN 2007, Lần
2, Ban KHXH): Xét sự
đồng biến, nghịch biến của hàm số .
Đáp số: Câu 2: H/số
đồng biến trên các
khoảng
H/số nghịch biến trên các
khoảng
Câu 3: H/số đồng biến trên các khoảng
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼

( )
y f x=
( )
y f x
′ ′
=
( )
0f x
′
=
( )
1,2 ,
i
x i n=
i
x
( )
0f x
′
>
2
4y x= −
2
4 0x
− ≥
2
4 2 2x x⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤
[ ]
2;2D = −
( )

2
2 2
4
2 4 4
x
x
y
x x
′
−
−
′
= =
− −
0 0y x
′
= ⇔ =
[ ]
2;2−
y
′
x
−
x
y
′
y
( )
2;0−
( )

0;2
( )
;a b
0
x
lim
x a
y
+
→
lim
x b
y
−
→
0
lim
x x
y
+
→
0
lim
x x
y
−
→
5 3
1 4
3 1

5 3
y x x x= − + +
4
1
y x
x
= +
−
tan sin , 0
2
x x x
π
> < <
1 1 , 0
2
x
x x+ < + ∀ >
4 2
8 2y x x= − +
3
3 1y x x= − +
( ) ( )
2;0 , 2;− +∞
( ) ( )
; 2 , 0;2−∞ −
( )
1;1−
┼- 4Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
2. Cực trị của hàm số.
Lý thuyết:

- Định lý 1, định lý 2 SGK Giải tích 12.
Dạng 1: Tìm m để hàm số
đạt cực đại (hoặc cực tiểu)
tại .
Cách giải:
• Tính
• Điều kiện cần
để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại là .
Giải phương trình này tìm được m.
• Thử lại (Điều kiện đủ)
Với giá trị của m tìm được, ta tính .
- Nếu thì hàm số đạt
cực tiểu tại
- Nếu thì hàm số đạt
cực đại tại .
Căn cứ vào yêu cầu đề để chọn giá trị của m thỏa mãn.
• Kết luận.
Còn có cách khác để thử lại đó là lập bảng biến thiên để
kiểm tra xem hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại .
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số
đạt cực đại tại .
Gợi ý giải:
Để dễ tính đạo hàm
ta chia tử cho mẫu
được
• Đ/k xác định
• Đạo hàm
• Đ/k cần để
hàm số đạt cực
đại tại là

• Thử lại (đ/k
đủ)
Ta có
- Với , ta có
nên trường hợp
này hàm số đạt
cực tiểu tại (không thỏa đề bài).
- Với ta có nên
trường hợp này hàm
số đạt cực đại tại (thỏa đề
bài)
• Kết luận: Giá trị của m phải tìm là .
Dạng 2: Chứng minh hàm
số luôn có cực trị với mọi
giá trị của tham số m.
Cách giải:
Chứng tỏ luôn có
nghiệm và đổi dấu
khi x chạy qua các nghiệm đó.
- Với hàm số bậc ba, chứng tỏ có delta dương;
- Với hàm số bậc bốn (trùng phương) cần theo yêu cầu
đề để tìm m để có 1 nghiệm, hoặc 3 nghiệm.
Ví dụ 2: Chứng
minh rằng hàm số
luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu với mọi giá trị của
m.
Gợi ý giải:
• Tập xác định của hàm số:
• Đạo hàm là
tam thức bậc hai

có .
Suy ra có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu (có thể lập
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
( )
,y f x m=
0
x x
=
( )
,y f x m
′ ′
=
0
x x
=
( ) ( )
0 0
, 0y x f x m
′ ′
= =
( )
0
y x
′′
( )
0
0y x
′′

>
0
x x
=
( )
0
0y x
′′
<
0
x x
=
0
x x
=
2
1x mx
y
x m
+ +
=
+
2x =
1
y x
x m
= +
+
0x m x m+ ≠ ⇔ ≠ −
( )

2
1 1
1y x
x m
x m
′
 
′
= + = −
 ÷
+
 
+
( )
( )
2
1
2 1
2
y
m
′
= −
+
2x =
( )
2 0y
′
=
( )

( )
2
2
1
1 0 2 1
2
m
m
⇔ − = ⇔ + =
+
2 1 1
2 1 3
m m
m m
+ = = −
 
⇔ ⇔
 
+ = − = −
 
( ) ( )
2 3
1 2
1 0y
x m x m
′
 
′′
 ÷
= − = +

 ÷
+ +
 
( )
3
2
x m
=
+
1m = −
( )
( )
3
2
2 2 0
2 1
y
′′
= = >
−
2x =
3m = −
( )
( )
3
2
2 2 0
2 3
y
′′

= = − <
−
2x =
3m = −
( )
,y f x m=
( )
, 0fy x m =
y
′
y
′
3
2 1y x mx x= − − +
D = ¡
2
3 2 2y x mx
′
= − −
( ) ( )
2
2
2 4.3. 2 4 24m m∆ = − − = +
0, m> ∀ ∈¡
0y
′
=
y
′
1 2

,x x
┼- 5Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
bảng xét dấu với hai nghiệm ) khi x đi qua hai nghiệm đó.
• Vậy hàm số luôn có một cực đại, một cực tiểu với mọi m.
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2006,
KPB): Cho hàm số
có đồ thị (C). Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng đi qua
trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ
thị (C).
Câu 2: Tìm m để
hàm số có cực
trị tại . Khi đó
hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính cực trị tương ứng ?
Câu 3: (TN BTTH 2006)
Chứng minh
hàm số luôn
có cực trị với
mọi giá trị của tham số m ?
Gợi ý – đáp số:
Câu 1: Tìm tọa độ hai cực trị của hàm số ,
Trung điểm hai cực trị
. Cho thuộc đường
thẳng , ta có . Giải tìm m.
Câu 2: . Hàm số đạt cực tiểu tại .
3. Tiếp tuyến, tiệm cận của đồ thị hàm số.
Lý thuyết:
Cho hàm số có đồ thị và là
điểm trên . Tiếp tuyến với
đồ thị tại có:

- Hệ số góc:
- Phương trình:
Hay
Vậy để viết được PT tiếp
tuyến tại chúng ta cần đủ ba
yếu tố sau:
- Hoành độ tiếp điểm:
- Tung độ tiếp điểm:
{Nếu đề chưa cho ta
phải tính bằng cách thay vào hàm số }
- Hệ số góc
Dạng 1: Viết p/trình tiếp
tuyến khi biết tọa độ tiếp
điểm , hoặc hoành độ , hoặc tung độ .
Ví dụ: Viết p/trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm
số tại điểm .
Gợi ý giải:
• Ta có (đạo hàm):
• T/tuyến tại có:
- Hệ số góc
- P/trình:
Hay
Ở đây cần biết:
, ở tọa độ của M (đề đã cho).
Ví dụ 2: Viết p/trình tiếp
tuyến với độ thị hàm số
a) Tại điểm có hoành độ
bằng .
b) Tại điểm có tung độ bằng .

Gợi ý giải:
a) Ta có
Gọi tọa
độ tiếp
điểm là . Theo
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
3 2
6 9y x x x= − +
2
y x m m= + −
3 2
2
5
3
y x mx m x
 
= − + − +
 ÷
 
1x =
( )
3 2
1
2 3 9
3
y x mx m x= − − + +
( )
3;0A

( )
1;4B
( )
2;2M
( )
2;2M
2
y x m m= + −
2
2 2 m m= + −
7
3
m =
1x =
( )
y f x=
( )
C
( )
0 0
;M x y
( )
C
( )
C
( )
0 0
;M x y
( )
0

k f x
′
=
( )
0 0
y y k x x− = −
( ) ( )
0 0 0
y y f x x x
′
− = −
( )
0 0
;M x y
0
x
0
y
0
x
( )
0 0
y f x=
( )
0
k f x
′
=
( )
0 0

;M x y
0
x
0
y
4 2
2 1y x x= − +
( )
2;9M −
3
4 4y x x
′
= −
( )
2;9M −
( ) ( ) ( )
3
2 4 2 4 2 24k y
′
= − = − − − = −
( )
( )
9 24 2y x− = − − −
24 39y x= − −
0
2x = −
0
9y
=
1

1
x
y
x
−
=
+
2
3
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
1 1 1 1
1
x x x x
y
x
′ ′
− + − + −
′
=
+
( )
2
2
1x
=
+
( )
0 0

;x y
0
2x =
┼- 6Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
giả thiết có .
• Tung độ tiếp điểm:
• Hệ số góc của tiếp
tuyến tại bằng :
• P/trình tiếp tuyến: .
Hay
Với dạng này, đề
cho , ta cần tính và tính đạo hàm, suy ra hệ số góc của t/tuyến .
b) Ta có
Gọi tọa độ tiếp
điểm là . Theo
giả thiết có .
• Vậy
• Hệ số góc của tiếp
tuyến tại là:
• P/trình tiếp tuyến
cần tìm: .
Hay .
Dạng 2: Viết p/trình tiếp
tuyến khi biết hệ số góc của nó.
Dấu hiệu:
- Tiếp tuyến song song
với đường thẳng
- Tiếp tuyến vuông góc
với đường thẳng
Cách giải:

