ÔN THI TỐT NGHIỆP
MÔN TOÁN
theo 7 chủ đề
Biên soạn : Hồ Văn Hoàng
Lưu hành nội bộ
2011
www.toantrunghoc.com
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
KĨ NĂNG CƠ BẢN GIẢI ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
Câu I
1. Khảo sát hàm số: Yêu cầu đủ đúng các bước trong bài toán KSHS.
a. Tập xác định.
b. Sự biến thiên
 Giới hạn; đường tiệm cận(nếu có)
 Tính y’; xét dấu y’
 Kết luận về sự đồng biến và nghịch biến; cực trị của hàm số (* Chú ý)
 Lập bảng biến thiên.
c. Đồ thị
 Dựa vào bảng biến thiên xác định đơn vị và vẽ hệ trục tọa độ cho hợp lí.
 Khi vẽ đồ thị phải vẽ hết mặt phẳng tọa độ
2. Bài toán liên quan
2.1 Tiếp tuyến: Biết tọa độ tiếp điểm( hoặc tìm được tọa độ tiếp điểm). Biết hoặc
tìm được hệ số góc.
2.2: Tương giao giữa hai đồ thị: Biến đổi phương trình làm xuất hiện hàm số vừa
khảo sát.
2.3 Bài toán về sự đồng biến; nghịch biến: Lưu ý định lí mở rộng
2.4 Bài toán về cực trị: Sử dụng dấu hiệu 1 và 2
Dạng toán: Tìm cực trị; viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị;
tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị.
2.5 Các điểm đặc biệt: Điểm có tọa độ nguyên. Điểm cách đều hai trục tọa độ;
điiểm cách đều hai đường tiệm cận.

Câu II:
1: Hàm số; phương trình; bất phương trình mũ và lôgarit
 Hàm số: Tính đồng biến; nghịch biến và dạng của đồ thị
 Phương trình; bất phương trình mũ và lôgarit
Học sinh cần giải các phương trình; bất phương trình đơn giản; có thể đưa về
dạng cơ bản(Bằng các phép biến đổi đã học)
2. GTLN; GTNN của hàm số: Cần nắm vững qui trình tìm giá trị lớn nhất; giá trị
nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng; đoạn.
3. Nguyên hàm; tích phân:
Lưu ý : Kĩ năng nhận dạng ⇒ chọn phương pháp hợp lí.
Chú ý các dạng bài tập tích hợp nhiều phương pháp
(Sau khi biến đổi ra hai tích phân độc lập và sử dụng hai phương pháp riêng biệt)
Câu III:
 Kĩ năng vẽ hình. Tính diện tích; khoảng cách; thể tích
(viết công thức tính; thay các yếu tố đã biết)
 Kĩ năng tính độ dài đoạn thẳng(ghép vào tam giác; chọn tam giác phù hợp)
Câu IV: Rèn luyện:
Kĩ năng tính tọa độ vectơ; điểm. Kĩ năng viết phương trình mặt cầ; ptđt; ptmp.
Ghi nhớ chính xác công thức tính góc; khoảng cách; thể tích; diện tích.
Câu V
1. Số phức: Ôn tập như trong SGK
2. Ứng dụng của tích phân: Ôn tập như trong SGK
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
Chủ đề 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Vấn đề 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x
i
(i = 1; 2;…;n) mà tại đó đạo hàm bằng 0

hoặc không xác định.
B3: Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến; nghịch biến.
Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
 Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:
a) y = x
3
– 3x
2
+ 2 b) y = − x
4
+ 4x
2
– 3 c)
1
2
+
=
−
x
y
x
d)
3
2
=y x
e) y = x – e
x


Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.
 Chứng minh hàm số
2
2= −y x x
nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Chứng minh hàm số
2
9= −y x
đồng biến trên nửa khoảng [3; +
∞
).
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến; nghịch biến
trên khoảng xác định cho trước
Phương pháp:  Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số.
 Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai.
 f(x) đồng biến trên K ⇔ f’(x) ≥ 0; ∀x ∈ K ( ⇔
x K
min f'(x) 0
∈
≥
)
 f(x) nghịch biến trên K ⇔ f’(x) ≤ 0; ∀x ∈ K ( ⇔
x K
max f'(x) 0
∈
≤
)
Hàm số bậc 3
 Tập xác định  Đạo hàm y

/
( y’ = 0 ⇔ ax
2
+ bx + c = 0)
 Hàm số tăng trên  (từng khoảng xác định): y
/
≥ 0; ∀x ∈  ⇔
0
0
>


∆ ≤

a
. Giải Tìm m.
 Hàm số giảm trên  (từng khoảng xác định): y
/
≤ 0; ∀x ∈  ⇔
0
0
<


∆ ≤

a
. Giải Tìm m.
Chú ý: Nếu hệ số a của y
/

có tham số thì phải xét khi a = 0
Hàm số nhất biến :
+
=
+
ax b
y
cx d
 Tập xác định  Đạo hàm y
/
 Hàm số tăng (giảm) trên từng khoảng xác định : y
/
> 0 ( y
/
< 0 ) ⇔ ad − bc (tử) > 0 (<0)
Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0
Tổng quát: “Tìm m để hàm số y = f(x;m) đồng biến trên K”. B1. Tính đạo hàm
f’(x;m).
B2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K ⇔ f’(x;m) ≥ 0; ∀x ∈ K ⇔ m ≥ g(x); ∀x∈K (m ≤
g(x))
B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.
 Tìm giá trị của tham số a để hàm số
3 2
1
( ) ax 4 3
3
= + + +f x x x
đồng biến trên .
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
 Cho hàm số

( ) ( )
3 2
1
2 2 2 2 5
3
−
 
= − − + − +
 ÷
 
m
y x m x m x
a. Định m để hàm số luôn luôn đồng biến; b. Định m để hàm số luôn luôn nghịch biến
 Định m để hàm số
2 2
2 3
2
− +
=
−
x mx m
y
x m
đồng biến trong từng khoảng xác định .
 Tìm m để hàm số
( ) ( )
3
2
1
1 3 2

3 3
= − − + − +
mx
y m x m x
luôn đồng biến trên 
 Định m để hàm số:
2
1
= + +
−
m
y x
x
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT (nâng cao)
 Đưa BĐT về dạng f(x)>0 (hay f(x)≥ 0);∀x∈(a;b)
 Tính f’(x); xét dấu f’(x) suy ra f(x) đồng biến (hay nghịch biến trên (a;b)
 Áp dụng định nghĩa:
f(x) đồng biến ⇔ x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f(x
2
); f(x) nghịch biến ⇔ x
1
< x
2

⇒ f(x
1
) > f(x
2
)
 Kết luận BĐT cần phải chứng minh.
( f(x) đồng biến / [a; b] thì f(a) ≤ f(x) ≤ f(b); f(x) nghịch biến /[a; b] thì f(a) ≥ f(x) ≥ f(b))
1) Chứng minh: sinx + tanx > 2x với mọi x ∈ K =
0;
2
 
 ÷
 
π

Giải: Xét f(x) = sinx + tanx – 2x liên tục /K ta có
2
1
f'(x) = cos 2
cos
+ −x
x
.
∀x
∈
K ta có 0< cosx <1 ⇒ cosx > cos
2
x nên f’(x) > cos
2
x +

