Bài tập hình học 9
Câu 1: Cho

ABC vuông tại C có BC =
1
2
AB. Trên cạnh BC lấy điểm E ( E

B;C).
Từ B kẻ đờng thẳng d vuông góc với AE, gọi giao điểm của d với AE, AC kéo dài lần lợt tại
I , K
a/ Tính
ã
?CIK =
b/Chứng minh : KA.KC = KB.KI
c/ Gọi H là giao diểm của đờng tròn đờng kính AK với AB. Chứng minh H , E , K
thẳng hàng
d/ Tìm quỹ tích điểm I khi E chạy trên BC
HD
a/ CIBA nội tiếp


ã
ã
CIA CBA=
= 60
0
ã
KIC
+
ã

CIA
= 90
0

ã
KIC
= 90
0
60
0
= 30
0
b/

CKI
:

BKC (g.g)
Câu 2: Cho

ABC vuông tại A. Nửa đờng tròn đờng kính AB cắt BC ở D. Trên cung
AD lấy điểm E , nối BE kéo dài cắt AC tại F
a/ Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
b/ Kéo dài ED cắt AC ở K.Tia phân giác của
ã
CKD
cắt EF và CD tại M và N, tia phân
giác của
ã
CBF

cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MPNQ là hình gì ? Vì sao?
c/ Gọi r , r
1
, r
2
thứ tự là bán kính các đờng tròn nội tiếp

ABC,

ADB,

ADC.
Chứng minh rằng: r
2
= r
1
2
+ r
2
2
a/ Ta có
à
C
=
ã
BAD
(cùng phụ với DAC)
Mà
ã
BAD

=
ã
BED
(cùng chắn
ằ
BD
)

ã
BED
=
à
C


CDEF nội tiếp (có góc ngoài bằng
Góc trong ở đỉnh đối diện)
b/
ã
KQP
= C + CBQ (tính chất góc ngoài của

BCQ)
ã
KPQ
= BEP + EBQ (t/c góc ngoài của

BPE)
Có C = BEP; CBQ = EBQ


ã
KQP
=
ã
KPQ

KPQ cân tại K

KN

PQ và IP = IQ (1)

BMN có BI là phân giác đồng thời là đ-
ờng cao


BMN cân tại B

IM = IN (2)

MPNQ là hình thoi
Câu 3: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính BC. Điểm A thuộc nửa dờng tròn đó.
Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa đỉnh C. Gọi F là giao
điểm của AE với nửa đờng tròn (O). K là giao điểm của CF và ED
a/ Chứng minh rằng 4 điểm E , B , F , K nằm trên 1 đờng tròn
b/

BKC là tam giác gì? Vì sao?
c/ Tìm quỹ tích điểm E khi A chuyển động trên nửa đờng tròn
a/ EBFK có

à
$
0
E F 90= =


EBFK nội tiếp
EBFK nội tiếp

ã
FEB
=
ã
FKB
= 45
0

ã
KBF
= 45
0
ã
CBF
= 45
0

BKC là tam giác vuông cân tại B
c/ F là điểm chính giữa
ẳ
BAC

Do B, C cố định

F, K cố định và FB = FK;
ã
BFK
= 90
0

Khi A c.đ trên
ẳ
BAC
thì E c.đ trên cung tròn 90
0
tâm F dây BK
H
K
I
B
C
A
E
K
F
E
D
B
C
A
I
Q

P
N
M
K
F
D
A
C
B
E
Câu 4: Cho

ABC cân ở A, góc A nhọn. Đờng vuông góc với AB tại A cắt đờng
thẳng BC ở E. Kẻ EN vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm của BC, hai đờng thẳng AM
và EN cắt nhau tại F
a/ Tìm những tứ giác nội tiếp đờng tròn. Giải thích vì sao? Xác định tâm các đờng
tròn đó
b/ Chứng minh EB là phân giác của
ã
AEE
c/ Chứng minh M là tâm đờng tròn ngoại tiếp