• Cần biết (rút y theo x)
nên có hệ số góc .
• Khi t/tuyến song
song với thì hế số
góc của t/tuyến bằng hệ số góc của và bằng .
• Khi t/tuyến vuông
góc với thì hế số
góc của t/tuyến và
hệ số góc của thỏa mãn
Lời giải (Các bước):
• Tính đạo hàm hàm số
Tính hệ số góc của tiếp
tuyến (theo các dấu hiệu trên)
• Gọi là tọa độ tiếp điểm
• Hệ số góc của
t/tuyến .
- Giải ph/trình này tìm được
- Thay vào để tính
tung độ tiếp điểm
• Viết p/trình t/tuyến.
Ví dụ 3: Viết p/trình
t/tuyến với đồ thị hàm số ,
biết:
a) Hệ số góc của t/tuyến bằng .
b) T/tuyến song song
với đường thẳng .
c) T/tuyến vuông góc
với đường thẳng
Gợi ý giải:
a) • Ta có

• Gọi là tọa độ
tiếp điểm, ta có hệ
số góc tiếp tuyến tại
bằng
Theo giải thiết ta có
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
0
0
0
1 2 1 1
1 2 1 3
x
y
x
− −
= = =
+ +
1
2;
2
 
 ÷
 
( )
( )
2
2 2
2

9
2 1
k y
′
= = =
+
( )
1 2
2
3 9
y x− = −
2 1
9 9
y x= −
0
2x =
0
0
0
1
1
x
y
x
−
=
+
( )
0
k y x

′
=
( )
2y
′
=
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
1 1 1 1
1
x x x x
y
x
′ ′
− + − + −
′
=
+
( )
2
2
1x
=
+
( )
0 0
;x y
0
3y =

0
0
0
1
3
1
x
y
x
−
= =
+
( )
0 0
1 3 1x x⇔ − = +
0
2x⇔ = −
( )
( )
0 0
; 2;3x y = −
( )
( )
2
2
2 2
2 1
k y
′
= − = =

− +
( )
( )
3 2 2y x
− = − −
2 7y x= +
( )
: 0d ax by c+ + =
( )
: 0d ax by c+ + =
( )
:
a c
d y x
b b
= − −
( )
d
a
k
b
′
= −
( )
d
( )
d
a
k k
b

′
= = −
( )
d
k
k
′
( )
d
. 1k k
′
= −
. 1
a
k
b
 
⇔ − = −
 ÷
 
( )
y f x
′ ′
=
k
( )
0 0
;x y
( )
0

k y x
′
=
0
x
( )
0 0
y f x=
2
1
x
y
x
=
−
2−
( )
1
:
2
d y x= −
( )
9
: 1
2
y x∆ = +
( )
( ) ( )
2 2
2 1 2

2
1 1
x x
y
x x
− −
−
′
= =
− −
( )
0 0
;x y
( )
0 0
;x y
( )
( )
0
2
0
2
1
y x
x
−
′
=
−
( )

0
2y x
′
= −
( )
2
0
2
2
1x
−
⇔ = −
−
( )
2
0
1 1x⇔ − =
0 0
0 0
1 1 2
1 1 0
x x
x x
− = =
 
⇔ ⇔
 
− = − =
 
┼- 7Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán

• Với , ta có
Tr/hợp này ta có
p/trình t/tuyến tại là
hay .
• Với , ta có .
Tr/hợp này ta có
p/trình t/tuyến tại là
hay .
• Kết luận: Vậy có hai
t/tuyến thỏa đề bài có p/trình là
;
Lưu ý: Hệ số góc của
t/tuyến (đề cho).
b) T/tuyến song song với
nên hệ số góc của t/tuyến
bằng hệ số góc của , bằng .
• Gọi là tọa độ tiếp
điểm, ta có hệ số góc
tiếp tuyến tại bằng
Vậy
• Với , ta có .
Tr/hợp này ta có
p/trình t/tuyến tại
là
hay
• Với , ta có .
Tr/hợp này ta có
p/trình t/tuyến tại là
hay
• Kết luận: Vậy có

hai t/tuyến thỏa đề bài
có p/trình là
;
c) Đường thẳng có hệ số
góc .
• Gọi k là hệ số góc
của t/tuyến. Biết
t/tuyến vuông góc với
nên ta có .
Đến đây làm tương tự như câu a) hoặc câu b).
• Đáp số: Có hai tiếp tuyến có p/trình là
;
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2006,
Ban KHXH):
Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm thuộc đồ thị có
hoành độ .
Câu 2 (Đề TN 2007, Bổ
túc): Viết phương trình
tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số tại điểm A(2;4).
Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban):
Cho hàm số , gọi đồ thị
của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên
và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của
(C) với trục tung.
Câu 4 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban):

Cho hàm số , gọi đồ thị
của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên
và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp
tuyến với đồ thị (C) tại
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
0
2x
=
0
0
0
2 2.2
4
1 2 1
x
y
x
= = =
− −
( )
2;4
( )
4 2 2y x− = − −
2 8y x= − +
0
0x

=
0
0
0
2 2.0
0
1 0 1
x
y
x
= = =
− −
( )
0;0
( )
0 2 0y x− = − −
2y x= −
2 8y x= − +
2y x= −
( )
0
2k y x
′
= = −
( )
d
( )
d
1
2

k = −
( )
0 0
;x y
( )
0 0
;x y
( )
( )
0
2
0
2
1
y x
x
−
′
=
−
( )
0
y x k
′
=
( )
2
0
2 1
2

1x
−
⇔ = −
−
( )
2
0
1
1
4
x⇔ − =
0
0
0
0
3
1
1
2
2
1
1
1
2
2
x
x
x
x



− =
=


⇔ ⇔


− = −
=


0
3
2
x =
0
0
0
3
2.
2
2
6
3
1
1
2
x
y

x
= = =
−
−
3
;6
2
 
 ÷
 
1 3
6
2 2
y x
 
− = − −
 ÷
 
1 27
2 4
y x= − +
0
1
2
x =
0
0
0
1
2.

2
2
2
1
1
1
2
x
y
x
= = = −
−
−
1
; 2
2
 
−
 ÷
 
( )
1 1
2
2 2
y x
 
− − = − −
 ÷
 
1 7

2 4
y x= − −
1 27
2 4
y x= − +
1 7
2 4
y x= − −
( )
9
: 1
2
y x∆ = +
9
2
k
′
=
( )
∆
9
. 1 . 1
2
k k k
′
= − ⇔ = −
2
9
k⇔ = −
2 32

9 9
y x= − +
2 8
9 9
y x= − +
2 3
1
x
y
x
+
=
+
0
3x = −
3
3 2y x x= − +
1
2
x
y
x
−
=
+
3 2
1
x
y
x

−
=
+
0
2y = −
┼- 8Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
điểm có tung độ bằng .
Đáp số: Câu 1: ;
Câu 2:
Câu 3: ; Câu 4:
4. Tương giao giữa hai đồ thị.
Lý thuyết:
Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm
số để biện luận theo m số
nghiệm của phương trình .
Ví dụ: Khảo sát sự
biến thiên và vẽ đồ
thị của hàm số . Dựa vào đồ thị , biện luận theo m số nghiệm của
phương trình (1).
Gợi ý giải:
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (2 điểm)
Học sinh tự làm . • Đồ thị (xem hình)
• Viết lại
(1) dưới
dạng
(1) (2)
Đây là PT
hoành độ
giao điểm
của đồ thị

của hàm số
với đường
thẳng
(song song
với trục
hoành) nên
số nghiệm
của (2) bằng số giao điểm của và .
• Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận sau:
* Với , ta thấy và
không có điểm
chung. Suy ra (2) vô
nghiệm
* Với , ta thấy cắt
tại một điểm và tiếp
xúc tại một điểm. Suy
ra (2) có hai nghiệm (một nghiệm đơn và một nghiệm kép)
Nói đơn giản hơn là và có hai điểm chung nên (2) có hai
nghiệm.
* Với , ta thấy cắt
tại ba điểm phân biệt.
Suy ra (2) có 3
nghiệm phân biệt.
• Kết luận:
* Với hoặc , p/trình (1) vô nghiệm.
* Với hoặc , p.trình (1) có hai nghiệm.
* Với , p/trình (1) có 3
nghiệm phân biệt.
Dạng 2: Chứng tỏ
đường thẳng : cắt đồ thị

hàm số tại hai điểm
phân biệt, hoặc không cắt
Cách giải:
• Viết lại
• Lập p/trình hoành
độ giao điểm của
và :
(1)
Quy đồng khử mẫu
đưa về p/trình bậc
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
1 3
4 4
y x= − +
9 14y x= −
4 1
3 3
y x= −
5 2y x= −
( )
y f x=
( )
f x m=
( )
C
3
3y x x= −
( )

C
3
3 1 0x x m− + − =
( )
C
x
y
3
-
3
-2
-1
2
0
1
3
3 1x x m
⇔ − = −
( )
C
3
3y x x= −
( )
: 1d y m= −
( )
d
( )
C
1 2 1
1 2 3

m m
m m
− < − < −
 
⇔
 
− > >
 
( )
d
( )
C
1 2 1
1 2 3
m m
m m
− = − = −
 
⇔
 
− = =
 
( )
d
( )
C
( )
d
( )
C

1 2 1
1 2 3
m m
m m
− > − > −
 
⇔
 
− < <
 
( )
d
( )
C
1m < −
3m >
1m = −
3m =
1 3m− < <
( )
d
0ax by c+ + =
( )
mx n
y f x
cx d
+
= =
+
( )

:
a c
d y x
b b
= − −
( )
d
( )
C
mx n a c
x
cx d b b
+
= − −
+
┼- 9Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
hai dạng
với
Tính
• Đến đây cần
chứng tỏ với mọi m và và kết luận (1) luôn có hai nghiệm phân
biệt. Suy ra cắt tại hai điểm phân biệt.
- Tương tự, kết luận
cho tr.hợp .
Ví dụ: (Bài 11/tr46-
SGK GT12, Cơ bản)
Chứng minh rằng với mọi
giá trị thực của m, đường thẳng luôn cắt đồ thị của hàm số tại
hai điểm phân biệt M, N.
Gợi ý – Giải:

• P/trình hoành độ giao điểm của và là
(1)
,
(2)
• P/trình (2) là
p/trình bậc hai có
với mọi m.
(a)
Mặt khác, thay vào vế trái của (2) ta được
với mọi m.
(b)
• Kết hợp (a) và (b) suy ra p/trình (2) luôn có hai nghiệm
phân biệt thỏa . Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy đ/thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt với mọi giá
trị của m.
Ví dụ (Bài
8.b/tr44- GT12, cơ bản) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục
hoành tại điểm có hoành độ .
• Phân tích bài toán:
- Nhưng điểm nằm trên trục hoành thì có tung
độ .
- Vậy cắt trục hoành tại
điểm .
- Điểm này thuộc nên tọa độ của nó thỏa mãn p/trình .
Lời giải:
• Từ giả thiết ta suy ra cắt trục hoành tại điểm , thay tọa
độ điểm này vào p/trình của ta được:
• Vậy là giá trị
cần tìm.
Bài tập:

Câu 1 (Đề TN 2008, L1, Phân ban):
Cho hàm số .
1) Khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
Câu 2 (Đề TN 2008, L2,
KPB):
Cho hàm số .
1) Khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
Câu 3 (Đề TN 2006,
Phân ban):
1. Khảo sát và vẽ đồ thị
(C) của hàm số
2. Dựa vào đồ thị
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
( )
2
, 0f x m Ax Bx C= + + =
0
d
cx d x
c
+ ≠ ⇔ ≠ −
2
4B AC
∆ = −

0∆ >
,
d
f m
c
 
−
 ÷
 
0≠
( )
d
( )
C
0; 0∆ < ∆ =
( )
: 2d y x m= +
( )
C
3
1
x
y
x
+
=
+
( )
d
( )

C
3
2
1
x
x m
x
+
= +
+
( ) ( ) ( )
3 2 1 , 1 0x x m x x⇔ + = + + + ≠
( )
2
2 1 3 0x m x m⇔ + + + − =
( )
1x ≠ −
( ) ( )
2
1 4.2. 3m m∆ = + − −
( )
2
2
6 25 3 16m m m∆ = − + = − +
0>
1x = −
( ) ( )
2
2. 1 1 3 2 0m m− − + + − = − ≠
1x ≠ −

( )
d
( )
C
( )
m
C
( )
3 2
3 1y x m x m= + + + −
2x = −
0y =
( )
m
C
( ) ( )
; 2;0x y = −
( )
m
C
( )
m
C
( )
m
C
( )
2;0−
( )
m

C
( ) ( ) ( )
3 2
0 2 3 2 1m m= − + + − + −
( )
8 4 3 1 0m m⇔ − + + + − =
3 5 0m⇔ + =
5
3
m⇔ = −
5
3
m = −
3 2
2 3 1y x x= + −
3 2
2 3 1x x m
+ − =
3 2
3y x x= −
3 2
3 0x x m− − =
3 2
3y x x= − +
3 2
3 0x x m
− + − =
┼- 10Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
(C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.

5. Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số.
Lý thuyết:
- Một số dạng bài toán: Tìm điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên;
Ví dụ: Tìm các điểm trên
đồ thị hàm số có tọa độ
là những số nguyên.
Giải:
• Đ/k xác định:
• Chia tử cho mẫu ta có
Xét điểm thuộc đồ thị hàm
số đã cho, ta có .
• Với ta có là các ước
số nguyên của 4.
Các trường hợp xảy ra:
, ta có
, ta có
, ta có
, ta có
, ta có
, ta có
• Vậy có sáu điểm
thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên là:
,
Bài tập:
Tìm các điểm trên đồ thị
hàm số có tọa độ là những
số nguyên.
6. Khảo sát hàm số
Sơ đồ:
• Tập xác định.

• Đạo hàm
Giải p/trình
• Tính các giới hạn ; tiệm
cận với hàm hữu tỷ
Và để suy ra tiệm cận
đứng là đ/t ;
, suy ra tiệm cận
ngang là đ/t
• Bảng biến thiên (điền đầy đủ các thông tin, chú ý giá trị các
giới hạn đã tính)
• Dựa vào bảng biến thiên suy ra:
- Các khoảng đơn điệu (đồng, nghịch biến) của hàm số;
- Cực trị của hàm số (nếu có).
• Vẽ đồ thị:
- Xác định giao điểm với trục hoành: Cho , tìm x.
- Xác định giao điểm với trục tung: Cho , tìm y.
- Cho thêm một số điểm đặc biệt (Chú ý đến tính đ/xứng
của đồ thị: Hàm bậc ba đ/x qua tâm là trung điểm hai cực trị; hàm
bậc bốn (trùng phương) đ/x qua trục tung; hàm hữu tỷ đ/x qua
giao điểm 2 t/cận)
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
3
1
x
y
x
−
=

+
1 0 1x x+ ≠ ⇔ ≠ −
4
1
1
y
x
= −
+
( )
;x y
4
1
1
y
x
= −
+
x ∈¢
4
1
1
y
x
= − ∈
+
¢
4
1x
⇔ ∈

+
¢
1x⇔ +
1 4x + = 3x⇔ =
3 3
0
3 1
y
−
= =
+
1 4x + = −
5x⇔ = −
2y =
1 2 1x x+ = ⇔ =
1y = −
1 2 3x x+ = − ⇔ = −
3y =
1 1 0x x+ = ⇔ =
3y = −
1 1 2x x+ = − ⇔ = −
5y =
( )
3;0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5;2 , 1; 1 , 3;3 , 0; 3 , 2;5− − − − −
2 2
2
x
y

x
+
=
−
( )
y f x
′ ′
=
( )
0f x
′
=
lim
x
y
→±∞
ax b
y
cx d
+
=
+
( )
lim
d
x
c
y
±
→ −

= ±∞
a
x
c
=
lim
x
a
y
c
→±∞
=
a
y
c
=
0y =
0x =
┼- 11Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
Chuyên đề II:
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Lý thuyết:
Cách tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của hàm số liên
tục trên đoạn .
• Tính đạo hàm
Giải phương trình và
tìm các nghiệm thuộc đoạn (các nghiệm nằm ngoài đoạn này
không lấy )
• Tính

• So sánh các số
trên và kết luận.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số trên đoạn .
Gợi ý- Giải:
• Đạo hàm
•
Trên đoạn ta lấy .
• Ta có ;
• So sánh các số trên
ta suy ra
;
Bài tập
Câu 1 (Đề TN 2008,
Lần 1, Ban KHTN):
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn .
Câu 2 (Đề TN 2008, Lần
1, Ban KHXH): Tìm
GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn .
Câu 3 (Đề TN 2008, L2,
KPB): Tìm GTLN,
GTNN của hàm số trên
đoạn .
Câu 4 (Đề TN 2008,
L2, Ban KHTN):
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn .
Câu 5 (Đề TN 2008, L2,
Ban KHXH): Tìm
GTLN, GTNN của hàm số trên

đoạn .
Chuyên đề III:
Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
1. Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ.
Lý huyết
- Ghi nhớ các phép toán với
lũy thừa, mũ. (Với )
;
; .
Ghi nhớ công
thức khử cơ số:
;
Dạng 1: Phương
trình mũ bậc hai (1)
Cách giải:
• Đặt , khi đó .
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
( )
y f x=
[ ]
;a b
( )
y f x
′
=
( )
0f x
′

=
0
x
[ ]
;a b
( ) ( )
( )
0
, ,f a f b f x
[ ]
( ) ( ) ( )
( )
{ }
0
;
min min , ,
a b
f x f a f b f x=
[ ]
( ) ( ) ( )
( )
{ }
0
;
max max , ,
a b
f x f a f b f x=
2
1
2

x
y
x
= + +
[ ]
1;3
2
2 1
2
y
x
′
= − +
2
2
2 1
0 0 4 2
2
y x x
x
′
= ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ±
[ ]
1;3x =
2x =
( )
2 1 7
1 1
1 2 2
y = + + =

( )
2 2
2 1 3
2 2
y = + + =
( )
2 3 19
3 1
3 2 6
y = + + =
[ ]
( )
1;3
min 2 3y y= =
[ ]
( )
1;3
7
max 1
2
y y= =
( )
2 cosf x x x
= +
0;
2
π
 
 
 

4 2
2 1y x x= − +
[ ]
0;2
2 1
3
x
y
x
−
=
−
[ ]
0;2
4 2
2 4 3y x x= − + +
[ ]
0;2
3 2
2 6 1y x x= − +
[ ]
1;1−
0 1a< ≠
.
x y x y
a a a
+
=
( ) ( )
.

y x
x x y y
a a a= =
x
x y
y
a
a
a
−
=
1
x
x
a
a
−
=
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x= ⇔ =
( )
( )
1 0
f x
a f x= ⇔ =
( )
( )
log

f x
a
a c f x c= ⇔ =
2
. . 0
x x
m a n a p+ + =
( )
, 0
x
t a t= >
( )
2
2 2x x
t a a= =
┼- 12Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
Ta có p/trình
(2)
• Giải p/trình (2), tìm nghiệm
• Giải p/trình
• Kết luận,
nghiệm của (1)
Ví dụ: Giải các phương trình sau
1)
2)
Lời giải :
1)
Đặt , khi đó .
Ta có p/trình ,
Giải p/trình này được

(thỏa mãn đ/k )
• Với , ta có
- Với , ta có
• Vậy p/trình đã
cho có hai nghiệm
Chú ý:
2) Để ý
Đặt , ,
Khi đó
• P/trình đã cho trở thành ,
Giải p/trình này ta được
(nhận); (loại)
• Với , ta có
• Vậy p/trình đã cho
có nghiệm duy nhất .
Dạng 2: hay
Cách giải:
• Đặt , khi đó
Thay vào p/trình đã
cho, giải tìm
nghiệm . Rồi tìm x.
• Kết luận.
Ví dụ : Giải các phương trình sau
1)
2)
Lời giải:
1) Ta có
• Đặt , ta có
• Ta có p/trình ,
.