2
1
cos x
− 2 =
2 2
2
(cos 1)
cos
−x
x
>0
⇒ f đồng biến/
0;
2
 
 ÷
 
π
⇒ f(x) > f(0) ∀x
0;
2
 
∈
 ÷
 
π
⇒ ĐPCM
2) CMR: a) f(x) = 2sinx + tanx −3x tăng /
0;
2

 
÷

 
π
.b)
2sin tan 3 , 0;
2
 
+ > ∀ ∈
 ÷
 
x x x x
π
.
a) Hàm số liên tục /
0;
2
 
÷

 
π
và f’(x) =
( ) ( )
2
2
1 cos 2cos 1
0, 0;
2cos

− +
 
> ∀∈
 ÷
 
x x
x
π
⇒ Kết quả.
b) Từ câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0;
0;
2
 
∀ ∈
 ÷
 
x
π

2sin tan 3 , 0;
2
 
⇔ + > ∀ ∈
 ÷
 
x x x x
π

(đpcm).
3) CMR: a) f(x) = tanx − x đồng biến trên

0;
2
 
÷

 
π
. b)
3
tan , 0;
3 2
 
> + ∀ ∈
 ÷
 
x
x x x
π
.
Vấn đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp: Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
Qui tắc I
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó
f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II

B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và
kí hiệu là x
i
là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(x
i
)
B4: Dựa vào dấu của f ” (x
i
) suy ra cực trị
 f ”(x
i
) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x
i
;
 f ”(x
i
) < 0 thì hàm số có cực đại tại x
i
Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương
trình f’(x) = 0 phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số
3 2
2 3 36 10= + − −y x x x
Qui tắc I
D = 
2
2
' 6 6 36

2
' 0 6 6 36 0
3
= + −
=

= ⇔ + − = ⇔

= −

y x x
x
y x x
x
Vậy x = −3 là điểm cực đại và y
cđ
=71
x= 2 là điểm cực tiểu và y
ct
= − 54
Qui tắc II
D = 
2
2
' 6 6 36
2
' 0 6 6 36 0
3
= + −
=


= ⇔ + − = ⇔

= −

y x x
x
y x x
x
y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0
nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y
ct
= − 54
y’’(−3) = −30 < 0
nên hàm số đạt cực đại tại x = −3 và y
cđ
=71
Tìm cực trị của các hàm số sau:

2 3 4 3 3 2
4 2 3 2 3
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432 . y = x 3 24 7
d. y = x 5x + 4 e. y = 5x + 3x 4x + 5 f. y = x 5x
− − + − − +
− − − − −
a x x c x x

2 2 2
2 2

x+1 x 5 (x - 4) x 3 3
. y = b. y = c. y = . y =
1 1x 8 2 5
+ − − +
+ −+ − +
x x
a d
x xx x

2
2 2 2
x+1 5 - 3x x
. y = x 4 - x b. y = c. y = . y = e. y = x 3 - x
x 1 1 - x 10 - x+
a d
*
. sin 2 +2 . 3 2cos cos 2 . 2sin cos 2 ( [0; ])= − = − − = + ∈a y x x b y x x c y x x x
π
Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị
Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì
f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT)
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ ( m − 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
Ta có

2
' 3 6 1= − + −y x mx m
.
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0
2
3.(2) 6 .2 1 0 1⇔ − + − = ⇔ =m m m
+∞
− ∞
− 54
71
+
+
−
0
0
2
− 3
+ ∞
−∞
y
y'
x
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
Với m = 1 ta được hàm số: y = x
3
– 3x
2
+ 2 có :
2
0

' 3 6 ' 0
2
=

= − ⇒ = ⇔

=

x
y x x y
x
tại x = 2
hàm số đạt giá trị cực tiểu . Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
 Xác định m để hàm số y = mx
3
+ 3x
2
+ 5x + 2 đạt cực đại tại x = 2.
 Tìm m để hàm số
3 2
2
( ) 5
3
= − + − +y x mx m x
có cực trị tại x =1. Đó là CĐ hay CT
 Tìm m để hàm số
2
1+ +
=
+

x mx
y
x m
đạt cực đại tại x = 2.
 Tìm m để hàm số y = x
3
– 2mx
2
+ m
2
x – 2 đạt cực tiểu tại x = 1.
 Tìm các hệ số a; b; c sao cho hàm số f(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c đạt cực tiểu tại điểm x = 1;
f(1) = −3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
Hàm sô y = f(x) có y’ = 0 ⇔ ax
2
+ bx + c; đồ thị (C).
 hàm số có 2 cực trị
'
0
0
≠


⇔


∆ >


y
a
.
 hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi y
CĐ
.y
CT
< 0.
 hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Oy khi x
CĐ
.x
CT
< 0.
 hai cực trị nằm phía trên trục Ox khi
0
. 0
+ >


>

CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
.

 hai cực trị nằm phía dưới trục Ox khi
0
. 0
+ <


<

CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
.
 đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi y
CĐ
.y
CT
= 0
1. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
a) y = (m + 2)x
3
+ 3x
2
+ mx + m (−3 < m < 1 và m ≠ 2); b) y =
2 2 2
2
1
+ +
+
x m x m

x
(−1<m<1)
2. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị
a) y = (m − 3)x
3
− 2mx
2
+ 3. b) y =
2
+ +
+
mx x m
x m
(m=0)
3*. Cho
( )
( )
( )
3 2 2
3 1 2 7 2 2 2= − + + + + − +y x m x m m x m m
. Tìm m để đồ thị hàm số có
cực đại; cực tiểu . HD  :
( )
( )
2 2
' 3 6 1 2 7 2= − + + + +y x m x m m
( )
( )
2 2
' 0 3 6 1 2 7 2 0= ⇔ − + + + + =y x m x m m

…….KQ:
4 17 4 17< − ∨ > +m m

Vấn đề 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT −GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ
Cách 1 B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
B2: Xét dấu đạo hàm f’(x); lập bảng biến thiên
Trong đó tại x
0
thì f’(x
0
) bằng 0 hoặc không xác định
Cách 2: Để tìm GTLN; GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]
7 chuyờn ụn thi tt nghip 2011
B1: Tỡm caực giaự trũ x
i
[a; b](i = 1; 2; ; n) laứm cho ủaùo haứm = 0 hoaởc khoõng xaực ủũnh
B2: Tớnh f(a); f(x
1
); f(x
2
); ; f(x
n
); f(b).
B3: GTLN = Max{ f(a); f(x
1
); f(x
2
); ; f(x
n

); f(b)}
GTNN = Min{ f(a); f(x
1
); f(x
2
); ; f(x
n
); f(b)}
Vớ d 1. Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s
1
= +y x
x
trờn khong
(0; )+
Hng dn: hm s xỏc nh nờn liờn tc trờn
(0; )+
2
2 2
1
1 1
' 1 , ' 0
1 (0; )
=


= = =

= +

x

x
y y
x
x x
. Lp BBT
KL:
(0; )
min ( )
+
f x
= 2 khi x = 1 v hm s khụng cú giỏ tr ln nht.
Vớ d 2. Tớnh GTLN; GTNN ca hm s
3
2
2 3 4
3
= + +
x
y x x
trờn on [4; 0]
Hng dn Hm s xỏc nh nờn liờn tc trờn [4; 0].
f(x) = x
2
+ 4x +3; f(x)=0
1
3
=