AFN
Câu 5: Cho (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến tại A của (O) và (O) cắt
(O) và (O) theo thứ tự ở C và D. Gọi P và Q lần lợt là trung điểm của dây AC và AD.
Chứng minh rằng:
a/

ABD
:



CBA
b/
ã
ã
BQD APB=
c/ Tứ giác APBQ nội tiếp
a/

ABD và

CBA có:
ã
ACB
=
ã
DAB
,
ã
CAB
=
ã
BDA



ABD
:



CBA (g.g)
b/


BD AD
BA CA
=



BD 2DQ DQ
BA 2AP AP
= =

AP DQ
AB DB
=


APB
:

DQB (c.g.c)

ã
ã
BQD APB=
c/
Câu 6: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho

AI =
2
3
AO. Kẻ dây MN

AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C

M, N,
B). Nối AC cắt MN tại E
a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp
b/ Chứng minh

AME
:


ACM; AM
2
= AE.AC
c/ Chứng minh AE.AC AI.IB = AI
2
d/ Hãy xấc định vị trí của điểm C để khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp

CME nhỏ nhất
Câu 7: Cho

ABC nhọn,
à
A
= 45

0
. Vẽ các đờng cao BD và CE của

ABC. Gọi H là
giao điểm của BD và CE.
a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp
b/ HD = DC
c/ Tính
?
DE
BC
=
d/ Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp

ABC. Chứng minh rằng OA

DE
b/

EAC có
ã
AEC
= 90
0
,
à
A
=45
0




EAC vuông cân tại E


ã
ECA
= 45
0
.

DHC có
à
D
90
0
,
à
C
= 45
0



DHC vuông cân tại D

HD = DC
c/ EDCB nội tiếp

à à

1 1
E B=




HED
:

HBC (g.g)

DE HD
BC HC
=
=
HD 2
2
2HD
=
d/

EAC vuông cân tại E

EM

AC (M là trung điểm AC)
Có OM

AC


M, O, E thẳng hàng. Tơng tự, D, O, N thẳng hàng có DN

AB

O

DN

EM là trực tâm của

ADE

AO

ED
Q
P
D
C
A
O'
B
O
1
1
45
o
O
N
M

H
E
D
A
C
B
Câu 8: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đờng tròn đờng kính AB. Hạ
BN và DM cùng vuông góc với đờng chéo AC. Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác CBMD nội tiếp
b/ Khi D di động trên đờng tròn thì
ã
ã
BMD BCD+
không đổi
c/ DB.DC = DN.AC
Câu 9: Cho (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung với 2 đờng tròn về
phía mặt phảng bờ O
1
O
2
chứa điểm B có tiếp điểm theo thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến
song song EF cắt (O
1
) và (O
2
) thứ tự tại C và D. Đờng thẳng CE cắt DF tại I

a/ Chứng minh IA vuông góc với CD
b/ Chứng minh tứ giác IEBF nội tiếp
c/ Chứng minh AB đi qua trung điểm của EF
` Câu 10: Cho (O; R) , hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm chính
giữa cung nhỏ BC và AE cắt CO ở F, DE cắt AB ở M
a/

CEF và

EMB là các tam giác gì?
b/ Chứng minh tứ giác FCBM nội tiếp. Tìm tâm đờng tròn đó
c/ Chứng minh rằng các đờng thẳng OE , BF , CM đồng quy
Câu 11: Cho

APN vuông tại A, đờng cao AD. Trên nửa mặt phẳng bờ AD không
chứa điểm P vẽ hình vuông ABCD, cạnh AN cắt BC tại M. Chứng minh rằng:
a/ BM = PD
b/

