>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN SƠN
TÂY


KỲ THI THỬ LẦN I CHUẨN BỊ CHO
KÌ THI THPT QUỐC GIA
Tháng 03/2015
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút; không kể thời gian giao đề


Câu 1 (2điểm).
Cho hàm số
2x+3
2
y
x


(C)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến
của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B để đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB
có diện tích nhỏ nhất.
Câu 2 (1điểm). Giải phương trình
5
5 os(2x ) 4sin( ) 9

36
cx

   

Câu 3 (1điểm). Tính tích phân I =
2
2
0
2x x x dx


Câu 4 (1điểm).
a) Tìm số phức z thỏa mãn
. 3( ) 4 3z z z z i   

b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt đúng một lần, chữ số 2 có mặt
đúng hai lần, các chữ số khác có mặt không quá một lần (chữ số đầu phải khác 0).
Câu 5 (1điểm).
Trong không gian hệ Oxyz, cho hai điểm A(0 ; 0 ; -3), B( 2 ; 0; -1) và mặt phẳng (P) có phương trình
3x – 4y + z – 1 =0. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). Viết phương trình
đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng AB.
Câu 6 (1điểm).
Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng (SBD) vuông góc với đáy, các đường
thẳng SA, SD đều tạo với mặt đáy góc
0
30
. Biết AD =
6a
, BD = 2a, góc CBD bằng

0
45
. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD) theo a.
Câu 7 (1điểm).
Trong mặt phẳng hệ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường thẳng (d
1
): 2x – y + 2 =0,
đỉnh C thuộc đường thẳng (d
2
): x – y – 5 =0. Gọi H là hình chiếu của B trên đường thẳng AC. Biết
điểm M
92
( ; )
55
, K(9; 2) lần lượt là trung điểm của AH và CD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
biết đỉnh C có hoành độ lớn hơn 4.
Câu 8 (1 điểm). Giải hệ phương trình
22
22
( 2 2) ( 6)
( 1)( 2 7) ( 1)( 1)
y x x x y
y x x x y

   


     





Câu 9 (1 điểm).
Cho các số thực x ; y ; z không âm sao cho không có hai số nào đồng thời bằng 0. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
P =
2 2 2 2 2 2
1 1 1
( )( )xy yz zx
x y y z z x
   
  


Hết






>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2




ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 ĐỢT 1
Môn: TOÁN


Câu
Đáp án
Điể
m
Câu 1
(2 điểm)
1. Khảo sát hàm số:
 
2 x 3
yC
x2




1,0
điể
m
- Tập xác định:
 
R \ 2

- Sự biến thiên:
 
/
2
1
y 0 x 2
x2
    



- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
   
; 2 ; 2;   
; hàm số không có
cực trị

0,25
xx
lim y 2; lim y 2
 
  
Đồ thị có tiệm cận ngang y = 2
   
x 2 x 2
lim y ; lim y

   
    
Đồ thị có tiệm cận đứng x = -2
0,25
- Bảng biến thiên:

x
/
y
y

2


2
2





0,25
- Đồ thị:
33
0; ; ;0
22

   
   
   

- Đồ thị đối xứng nhau qua giao điểm
 
I 2;2

- Đồ thị
0,25

>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3

O
3
2


2
1
y
x

2

x2
y2
3
2
1

 
I 2;2


2.(1,0 điểm)………

Gọi
  
2a 3
M a; C a 2
a2


  






Tiếp tuyến của (C) tại M là:
 
 
2
1 2a 3
y x a
a2
a2

  



0,25
Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng
2a 2
A 2;
a2






; cắt tiệm cận ngang tại
 
B 2a 2;2



M là trung điểm AB
0,25
Điểm
 
I 2;2 ; IAB
vuông tại I nên IM là bán kính đường tròn ngoại tiếp
IAB
. Do đó: S
đường tròn
đạt min
min
IM

Ta có:
   
 
2
22
2
2
2a 3 1
IM a 2 2 a 2 2
a2
a2


       






0,25
minIM 2
đạt khi
 
 
2
2
1
a2
a2



 
 
1
2
M 1;1
a 2 1 a 1
a 2 1 a 3
M 3;3


   

  



    





Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu để
   
12
M 1;1 ;M 3;3

0,25
Câu 2
(1,0
điểm)
5
Pt 5cos 2 x 4sin x 9 0
66
     
   
       