=


x
x
.
16 16
( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4
3 3

= = = = f f f f
Vy:
[-4;0]
Max
x
f(x) = f(3) = f(0) = 4;
[-4;0]
Min
x
f(x) = f(4) = f(1) =
16
3

Luyn tp. Tỡm GTLN; GTNN ca hm s (nu cú):
a) y = x
3
+ 3x
2
9x + 1 trờn [4; 4]; b) y = x
3
+ 5x 4 trờn [3; 1]
c) y = x

4
8x
2
+ 16 trờn [1; 3]; d) y = x
3
+ 3x
2
9x 7 trờn [4; 3]
a) y =
x
x + 2
trờn (2; 4]; b) y = x + 2 +
1
x 1
trờn (1; +); c) y=
1
cosx
trờn
3
;
2 2

ữ


;
d) y = x
2
1 x
; e) y = x

2
.e
x
/ [1;1]; f) y =
2
ln
x
x
/ [e;e
3
]. g) y= ln(x
2
+x2) trờn [ 3; 6]
a.
3
4
f(x)=2sin sin
3
x x
trờn
[ ]
0;

(
3 2 3
( ) ( ) ;m (0) ( ) 0
4 4 3
= = = = = =M f f f f



)
b.
f(x)= 2 cos2 4sin+x x
trờn
0;
2




(
( ) 2 2; m (0) 2
4
= = = =M f f

)
c. f(x) = x
2
ln(12 x) trờn on [2;0] (
1 1
( 2) 4 ln5; m ( ) ln 2
2 4
= = = = M f f
)
d.f(x) = sin
3
x cos2x + sinx + 2 (. M = 5;m =
23
27
)

e. f(x) = cos
3
x 6cos
2
x + 9cosx + 5 ( M = 9;m = 11)
Vn 4. Kho sỏt hm s
Tỡm tp xỏc nh ca hm s .
Tớnh o hm y; tỡm nghim ca phng trỡnh y= 0.
Tỡm cỏc gii hn ti vụ cc; cỏc gii hn vụ cc v tỡm tim cn (nu cú).
Lp bng bin thiờn.
Tỡm im c bit v tớnh i xng ca th. V th.
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011

Hàm số bậc ba: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
− Xét y’ = 0 : ∆ ≤ 0 luôn đồng biến ( a > 0) hoặc nghịch biến (a < 0) trên 
∆ > 0 có 2 điểm cực trị.
− Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn I(x
o
; y
o
) với x
o
là nghiệm của phương trình
0
′′
=y


Hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
− Có 1 cực trị ( a.b ≥ 0) hoặc có 3 cực trị (a. b < 0)
− Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

Hàm nhất biến: y =
+
+
ax b
cx d
(c ≠ 0; ad – bc ≠ 0)
− Luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên (−∞; −
d
c
) và (−
d
c
; +∞).
− Tiệm cận đứng: x = −
d
c
; tiệm cận ngang y =
a
c
.
− Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Vấn đề 5. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: Sự tương giao giữa 2 đồ thị:
a) Bài toán 1: Tìm số giao điểm của hai đường
( )
1
C
:
( )
=y f x
và
( )
2
C
:
( )
=y g x
 Lập phương trình hoành độ giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
:
( ) ( )
=f x g x
.
 Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm của hai đường.
b) Bài toán 2: Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình

 Biến đổi phương trình đã cho về phương trình hoành độ giao điểm (một vế là phương
trình của hàm số đã có đồ thị (C); một vế là phần còn lại)
 Lập luận: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C) và (d).
 Dựa vào đồ thị; ta tìm các giá trị m ảnh hưởng đến số giao điểm của (C) và (d)
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x)
Phương trình có dạng: y – y
o
= k (x – x
o
) ( hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x
o
) )
a) Tại M
o
(x
o
; y
o
): tìm hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x
o
).
b) Biết hệ số góc k của tiếp tuyến : sử dụng
0
( )
′
=k f x
tìm x
0
; tìm y
0

.
 Tiếp tuyến ∆ // d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = a ⇔ f’(x
0
) = a; giải phương
trình tìm x
0
; thế x
0
vừa tìm được vào (C) tìm y
0
.
 Tiếp tuyến ∆ ⊥ d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k =
1
−
a
⇔ f’(x
0
) =
1
−
a
;
giải phương trình tìm x
0
; thế x
0
vừa tìm được vào (C) tìm y
0
.
Bài 1: 1/Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2x

3
– 3x
2

2/Tìm k để phương trình : 2x
3
– k= 3x
2
+1 có 3 nghiệm phân biệt. Đáp số :( − 2 < k < −1)
Bài 2: Cho hàm số y = x
4
+ kx
2
− k −1 ( 1)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi k = −1
2/ Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
2
x
− 1. ĐS : y= −2x−2
3/. Xác định k để hàm số ( 1 ) đạt cực đại tại x = −2.
Bài 3: 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = (x−1)
2
( 4 − x )
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn của (C) . Đáp số : y = 3x − 4
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua A( 4 ; 0 ) . Đáp số : y = 0 và y = −9x + 36
Bài 4: Cho hàm số y=
1
2
x

4
– ax
2
+ b
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a =1 ; b = −
3
2
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với Ox
Đáp số :
4 3. 12= − −y x
và
4 3. 12= −y x
Bài 5: a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=
1
2
x
4
− 3x
2
+
3
2
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm uốn . Đáp số : y = 4x+3 và y = −4x
+3
c/ Tìm các tiếp tuyến của (C) đi qua diểm A ( 0;
3
2
). Đáp số : y = 0 ; y =
3
2 2.

2
± +x
Bài 6: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + m − 2 có đồ thị (Cm )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m= 3
2/ Gọi A là giao điểm của (C) và trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A.
3/ Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Bài 7: Cho hàm số y=
3 2
2
2
3 2
+ −
x x
m
có đồ thị ( Cm )
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị(C) của hàm số với m = −1
2/ Xác định m để ( C
m
) đạt cực tiểu tại x = −1.
3/ Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc ∆: y= −
5
2 2
+
x
. Đs: y =
19

2
6
−x
; y =
4
2
3
+x
Bài 8 :1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= −
1
3
x
3
– 2x
2
− 3x + 1
2/ Tìm các giá trị của m để pt :
1
3
x
3
+ 2x
2
+ 3x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
3/ Tìm m để pt :
1
3
x
3
+2x

2
+3x −2 + m
2
= 0 có 1 nghiệm
4/ Viết pttt của (C) song song với đường thẳng y = −3x
Bài9 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x
3
– 3x +1
2/ Một đường thẳng d đi qua điểm uốn của (C)và có hệ số góc bằng 1. Tìm toạ độ giao
điểm của d và (C). ĐS: ( 0; 1) (2; 3 ) ( −2; −1 )
Bài 10 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = −
4 2
1 9
2
4 4
+ +x x
2/ Vẽ và viết pttt với đồ thị (C) tại tiếp điểm có hoành độ x= 1. ĐS: y= 3x+1
Bài 11 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x
3
− 6x
2
+ 9x
2/. Với các giá trị nào của m ; đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt .
Bài 12 : 1/. Tìm các hệ số m và n sao cho hàm số : y = − x
3
+ mx + n đạt cực tiểu tại điểm
x = −1 và đồ thị của nó đi qua điểm ( 1 ; 4)
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với các giá trị của m ; n tìm được .
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
Bài 13: : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =

3 2
1
−
−
x
x
2/. Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt.
ĐS :
6 2 5; 6 2 5
0

< − − > − +


≠


m m
m
Bài 14 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x
4
+ x
2
−3
2/. CMR đường thẳng y = −6x−7 tiếp xúc với đồ thị của hàm số đã cho tại điểm có hoành
độ bằng −1 .
Bài 15 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y =
3
2 1
− +

+
x
x
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a) tại giao điểm của (C) với trục hoành . b) tại giao điểm của (C) với trục tung .
c) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) : 7x – y +2 =0
Bài 16 : Cho hàm số y =
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
−
+ − + + −x a x a x
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0
2/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn của (C) . ĐS : y =
11
4
3
−x
Bài 17 : Cho hàm số y = x
3
+ ax
2
+ bx +1
1/. Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua 2 điểm A( 1; 2); B( −2; −1). ĐS : a = 1 ; b =
−1
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a và b tìm được .
Bài 18 : Cho hàm số y = x
4
+ ax

2
+ b
1/. Tìm a và b để hàm số có cực trị bằng
3
2
khi x = 1. ĐS : a = −2 ; b =
5
2
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a =
1
2
−
và b = 1 .
3/. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1 .
Bài 19 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =
2
2 − x
2/. Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị của hàm số y = x
2
+ 1 . Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) tại mỗi giao điểm . ĐS : y =
1
1
2
+x
; y = 2x
Chủ đề 2 HÀM SỐ; PHƯƠNG TRÌNH; BPT MŨ ; LÔGARIT.
TÓM TẮT KIẾN THỨC:
1) Luỹ thừa:
 Các công thức cần nhớ:

0
1
1; ;
−
= = =
m
n
n m
n
n
a a a a
a
 Tính chất của lũy thừa:
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
.
+
=
m n m n
a a a
;
−
=
m
m n
n
a
a
a
;
( )

=
n
m mn
a a
;
( )
.=
n
n n
ab a b
;
 
=
 ÷
 
n
n
n
a a
b b
;
 Quy tắc so sánh: + Với a > 1 thì
> ⇔ >
m n
a a m n
+ Với 0 < a < 1 thì
> ⇔ <
m n
a a m n
2) Căn bậc n:

. .=
n n n
a b a b
;
=
n
n
n
a a
b
b
;
( )
=
m
n
m
n
a a
;
=
m
n mn
a a
3) Lôgarit:
 Định nghĩa: Cho
, 0; 1
> ≠
a b a
:

log = ⇔ =
a
b a b
α
α
 Tính chất:
log
log 1 0; log 1; log ;= = = =
a
b
a a a
a a a b
α
α
 Quy tắc so sánh: + Với a > 0 thì:
log log> ⇔ >
a a
b c b c
+ Với 0 < a <1 thì:
log log> ⇔ <
a a
b c b c
 Quy tắc tính:
( )
1 2 1 2
log . log log= +
a a a
b b b b
;
1

1 2
2
log log log= −
a a a
b
b b
b
;
log log=
a a
b b
α
α
;
1
log log=
a
a
b b
α
α
 Công thức đổi cơ số:
log
log
log
=
a
b
a
c

c
b
hay
log .log log=
a b a
b c c
1
log
log
=
a
b
b
a
hay
log .log 1=
a b
b a
;
 Chú ý: Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx hoặc lgx
Lôgarit cơ số e kí hiệu là: lnx
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1) Hàm số mũ y = a
x
:  TXĐ:  ; y = a
x
> 0 với mọi x.
 Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1; nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1.
2) Dạng cơ bản:
)x(glog)x(f

0)x(g,1a0
)x(ga
);x(g)x(f
1a0
aa
a
)x(f)x(g)x(f
=⇔



>≠<
=
=⇔



≠<
=



<
<<
∨



>
>

⇔>
)x(g)x(f
1a0
)x(g)x(f
1a
aa
)x(g)x(f
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Ví dụ 1)
2
3 2
1
2
4
+ −
=
x x
; 2)
2
3 1
1
3
3
− +
 
=
 ÷
 
x x
; 3)

1 2
2 2 36
+ −
+ =
x x
; 4)
2 1
5 .2 50
−
=
x x
1) pt ⇔
2
3 2 2
2 2
+ − −
=
x x
⇔ x
2
+ 3x – 2 = −2 ⇔ x
2
+ 3x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = − 3
2) pt ⇔
2
( 3 1) 1
3 3
− − +
=
x x

⇔ …⇔ x
2
– 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2
3) pt ⇔
2
2.2 36
4
+ =
x
x
x x 4
8.2 2
36 9.2 36.4 2 2 4
4
+
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
x x
x
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
4)
2 1
20
4
5 .2 50 5 . 50 20 100 log 100
2
−
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
x
x x x x
x

Dạng 2. đặt ẩn phụ
Ví dụ 1)
2 8 5
3 4.3 27 0
+ +
− + =
x x
; 2)
25 2.5 15 0− − =
x x
; 3)
2 2
3 3 24
+ −
− =
x x
1) pt ⇔
8 2 5
3 .3 4.3 .3 27 0− + =
x x
( )
2
6561. 3 972.3 27 0⇔ − + =
x x
(*)
Đặt t = 3
x
> 0 ta có phương trình (*) ⇔ 6561t
2
– 972t + 27 = 0 ⇔

1 1
9 27
= ∨ =t t
Với
2
1
3 3 2
9
−
= ⇔ = ⇔ = −
x
t x
; Với
3
1
3 3 3
27
−
= ⇔ = ⇔ = −
x
t x
2) pt ⇔
( )
2
5 2.5 15 0− − =
x x
(*). Đặt
5 0= >
x
t

; (*)
2
5
2 15 0
3 (loai)
=

⇔ − − = ⇔

= −

t
t t
t
Với t = 5 ⇔ 5
x
= 5 ⇔ x = 1. Vậy phương trình có nghiệm: x = 1.
3) pt ⇔
( )
2
9
9.3 24 0 9. 3 24.3 9 0
3
− − = ⇔ − − =
x x x
x
(*)
Đặt
3 0= >
x

t
. Pt (*)
2
3
9t 24 9 0
1
( loai)
3
=


⇔ − − = ⇔

= −


t
t
t
Với
3 3 3 1
= ⇔ = ⇔ =
x
t x
; Vậy phương trình có nghiệm:
1=x
Bài tập: (TNBTT2010) giải : 9
x
– 3
x

– 6 = 0. (TNBTT2007)
1
7 2.7 9 0
−
+ − =
x x

a) 2
2x + 5
+ 2
2x + 3
= 12 b) 9
2x +4
− 4.3
2x + 5
+ 27 = 0 c) 5
2x + 4
– 110.5
x + 1
– 75 = 0
d)
1
5 2 8
2 0
2 5 5
+
   
− + =
 ÷  ÷
   

x x
e)
3
5 5 20
−
− =
x x
f)
( ) ( )
4 15 4 15 2− + + =
x x
g)
(
)
(
)
5 2 6 5 2 6 10+ + − =
x x
2 1
)3 9.3 6 0
+
− + =
x x
h
i)
2 2
2 9.2 2 0
+
− + =
x x


Dạng 3. Logarit hóạ a) 2
x − 2
= 3 b) 3
x + 1
= 5
x – 2
c) 3
x – 3
=
2
7 12
5
− +x x
d)
2
2 5 6
2 5
− − +
=
x x x
e)
1
5 .8 500
−
=
x
x
x
f) 5