Giải p/trình này được
(thỏa); (không thỏa)
• Vậy ta có .
Kết luận: P/trình đã cho
có nghiệm duy nhất .
2) Để ý : ;
Ta có
Đặt ta có p/trình

Giải p/trình này được
(thỏa mãn đ/k )
• Với , ta có
- Với , ta có
• Tóm lại, p/trình
đã cho có hai
nghiệm
Dạng 3: Bất phương trình
mũ ,
Cách giải:
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
( )
2
. . 0, 0m t n t p t+ + = >
0t >
log
x
a
a t x t= ⇔ =

2 1
3 4.3 1 0
x x
+
− + =
( ) ( )
2. 3 2 2 2 1 1 0
x x
− − − − =
2 1
3 4.3 1 0
x x
+
− + =
2
3.3 4.3 1 0
x x
⇔ − + =
( )
3 , 0
x
t t= >
2 2
3
x
t =
2
3 4 1 0t t− + =
( )
0t >

1
1;
3
t t= =
0t >
1t =
0
3 1 3 3 0
x x
x= ⇔ = ⇔ =
1
3
t =
1
1
3 3 3 1
3
x x
x
−
= ⇔ = ⇔ = −
0; 1x x= = −
2 1 2 1 2
3 3 .3 3.3
x x x
+
= =
( )
2
2 1 2 2 2 1 3 2 2− = − + = −

( )
2 1
x
t = −
( )
0t >
( ) ( ) ( )
2
2
2
3 2 2 2 1 2 1
x
x x
t
   
− = − = − =
   
   
2
2 1 0t t
− − =
( )
0t >
1t =
1
0
2
t = − <
1t =
( )

2 1 1 0
x
x− = ⇔ =
0x =
. . 0
x x
m a n a p
−
+ + =
. 0
x
x
n
m a p
a
+ + =
( )
, 0
x
t a t
= >
1 1
x
x
a
t
a
−
= =
0t >

1
6 6 5 0
x x−
− − =
1
1
1
5 26 0
5
x
x
+
−
+ − =
1
6 6 5 0
x x−
− − =
6 6.6 5 0
x x−
⇔ − − =
6
x
t =
( )
0t >
1 1
6
6
x

x
t
−
= =
1
6. 5 0t
t
− − =
( )
0t >
2
5 6 0t t
⇔ − − =
6t =
1 0t = − <
6 6 1
x
x= ⇔ =
1x =
1 1
5 5 .5 5.5
x x x
+
= =
1 1
1 1 5
5 5 .5 5
x x x− −
= =
1

1
1
5 26 0
5
x
x
+
−
+ − =
5
5.5 26 0
5
x
x
⇔ + − =
( )
5 , 0
x
t t= >
( )
5
5. 26 0, 0t t
t
+ − = >
2
5 26 5 0t t
⇔ − + =
1
5;
5

t t= =
0t >
5t =
5 5 1
x
x= ⇔ =
1
5
t =
1
1
5 5 5 1
5
x x
x
−
= ⇔ = ⇔ = −
1; 1x x= = −
( ) ( )
f x g x
a a≤
( )
0 1a< ≠
┼- 13Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
• Nếu ta có (đổi
chiều BPT)
• Nếu ta có .
Với BPT
- Nếu , ta có (Đổi
chiều BPT)

- Nếu , ta có
Ví dụ : Giải các bất
phương trình
a) b)
Giải:
a) Ta có
Vậy BPT đã cho có tập
nghiệm
Vì cơ số nên (hai
BPT có cùng chiều).
Để giải BPT , ta tìm nghiệm tam thức và xét dấu rồi chọn miền
nghiệm.
b)
(đổi chiều BPT do cơ
số )
Vậy BPT đã cho có tập
nghiệm
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban): Giải phương trình
Câu 2 (Đề TN 2007,
Lần 2, Phân ban):
Giải phương trình
Câu 3 (Đề TN 2008,
L1, Phân ban):
Giải phương trình
Câu 4: Giải các bất phương trình sau
a) b)
2. Hàm số, phương
trình, bất phương
trình lôgarit.

Lý huyết
Ghi nhớ: Với khi
đó
Tính toán: ;
Cộng,
trừ logarit : ;
Đổi cơ số: ;
• Cách khử logarit:
Chú ý: ; .
Dạng 1: Biến đổi về
phương trình
Cách giải:
- Dùng các công thức tính toán, cộng trừ logarit để biến đổi.
- Cần chú ý đến đ/k với các biểu thức dưới dấu logarit.
Ví dụ: Giải các p/trình sau:
1)
2)
Lới giải:
1) • Đ/k xác định:
Khi đó ta có
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
0 1a< <
( ) ( )
f x g x≥
1a >
( ) ( )
f x g x≤
( )

f x
a c≤
0 1a< <
( )
log
a
f x c≥
1a >
( )
log
a
f x c≤
2
3
1
2
4
x x−
≤
( )
2
2 3
1
9
3
x x+
≥
2
3
1

2
4
x x−
≤
2
3 2
2 2
x x− −
⇔ ≤
2
3 2x x
⇔ − ≤ −
2
3 2 0x x
⇔ − + ≤
1 2x⇔ ≤ ≤
[ ]
1;2T =
2 1a = >
2
3 2
2 2
x x− −
≤
2
3 2x x⇔ − ≤ −
2
3 2 0x x− + ≤
2
3 2x x− +

( )
2
2 3
1 1
3 9
x x+
≥
( ) ( )
2
2 3 2
1 1
3 3
x x+
⇔ ≥
2
2 3 2x x⇔ + ≤
1
1
3
a = <
2
2 3 2 0x x⇔ + − ≤
1
2
2
x⇔ − ≤ ≤
1
2;
2
T

 
= −
 
 
2 2
2 9.2 2 0
x x
+
− + =
1
7 2.7 9 0
x x
−
+ − =
2 1
3 9.3 6 0
x x+
− + =
( ) ( )
2
3 2 6
1 1
2 2
x x x− −
≤
2
2 7 6
3 3
x x x− +
≥

0 1, 0, 0a b c
< ≠ > >
log
a
a
α
α
=
log log
a a
b b
α
α
=
1
log log
a
a
b b
α
α
=
log log log .
a a a
b c b c+ =
log log log
a a a
b
b c
c

− =
log
log
log
a
c
a
b
b
c
=
1
log
log
a
b
b
a
=
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
log log
a a
f x
f x g x
f x g x
 >


= ⇔

=


( ) ( )
log
c
a
f x c f x a= ⇔ =
10
log log lga a a= =
log ln
e
a a=
( ) ( )
log log
a a
f x g x=
( )
3 9
log 9 log 5x x+ =
( ) ( )
2 2 2
log 2 log 3 log 12x x− + − =
0
0
9 0
x
x

x
>

⇔ >

>

( )
3 9
log 9 log 5x x+ =
2
3 3
3
log 9 log log 5x x⇔ + + =
3 3
1
2 log log 5
2
x x⇔ + + =
3
3
log 3
2
x⇔ =
┼- 14Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
(thỏa mãn đ/k)
• Vậy p/trình có
nghiệm duy nhất .
2) • Đ/k xác định
Khi đó ta có

Giải p/trình này dược
(thỏa đ/k); (không thỏa đ/k)
• Vậy, p/trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Dạng 2: P/trình bậc hai chứa lôgarit
Cách giải:
• Đ/k xác định:
• Đặt ,
Ta có p/trình . Giải
p/trình này tìm t.
• Giải p/trình để
tìm x.
• Kết luận.
Ví dụ : Giải ph/trình
Giải:
•Đ/k xác định:
Ta có
• Đặt , ta có
• P/trình đã cho trở thành
Giải p/trình này được
• Với , ta có
- Với , ta có
• Kết luận: P/trình
đã cho có hai
nghiệm .
Dạng 3: Bất p/trình , .
Điều kiện xác
định:
- Nếu , ta có (BPT
đổi chiều)
- Nếu , ta có (BPT

cùng chiều)
• Với BPT
- Nếu , ta có (BPT
đổi chiều)
- Nếu , ta có (BPT cùng
chiều)
Ví dụ: Giải các bất p/trình:
a) b)
Giải:
a) • Đ/kiện xác định:
• Với ta có :
{ Cơ số nên có BPT
cùng chiều}
• Vậy tập nghiệm của bất
p/trình đã cho
b) • Đ/kiện xác định:
• Với ta có :
{ Cơ số nên BPT
đổi chiều}
• Vậy tập nghiệm của bất
p/trình đã cho
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2007, Lần 1, Phân ban):
Giải phương trình .
Câu 2 (Đề TN 2008,
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
2
3

log 2 3 9x x x⇔ = ⇔ = ⇔ =
9x =
2 0 2
3
3 0 3
x x
x
x x
− > >
 
⇔ ⇔ >
 
− > >
 
( ) ( )
2 2 2
log 2 log 3 log 12x x− + − =
( ) ( )
2 2
log 2 3 log 12x x⇔ − − =
( ) ( )
2 3 12x x⇔ − − =
2
5 6 0x x⇔ − − =
6x =
1x = −
6x =
( ) ( )
2
.log .log 0

a a
m f x n f x p+ + =
( )
0f x >
( )
log
a
t f x=
t ∈¡
2
. 0m t nt p+ + =
( ) ( )
log
t
a
f x t f x a= ⇔ =
2 2
2 2
log 3log 10 0x x− − =
0x >
( )
( )
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
log log 2log 4logx x x x= = =
2
logt x=
2 2 2

