Phương trình mặt thẳng phương pháp tọa độ trong không gian

204

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng.
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:
a) Đi qua ba điểm
     
1,2,3 , 2, 4,3 , 4,5,6 .A B C

b) Đi qua điểm
 
0
1,3, 2M 
và vuông góc với trục
Oy
.
c) Đi qua điểm
 
0
1,3, 2M 
và vuông góc với đường thẳng
BC
với
   
0,2, 3 , 1, 4,1BC
.
d) Đi qua điểm
 
0

1,3, 2M 
và song song với mặt phẳng
 
:2 3 4 0.x y z

   

e) Đi qua điểm
   
3,1, 1 , 2, 1,4AB
và vuông góc với mặt phẳng
 
:2 3 4 0.x y z

   

f) Đi qua điểm
 
0
2, 1,2M 
song song với trục
Oy
và vuông góc với mặt phẳng
 
:2 3 4 0.x y z

   

g) Đi qua điểm
 

0
2,3,1M 
và vuông góc với hai mặt phẳng

 
1
:2 2 5 0.x y z

   


 
2
:3 2 3 0.x y z

   

h) Cho hai điểm
   
1,1,1 , 3, 1,1AB
. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
.
Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:
a) Đi qua ba điểm
     
3, 1,5 , 4,2, 1 , 1, 2,3 .I M N  

b) Đi qua điểm
 

3, 1,5I 
và vuông góc với
MN
, biết
 
4,2, 1M 
và
 
1, 2,3N 
.
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm
 
1, 2,5M 
và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng:

 
1
: 2 3 1 0.x y z

   


 
2
:2 3 1 0.x y z

   

d) Đi qua điểm
 

1, 2,3M 
và song song với mặt phẳng
3 2 13 0.x y z   

e) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
, biết
 
3,2,1A 
và
 
9,4,3 .B

f) Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm
   
2,1,1 , 3,2,2AB
và vuông góc với mặt phẳng
2 5 3 0.x y z   

Bài 3. Cho tứ diện
ABCD
với các đỉnh
       
7,9,1 , 2, 3,2 , 1,5,5 , 6,2,5A B C D  
. Gọi
G
là trọng
tâm của tứ diện,
I
là điểm cách đều bốn đỉnh của tứ diện. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm

, , B G I
.
Bài 4. Cho tứ diện
ABCD
với các đỉnh
       
5,1,3 , 1,6,2 , 5,0,4 , 4,0,6A B C D
.
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
, , A B C
.
b) Tính chiều cao hạ từ đỉnh
D
của tứ diện.
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua
AB
và song song với
CD
.
Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho ba điểm
   
12
2,1,1 , 3,1,2MM
và
 
3
0, 1, 4M 
.

H×nh häc kh«ng gian 12 ph-¬ng ph¸p täa ®ä trong kh«ng gian


205

a) Chứng minh rằng
1 2 3
,,M M M
không thẳng hàng và tính diện tích tam giác
1 2 3
M M M
.
b) Tính thể tích tứ diện
1 2 3
OM M M

c) Viết phương trình mặt phẳng
 

đi qua ba điểm
1 2 3
,,M M M

d) Viết phương trình mặt phẳng
 

đi qua điểm
1
M
và vuông góc với đường thẳng

23
MM
.
e) Viết phương trình mặt phẳng
 

đi qua hai điểm
12
,MM
và song song với đường thẳng
3
OM
.
Bài 6. Trong hệ tọa độ
Oxyz
cho điểm
 
1,2,3M

a) Viết phương trình mặt phẳng
 

đi qua điểm
M
cắt
, , Ox Oy Oz
lần lượt tại các điểm
,,A B C
sao
cho

M
là trọng tâm tam giác
ABC
.
b) Viết phương trình mặt phẳng
 

đi qua điểm
M
cắt
, , Ox Oy Oz
lần lượt tại các điểm
,,P Q R
sao
cho
M
là trực tâm tam giác
PQR
.
c) Viết phương trình mặt phẳng
 