2x + 1
− 7
x + 1
= 5
2x
+ 7
x
Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu a) 3
x
+ 4
x
= 5
x
b) 3
x
– 12
x
= 4
x
c) 1 + 3
x/2
= 2
x
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
 Hàm số: y = log
a
x có tập xác định D = (0 ; +∞);
0 1< ≠a
. Tập giá trị: 
 Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1; nghịch biến nếu 0 < a < 1

 Phương trình và bất phương trình cơ bản:
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011

0 1
log ( ) log ( )
( ) ( ) 0
< ≠

= ⇔

= >

a a
a
f x g x
f x g x

0 1
0 ( ) ( )
log ( ) log ( )
1
( ) ( ) 0
 < <



< <


> ⇔


>



> >



a a
a
f x g x
f x g x
a
f x g x
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số a)
( )
2 2
log log 1 1+ + =x x
;
b)
( ) ( )
2 2
log 3 log 1 3− + − =x x
c)
( ) ( ) ( )
log 1 log 1 log 2 3+ − − = +x x x
d)
( ) ( )
4 4 4

log 2 log 2 2log 6+ − − =x x
e) log
4
x + log
2
x + 2log
16
x = 5
f)
( ) ( )
3 3 3
log 2 log 2 log 5+ + − =x x
g) log
3
x = log
9
(4x + 5) +
1
2
.
KQ: a) 1; b) −1; c)
1 5
2
− +
; d) ∅; e)
4 2
; f) 3; g)
6 51+
Dạng 2. đặt ẩn phụ (TNTHPT 2010) giải :
2

2 4
2log 14log 3 0− + =x x
h)
2
2 4
log 6log 4+ =x x
i)
( ) ( )
2 3
2
2 2
log 1 log 1 7− + − =x x
j)
( ) ( )
2 2
2 2
log 9 7 2 log 3 1
− −
+ − = +
x x
k)
1 2
1
4 ln 2 ln
+ =
− +x x
l)
2
2 1
2

2
log 3log log 2+ + =x x x
m)
3 3
3 log log 3 1− =x x
n) log
3
(3
x
– 8) = 2 – x o)
( )
3
log 4.3 1 2 1− = +
x
x
p)
[ ]
3 3
log 5 4.log ( 1) 2+ − =x
KQ: h)
1
2;
16
; i)
7
4
1
3; 1
2
 

+
 ÷
 
; j) 2; 3; k) e; e
2
; l)
1
; 2
2
; m) 3; 81; n) 2; o) 0; −1; p) 4.
Dạng 3 mũ hóa a) 2 – x + 3log
5
2 = log
5
(3
x
– 5
2 − x
) b) log
3
(3
x
– 8) = 2 – x
Bất phương trình mũ  a)
2
4 15 4
3 4
1
2 2
2

− +
−
 
<
 ÷
 
x x
x
b)
2 5
1
9
3
+
 
<
 ÷
 
x
c)
6
2
9 3
+
≤
x
x
d)
2
6

4 1
− +
>
x x
e) 16
x – 4
≥ 8 f) 5
2x
+ 2 > 3. 5
x
g) (1/2)
2x − 3
≤ 3
 a) 2
2x + 6
+ 2
x + 7
> 17 b) 5
2x – 3
– 2.5
x −2
≤ 3 c)
1 1
1 2
4 2 3
− −
> +
x x
d) 5.4
x


+2.25
x
≤ 7.10
x
e) 2. 16
x
– 2
4x
– 4
2x – 2
≤ 15 f) 4
x +1
−16
x
≥ 2log
4
8
Bất phương trình logarit
a) log
4
(x + 7) > log
4
(1 – x) b) log
2
( x + 5) ≤ log
2
(3 – 2x) – 4 c) log
2
( x

2
– 4x – 5) < 4
d) log
½
(log
3
x) ≥ 0 e) 2log
8
(x− 2) – log
8
( x− 3) > 2/3 f) log
2x
(x
2
−5x + 6) < 1
g)
1 1
1
1 log log
+ >
− x x
h)
16
2
1
log 2.log 2
log 6
>
−
x x

x
k)
4 1
4
3 1 3
log (3 1).log ( )
16 4
−
− ≤
x
x
Bảng đạo hàm:
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011

( )' =
x x
e e

( )' .ln=
x x
a a a

1
(ln )' =x
x

1
(log )'
ln
=

a
x
x
a a

( )' '.=
u u
e u e

( )' '. .ln=
u u
a u a a

'
(ln )' =
u
u
u

'
(log )'
.ln
=
a
u
u
u a
 Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = sin
2
x biết F(

π
) = 0.Đáp số : F(x) =
1 1
sin 2
2 4 2
x x
π
− −
 CM: F(x) = ln
2
1x x c+ + +
là 1 nguyên hàm của f(x) =
2
1
1x +
. Hd: Cm F
/
(x) = f(x)
 Tính các tích phân sau : 1/.
2
2 3
1
2.x x dx+
∫
; Đáp số :
2
(10 10 3 3)
9
−
2/.

2
2
1
1
xdx
x +
∫
; Đáp số :
5 2−
3/.
1
3
2
0
1
x dx
x +
∫
; Đáp số :
2 2
3
−
4/.
1
3
0
1 .x x dx−
∫
; Đáp số : 9/28 5/.
1

2 2
0
1 .x x dx−
∫
Đáp số
16
π
Tính các tích phân sau :
( ) ( )
log log
log4 log 3
3 4
4 3

=


=


x y
x y
1/.
2
0
cos 2
∫
xdx
π
; Đáp số :

2
π
2/.
2
0
sin 3
∫
xdx
π
; Đáp số :
2
π
3/.
4
0
sin
∫
xdx
π
; Đáp số :
3
8
π
4/.
2
5
0
cos
∫
xdx

π
; Đáp số :8/15 5/.
2
6 3
0
cos .sin
∫
x xdx
π
; Đáp số :2/63
6/.
2
2
0
sin 2
1 cos+
∫
xdx
x
π
; Đáp số :ln2 7/.
4
0
cos2
1 sin 2+
∫
xdx
x
π
; Đáp số :

2 1−
 Tính các tích phân sau : 1/.
2
sin
0
.cos
∫
x
e xdx
π
; Đáp số :e−1
2/.
3
1
2
0
.
−
∫
x
e x dx
; Đáp số :
1 1
3 3
−
e
3/.
4
1
∫

x
e
dx
x
; Đáp số :2e
2
– 2e
4/.
4
ln
2
1
2 1+
∫
x
e
dx
x
; Đáp số :
1
ln11
4
5/.
1
3
0
( 2)+
∫
x
x e dx

; Đáp số :
3
8 5
9 9
−e
6/.
2
0
(2 1)cos2−
∫
x xdx
π
; Đáp số :−1 7/.
2
0
2 .sin .cos
∫
x x xdx
π
; Đáp số :
4
π
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
8/.
2
0
sin
∫
x xdx
π

; Đáp số :
2
4−
π
9/.
1
0
ln( 1)+
∫
x dx
; Đáp số :2ln2−1
10/.
2
1
( 1)ln− +
∫
e
x x xdx
; Đs:
3 2
2 31
9 4 36
− +
e e
11/.
2
2
1
ln
∫

x
dx
x
; Đáp số :
1 1
ln 2
2 2
−
12/.
2
2
0
.cos
∫
x xdx
π
; Đáp số :
2
1
16 4
−
π
13/.
0
sin 3 .cos
∫
x xdx
π
; Đáp số :0
14/.