APM cân tại A
c/
2 2 2
1 1 1
AD AN AM
= +
Câu 12: Cho

ABC vuông tại B có
à
0

60C =
, AC = 6cm (cần chỉnh sửa)
a/ Tính các cạnh còn lại của

ABC
b/ Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = AC. Chứng minh rằng:
CB AB
CN AN
=
c/ Đờng thẳng song song với đờng phân giác của
ã
ACN
kẻ từ B cắt AN tại H. Chứng
minh rằng:
2 2 2
1 1 1
BH AB BN
= +
Câu 13: Cho hai đờng tròn (O;R) và (O;R) tiếp xúc ngoài tại A. Đờng nối tâm OO
cắt (O) tại B, cắt (O) tại C. Gọi M là trung điểm của BC, kẻ dây EF vuông góc với BC tại
M. EA kéo dài cắt (O) tại D
a/ Chứng minh rằng F , D , C thẳng hàng
b/ MD là tiếp tuyến của (O)
c/ BF là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua 3 điểm M , A , D
Câu 14: Cho (O;R), đờng thẳng xy tiếp xúc với (O) tại A. Trên đờng tròn (O) lấy
điểm B. Hạ BK

xy. Đờng cao OH của

OAB cắt BK tại M.

a/ Chứng minh
ã
ã
AOH BAK=
b/ Chứng minh OH.BM = OB.HM
c/ Khi B chuyển động trên (O) tìm quỹ tích điểm M
d/ Khi sđ
ằ
AB
= 120
0
. Tính diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung AB
* Câu 15: Cho

ABC đều nội tiếp (O) và 1 điểm M trên cung BC không chứa A
a/ Chứng minh rằng MA = MB + MC
b/ Gọi H , I , K lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ M đến BC , CA , AB. Chứng
minh rằng:
1 1 1
MH MI MK
= +
Câu 16: Cho (O
1
) và (O
2
) có bán kính R cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ cát tuyến cắt
2 đờng tròn thứ tự tại E và F. Đờng thẳng EC,DF cắt nhau tại P
a/ Chứng minh BE = BF
b/ Một cát tuyến qua A vuông góc với AB cắt 2 đờng tròn lần lợt tại ở C và D. Chứng
minh rằng tứ giác BEPF và BCPD nội tiếp và BP


EF
Câu 17:Cho
ã
xOy
= 90
0
,trên tia Ox, Oy lần lợt lấy 2 điểm A và B sao cho OA = OB.
M là 1 điểm bất kì trên AB, dựng(O
1
) đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A; (O
2
) đi qua M tiếp
xúc với Oy tại B, (O
1
) cắt (O
2
) tại điểm thứ 2 là N.
a/ Chứng minh tứ giác OANB nội tiếp và ON là phân giác
ã
ANB
b/ Chứng minh NO
1
là tiếp tuyến của (O
2
)
c/ AO
1
cắt BO
2

tại E. Chứng minh 5 điểm O, A, N, E, B cùng thuộc 1 đờng tròn
d/ Xác định vị trí của M sao cho O
1
O
2
ngắn nhất

a/ +
à
ả
ẳ
1 1 1
B N (cùng chắn cung BM của (O ))=
ả
ả
ẳ
1 2 2
A N (cùng chắn cung AM của (O ))=
ả
à
0
1 1
Mà A B 90+ =

ả
ả
ã
0
1 2
N N ANB 90 + = =

ã ã
0 0 0
AOB ANB 90 90 180 + = + =
Vậy OANB là tứ giác nội tiếp
+
ả
à
ằ
1 1
( ùng ắn ủa ( ) )N A c ch OB c OANB=
ã
ã
0
1 2
180OBO O AO+ =
M
ã ã
0
180 ( à tứ giác ội ếp)OBN NAO OANB l n ti+ =
ã
ã
1 2
O BN O AN =
ã
ã
1 1 1
câO BN n O BN O NB =
;
ã
ã

2 2 2
AN câO n O AN O NA =

ã
ã
1 2
O NB O NA =
ã
ã
ã
0
2 2
90O NA BNO BNA+ = =

ã
ã
0
1 2
90O NB BNO + =
Câu 18: Cho (O) và đờng thẳng d cắt (O) tại 2 điểm A, B. Từ 1 điểm M thuộc
d vẽ 2 tiếp tuyến ME, MF (E, F là các tiếp điểm)
a/ Chứng minh
ã
ã
EMO OEF=
, đờng tròn đi qua 3 điểm M, E, F đi qua 2 điểm cố định
khi M thay đổi trên d
b/ Xác định vị trí của M để OEMF là hình vuông.
Câu 19: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, đờng thẳng đi qua C
vuông góc với CM cắt các tia AB,AD lần lợt tại E và F, tia CM cắt đờng thẳng AD tại N.