2
log 4x t=
2
4 3 10 0t t− − =
5
2;
4
t t= = −
2t =
2
2
log 2 2 4x x x= ⇔ = ⇔ =
5
4
t = −
5
4
2
5
log 2
4
x x
−
= − ⇔ =
5
4;
4
x x= = −
( ) ( )
log log

a a
f x g x<
( )
0 1a< ≠
( )
( )
0
0
f x
g x
 >


>


0 1a< <
( ) ( )
f x g x>
1a >
( ) ( )
f x g x<
( )
log
a
f x c≤
0 1a< <
( )
c
f x a≥

1a >
( )
c
f x a
≤
( )
2 2
log log 3 1x x≥ −
( ) ( )
1 1
3 3
log 2 1 log 2x x− > +
0
1
3 1 0
3
x
x
x
>

⇔ >

− >

1
3
x >
( )
2 2

log log 3 1x x≥ −
3 1x x⇔ ≥ −
1
2 1
2
x x⇔ ≤ ⇔ ≤
2 1a = >
1 1
;
3 2
T
 
=


 
2 1 0
1
2 0
2
x
x
x
− >

⇔ >

+ >

1

2
x >
( ) ( )
1 1
3 3
log 2 1 log 2x x− > +
2 1 2x x⇔ − < +
3x⇔ <
1
1
2
a = <
1
;3
2
T
 
=
 ÷
 
( )
4 2
log log 4 5x x+ =
┼- 15Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
Lần 2, Phân ban):
Giải phương trình .
Câu 3: Giải các bất phương trình
a)
b)
Chuyên đề IV:

Hình học không gian (tổng hợp).
•. Tính diện tích, Tính thể tích.
Lý huyết
Thể tích hình chóp (h là
chiều cao)
Thể tích khối cầu bán
kính R:
Thể tích khối lăng trụ
Thể tích khối nón tròn
xoay :
Thể tích khối trụ tròn
xoay: .
• Diện tích xung quanh
của hình nón tròn xoay:
Diện tích xung quanh của
hình trụ tròn xoay:
Một số hình cần chú ý:
- Hình chóp đều có đáy là tam giác, hình vuông
- Hình chóp có một cạnh vuông góc với đáy (hình chữ nhật, hình
vuông, tam giác vuông)
- Hình nón tròn xoay, biết chiều cao, hoặc đường sinh, bán kính
đường tròn đáy, góc phẳng ở đỉnh.
- Hình nón bị cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh giao với đường tròn
đáy tại hai điểm A, B, biết AB và giả thiết khác.
Yêu cầu: Giải lại các bài toán trong SGK HH12 có dạng trên,
ghi nhớ cách tính các yếu tố cần thiết và mối quan hệ giữa các
yếu tố dựa vào hình vẽ, tính chất của hình.
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban) : Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc

với đáy, cạnh bên SB bằng .
1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABCD.
Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Cho hình chóp tứ giác
S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA
vuông góc với đáy và SA =AC. Tính thể tích của khối chóp
S.ABCD.
Câu 3 (Đề TN 2008, Lần 1, Phân ban):
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên
bằng 2a. Gọi I là trung điểm
của cạnh BC.
1) Chứng minh SA vuông góc với BC.
2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.
Câu 4 (Đề TN 2008, L2, Phân ban):
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại
B, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết
AB=a, BC= và SA=3a.
1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI
theo a.
Chuyên đề V:
Phương pháp toạ độ trong trong không gian.
1. Tọa độ của điểm, vectơ.
Lý huyết
Yêu cầu nắm được:
- Tính độ dài vecto :
- Cho , ,
Tính tọa độ trung điểm
Thành viên Tuổi Học Trò

123doc.org
┼
( ) ( ) ( )
3 3 3
log 2 log 2 log 5x x x+ + − = ∈ ¡
( )
1 5 1
5 5
log log 2 log 3x x− − <
2
3 3
log 4log 3 0x x− + ≤
1
. .
3
®¸y
V S h=
3
4
.
3
cÇu
V R
π
=
.
L/trô ®¸y
V S h=
2
1

.
3
nãn
V R h
π
=
2
.
trô
V R h
π
=
.
Xq-nãn
S R l
π
=
2 .
Xq-trô
S R l
π
=
3a
3a
( )
; ;u a b c
r
2 2 2
u a b c= + +
r

( )
; ;
A A A
A x y z
( )
; ;
B B B
B x y z
( )
; ;
C C C
C x y z
┼- 16Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
I của đoạn AB, và trọng tâm G của tam giác ABC.
;
- Tính tọa độ
vecto :
- Độ dài đoạn AB:
- Tính tích có hướng
của 2 vecto ,
- Tính tích vô
hướng của 2
vecto ,
- Tính góc giữa hai
vecto ,
- Nắm được:
Cách tính tọa độ
điểm, tọa độ vecto thỏa
mãn môt hệ thức vecto.
Ví dụ:

2. Mặt cầu.
Lý huyết
• Mặt cầu tâm và bán kính
có ph/trình
• Dạng thứ
hai: (2)
Với đ/kiện , thì (2) là
p/trình mặt cầu tâm ,
bán kính .
Một số dạng thường gặp:
Mặt cầu có tâm và đi qua
một điểm hoặc tiếp xúc với một mặt phẳng; mặt cầu đí qua 4 điểm
không đồng phẳng.
Chú ý: Khoảng
cách từ điểm đến
đường thẳng được tính theo công thức
Dạng 1: Mặt
cầu đi qua một điểm M và có
tâm cho trước
Cách giải:
- Bán kính mặt cầu là
Ví dụ 1: Viết phương
trình mặt cầu tâm và đi
qua điểm .
Lời giải:
• Mặt cầu đi qua điểm nên
có bán kính bằng
• P/trình mặt cầu (tâm ):
Hay
Ví dụ

2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết và .
Giải:
• Mặt cầu đường kính AB có tâm là trung điểm I của đoạn AB.
Tọa độ tâm I là
Hay
• Bán kính mặt
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
2
2
2
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
y y
I y
z z
z
+

=


+


=


+

=


3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
G y
z z z
z
+ +

=


+ +


=


+ +

=


AB
uuur
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB AB x x y y z z= = − + − + −
uuur
( )
; ;u a b c
r
( )
; ;v a b c
′ ′ ′
r
, ; ;
b c c a a b

u v
b c c a a b
 
 
=
 ÷
 
′ ′ ′ ′ ′ ′
 
r r
( )
, ; 'u v bc b c ca c a ab a b
 
′ ′ ′ ′ ′ ′
= − − −
 
r r
( )
; ;u a b c
r
( )
; ;v a b c
′ ′ ′
r
. . .u v aa b b c c
′ ′ ′
= + +
r r
( )
; ;u a b c

r
( )
; ;v a b c
′ ′ ′
r
( )
.
cos ,
.
u v
u v
u v
=
r r
r r
r r
2 2 2 2 2 2
.
aa bb cc
a b c a b c
′ ′ ′
+ +
=
′ ′ ′
+ + + +
( )
; ;I a b c
R
( ) ( ) ( )
2 2 2

2
x a y b z c R− + − + − =
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + − − − + =
2 2 2
0a b c d+ + − >
( )
; ;I a b c
2 2 2
R a b c d= + + −
( )
; ;I a b c
( )
; ;
M M M
M x y z
( )
: 0Ax By Cz D∆ + + + =
( )
;
2 2 2
. . .
M M M
M
A x B y C z D
d
A B C
∆
 
 

+ + +
=
+ +
( )
; ;I a b c
R MI=
( )
1;2; 3A −
( )
0;2;2M
( )
0;2;2M
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 0 2 2 3 2 26R MA= = − + − + − − =
( )
1;2; 3A −
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2
1 2 3 26x y z− + − + − − =
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 26x y z− + − + + =
( )
1; 2; 1A − −
( )

3;0; 3B −
( )
1 3
2
2 2
2 0
1
2 2
1 3
2
2 2
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
z z
z
+ +

= = =


+ − +


= = = −



− + −
+
= = = −


( )
2; 1; 2i − −
┼- 17Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
cầu
• P/trình mặt cầu cần tìm:
Hay
Dạng 2: Mặt cầu
có tâm và tiếp xúc
với mặt phẳng .
Cách giải:
- Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm I đến mp.
Ví dụ 3: Viết
ph/trình mặt cầu
có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng .
Lời giải:
• Mặt cầu tiếp xúc với mp nên bán kính m/cầu bằng khoảng
cách từ tâm M đến mp:
• P/trình mặt
cầu cần tìm (tâm
):
Hay

Bài tập:
Câu 1 (Đề
TN 2007, L2, Ban KHTN): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,
cho hai điểm E(1;-4;5) và F(3;2;7).
1. Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm F và có tâm là E.
2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EF .
3. Phương trình mặt phẳng.
Lý huyết
Dạng 1: Mặt phẳng đi
qua điểm và có vecto
pháp tuyến .
PTTQ của
mp là
Một số dấu hiệu:
- Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng AB¸ hoặc đường
thẳng . Khi đó vecto hoặc vecto chỉ phương của là vecto pháp
tuyến của mp.
- Mặt phẳng song song với mặt phẳng , khi đó vecto pháp tuyến
của mp cũng là vecto pháp tuyến của mp.
Ví dụ 1: Viết phương
trình tổng quát của mặt
phẳng đi qua điểm và :
a) vuông góc với
đường thẳng
b) song
song với mặt phẳng
c) vuông góc với đường
thẳng AB với ,
Lời giải:
a) Đ/thẳng có vecto chỉ

phương .
• nên nhận làm vecto
pháp tuyến.
Mặt khác đi qua điểm .
• Vậy p/trình tổng quát của :
Hay
b) • nên vecto pháp
tuyến của , cũng là vecto
pháp tuyến của .
• Mặt khác đi qua điểm .
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
1 2 2 1 1 2 3R IA= = − + − − − + − − − =
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2 1 2 3x y z− + − − + − − =
( ) ( ) ( )