2
2
0
( sin )cos+
∫
x x xdx
π
; Đáp số :
2
2 3
−
π
15/.
2
2 2
0
sin 2
(1 cos )+
∫
xdx
x
π
; Đáp số :1/2
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a) y = x
2
− 3x + 2 ; y = x −1; x = 0 ; x = 2. ĐS: 2
b) y = x.e
x

; x = 1 ; y = 0. ĐS: S= 1
c) y = sin
2
x + x ; y = x; x = 0; x = π . ĐS: S=
2
π
d) y
2
= 2x và y = 2x −2 . ĐS : S=
9
4
e) đồ thị hàm số y =
2
2 10 12
2
− −
+
x x
x
và đường thẳng y = 0. ĐS: S = 63 −16 ln 8
f) y
2
= 2x +1 và y = x – 1. ĐS: 16/ 3
g) (P): y = – x
2
+ 4x và trục Ox. ĐS:S =
32
3
đvdt
h) (P): y = – x

2
và y = – x – 2 . ĐS:S =
9
2
đvdt
i) (C): y = 5x
4
– 3x
2
– 8; trục Ox trên [1; 3] ĐS: S = 200 đvdt
 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Ox của hình giới
hạn bởi :
a) (C): y=
1
1
−
+
x
x
; các trục toạ độ . ĐS : V=
π
( 3− 4 ln2 )
b) (P): y
2
= 8x và x = 2 ĐS : 16
π
đvtt
c) y = x
2
và y = 3x ĐS :

162
5
π
đvtt
d) y =
sin
2
x
; y = 0; x = 0; x =
4
π
ĐS :
2 2
8
−
π
đvtt
 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Oy của hình giới
hạn bởi Parabol
( )
2
: ; 2; 4
2
= = =
x
P y y y
và trục Oy

Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân:
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011

(2001 – 2002 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y
2
= 2x +1 và y = x −1
(2002 – 2003) 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y =
3 2
2
3 3 1
2 1
+ + −
+ +
x x x
x x
; biết F(1) =
1
3

2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=
2
2 10 12
2
− −
+
x x
x
và trục Ox.
HD: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y =
2
2 10 12
2
− −

+
x x
x
và y = 0 là
2
2 10 12
2
− −
+
x x
x
= 0 ⇔ x = –1; x = 6. vì
2
2 10 12
2
− −
+
x x
x
≤ 0 ∀x∈
[ ]
1;6−
.
Do đó S =
6 6 6
2 2
1 1 1
2 10 12 2 10 12 16
14 2
2 2 2

− − −
− − − −
 
= − = − −
 ÷
+ + +
 
∫ ∫ ∫
x x x x
dx dx x dx
x x x
=
6
2
1
14 16ln 2 63 16ln8
−
 
− − + = −
 
x x x
(đvdt)
(TNTHPT năm 2003 – 2004 ) Cho hàm số y =
1
3
x
3
– x
2
(C). Tính thể tích vật thể tròn xoay

do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0; x =0; x = 3 quay quanh trục Ox.
HD: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y =
3 2
1
3
−x x
; y = 0
là
3 2
1
3
−x x
= 0 ⇔ x = 0; x = 3. Ta có: V =
2
( )
∫
b
a
f x dx
π
.
V =
3
2
3 3
7 6 5
3 2 6 5 4
0 0
0
1 1 2 81

3 9 3 63 9 5 35
 
   
− = − + = − + =
 ÷
 ÷  ÷
   
 
∫ ∫
x x x
x x dx x x x dx
π
π π π
(đvtt)
(TNTHPT năm 2004 – 2005) Tính tích phân: I =
/2
2
0
( sin ).cos .+
∫
x x x dx
π

Hướng dẫn: I =
2 2
2
0 0
cos cos sin+ = +
∫ ∫
x xdx x xdx J K

π π
.
 Tính J: Đặt u = x ⇒ du = dx; dv = cosx dx ⇒ v = sinx
[ ] [ ] [ ]
2
2 2 2
0 0 0
0
sin sin sin cos 1
2
= − = + = −
∫
J x x xdx x x x
π
π π π
π
 Tính K: Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx.
Đổi cận:
1
2
0
0
=
=
⇒
=
=
t
x
t

x
π
. Do đó K =
1
1
3
2
0
0
1
3 3
= =
∫
t
t dt
. Vậy I =
2
2 3
−
π
(TNTHPT năm 2005– 2006)
a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số : y = e
x
; y = 2; x = 1.
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
b. Tính tích phân: I =
/2
2
0
sin 2

4 cos−
∫
x
dx
x
π
( THPT năm 2005− 2006 Ban A). Tính tích phân I =
ln5
ln 2
( 1)
1
+
−
∫
x x
x
e e dx
e
.
Hướng dẫn: Đặt t =
1−
x
e
⇒
2
1 2
= + ⇒ =
x x
e t e dx tdt
.

Đổi cận:
ln5 2
ln 2 1
= =
⇒
= =
x t
x t
. Do đó I =
2
2
2 3
1
1
1 26
2 ( 2) 2 2
3 3
 
+ = + =
 
 
∫
t dt t t
(TN.THPT năm 2005 − 200 6 Ban C). Tính tích phân I =
1
0
(2 1)+
∫
x
x e dx

.
Hướng dẫn: Đặt u = 2x + 1 ⇒ du = 2dx; dv = e
x
dx ⇒ v = e
x
. Do đó
I =
1 1
1 1
0 0
0 0
(2 1) (2 1) 2 3 1 2 3 1 2 2 1
 
+ = + − = − − = − − + = +
 
∫ ∫
x x x x
x e dx x e e dx e e e e e
(TNTHPT năm 2006– 2007)
 Tính tích phân J =
2
1
ln
∫
e
x
dx
x
. HD: Đặt t = lnx ⇒ dt =
dx

x
.
Đổi cận:
1
1 0
= =
⇒
= =
x e t
x t
. Do đó I =
1
1
2 3
0
0
1 1
3 3
= =
∫
t dt t
.
 Tính tích phân I =
1
2
3
0
3
1+
∫

x
dx
x
.
Đặt t =
3
x
+ 1 ⇒ dt = 3
2
x
dx. Đổi cận:
1 2
0 1
= =
⇒
= =
x t
x t
. Do đó I =
2
2
1
1
ln ln 2= =
∫
dt
t
t
(THPT năm 2006 − 20007 Phân ban).
 Tính tích phân I =

2
2
1
2
1+
∫
xdx
x
. HD : Đặt t =
2
1+x
⇒
2
1
=
+
xdx
dt
x
.
Đổi cận:
2 5
1
2
= =
⇒
=
=
x t
x

t
. I =
5
5
2
2
2 2 2( 5 2)= = −
∫
dt t
.
 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx; y = 0; x =
2
π
. Tính thể tích khối
tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành.
Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là sinx = 0 ⇒ x = 0.
Do đó V =
2
2 2
2
2
0 0
0
1 1
sin (1 cos2 ) sin 2
2 2 2 4
 
= − = − =
 
 