Chứng minh rằng:
a/ AMCF ; ANEC nội tiếp
b/ CM + CN = EF
Câu 20: Cho

ABC vuông cân tại A, một tia Bx nằm trong góc B cắt AC tại D.
Dựng tia Cy

Bx tại E cắt BA kéo dài tại F
a/ Chứng minh rằng FD

BC. Tính
ã
BFD
b/ ADEF nội tiếp. Suy ra EA là phân giác
ã
FEB
c/ Tìm quỹ tích điẻm E khi tia Bx quét góc ABC.
d/ Cho
ã
ABx
= 30
0
và BC = a . Tính AB, AD theo a
*Câu 21: Cho (O) cắt (O) tại A và B. Một đờng thẳng d di động qua A cắt (O) tại C
và cắt (O) tại D. Gọi P và Q là hình chiếu của O và O lên d.
2
1
1
1

O
1
O
2
E
N
A
B
O
M
a/ So sánh CD và PQ. Xác định vị trí của CD sao cho CD dài nhất.
b/ Chứng minh rằng các bán kính OC và OD hợp với nhau 1 góc không đổi.
c/ Chứng minh rằng 4 điểm O, E, B, O cùng thuộc 1 đờng tròn ( E là giao điểm của
OC và OD)
Câu 22: Cho

ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm D , dựng CE

BD
a/ Chứng minh rằng

ABD
:


ECD
b/ Chứng minh rằng ABCE nội tiếp
c/ Chứng minh rằng FD

BC. Trong đó F là giao điểm của BA và CE

d/ Cho
ã
ABC
= 60
0
, BC = 2a, AD = a. Tính AC, AH là đờng cao của

ABC và bán
kính của đờng tròn ngoại tiếp ADEF.
Câu 23:Cho hình vuông ABCD. M là 1 điểm trên đờng chéo BD. Gọi H, I, K lần lợt
là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC, AD.
a/ Chứng minh rằng

MIC =

HMK
b/ CM

HK
c/ Xác định vị trí của M để diện tích

CHK nhỏ nhất
Câu 24:Cho

ABC vuông tại A nội tiếp (O), kẻ đờng kính AD
a/ Chứng minh ABDC là hình chữ nhật
b/ Gọi M, N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B và C.trên AD, AH là đờng cao của

ABC ( H


BC). Chứng minh rằng HM

AC
c/ Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp

MHN
Câu 25: Cho

ABC đều, trên cạnh BC lấy điểm E. Qua E kẻ các đờng thẳng song
song với AB và AC cắt AC tại P cắt AB tại Q
a/ Chứng minh BP = CQ
b/ ACEQ nội tiếp. Xác định vị trí của E trên cạnh BC để PQ ngắn nhất.
c/ H là 1 điểm nằm trong tam giác sao cho HB
2
= HA
2
+ HC
2
. Tính
ã
AHC
Câu 26: Cho

ABC có
à
A
= 90
0
, AC > AB. Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp


ABC.
Các tiếp điểm của đờng tròn tâm I với các cạnh AB, BC, AC lần lợt là M, N, P.
a/ Chứng minh rằng AMIP là hình vuông
b/ Đờng thẳng AI cắt PN ở D.CMR:5 điểm M,B,N, D, I cùng nằm trên 1 đờng tròn
c/ Đờng thẳng BI và CI kéo dài cắt AC, AB lần lợt tại E và F. CMR:
BE.CF = 2BI.CI
Câu 28: Cho

ABC có
à
A
= 90
0
. Dựng BD về phía ngoài

ABC sao cho BC = BD và
ã
ã
ABC CBD=
, Gọi I là trung điểm của CD, AI cắt BC tại E.
a/ Chứng minh
ã
ã
CAI DBI=
b/ Chứng minh