đi qua điểm
M
cắt
, , Ox Oy Oz
lần lượt tại các điểm
,,D E F
sao
cho tứ diện

ODEF
có thể tích bé nhất.
Bài 7. Trong hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
   
12
1,0,1 , 2, 1,0MM
và
 
3
0,0,1M
.
a) Viết phương trình mặt phẳng
 

đi qua hai điểm
12
,MM
mà khoảng cách từ
3
M
tới
 

bằng
2
2
.
b) Viết phương trình mặt phẳng

 

đi qua
3
M
mà khoảng cách từ
1
M
và
2
M
tới
 

đều bằng
2
2
.
Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng
 
P
đi qua
 
1,2,3M
,
 
2, 2,4N 
và song song với
Oy
.

Bài 9. Viết phương trình mặt phẳng
 
P
đi qua điểm
 
0,0,0O
và vuông góc với mặt phẳng
 
: 2 0Q x y z  
và tạo với mặt phẳng
 
Oyz
một góc
0
45
.
Bài 10. Cho điểm
 
2, 2,0A 
,
 
4,2, 2 .B 
Viết phương trinh mặt phẳng
 
P
vuông góc với
AB
và
cách điểm
 

1, 1,0M 
một khoảng bằng
3
.
Bài 11. Viết phương trình mặt phẳng
 
P
vuông góc với mặt phẳng
 
: 0,Q x y z  
song song với
trục
Oz
và tiếp xúc với mặt cầu
 
2 2 2
: 2 2 4 3 0.S x y z x y z      

Bài 12. Cho mặt phẳng
 
:4 6 10 0x ay z

   

và
 
: 12 12 4 0.bx y z

   


Xác định
, ab
để
   
//

, rồi tính khoảng cách từ mặt phẳng
 

đến mặt phẳng
 

.
Bài 13. Cho điểm
 
2,3,1A
,
 
4,1, 2B 
,
 
6,3,7C
, và
 
5, 4,8D 
. Tính độ dài đường cao thuộc đỉnh
A
của tứ diện
ABCD
.

Phương trình mặt thẳng phương pháp tọa độ trong không gian

206

Bài 14. Cho mặt phẳng
 
: 2 0P x y z  
và điểm
 
2, 3,1M 
. Viết phương trình mặt phẳng
 
Q
đi
qua điểm
M
và vuông góc với mặt phẳng
 
P
đồng thời tạo với mặt phẳng
0x 
một góc
0
45
.
Bài 15. Viết phương trình mặt phẳng
 
Q
chứa trục
Oz

và tạo với mặt phẳng
 

có phương trình
2 5 0x y z  
một góc là
0
60
.
Bài 16. Viết phương trình mặt phẳng
 
Q
đi qua điểm
 
3,0,0A
,
 
0,0,1C
và tạo với mặt phẳng
 
Oxy
một góc là
0
60
.
Bài 17. Cho mặt phẳng
 
:2 2 0P x y z  
và điểm
 

1,1,1A
. Viết phương trình mặt phẳng
 
Q
đi qua
gốc tọa độ, điểm
A
và tạo với mặt phẳng
 
P
một góc là
0
45 .

Bài 18. Cho mặt phẳng
 
P
có phương trình
20x y z  
và điểm
 
2, 3,1 .A 
Viết phương trình mặt
phẳng đi qua
A
, gốc tọa độ và vuông góc với
 
.P

Bài 19. Cho mặt phẳng

 
P
có phương trình
20x y z  
và hai điểm
   
1,0,0 , 2, 3,0 .AB
Viết
phương trình mặt phẳng
 
Q
đi qua
A
và
B
đồng thời tạo với mặt phẳng
 
P
một góc là
0
60 .