∫ ∫
xdx x dx x x
π π
π
π π
π π
. (đvtt)
(TNTHPT năm 2007– 2008)
 Tính tích phân I
1
2 3 4
1
(1 )
−
= −
∫
x x dx
. Đặt t = 1 –
3
x
⇒ dt = –3
2
x
dx.
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
Đổi cận:
1 0
1 2
= =
⇒

= − =
x t
x t
. Do đó I =
2
0 2
5
4 4
2 0
0
1 1 32
3 3 15 15
− = = =
∫ ∫
t
t dt t dt
 Tính tích phân I =
1
0
(1 )+
∫
x
e xdx
. HD: I =
1
1 1 1 1
2
0 0 0 0
0
1

2 2
+ = + = +
∫ ∫ ∫ ∫
x x x
x
xdx xe dx xe dx xe dx
.
Đặt
= =
 
⇒
 
= =
 
x x
u x du dx
dv e dx v e
⇒ I =
1
1 1
0 0
0
1 1 3
2 2 2
   
+ − = + − =
   
∫
x x x
xe e dx e e

(TNTHPT năm 2008– 2009) Tính tích phân I =
0
(1 cos )+
∫
x x dx
π
.
HD: I =
2 2
0 0 0 0
0
cos cos cos
2 2
+ = + = +
∫ ∫ ∫ ∫
x
xdx x xdx x xdx x xdx
π
π π π π
π
.
Đặt
cos sin
= =
 
⇒
 
= =
 
u x du dx

dv xdx v x
. I =
2 2 2
0 0
0
4
sin sin cos
2 2 2
−
+ − = + =
∫
x x xdx x
π
π π
π π π
(TNTHPT năm 2009– 2010) Tính tích phân I
1
2 2
0
( 1)= −
∫
x x dx
.
I =
1
2 2
0
( 2 1)− +
∫
x x x dx

=
1
4 3 2
0
( 2 )− +
∫
x x x dx
=
1
5 4 3
0
1
5 2 3 30
 
− + =
 
 
x x x
.
Chủ đề 4 SỐ PHỨC
Ví dụ 1: Cho số phức z =
3 1
2 2
− i
. Tính các số phức sau:
z
; z
2
; (
z

)
3
; 1 + z + z
2

 Vì z =
3 1
2 2
− i
⇒
z
=
3 1
2 2
+ i
 z
2
=
2
3 1
2 2
 
−
 ÷
 ÷
 
i
=
2
3 1 3

4 4 2
+ −i i
=
1 3
2 2
− i
⇒ (
z
)
2
=
2
2
3 1 3 1 3 1 3
2 2 4 4 2 2 2
 
+ = + + = +
 ÷
 ÷
 
i i i i
 (
z
)
3
=(
z
)
2
.

z
=
1 3 3 1 3 1 3 3
2 2 2 2 4 2 4 4
  
+ + = + + − =
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
i i i i i
 1 + z + z
2
=
3 1 1 3 3 3 1 3
1
2 2 2 2 2 2
+ +
+ − + − = −i i i
Trong bài toán này, để tính
( )
3
z
ta có thể sử dụng hằng đẳng thức như trong số thực.
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
Ví dụ 2 : Tìm số phức liên hợp của:
1
(1 )(3 2 )
3
= + − +
+

z i i
i

Ta có :
3 3
5 5
(3 )(3 ) 10
− −
= + + = + +
+ −
i i
z i i
i i
. Suy ra
53 9
10 10
= −z i
Ví dụ 3: Tìm mô đun của số phức
(1 )(2 )
1 2
+ −
=
+
i i
z
i

Giải: Ta có :
5 1
1

5 5
+
= = +
i
z i
.Vậy, mô đun của z bằng:
2
1 26
1
5 5
 
= + =
 ÷
 
z
Ví dụ 4: Tìm các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i⇔ (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i
⇔
3 2 1
5
+ = −


= −

x y y
x x y
Giải hệ này ta được:
1
7

4
7

= −




=


x
y
.
Ví dụ 5: Tính số phức sau: z = (1+i)
15
Ta có: (1 + i)
2
= 1 + 2i – 1 = 2i ⇒ (1 + i)
14
= (2i)
7
= 128.i
7
= -128.i
z = (1+i)
15
= (1+i)
14
(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.

CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
(2006) Giải phương trình : 2x
2
– 5x + 4 = 0 . Đáp số : x
1
=
5 7
4 4
+ i
; x
2
=
5 7
4 4
− i
.
(2007_Lần 1) Giải : x
2
− 4x + 7 = 0 Đáp số : x
1
= 2 + i
3
; x
2
= 2 − i
3
.
(2007 _Lần 2) Giải : x
2
– 6x + 25 = 0 Đáp số : x

1
= 3 + 4i ; x
2
= 3 − 4i .
(2008 _Lần 1) Tìm giá trị biểu thức : P = ( 1 + i
3
)
2
+ ( 1 − i
3
)
2
. Đáp số P = 4 .
(2008 _Lần 2) Giải : x
2
− 2x + 2 = 0 Đáp số : x
1
= 1 + i ; x
2
= 2 + i .
(2009 GDTX) Cho z = 3 − 2 i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z
2
+ z .
Đáp số : Phần thực : 8 ; Phần ảo : − 14.
(2009 Cơ bản ) Giải : 8z
2
– 4z + 1 ; Đáp số : z
1
=
1 1

4 4
+ i
; z
2
=
1 1
4 4
− i
(2009 NC)Giải : 2z
2
– iz + 1 = 0 trên tập số phức. Đáp số : z
1
= i ; z
2
= −
1
2
i
(2010 GDTX) Giải :2z
2
+ 6z + 5 = 0 Đáp số : z
1
=−
3 1
2 2
+ i
; z
2
= −
3 1

2 2
− i
(2010 Cơ bản ) Cho hai số phức: z
1
= 1 + 2i ; z
2
= 2 – 3i . Xác định phần thực và phần ảo
của số phức z
1
−2z
2
. Đáp số : Phần thực : −3 ; Phần ảo : 8.
(2010 NC) Cho hai số phức: z
1
= 2 + 5i ; z
2
= 3 – 4i . Xác định phần thực và phần ảo của
số phức z
1
.z
2
. Đáp số : Phần thực : 26 ; Phần ảo : 7.
H
A
B
C
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
Chủ đề 5 & 6: KHỐI ĐA DIỆN – KHỐI TRÒN XOAY
Một số kết quả cần nhớ
Tam giác đều ABC: * Độ dài đường cao

AB 3
AH=
2
.
* Diện tích:
2
AB 3
S =
4
.
Tam ABC vuông tại A:
1
S = AB.AC
2
.
Hình vuông ABCD: * Đường chéo
AC = AB 2
.
* S=AB
2
.
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thướca; b; c: V
hộp
= a.b.c

Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích số diện tích mặt đáy và chiều cao.
V
chóp

=
1
3
S
đáy
. Cao =
1
3
B.h
Thể tích khối lăng trụ bằng tích số diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ đó.
V
lăng trụ
= S
đáy
. Cao =B.h
TỶ SỐ THỂ TÍCH
ĐỊNH LÝ 1: Cho ∆ABC và đường thẳng d cắt AB; AC lần lượt tại B’;C’ khi đó
' '
.
'. '
∆
∆
=
ABC
AB C
S
AB AC
S AB AC
ĐỊNH LÝ 2: Cho tứ diện S.ABC mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA;SB;SC lần lượt tại
A’; B’; C’ khi đó