2 2 2
2 1 2 3x y z− + + + + =
( )
; ;I a b c
( )
: 0P Ax By Cz D+ + + =
( )
P
( )
0; 1;1M −
( )
: 2 1 0P x y z+ − + =
( )
P
( )
P
( )
( )
( )
,
2
2 2
0 1 2.1 1
1 1 2
M P
R d
 
 
+ − − +
= =

+ + −
2
2
6 6
−
= =
( )
0; 1;1M −
( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2
2
0 1 1
6
x y z
 
− + − − + − =
 ÷
 
( ) ( )
2 2
2
2
1 1
3
x y z+ + + − =
( )

;
M M M
M x y z
( )
; ;n A B C
=
r
( ) ( ) ( )
0
M M M
A x x B y y C z z− + − + − =
( )
P
( )
d
AB
uuur
d
u
uur
( )
d
( )
P
( )
P
( )
Q
Q
n

uur
( )
Q
( )
P
( )
P
( )
1;2; 3A −
( )
1 2
:
2 1 3
x y z
d
− +
= =
−
( )
: 3 0Q x y z− − =
( )
0;1;1A
( )
1;2;0B −
( )
d
( )
2; 1;3u = −
r
( ) ( )

P d⊥
( )
P
( )
2; 1;3u = −
r
( )
P
( )
1;2; 3A −
( )
P
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 1 1 2 3 3 0x y z− + − − + − − =
2 3 9 0x y z− + + =
( ) ( )
||P Q
( )
Q
( )
1; 1; 3n = − −
r
( )
P
( )
P
( )
1;2; 3A −
┼- 18Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán

• Vậy p/trình tổng quát của :
Hay
c) nên nhận làm vecto
pháp tuyến
Mặt khác đi qua điểm .
• Vậy p/trình tổng quát của :
Hay
Dạng 2: Mặt phẳng xác định bởi hai vecto , không cùng
phương và có giá song song hoặc nằm trên . {Ôn thi ĐH-
CĐ}
Cách giải:
Vecto pháp tuyến của là ,
tích có hướng của hai vecto ,
.
Một số dấu hiệu thường gặp:
- Mp song song với hai
đường thẳng không cùng
phương.
- Mp vuông góc với hai mặt
phẳng không song song.
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH):
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với
A(1;4;-1), B(2;4;3) và C(2;2;-1).
1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường
thẳng BC.
2) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Trong không gian tọa độ Oxyz
cho ba điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4).
1. Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phương trình tham số

của đường thẳng AB.
2. Gọi M là điểm sao
cho. Viết phương trình
mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng BC.
4. Phương trình đường thẳng.
Lý huyết
• Đường thẳng đi qua
điểm có vecto chỉ
phương .
- P/trình tham số của : ,
- P/trình chính tắc
của :
Yêu cầu: Từ các
p/trình tham số và p/trình
chính tắc của đ/thẳng phải biết lấy vecto chỉ phương và điểm thuộc
đường thẳng.
Dạng 1: Đường thẳng đi
qua điểm và có vecto
chỉ phương xác định trước.
Một số dấu hiệu thường gặp:
- Đường thẳng đi qua hai điểm , khi đó vecto là vecto
chỉ phương của .
- Đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng .
Khi đó vecto pháp tuyến của là vecto chỉ phương của .
- Đường thẳng song song với đường thẳng , khi đó vecto
chỉ phương của cũng là vecto chỉ phương của .
Ghi nhớ: Nên vẽ hình minh họa để dễ xác định các yếu tố giải
thiết cho và liên hệ tới mối quan hệ giữa chúng.
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng , biết:

a) đi qua hai điểm ,
b) đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng .
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
( )
P
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 2 3 3 0x y z− − − − − − =
3 8 0x y z− − − =
( )
P AB⊥
( )
P
( )
1;1; 1AB = − −
uuur
( )
P
( )
1;2; 3A −
( )
P
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 2 1 3 0x y z− − + − − − − =
4 0x y z− + − − =
4 0x y z⇔ − + + =

( )
P
u
r
v
r
( )
P
( )
P
,n u v
 
=
 
r r r
u
r
v
r
( )
P
( ) ( )
1 2
,d d
( )
P
( ) ( )
,
α β
2MB MC

= −
uuur uuuur
( )
∆
( )
; ;
M M M
M x y z
( )
; ;u a b c
=
r
( )
∆
M
M
M
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

( )
t ∈¡

( )
∆
M M M
x x y y z z
a b c
− − −
= =
( )
; ;
M M M
M x y z
( )
∆
,M N
MN
uuuur
( )
∆
( )
∆
( )
0
0y x
′′
>
P
n
uur
( )
P

( )
∆
( )
∆
( )
d
( )
d
( )
∆
( )
∆
( )
∆
( )
1;2; 3A −
( )
0;1; 2B −
( )
∆
( )
1; 1;1M −
( )
: 3 0x y z
α
− + =
┼- 19Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
c) đi qua điểm và
song song với đường
thẳng có p/trình

Lời giải:
a) • Đường thẳng
đi qua hai điểm A,
B nên nhận vecto làm vecto chỉ phương. • • Mặt khác đi qua nên
có p/trình tham số
,
b) • Đường thẳng vuông
góc với mp nên nhận vecto
pháp tuyến của làm vecto
chỉ phương của .
• Mặt khác đi qua điểm
nên có p/trình tham số
,
c) Đ/thẳng có vecto chỉ
phương .
• Đ/thẳng song song với
nên nhận làm vecto chỉ
phương.
• Mặt khác đi qua điểm nên
có p/trình tham số
, .
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2007, Bổ
túc):
Trong không gian với hệ toạ
độ Oxyz, cho ba điểm E(1;0;2) , M(3;4;1) và N(2;3;4).
1. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN.
2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm E và vuông góc với
đường thẳng MN.
Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH):

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm
M(1;0;2),N(3;1;5)và đường thẳng (d) có phương trình
.
1. Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua điểm M
và vuông góc với đường
thẳng (d).
2. Viết p/trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N.
5. Góc, khoảng cách.
Lý huyết
• Khoảng cách từ
điểm đến đường
thẳng được tính theo công thức
Bài tập:
Câu 1 (Đề
TN 2008, Lần 1, Ban KHTN):
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2;-2) và
mặt phẳng (P) có phương trình 2x-2y+z-1=0.
1) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và vuông
góc với mặt phẳng (P).
2) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phương
trình của mặt phẳng (Q) sao cho (Q) song song với (P) và khoảng
cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm A đến (P).
Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 2, Ban KHTN):
Trong không gian
với hệ tọa độ Oxyz,
cho các điểm M(1;-2;0), N(-3;4;2) và mặt phẳng (P) có phương
trình.
1. Viết phương trình đường thẳng MN.
2. Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến

mp(P).
Câu 3 (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH):
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
( )
∆
( )
0;0;2N
( )
d
( )
2
: 1
2
x t
d y t
z
=


= − +


=

( )
∆
( )
( )

0 1;1 2; 2 3AB = − − − − −
uuur
( )
1; 1;1= − −
( )
∆
( )
1;2; 3A −
1
2
3
x t
y t
z t
= −


= −


= − +

( )
t ∈¡
( )
∆
( )
P
( )
1; 3;1n = −

r
( )
P
( )
∆
( )
∆
( )
1; 1;1M −
1
1 3
1
x t
y t
z t
= +


= − −


= +

( )
t ∈¡
( )
d
( )
2;1;0u
r

( )
∆
( )
d
( )
2;1;0u
r
( )
∆
( )
0;0;2N
0 2
0
2
x t
y t
z
= +


= +


=

( )
t ∈¡
( )
1 2
: 3

6
x t
d y t
z t
= +


= − +


= −

( )
; ;
M M M
M x y z
( )
: 0Ax By Cz D∆ + + + =
( )
;
2 2 2
. . .
M M M
M
A x B y C z D
d
A B C
∆
 
 

+ + +
=
+ +
2 2 7 0x y z+ + − =
┼- 20Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
Trong không gian
với hệ tọa độ
Oxyz, cho điểm , mặt phẳng .
1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P).
2). Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc
với mặt phẳng (P).
6. Tương giao giữa đường thẳng, mặt pẳng, mặt cầu.
Bài toán tổng hợp
Lý huyết
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN BTTH 2006): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
cho bốn điểm A(4; 3; 2), B(3; 0; 0), C(0; 3; 0) và D(0; 0; 3).
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và trọng tâm G
của tam giác BCD.
2. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng
đi qua ba điểm B, C, D.
Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHTN):
Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3;
0), C(0; 0; 6).
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. Tính diện
tích tam giác ABC.
2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu
đường kính OG.
Câu 3 (Đề TN 2006, KPB):
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 0; -1),

B(1; 2; 1), C(0; 2; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
1. Viết phương trình đường thẳng OG.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C.
3. Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng
OG và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Câu 4 (Đề TN 2007, L1, Ban KHXH):
Trong không gian
với hệ tọa độ
Oxyz cho điểm và mặt phẳng .
1). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ
và tiếp xúc với .
2). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
điểm E và vuông góc với .
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
( )
2; 1;3A −
( )
: 2 2 10 0P x y z− − − =
( )
1;2;3E
( )
: 2 2 6 0x y z
α
+ − + =
( )
mp
α
( )