Bài 20. Cho mặt phẳng
 

có phương trình
2 0.x y z   
Viết phương trình mặt phẳng
 
P

song
song với mặt phẳng
 

và cách mặt phẳng
 

một khoảng cách là
3h 
.
Bài 21. Viết phương trình mặt phẳng
   
//QP
và cách mặt phẳng
 
P
một khoảng cách là
,h
trong
mỗi trường hợp sau đây:
a) Mặt phẳng
 
P
có phương trình là
2 2 0x y z  
và
3.h 

b) Mặt phẳng
 

P
có phương trình
40x
và có
2.h 

Bài 22. Cho hai mặt phẳng
 
1
: 2 0P x y z  
và mặt phẳng
 
2
: 2 8 0.P x y z   
Viết phương trình
mặt phẳng
 
P
song song và cách đều hai mặt phẳng đã cho.
Bài 23. Cho hai điểm
 
1, 0,2A
và
 
0, 1, 0B
. Viết phương trình mặt phẳng
 
P
đi qua
A

và
B
, cách
gốc tọa độ một khoảng cách

1
2
h
.
Bài 24. Viết phương trình mặt phẳng
 
P
đi qua hai điểm
,AB
và cách điểm
M
một khoảng cách là
h

trong các trường hợp sau:
a)
     
1, 0,1 , 0,2,0 , 1,1,1A B M
và

1
3
h
.
b)

     
0, 2,1 , 1,1,1 , 0,0,0A B M
và
1h
.

H×nh häc kh«ng gian 12 ph-¬ng ph¸p täa ®ä trong kh«ng gian


207

Bài 25. Cho hai điểm
 
1, 0,1A
và
 
0,1, 0B
. Viết phương trình mặt phẳng
 
P
đi qua gốc tọa độ và tạo
với các đường thẳng
,OA OB
các góc bằng
0
30
.
Bài 26. Viết phương trình mặt phẳng
 
P

đi qua điểm
 
1,2,3M
và tạo với các trục
,Ox Oy
những góc
tương ứng bằng
0
45
và
0
30 .

Bài 27. Cho các điểm
       
1,1, 0 , 0,0,0 , 2,0, 1 , 0,2, 3 .A O B C
Viết phương trình mặt phẳng
 
P

đi qua
O
và tạo với đường thẳng
, OA BC
những góc tương ứng là
0
45
và

với


1
sin .
3

Bài 28. Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua điểm
 

0
2,1, 1M
và qua giao tuyến của hai mặt phẳng
   


   

40
3 1 0
x y z
x y z

b) Đi qua điểm
 

0
2, 2,0M
và qua giao tuyến của hai mặt phẳng
  20xy
và

  2 1 0.xz

Bài 29. Viết phương trình mặt phảng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
  2 4 0yz
và
   30x y z
đồng thời song song với mặt phẳng
   2 0.x y z

Bài 30. Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
3 2 0x y z   
và
4 5 0xy  
, đồng thời vuông góc với mặt phẳng
2 7 0.xz  

Bài 31. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm
 
0
1,1,1M
cắt các tia
,,Ox Oy Oz
lần lượt tại các điểm
, , A B C
sao cho thể tích của tứ diện
OABC
có giá trị nhỏ nhất.
Dạng II. Tìm điểm.
Bài 32. Tìm
a

để bốn điểm
 
1,2,1 ,A

 
2, , 0 ,Ba

 
4, 2,5 ,C 

 
6,6,6D
thuộc cùng một mặt phẳng.
Bài 33. Cho hai điểm
   
0,0, 3 , 2,0, 1AB
và mặt phẳng
 
P
có phương trình
3 8 7 1 0.x y z   

a) Tìm tọa độ giao điểm
I
của đường thẳng
AB
với mặt phẳng
 
.P


b) Tìm điểm
C
nằm trên mặt phẳng
 
P
sao cho tam giác
ABC
là tam giác đều.
Bài 34. Tìm trên
Oy
những điểm cách đều hai mặt phẳng
 