   
   
   
   

0,25
5cos 2 x 4sin x 9 0

66
   
   
     
   

   


0,25

>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4

 
2
10sin x 4sin x 14 0
66
sin x 1
6
x k2 x k2 k Z
6 2 3
7
sin x (loai)
65

   
     
   
   






  


          



  





Vậy nghiệm của phương trình:
 
x k2 k Z
3

   

0,5
Câu 3
(1,0
điểm)
 
 

2 2 2
2
22
0 0 0
I x 2x x dx x 1 x 2x 1 dx x 1 x 1 dx        
  

0,25
Đặt
t x 1 x t 1 dx dt      


x
0
2
t
-1
1
 
1 1 1
2 2 2
1 1 1
I t 1 1 t dt t 1 t dt 1 t dt
  
       
  

0,25
Tính
   

1
11
2 2 2
2
11
1
A t 1 t dt 1 t d 1 t 0
2

      


1
2
1
B 1 t dt



.
Đặt
t sinu dt cosudu  


t
-1
1
u
2




2


0,25


 
22
2
22
1 1 1
2
B cos udu 1 cos2u du u sin2u
2 2 4 2
2






      







0,25
Vậy:
I A B
2

  

0,25
Câu 4
(1,0
điểm)
a. (0,5 điểm)
Đặt
z x yi

Giải thiết
    
x yi x yi 3 x yi x yi 4 3i        

 
22
x y 6yi 4 3i    

0,25
2
22
15
15
x
x

6y 3
4
2
1
x y 4
1
y
y
2
2










  
  











Vậy có hai số phức z thỏa mãn đề:
15 1
zi
22
  

0,25
b. (0,5 điểm)
Gọi số tự nhiên cần tìm là
abcde

+ Đưa 1 chữ số 1 vào có 5 cách
Đưa 2 chữ số 2 vào có
2
4
C
cách
Đưa 2 chữ số trong 8 chữ số còn lại vào 2 vị trí còn lại có
2
8
A
cách (kể cả a
= 0)

Có
22
48
M 5.C .A 1680

số (kể cả a = 0)
0,25
+ Với a = 0

Số dạng
0bcde

0,25

>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5

Đưa 1 chữ số 1 vào có 4 cách
Đưa 2 chữ số 2 vào có
2
3
C
cách
Chọn 1 chứ số trong 7 chữ số còn lại có 7 cách

Có
2
3
N 4.C .7 84
(số)
Vậy có
M N 1596
(số)
Câu 5
(1,0
điểm)

Ta có:
   
AB 2;0;2 2 1;0;1

Phương trình:
 
xt
AB : y 0
z 3 t






  


0,25
   
AB P 3t 0 t 3 1 0 t 1 I 1;0; 2          

0,25
+ Ta có:
   
P AB
n 3; 4;1 ;u 1;0;1  

Đường thẳng
 

dP
; cắt và
AB d
qua I ;
P AB
d n ;d u

0,25

   
d AB P
u u ;n 4;2; 4 2 2;1; 1

     


Phương trình đường thẳng d qua
 
I 1;0; 2
là:
x 1 2s
ys
z 2 s






  






0,25
Câu 6
(1,0
điểm)

Gọi
O AC BD

Kẻ
SH BD
tại H
 
0
SH ABCD
SAH SDH 30
HA HD

  


AHK
vuông cân tại H
(Vì
0
ADH 45

)

S
B
A
D
C
I
K
H
O
0
45
0
30


0,25
0
1
HA HD AD a 3
2
1
SH HD.tan30 a 3. a
3
   
   

S
đáy

=
2
ABD
2S AH.BD 2a 3



V
chóp
=
1
.SH
3
.S
đáy

3
2a 3
3


0,25

>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6

+
 
 
 
 

 
 
2
d C; SAD 2d O; SAD d H; SAD
3


Gọi K là trung điểm AD
 
HK AD AD SHK   

Kẻ
HI SK
tại I
   
 
HI SAD d H; SAD HI   

0,25
Ta có:
2 2 2
1 1 1 a 15
HI
HI SH HK 5
   

 
 
2 a 15 2a 5
d C; SAD .