ABE cân
c/ Chứng minh AB.CD = BC.AE
Câu 29: Cho


ABC cân tại A, đáy BC = 6cm, đờng cao AH = 4cm nội tiếp đờng
tròn (O; R) đờng kính AA.
a/ Tính độ dài đờng tròn (O;R)
b/ Kẻ đờng kính CC. Tứ giác ACCA là hình gì?
H
N
M
D
O
B
A
C
c/ Kẻ AK

CC. Tứ giác AKHC là hình gì?
d/ Tính độ dài OI ( I là tâm đờng tròn nội tiếp

ABC)
Câu 30:Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng đờng tròn đờng kính
AB, BC. Gọi D và E thứ tự là tiếp điểm của tiếp tuyến chung của đờng tròn đờng kính AB
và BC. M là giao điểm của AD và CE. Chứng minh rằng:
a/ ADEC nội tiếp.
b/ MB là tiếp tuyến chung của đờng tròn đờng kính AB và BC.
c/ Kẻ đờng kính DK của đờng tròn đờng kính AB. CMR K, B, E thẳng hàng.
Câu 31: Cho (O;R) và (O;R) tiếp xúc ngoài tại A (R > R). Đờng OO cắt (O) và
(O) lần lợt tại B và C. Tiếp tuyến chung MN, M

(O); N

(O) cắt tiếp tuyến chung tại A ở

I.
a/ CMR IM = IN
b/ CMR: MN = 2
'RR
c/ AM cắt (O) tại E, AN cắt (O) tại F.
CMR: BC
2
= ME
2
+ NF
2
c/ Kẻ BM cắt CN tại P.

PBC vuông tại P.
BPNF và CPME là hình chữ nhật
BP = NF; PC = ME
Câu 32: Cho đờng tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại A và B. Đờng kính AC của (O
1
) cắt
(O
2
) tại D.
a/ CMR:
ã
ã
1 2 1 2

O AO O BO=
b/ Tứ giác O
1
BO
2
D là tứ giác nội tiếp
c/ Tiếp tuyến tại C của (O
1
) và tiếp tuyến tại D của (O
2
) cắt nhau tại E. Đờng thẳng
AB cắt đờng tròn ngoại tiếp

BCD tại G. CMR CEGD là hình chữ nhật
b/
ã
ã
1 2 1 2
O BO O AO=
ã
ã
ã
ã
ã
1 2 2 2 2 2
O AO AO D O DA AO D O AD= + = +
ã
ã
0
1 2 2

180O BO O DA+ =
*Câu 33: Cho

ABC nhọn. Các đờng tròn đờng kính AB và AC
cắt nhau tại D ( D

A) cắt AB, AC tại F và E. CMR:
a/ D thuộc BC; AD, BE, CF đồng quy tại I
b/ I là tâm đờng tròn nội tiếp

DEF.
*c/ Đờng tròn đờng kính AB cắt CF tại N. Đờng tròn đờng kính AC cắt BE tại M.
CMR

AMN cân
Câu 34: Cho

ABC, đờng phân giác trong của góc A cắt BC tại D. Trên nửa mặt
phẳng bờ BC không chứa A kẻ tia Bx sao cho
ã
ã
CBx DAB=
. Tia Bx cắt AD tại M.
a/ CMR: MB
2
= MA.MD
b/ CMR đờng tròn ngoại tiếp

MBC đi qua A
c/ Tiếp tuyến tại A của đờng tròn ngoại tiếp


ABC cắt BC ở E. CMR

AED cân.
d/ CMR: AD
2
= AB.AC BD.DC
d/

ABD
:

CMD
BD AD
MD CD
=

BD.DC = AD.MD
P
F
E
I
N
C
O
O'
A
M
O
2

O
1
G
E
D
C
B
A
D

ABM
:


ADC
AB AM
AD AC
=

AB.AC = AD.AM

AB.AC BD.DC = AD.AM AD.MD = AD(AM MD) = AD.AD = AD
2
Câu 35: Cho (O), A là điểm ngoài (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AM,AN với (O). Cát
tuyến ABC (B nằm giữa A và C). Gọi I là trung điểm của BC.
a/ CMR 5 điểm A, M, I, O, N nằm trên 1 đờng tròn
b/ Đờng thẳng qua B song song với Am cắt MN, Mc lần lợt tại E và F.
CMR: Tứ giác BEIN nội tiếp và E là trung điểm của BF.
b/+
ã

