Đề thi học sinh giỏi trường THCS Thất Hùng-Kinh Môn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (111.41 KB, 4 trang )
PHòNG gd& đt KINH MÔN
Trờng THCS Thất hùng
Kì thi thử lần 1 THPT
Năm học 2010-2011
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày 23 tháng 04 năm 2011
Đề thi gồm : 01 trang
Câu 1: ( 2,0 điểm)
1) Giải các phơng trình sau:
a)
1 5
1
2 2
x
x x
+ =
b) x
2
6x + 1 = 0
2) Cho hàm số
( 5 2) 3y x= +
. Tính giá trị của hàm số khi
5 2x = +
.
Câu 2: ( 2,0 điểm)
Cho hệ phơng trình
2 2
2 3 4
x y m
x y m
=
+ = +
1) Giải hệ phơng trình với m = 1.
2) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) sao cho x
2
+ y
2
có giá trị nhỏ nhất.
Câu 3: ( 2,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức
1 1 1 1
A :
1
1 1
a
a a a
= +
ữ ữ
+
với a > 0 và
1a
.
2) Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B cách nhau 108 km. Hai ô tô khởi hành
cùng một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên
đến B trớc xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Hớng dẫn giải.
Câu4: (3,0 điểm)
Cho đờng tròn tâm O. Lấy điểm A ở ngoài đờng tròn (O), đờng thẳng AO cắt
đờng tròn (O) tại 2 điểm B, C (AB < AC). Qua A vẽ đờng thẳng không đi qua O cắt đ-
ờng tròn (O) tại hai điểm phân biệt D, E ( AD < AE). Đờng thẳng vuông góc với AB
tại A cắt đờng thẳng CE tại F.
1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.
2) Gọi M là giao điểm thứ hai của đờng thẳng FB với đờng tròn (O).
Chứng minh DM
AC.
3) Chứng minh CE.CF +AD.AE = AC
2
.
Câu 5: ( 1 điểm)
Tìm tất cả các cặp số (x ; y) thoả mãn:
2 2
x + 2y + 2xy - 5x - 5y = - 6
để x + y là số nguyên
1
Đáp án và thang điểm
Câu Phần Nội dung
Điểm
Câu 1
(2,0
điểm)
1) a
0,75
điểm
đk: x
2 0,25
1 5
1 1 2 5
2 2
x
x x
x x
+ = + =
2 6 3x x = =
x=3 Thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phơng trình có
nghiệm duy nhất x=3
0,25
0,25
1)b
0,75
điểm
x
2
6x + 1 = 0
=(-3)
2
-1.1=9-1=8>0
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=3+
2 2
và x
2
=3-
2 2
0,25
0,5
2.
0,5 điểm
Thay giá trị của
5 2x = +
vào hàm số
Tính ra giá trị của hàm số y=4
0,5
Câu 2
(2,0
điểm)
1)
1 điểm
Khi m = 1 ta có:
2 1
2 7
x y
x y
=
+ =
4 2 2 5 5 1
2 7 2 7 3
x y x x
x y x y y
= = =
+ = + = =
Vậy khi m =1 thì hệ có nghiệm
1
3
x
y
=
=
0,25
0,5
0,25
2)
1 điểm
2 2 4 2 2 4 5 5
2 3 4 2 3 4 2 3 4 2
x y m x y m x m x m
x y m x y m x y m y m
= = = =
+ = + + = + + = + = +
Có x
2
+ y
2
= m
2
+ (m + 2)
2
= 2m
2
+ 4m+4=2(m+1)
2
+2
Vì : 2(m+1)
2
0 với mọi m2(m+1)
2
+2 2 với mọi m
GTNN của x
2
+ y
2
bằng 2 khi 2(m+1)
2
=0m=-1
0,5
0,25
0,25
Câu 3
2,0điểm
1)
1,0điểm
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
A :
1
1 1
1 1 1
:
1
1 1 1
a
a a a
a a
a
a a a a
= +
ữ ữ
+
+
ữ ữ
= +
ữ ữ
+
+
0,5
( ) ( )
( )
1
1
1 1
a a
a
a a
ữ
= ì
ữ
+
0,25
1
a
a
=
+
0,25
2
2)
1,0điểm
Gọi vận tốc của xe ô tô thứ hai là x ( km/h).
Điều kiện: x > 0
Thì vận tốc của xe thứ nhất là : x+6(km/h)
Thời gian xe ô tô thứ nhất đi từ A đến B là :
108
6x +
(h)
Thời gian xe ô tô thứ hai đi từ A đến B là :
108
x
(h)
Vì ô tô thứ nhất đến B trớc ô tô thứ hai là 12 phút =
1
5
(h).
phơng trình:
108
x
-
108
6x +
=
1
5
(*)
x
1
=54; x
2
=-60
ở đây x
1
=54 thoả mãn điều kiện x > 0
còn x
2
=-60 không thoả mãn điều kiện x> 0
Vậy vận tốc của ô tô thứ hai là 54(km/h) và vận tốc của
ô tô thứ nhất là : 54+6=60
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4
(3,0điể
m)
M
F
E
C
B
O
A
D
1)
1,0điểm
Vẽ hình đúng
0,5
Vì AO cắt đờng tròn (O) tại B và C => BC là đờng kính
của (O)) =>
ã
0
90BEC =
ã
0
90BEF =
Có
ã
0
90BAF =
(Vì AB AF)
0,25
ã ã
0
180BEF BAF + =
=> tứ giác ABEF nội tiếp 0,25
2)
1,0điểm
Có
ã
ã
BMD BED=
(góc nội tiếp cùng chắn
ằ
BD
) (1)
Có tứ giác ABEF nội tiếp =>
ã ã
BEA BFA=
(góc nội tiếp
cùng chắn
ằ
AB
) (2)
0,5
3)
Từ (1) và (2) =>
ã
ã
BMD BFA=
mà 2 góc ở vị trí so le
trong
0,25
3
1,0điểm
=> AF//DM
Mà AF AC nên DM AC
0,25
Có ABE và ADC đồng dạng (vì 2 tam giác có chung
ã
DAB
và
ã
ã
1
2
DEB DCB= =
sđ
ằ
BD
)
=>
. .
AB AE
AE AD AB AC
AD AC
= =
(*)
0,25
Tơng tự có:
. .CE CF CB CA
=
(**)
0,25
Từ(*)và(**)tacó
2
. . . . ( )CE CF AD AE BC AC AC AB AC AB BC AC+ = + = + =
0,5
Câu: 5
1,0điểm
2 2
x + 2y + 2xy - 5x - 5y = - 6
(1)
(x+y)
2
-5(x+y)+6=-y
2
Vì x+y nguyên (x+y)
2
-5(x+y)+6 -y
2
nguyên y
nguyên.
(1) x
2
+(2y-5)x+2y
2
-5y+6=0
=(2y-5)
2
-4.1(2y
2
-5y+6)=4y
2
-20y+25-8y
2
+20y-24
=-4y
2
+1
Phơng trình có nghiệm khi: 0-4y
2
+1 0
1 1
2 2
y
vì y nguyên y= 0. Thay y =0 vào phơng
trình.
x
2
-5x+6=0 . Giải phơng trình ta tìm ra x
1
=2 và x
2
=3
Vậy (x;y)=
{ }
(2;0);(3;0)
0,25
0,25
0,25
0,25
4