55
3
  

0,25
Câu 7
(1,0
điểm)
Gọi
   
B b;2b 2 ;C c;c; 5

Gọi E đối xứng B qua C
 
E 2c b;2c 2b 12   


B
C
E
K
D
A
M
H






0,25
Ta có:
36 8 72 16
HE 2MK 2 ; ;
5 5 5 5
   
  
   
   

72 76
H 2c b ;2c 2b
55

    



Lại có:
   
CK 9 c;7 c ;BC c b;c 2b 7      

72 86 9 27
BH 2c 2b ;2c 4b ;MC c ;c
5 5 5 5
   
       
   
   


0,25

Giải thiết:
2
2
2c 3bc 23c 23b 49 0
CK.BC 0
126 594
4c 6bc b 46c 0
BH.MC 0
55

     





    






0,25
   
b1
B 1;4 ;C 9;4
c 4(loai)

c9













Suy ra:
     
D 9;0 ;E 17;4 A 1;0

Đáp số:…….
0,25
Câu 8
(1,0
điểm)
Hệ phương trình:
   
 
 
 
 
22

22
y x 2x 2 x y 6
y 1 x 2x 7 x 1 y 1

   


     



0,25

>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7

Đặt:
X x 1
Yy





được hệ
 
   
 
 
   
 

22
22
X 1 Y 6 Y X 1 1
Y 1 X 6 X Y 1 2

   


   



Lấy (1) + (2) vế theo vế thu gọn được:
 
22
5 5 1
X Y 3
2 2 2
   
   
   
   

Mặt khác (1) trừ (2) theo vế, thu gọn được:
    
X Y X Y 2XY 7 0 4    

XY
X Y 2XY 7 0





   


Trường hợp 1: X = Y thay vào (1) được:
 
   
22
X 1 X 6 X X 1   

2
X2
X 5X 6 0
X3


    




Nên hệ đã cho có nghiệm:
     
x;y : 1;2 ; 2;3

0,25
Trường hợp 2:
 

1 1 15
X Y 2XY 7 0 X Y 5
2 2 4
  
       
  
  

Từ (3) và (5) đồng thời đặt:
5
aX
2
5
bY
2









ta được hệ:
    
2 2 2 2
11
a b a b
22

15 1
a 2 b 2 2ab 4 a b
42

   





      



   
   
   
2
2
2
a b 0
a b 4 a b 0
a b 4
a b 4 a b 1
a b 4 a b 1
  


   




  



   


   


 
   
2
2
1
a
2
a b 0
1
b
a b 1
2
a b 4 1
a
2
a b 15 loai
1
b

2







  
















  











  













0,25

Suy ra các nghiệm:
 
X;Y
là
   
2;3 ; 3;2

Nên hệ đã cho có nghiệm

 
x;y
là
   
1;3 ; 2;2

Đáp số: Nghiệm
 
x;y
là
       
1;2 ; 2;3 ; 1;3 ; 2;2

0,25

>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 8

Câu 9
(1;0
điểm)
Giả sử
 
z min x;y;z

Khi đó ta có:
zz
x y 2z xy yz zx x y
22
  
       

  
  

Mặt khác ta có:
22
22
11
xy
zz
xy
22


   
  
   
   

22
2 2 2 2
1 1 1 1
;
y z x z
zz
yx
22


   


   
   

0,25
Suy ra:
2 2 2 2
z z 1 1 1
P x y
22
z z z z
x y y x
2 2 2 2


  

    
  

  
       
    

       
       


Đặt
 
zz

a x ;b y a 0;b 0theo gtcho
22
     

Ta có:
2
2 2 2 2
a
1 1 1 a 1
b
P ab
a
a b a b b
a
1
b
b




     













0,25
Đặt
 
a
t t 0
b

ta khảo sát hàm số:
 
2
t1
f t t
t 1 t
  

(với t > 0)
 
 
 
 
 
 
 
 
22
22

/
22
22
22
2
2
2
t 1 t 1
t 1 2t 1
f t 1
tt
t 1 t 1
11
t 1 0 t 1 t 0
t
t1
  

    



      




Bảng biến thiên:
t
 

/
ft
 
ft
0
1


0

5
2




0,25

Được
 
5
minf t
2

đạt được khi t = 1
a b x y   

Kết hợp được
5
minP

2

đạt khi x = y; z = 0
(hoặc các hoán vị: Một số bằng 0; hai số còn lại đều bằng nhau


>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 9