ã
MAI EBI=
( cặp góc đồng vị)
ã
ả
1
MAI N=
(cùng chắn cung MOI của (AMION)

ả
ã
ã
1
( )N EBI MAI= =


Tứ giác BEIN nội tiếp (có B; N cùng nhìn đoạn
EI dới 1 góc không đổi)
+
ả
à
2 1
N C=
( cùng chắn cung BM của (O) )
ả
à
2 1
N I=
( cùng chắn cung BE của (BEIN) )



à
à
1 1
I C=


IE // CF (cặp góc đ.vị = nhau)
I là trung điểm của BC

IE là đờng trung bình của

BCE

E là trung điểm của BF
Câu 36: Cho

ABC đều nội tiếp (O). M là điểm tuỳ ý thuộc BC. Từ A kẻ đờng
thẳng vuông góc với BM tại N cắt CM tại D.
a/ CMR:

AMD cân
b/ CMR: AM = MB + MC
c/ Gọi H, I, K lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ M xuống BC, AC, AB. CMR:
1 1 1
MH MI MK
= +
Câu 37: Từ 1 điểm M ở bên ngoài đờng tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB với
(O).Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD


AB; CE

AM, CF

MB. Gọi I là giao điểm
của AC và DE. K là giao điểm của BC và DE. CMR:
a/ Tứ giác AECD, BFCD nội tiếp
b/ CD
2
= CE.CF.
c/ IK // AB.
Câu 38: Cho hình vuông ABCD có 1 góc bất kì
ã
MAN
= 45
0
. Nối BD giao với MA tại
H, với AN tại K, KM giao với HN tại O. CMR:
a/ ABMK, ADNH nội tiếp
b/ KHMN nội tiếp.
c/ CMR: AH.AM = AK.AN
d/ OA

MN tại P
e/ CMR: MP = MB, PN = DN
f/ CMR: KP = KD, HP = HD
g/ PA là phân giác của
ã
HPK
h/ CMR:

ã
HPK
= 90
0
i/ HK
2
= KD
2
+ HB
2
Câu 39: Cho

ABC nội tiếp (O). Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp

ABC. Đờng thẳng
AI cắt BC tại D, cắt
ằ
BC
tại P.
a/ CMR:

ABP
:


BDP.
b/ CMR: AB.AC = AP.AD và
AB DB
AC DC
=

1
1
1
F
E
I
B
N
M
A
O
C
c/ Trên tia AI lấy điểm J sao cho
ã
ã
2
ABC
AJC =
+ CMR: IBJC nội tiếp
+ CMR: CJ là đờng phân giác ngoài của
ã
ABC
+ CMR: AP.AD = AI.AJ
c/ AP.AD = AI.AJ

AB.AC = AI.AJ

ABI
:


AJC (g.g)
AB AI
AJ AC
=
Câu 40: Cho

ABC vuông tại C, đờng cao CH. Gọi I là trung điểm của AB.
a/ CMR: HC
2
+ AH
2
= 2AH.CI
b/ Đờng thẳng vuông góc với CI tại C cắt AB tại G, các tiếp tuyến tại A và B của (I;
IC) lần lợt tại F và E. CMR: AF + BE = EF.
c/ CMR:
HA GA
HB GB
=
d/ Khi AB = 2R, sđ
ằ
AC
= 60
0
. Tính thể tích hình nón có đờng cao GB bán kính đáy
BE khi quay

vuông GBE quanh GB.
Câu 41:Cho

ABC nội tiếp (O), đờng tròn đờng kính BC cắt AB và AC lần lợt tại E

và F. BF cắt CE tại H. Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. CMR:
a/ K nằm trên (O)
b/ EF