∆
( )
mp
α
┼- 21Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
Chuyên đề VI:
Nguyên hàm-Tích phân, ứng dụng của tích phân .
1. Tích phân
Lý huyết
- là một
nguyên hàm
của hàm số
liên tục trên
đoạn . Khi đó .
- Ghi nhớ các tính chất cộng, trừ tích phân và công thức tính các
nguyên hàm của hàm số thường gặp.
• , (k là hằng số)
• ; ;
- Cách tính vi phân của
hàm số là:
Ví dụ 1: Với , ta có
Với , ta có .
Lấy vi phân hai vế
(theo biến tương ứng), ta được
Ví dụ 2:
a)
Có thể tính
gộp:
b)


Nhận xét: Với
đa số học sinh
trung bình thì nên
tính tích phân trên bằng phương pháp đổi biến
Lấy vi phân hai vế (theo biến tương ứng) ta được
Đổi cận:
Với ta có ; với ta có
Vậy
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN
2008, L2, KPB):
Tính .
Câu 2 (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH):
Tính tích phân
Đáp số: Câu
1: ; Câu 2:
2. PP đổi biến số.
Lý huyết
Một số dạng thường gặp:
• . Đặt , ta có
.
Đặt ,
ta có
Khi đó
hoặc
• . Đặt ,
ta có
Khi đó
• . Đặt ,
ta có

Khi đó
• Tổng quát:
. Đặt ,
Ví dụ 1: Tính
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
( )
F x
( )
y f x=
[ ]
;a b
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
( ) ( )
.k f x dx k f x dx=
∫ ∫
dx x C= +
∫
2
1dx
C
x
x

= − +
∫
2
dx
x C
x
= +
∫
( )
y g x=
( )
( )
( )
d g x g x dx
′
=
3 5u x= −
( ) ( )
3 5 3 5 .du d x x dx
′
= − = −
3dx=
2
1t x= −
2 2
1t x= −
( ) ( )
2 2
1d t d x= −
( ) ( )

2 2
1t dt x dx
′ ′
⇔ = −
2 . 2 .t dt x dx⇔ =
tdt xdx⇔ =
( )
2
2
1
3 2I x x dx= − +
∫
2 2 2
2
1 1 1
3 2x dx xdx dx= − +
∫ ∫ ∫
2 2 2
2
1 1 1
3 2x dx xdx dx= − +
∫ ∫ ∫
2 2
3 2
2
1
1 1
3. 2
3 2
x x

x= − +
2
2
2
2
3
1
1
1
2
2
x
x x= − +
( )
( )
2 2
3 3
2 1
2 1 2.2 2.1
2 2
 
= − − − + −
 ÷
 
15
2
=
( )
2
2

1
3 2I x x dx= − +
∫
3
2
3
1
2
2
x
x x
 
= − +
 ÷
 
2 2
3 3
2 1
2 2.2 1 2.1
2 2
   
= − + − − +
 ÷  ÷
   
5
10
2
= −
15
2

=
4
0
2 1J x dx= +
∫
( )
4
1
2
0
2 1x dx= +
∫
( ) ( )
4
1
2
0
1
2 1 2 1
2
x d x= + +
∫
( )
4
1
1
2
0
2 1
1

1
2
1
2
x
+
 
 ÷
+
=
 ÷
 ÷
+
 
( )
4
3
2
0
1
2 1
3
x= +
( )
4
3
0
1
2 1
3

x= +
( ) ( )
3 3
1
2.4 1 2.0 1
3
 
= + − +
 ÷
 
( )
1 26
27 1
3 3
= − =
2 1t x= +
2
2 1t x⇒ = +
( )
( )
2
2 1 2 2d t d x tdt dx= + ⇒ =
tdt dx⇒ =
1x =
2.0 1 1t = + =
4x =
3t =
3
3 3
3

2
1 1
1
.
3
t
J t tdt t dt= = = =
∫ ∫
3 3
3 1 26
3 3 3
− =
1
0
3 1I x dx= +
∫
( )
2
2
1
6 4 1I x x dx= − +
∫
14
9
I =
9I =
( )
1
sin cos
b

a
I f x xdx=
∫
sint x=
cosdt xdx=
( )
1
cos sin
b
a
I f x xdx=
∫
cost x=
sindt xdx= −
( )
sin
1
sin
b
a
I f t dt=
∫
( )
cos
1
cos
b
a
I f t dt= −
∫

( )
2
2
tan .
cos
b
a
dx
I f x
x
=
∫
tant x=
2
1
cos
dt dx
x
=
( )
tan
2
tan
b
a
I f t dt=
∫
( )
3
b

x x
a
I f e e dx=
∫
x
t e=
x
dt e dx=
( )
3
b
a
e
e
I f t dt=
∫
( ) ( )
3
.
b
a
I f u x u x dx
′
=  
 
∫
( )
t u x=
( )
dt u x dx

′
=
( )
6
3
cos 1 sinI x xdx
π
π
= +
∫
┼- 22Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
• Đặt , ta có .
• Đổi cận: Với , ta
có
Với , ta có .
• Khi đó
Ghi chú: các
em cũng có
thể đặt
Ví dụ 2:
Tính
Ta viết lại
(có dạng )
• Đặt , ta có
• Đổi cận:
Với , ta có .
Với ta có .
• Vậy
Ghi chú: Với
bài này có thể

đặt .
Ta có
• Đổi cận:
• Khi đó
Cách đặt này
giúp lời giải
gọn và phép tính tích
phân dễ thực hiện hơn rất nhiều so với cách 1. Các em lưu ý nhé
!
Ghi nhớ: Trong quá
trình tính tích phân
dạng cần vận dụng
vi phân để tính
nhanh.
Chẳng hạn với mọi
m là hằng số.
với mọi m, n là
hằng số.
Ví như, trong
mẫu có dạng , nhưng
tử chưa phải du do đó cần biến đổi
để tử thành du: thay .
Vậy
Ví dụ
3:
Tính
Giải:
• Đặt
• Đổi cận:
• Khi đó

Chú ý: Ở đây đã
sử dụng công
thức
Cách khác: Đặt
Đổi cận: ;
Khi đó .
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
cost x=
( )
cos sindt d x xdx= = −
6
x
π
=
3
cos
6 2
t
π
= =
3
x
π
=
1
cos
3 2
t

π
= =
( ) ( ) ( )
3
1
2 2
1
3
2
2
1 1I t dt t dt= + − = +
∫ ∫
3
2
2
1
2
2
t
t
 
= +
 ÷
 
( )
2
2
3
1
2

3 1
2
2 2 2 2
 
 
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
 ÷
= + − +
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
3 3 1 1 3 1
8 2 8 2 2 4
 
= + − + = −
 ÷
 
cos 1t x= +
2
0
cos
3 sin
x

J dx
x
π
=
+
∫
2
0
1
.cos
3 sin
J xdx
x
π
=
+
∫
1
I
sint x=
( ) ( )
sin sin . cosdt d x x dx xdx
′
= = =
0x =
sin0 0t = =
2
x
π
=

sin 1
2
t
π
= =
( )
1 1
0 0
3
1
3 3
d t
J dt
t t
+
= =
+ +
∫ ∫
( )
1
0
ln 3t= + =
( ) ( )
ln 1 3 ln 0 3= + − + =
4
ln4 ln3 ln
3
− =
3 sint x= +
( ) ( )

3 sin 3 sin cosdt d x x dx xdx
′
= + = + =
0 3 sin0 3x t= ⇒ = + =
3 sin 3 1 4
2 2
x t
π π
= ⇒ = + = + =
4
3
dt
J
t
=
∫
4
3
4
ln ln 4 ln3 ln
3
t= = − =
ln
b
b
a
a
du
u
u

=
∫
( )
dx d x m= +
( )
1
dx d mx n
m
= +
1
dx
x +
∫
1u x= +
( )
1dx d x= +
( )
1
ln 1
1 1
d x
dx
x C
x x
+
= = + +
+ +
∫ ∫
ln3
0

1
x
x
e
L dx
e
=
+
∫
1
x
t e= +
( )
1
x x
dt e dx e dx
′
⇒ = + =
0
0 1 1x t e
= ⇒ = + =
ln3
ln3 1 3 1 4x t e= ⇒ = + = + =
4
4
1
1
2
dt
L t

t
= =
∫
2 4 2 1 2= − =
2
dt
t C
t
= +
∫
1
x
t e
= +
2
1
x
t e
⇒ = +
2
x
tdt e dx
⇒ =
0
0 1 1x t e= ⇒ = + =
ln3
ln3 1 3 1 2x t e= ⇒ = + = + =
2 2
2
1

1 1
2
2 2
tdt
L dt t
t
= = =
∫ ∫
( )
2 2 1 2= − =
┼- 23Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN BTTH 2006):
Tính tích phân .
Câu 2 (Đề TN
2006, Ban KHTN):
Tính tích phân .
Gợi ý: Đặt
Suy ra và
Câu 3 (Đề TN
2006, KPB):
Tính .
Câu 4 (Đề TN 2007,
Bổ túc): Tính .
Câu 5 (Đề TN 2008,
Lần 1, Ban KHTN):
Tính tích phân
Đáp số: Câu 1: ;
Câu 2: ; Câu 3:
Câu 4: ; Câu 5:

3. PP tích phân từng phần
Lý huyết
Dấu hiệu: Tích phân có
dạng
; ;
Cách giải: Đặt
Còn ,
ta có
, ta
có
, ta
có
Ví dụ 1: Tính
Giải:
• Đặt
Với , ta có .
• Khi đó:
Nhận xét: Các em có thể tách
Sau đó tính
bằng PP tích
phân từng
phần với
cách đặt .
Và
tính .
Tính
xong,
cộng hai kết quả trên lại.
Ví dụ 2: Tính
Giải:

• Đặt
Với , ta có
• Khi đó
• Vậy
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
( )
2
0
2sin 3 cosI x xdx
π
= +
∫
( )
ln5
ln2
1
1
x x
x
e e
I dx
e
+
=
−
∫
1
x

t e
= −
( )
2
1 1
1y x
x m
x m
′
 
′
= + = −
 ÷
+
 
+
2
1
x
e t
= +
2
x
tdt e dx=
2
2
0
sin 2
4 cos
x

I dx
x
π
=
−
∫
2
0
cos
1 sin
x
I dx
x
π
=
+
∫
( )
1
4
2 3
1
1I x x dx
−
= −
∫
4I =
26
3
I =

4
ln
3
I =
ln2I =
32
15
I =
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −
∫ ∫
( )
1
.sin
b
a
I f x xdx=
∫
( )
2
.cos
b
a
I f x xdx=
∫
( )
3

.
b
x
a
I f x e dx=
∫
( ) ( )
u f x du f x dx
′
= ⇒ =
sindv xdx=
cosv x= −
cosdv xdx=
sinv x=
x
dv e dx=
x
v e=
( )
4
1
0
2 3 sinI x xdx
π
= +
∫
( )
2 3 2 3 2u x du x dx dx
′
= + ⇒ = + =

sindv xdx=
cosv x= −
( ) ( ) ( ) ( )
4
4
1
0
0
2 3 cos cos 2I x x x xdx
π
π
= + − − −
∫
( ) ( )
1
2 3 cos 2.0 3 cos0
4 4
I
π π
  
= + − − + −
 ÷ ÷
  
4
0
2 cos xdx
π
+
∫
( )

4
1
0
2
3 3 1 2sin
2 2
I x
π
π
 
 
= + − − − +
 ÷
 ÷
 
 
2
3 3 2 sin sin0
2 2 4
π π
   
= − + + −
 ÷  ÷
   
2 2
3 3 2 0
2 2 2
π
 
 

= − + + −
 ÷
 ÷
 
 
2 2
3
2 4
π
= − −
4 4
0 0
2 sin 3sinI x xdx xdx
π π
= +
∫ ∫
4 4
0 0
2 sin 2 sinx xdx x xdx
π π
=
∫ ∫
u x=
4 4
4
0
0 0
3sin 3 sin 3cosxdx xdx x
π π
π

= = −
∫ ∫
( )
2
2
0
5 2
x
I x e dx= −
∫
( )
5 2 5 2 2u x du x dx dx
′
= − ⇒ = − = −
x
dv e dx=
x
v e=
( ) ( )
2
2
2
0
0
5 2 2
x x
I x e e dx= − − −
∫
( ) ( )
2

2 0
2
0
5 4 5 0 2
x
I e e e dx= − − − +
∫
2
2
0
1. 5.1 2
x
e e= − +
( )
2 2 0
5 2e e e= − + −
( )
2 2
5 2 1e e= − + −
2
2
3 7I e= −
┼- 24Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
Ghi nhớ: Trong tích phân từng phần, mặc dù có đổi biến
nhưng chúng ta không đổi cận.
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2006,
Ban KHXH): Tính .
Câu 2 (Đề TN 2008,
Lần 1, Ban KHXH):

Tính tích phân .
Câu 3 (Đề TN 2008,
L2, Ban KHTN): Tính
.
Đáp số: Câu 1:; Câu 2: ;
Câu 3:
4. Tính diện tích hình phẳng
Lý huyết
Dạng 1: Diện tích S của
hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .
Cách tính :
• Giải ph/trình : tìm
các nghiệm thuộc
đoạn . (Nghiệm
không thuộc, ta loại bỏ)
• Phân tích
Trên mỗi
khoảng thì có
dấu xác định không thay đổi.
Nên
{Đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân}
Ví dụ: Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số , trục hoành và các đường thẳng
Lời giải:
• Diện tích hình phẳng
cần tìm bằng
• Ta có
Trên đoạn , ta loại

bỏ
• Suy ra
Nhận xét:
Các em
nên dùng
máy tính cầm tay để tính và kiểm tra đáp án nhé !
Nếu em nào có kỹ năng xét dấu, có thể lập bảng xét
dấu để khử dấu giá trị tuyết đối của trên đoạn .
Dạng 2: Diện tích S của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị các
hàm số và .
Cách giải:
• Giải ph/trình tìm được
các nghiệm
(Giả sử )
• Diện tích hình
phẳng cần tìm
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
( )
1
0
2 1
x
I x e dx= +
∫
( )
2
0

2 1 cosI x xdx
π
= −
∫
( )
1
0
4 1
x
I x e dx= +
∫
1I e= +
3I
π
= −
3I e= +
( )
y f x=
;x a x b= =
( )
a b<
( )
b
a
S f x dx=
∫
( )
b
a
S f x dx=

∫
( )
0f x =
1 2
; ; ;
n
x x x
[ ]
;a b
( )
b
a
S f x dx=
∫
( ) ( ) ( )
1 2
1

n
x x
b
a x x
f x dx f x dx f x dx= + + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
( )
1 1 2
; , ; , , ;
n
a x x x x b

( )
f x
( ) ( ) ( )
1 2
1

n
x x
b
a x x
S f x dx f x dx f x dx= + + +
∫ ∫ ∫
3
y x x= −
0; 2x x= =
2
3
0
S x x dx= −
∫
( )
3 2
0 1 0x x x x− = ⇔ − =
0; 1x x⇔ = = ±
[ ]
0;2
1x = −
1 2
3 3
0 1

S x x dx x x dx= − + −
∫ ∫
( ) ( )
1 2
3 3
0 1
x x dx x x dx= − + −
∫ ∫
1 2
4 2 4 2
0 1
4 2 4 2
x x x x
   
= − + −
 ÷  ÷
   
1 1 16 4 1 1
4 2 4 2 4 2
   
= − + − − −
 ÷  ÷
   
1 1 5
2
4 4 2
= + + =
3
x x−
[ ]

0;2
( )
y f x=
( )
y g x=
( ) ( )
f x g x=
1 2
; ; ,
n
x x x
1 2

n
x x x
< < <
( ) ( )
1
n
x
x
S f x g x dx= −
∫
┼- 25Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán
Chia S thành tổng các tích
phân trên các khoảng , ,…,
để tính bằng cách đưa dấu giá trị truyệt đối ra ngoài dấu tích phân.
Ví dụ 2: Tính diện tích
hình phẳng giới hạn bởi
các đường và

Giải:
• Ph/trình hoành độ giao
điểm của hai đường đã cho :
• Vậy diện tích
hình phẳng cần tìm
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN
BTTH 2006):
Tính diện
tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các
đường thẳng .
Câu 2 (Đề TN 2006, KPB):
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm
số , và đường thẳng .
Gợi ý: Đề đã cho một cận là .
Để tìm cận còn
lại ta giải
ph/trình
Chú ý:
Vậy diện tích hình
phẳng cần tìm
bằng .
Các em tự tính tiếp
nhé !
Câu 3 (Đề TN 2007, L2,
Ban KHXH): Tính diện
tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , .
5.Tính thể tích khối tròn xoay (khi quay quanh trục Ox)
Lý huyết
Dạng 1: Thể tích V của

khối tròn xoay thu được khi
cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường
thẳng quay quanh trục hoành.
Ví dụ: Tính thể
tích vật thể tròn
xoay tạo thành
khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và
hai đường thẳng quay quanh trục hoành.
Giải:
• Thể tích cần tìm bằng
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN
2007, Lần 2, Ban
KHTN): Cho hình
Thành viên Tuổi Học Trò
123doc.org
┼
( )
1 2
;x x
( )
2 3
;x x
( )
1
;
n n
x x
−
( ) ( ) ( ) ( )

2
1 1

n
n
x
x
x x
S f x g x dx f x g x dx
−
= − + + −
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1

n
n
x
x
x x
S f x g x dx f x g x dx
−
=  −  + +  − 
   
∫ ∫
3 2
y x x= −
0y =
3 2

0x x− =
( )
2
1 0 0; 1x x x x⇔ − = ⇔ = =
( )
1
3 2
0
0S x x dx= − −
∫
( )
1
1
4 3
3 2
0
0
4 3
x x
S x x dx
 
= − = −
 ÷
 
∫
1 1
4 3
= −
1
12

=
3 2
3y x x= +
2, 1x x= − = −
x
y e=
2y =
1x =
1x =
2
x
e
=
log 2 ln2
e
x
⇔ = =
ln2 1<
1
ln2
2
x
S e dx= −
∫
2
6y x x= − +
0y =
( )
H
( )

y f x=
;x a x b= =
( )
a b<
( )
2
b
a
V f x dx
π
=  
 
∫
( )
H
cosy x=
;
6 2
x x
π π
= =
( )
2
2
6
cosV x dx
π
π
π
=

∫
( )
2 2
2
6 6
1
cos 1 cos2
2
V xdx x dx
π π
π π
π π
= = +
∫ ∫
2
6
1
sin 2
2 2
x x
π
π
π
 
= +
 ÷
 
1 1 2
sin sin
2 2 2 6 2 3

π π π π
π
 
 
= + − −
 ÷
 ÷
 
 
1 1 3
.0 .
2 2 2 6 2 2
π π π
 
 
= + − −
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
siny x=
0y =
0,
2
x x
π
= =