: 1 0x y z    
và
 
: 5 0.x y z    

Bài 35. Cho ba mặt phẳng

 
: 6 0x y z    


 
: 2 1 0mx y z m     


   
: 1 2 0mx m y z m     


a) Xác định giá trị của
m
để ba mặt phẳng đó đôi một vuông góc với nhau.
b) Tìm điểm chung của cả ba mặt phẳng khi ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau.
Phương trình mặt thẳng phương pháp tọa độ trong không gian

208

Bài 36. Trong không gín với hệ tọa độ trực chuẩn
,Oxyz
xét tam giác đều
OAB
trong mặt phẳng
 
Oxy

có cạnh bằng
a
, đường thẳng
AB
song song với trục
,Oy
điểm
A
thuộc góc phần tư thứ nhất của mặt
phẳng
 
Oxy
. Xét điểm
0,0,

3
a
S




a) Hãy xác định toạ độ các điểm
, AB
và trung điểm
E
của đoạn
OA
, sau đó viết phương trình mặt
phẳng
 
P
chứa
SE
và song song với
Ox
.
b) Tính khoảng cách từ
O
đến
 
P
, từ đó suy ra khoảng cách giữa
Ox
và

SE
.
Bài 37. Cho ba điểm
     
1,-3,4 , 1,-5,2 , 1,-3,0A B C
và mặt phẳng
 
P
có phương trình
0.x y z  

Tìm trên mặt phẳng
 
P
điểm
I
sao cho
IA IB IC
.
Dạng III. Góc giữa hai mặt phẳng. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Bài 38. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau:
a)
- 2 -4 0x y z
và
10 10 20 40 0x y z   

b)
3 2 3 5 0x y z   
và
9 6 9 5 0.x y z   


c)
10x y z   
và
2 2 2 3 0.x y z   

d)
2 3 0x y z   
và
2 4 2 0.x y z   

e)
2 5 0x y z   
và
2 3 7 4 0.x y z   

Bài 39. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau đây:
a)
2 4 0x y z   
và
2 3 0.x y z    

b)
3 1 0yz  
và
2 3 3 0.x y z   

c)
3 2 5 4 0x y z   
và

2 3 5 8 0.xyz   

d)
2 12 0x y z   
và
2 2 7 0.x y z   

e)
5 1 0xz  
và
6 2 6 5 0.x y z   

Bài 40. Xác định giá trị
, m

để các cặp mặt phẳng sau đây song song với nhau:
a)
2 3 5 0x y z

   
và
6 6 2 0.mx y z   

b)
   
2 1 0x y z
   
     
và
 

1 0.x my m z

    

c)
3 5 3 0x y mz   
và
2 5 0.x y z

  

d)
3 2 1 0mx y z   
và
2 5 0.x y z

  

Bài 41.
a) Tìm
a
để hai mặt phẳng sau:
1
50
4
x y z   
và
3
sin cos sin 2 0x y z
  

   
là vuông góc
với nhau.
b) Tìm

để vectơ
 
sin ,0,sin cos2u
  
có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng
 
: 2 6 0.P x y z   

c) Cho hai mặt phẳng có phương trình

 
1
:2 3 6 0.x my z m

    

H×nh häc kh«ng gian 12 ph-¬ng ph¸p täa ®ä trong kh«ng gian


209

và
     
2
: 3 2 5 1 10 0.m x y m z


     

Với giá trị nào của
m
thì hai mặt phẳng
 
1

và
 
2

:
i) Song song với nhau.
ii) Trùng nhau.
iii) Cắt nhau.
iv) Vuông góc với nhau.

BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 42. Cho ba điểm
     
,0,0 , 0, ,0 , 0,0,A a B b C c
với
, , a b c
là các số thực dương thay đổi sao cho
2 2 2
3.abc  

Xác định

, , a b c
sao cho khoảng cách từ
O
đến mặt phẳng
 
ABC
là lớn nhất.
Bài 43. Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có
       
0,0,0 , ,0,0 , 0, ,0 , ' 0,0,A B a D a A b
với
, , a b c
là các số thực dương và
M
là trung điểm của
'CC
.
a) Tính thể tích tứ diện
'.BDA M

b) Tìm tỷ số
a
b
để mặt phẳng
 
'A BD
vuông góc với mặt phẳng
 

.MBD

Bài 44. Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
và chiều cao bằng
h
. Gọi
I
là trung
điểm của cạnh bên
SC
.
Tính khoảng cách từ điểm
S
đến mặt phẳng
 
.ABI

Bài 45. Cho khối lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có cạnh bằng 1.
a) Tính góc tạo bởi đường thẳng
'AC
và
'AB
.
b) Gọi
, , M N P

lần lượt là trung điểm của các cạnh
' ', , 'A B BC DD
. Chứng minh rằng
'AC
vuông góc
với mặt phẳng
 
.MNP

c) Tính thể tích tứ diện
.AMNP

Bài 46. Cho tứ diện
ABCD
với
       
3,5, 1 , 7,5,3 , 9, 1,5 , 5,3, 3 .A B C D  
Viết phương trình mặt
phẳng cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó.
Bài 47. Trong không gian
Oxyz
cho hai điểm
 
1 1 1 1
,,M x y z
và
 
2 2 2 2
, , ,M x y z
không nằm trên mặt phẳng

 
: 0.Ax By Cz D    

Tìm điều kiện cần và đủ để:
a) Đường thẳng
12
MM
cắt
 

.
b) Đoạn thẳng
12
MM
cắt
 
.

c) Đường thẳng
12
MM
cắt
 

tại điểm
I
sao cho điểm
1
M
nằm giữa

I
và điểm
2
M
.
d) Đường thẳng
12
MM
cắt
 

tại điểm
I
sao cho diểm
2
M
nằm giữa
I
và điểm
1
.M

Phương trình mặt thẳng phương pháp tọa độ trong không gian

210

Bài 48. Cho mặt cầu
 
S
có phương trình:

2 2 2
12 4 6 24 0,x y z x y z      
và mặt phẳng
 
P
có
phương trình:
2 2 1 0.x y z   

a) Tính khoảng cách từ tâm
I
của mặt cầu đến mặt phẳng
 
.P

b) Viết phương trình đường tròn tiếp diện ( nếu có ).
Bài 49. Lập phương trình mặt cầu có tâm nằm trên hai mặt phẳng

 
1
:2 4 7 0.    x y z


 
2
:4 5 14 0.    x y z

đồng thời tiếp xúc với cả hai mặt phẳng
 
1

: 2 2 2 0   P x y z
và mặt phẳng
 
2
: 2 2 4 0.   P x y z

Bài 50. Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn
Oxyz
cho hai mặt phẳng
 
:5 4 6 0   P x y z

 
:2 7 0   Q x y z
và hai mặt phẳng
 
1
: 2 3 0,    x y z

 
2
: 3 0.    x y z

a) Viết phương trình mặt cầu có tâm tại giao điểm
I
của mặt phẳng
 
P
và đường thẳng
b) Tìm tọa độ điểm

1
I
đối xứng với
I
qua mặt phẳng
 
.Q

Bài 51.
a) Cho mặt cầu có phương trình:
2 2 2
6 2 4 5 0x y z x y z      
và điểm
 
0
4,3,0M
. Viết phương
trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm
0
M
.
b) Viết phương trình mặt cầu có tâm
I
 
2,1,0
và tiếp xúc với mặt phẳng
 

có phương trình
2 2 5 0.x y z   


c) Cho bốn điểm
       
3, 2, 2 , 3,2,0 , 0,2,1 , 1,1,2 .A B C D  
Viết phương trình mặt cầu tâm
A
tiếp
xúc với mặt phẳng
 
BCD
.
d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm
     
1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1A B C
và có tâm
I
nằm trên mặt
phẳng
3 0.x y z   