OA.
b/ Kéo dài BF cắt (O) tại I, kéo dài CE cắt (O) tại J

IJ // EF (
ả
BIJ
=
ã
BFE
=
ã
BCE
)
+
ã
ABI
=
ã
ACJ
(cùng phụ với
à
A
)




AI
=
ằ
AJ


AO

IJ

AO

EF
Câu 42: Cho (O) và 1 điểm A nằm ngoài đờng tròn. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC ( B, C
là tiếp điểm) và cát tuyến AMN ( M nằm giữa A và N) với đờng tròn (O). Gọi E là trung
điểm của MN. I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với đờng tròn.
a/ CMR: 4 điểm A, O, E, C cùng nằm trên 1 đờng tròn
b/ CMR:
ã
ã
AEC BIC=
c/ BI // MN
*d/ Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích

AIN lớn nhất.
Câu 43: Cho

ABC nhọn, dựng (O) đờng kính BC cắt AB, AC lần lợt tại D và E.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Đờng thẳng DH cắt (O) tại K.
a/ CMR: 4 điểm A, D, H, C cùng thuộc 1 đờng tròn

*b/ CMR:

CBK cân
c/ Gọi giao điểm của AH và CD là G. CMR: ba điểm B, G, E thẳng hàng
*Câu 44:Cho (O;R) và 1 điểm A sao cho OA = 3R. Từ A vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC
với (O) ( B, C là tiếp điểm)
a/ CMR OBAC nội tiếp
J
P
D
I
O
C
B
A
J
I
K
H
F
E
O
B
C
A
b/ Từ B vẽ đờng thẳng // AC cắt (O) tại D (D

B), đờng thẳng AD cắt (O) tại E ( E

D). CMR: BC.EC = AC.BE

c/ Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng BD và AC theo R
Câu 45:Cho

ABC vuông tại A, đờng cao AH. Vẽ (A; AH). Dựng BD và CE tiếp
xúc với đờng tròn theo thứ tự tại D và E.
a/ CMR: BD // CE.
b/ CMR: BD.CE =
2
4
DE
c/ HD cắt AB ở M và HE cắt AC ở N. CMR: MN = AH và MN cắt AH tại trung điểm
của chúng
d/ Tính thể tích của hình tạo bởi khi cho

ABC quay quanh BC biết AB = 3cm, AC
= 4cm.
Câu 46: Cho

ABC nhọn, đờng cao BM và CN cắt nhau tại H ( M

AC, N

AB),
đờng AH cắt BC tại K.
a/ CMR: BNHK nội tiếp
b/ Đờng thẳng MK cắt đờng tròn (BNH) tại E. CMR:

BNE cân
c/ CMR: H là tâm đờng tròn nội tiếp


KMN
Câu 47: Cho nửa đờng tròn (O; 2R = AB). Lấy điểm I thuộc đoạn AB, vẽ d vuông
góc với AI tại I cắt (O) tại C. M là 1 điểm di động trên nửa đờng tròn ( M

A, B), MA và
MB căt d lần lợt tạ D và E. CMR:
a/ IC
2
= IE.ID
b/ Biết BD cắt AE tại K, J là điểm đối xứng với D qua AB. CMR: AEBJ nội tiếp
c/ Gọi N là trung điểm của ED. CMR: NM và NK là các tiếp tuyến của (O).
d/ Khi M chạy trên nửa đờng tròn thì tâm đờng tròn ngoại tiếp

ADE chạy trên đờng
nào?
Câu 48: Cho AB là đờng kính cố định của (O) và CD là đờng kính thay đổi của đ-
ờng tròn này. Biết AC và AD lần lợt cắt tiếp tuyến d của (O) tại B ở các điểm P và Q; DC
cắt d ở M. CMR:
a/ MP.MQ = MC.MD = MB
2
b/ 4 điểm P, C, Q, D cùng thuộc 1 đờng tròn
c/ Hạ AI vuông góc với CD tại H ( I thuộc d). CMR: I là trung điểm của PQ. Điều ngợc lại
có đúng không?
d/ Khi đờng kính CD quay quanh O thì trực tâm của

PCQ chạy trên đờng nào?