' ' '
. .
'. '. '
=
SABC
SA B C
V
SA SB SC
V SA SB SC
THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Khối nón:  S
xq
= πRl;  S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= πRl + πR
2
;  V =
1
3
S
đáy
. Cao =
2
3
R h
π


Khối trụ:  S
xq
= 2πRl;  S
tp
= S
xq
+ 2S
đáy
= 2πRl + 2πR
2
;  V = S
đáy
. Cao = πR
2
h
Khối cầu:  S
mặt cầu
= 4πR
2
;  V
cầu
=
3
4
3
R
π
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CƠ BẢN
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011

Dạng 1: Tính thể tích của khối chóp
 Xác định đỉnh khối chóp cho phù hợp nếu là khối chóp tam giác.
 Xác định chân đường cao nằm ở vị trí nào trên mặt đáy.
Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy; nếu các mặt bên hợp với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao
trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
Dạng 2: Tính thể tích; diện tích của khối trụ; khối nón
 Xác định đường cao bán kính của khối trụ; khối nón.
 Áp dụng công thức phù hợp
Dạng 3: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Các cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
• Tìm một điểm cách đều các đỉnh hình chóp.
• Tìm một đoạn mà các đỉnh nhìn đoạn đó dưới một góc vuông
• Tìm giao của trục đường tròn đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.
Dạng 4 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
∗ Lăng trụ nội tiếp mặt cầu nếu nó là lăng trụ đứng có đáy nội tiếp trong đường tròn.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn nối tâm của hai đường tròn đáy.
Luyện tập
KHỐI ĐA DIỆN
Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a; cạnh bên bằng 2a. Gọi I
là trung điểm của BC.
a. Chứng minh SA vuông góc với BC.
b. Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.ABI theo a.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B; SA vuông góc với đáy.
Biết AB=a;
3=BC a
; SA=3a.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b. Gọi I là trung điểm của SC. Tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B; SA vuông góc với đáy. Biết

SA=AB=BC=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS:
3
.
6
=
S ABC
a
V
Bài 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông
góc với đáy và SA=AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.ĐS:
3
.
2
3
=
S ABC
a
V
Bài 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông
góc với đáy cạnh
3=SB a
.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 6. Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=a; bán kính đáy r=1;5a. Tính diện tích
xung quanh của hình nón và thể tích khối nón đã cho theo a.
ĐS: b.
3
. .
1 11

2 24
= =
S ABI S ABC
a
V V
ĐS: a.
3
.
3
2
=
S ABC
a
V
; b.
13
2
=
a
BI
ĐS: a)
3
.
2
3
=
S ABC
a
V
ĐS:

2 3
3 13 3
,
4 4
= =
a a
Sxq V
π π
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD; có AB=a; AC=
5a
. Tính diện tích toàn phần của hình
trụ và thể tích khối trụ được sinh ra bởi hình chữ nhật nói trên khi nó quay quanh cạnh BC.
ĐS:
2
2 4= =
xq
S rl a
π π
;
2
2 6= + =
tp xq
S S S a
π
ñaùy
;
2 2 3
2 2
= = =

V r h a a a
π π π
.
Bài 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’=a; AB=b; AD=c. Gọi (S) là mặt
cầu ngoại tiếp hình hộp. Tính thể tích khối cầu. ĐS:
( )
2 2 2 2 2 2
6
= + + + +V a b c a b c
π
Bài 9. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC=a;
góc
·
0
60=ACB
. Đường chéo BC’ của mặt bên tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 30
0
.
a. Tính độ dài đoạn AC’. b. Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS: a. AC’=3a; b.
3
6=V a
.
KHỐI TRÒN XOAY
Bài 1 : Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam
giác đều ABC có cạnh bằng a và đường sinh bằng 2a
3
. ĐS : S
xq
=
2

4 a
π
; V =
3
2 3
3
a
π
Bài 2 : Cho hình lập phương cạnh a . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ
ngọai tiếp hình lập phương . ĐS : S
xq
=
2
2a
π
; V =
3
2
a
π
Bài 3 : Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 6cm ; một mặt phẳng qua trục của hình trụ cắt
hình trụ theo thiết diện (S) có diện tích bằng 48cm
2
.
1/. Tính chu vi của thiết diện (S). ĐS : 1/. 28cm
2/. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ (T). ĐS S
xq
=
48
π

(cm
2
) ; V = 96π
Bài 4 : Cho hình trụ (T) có diện tích đáy S
1
= 4πa
2
và diện tích xung quanh bằng S .
1/. Tính thể tích của (T) . ĐS : aS
2/. Cho S = 25a
2
; Tính diện tích thiết diện qua trục của hình trụ (T). ĐS :
2
25a
π
Bài 5 : Cho hình trụ (T) có bán kính đáy R = 10cm; một thiết diện song song với trục hình
trụ ; cách trục một khoảng 6cm có diện tích 80cm
2
. Tính thể tích khối trụ (T). ĐS : 500π
Bài 6: Cho hình nón có bán kính đáyR và góc giữa đường sinh và mp chứa đáylà α.
1/. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón ĐS : V =
3
tan
3
R
π α
; S
xq
=
2

cos
R
π
α
2/. Tính diện tích của thiết diện qua trục của hình nón . ĐS : R
2
tan α
Bài 7 : Cho hình nón đỉnh S có đường sinh bằng R và thiết diện qua trục của hình nón là
tam giác SAB có góc ASB là 60
0
.
1/. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón
2/. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón .
3/. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp hình nón .
ĐS : 1/. V =
3
3
24
R
π
; S
xq
=
2
2
R
π
2/.
3
3

R
3/.
3
6
R
Bài 8 : Một hình nón có diện tích xq là 20π (cm
2
) và diện tích toàn phần là 36π(cm
2
) .
Tính thể tích khối nón . ĐS : V =36π (cm
3
)
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
Chủ đề 7 TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho
( ) ( ) ( ) ( )
0;0;3 , 1;1;5 , 3;0;0 , 0; 3;0− −A B C D
a) Tính diện tích tam giác ADC.
b) CMR : 4 điểm A; B; C; D đồng phẳng.
a) Ta có
( ) ( )
3;0; 3 , 0; 3; 3= − − = − −
uuur uuur
AC AD
⇒
( )
; 9; 9;9
 
= − −

 
uuur uuur
AC AD
Do đó :
1 9 3
;
2 2
∆
 
= =
 
uuur uuur
ADC
S AC AD
b) Ta có
( )
1;1;2=
uuur
AB
⇒
; . ( 9).1 ( 9).1 9.2 0
 
= − + − + =
 
uuur uuur uuur
AC AD AB
⇒ các vectơ
; .;
uuur uuur uuuur
AC AD AB

đồng phẳng. Do đó 4 điểm A; B; C; D đồng phẳng.
Bài 2 : Cho tứ diện ABCD với
( ) ( ) ( ) ( )
6; 2;3 , 0;1;6 , 2;0; 1 , 4;1;0− −A B C D
a) Viết PT của các mặt phẳng (ABC); (BCD).
b) Viết PT mp(
α
) chứa AB và song song CD.
c) Viết PT đt ∆ qua A & vuông góc với (BCD).Tìm tọa độ giao điểm của chúng.
a) Ta có
( ) ( )
6;3;3 , 4;2; 4= − = − −
uuur uuur
AB AC
;
( ) ( )
2; 1; 7 , 4;0; 6= − − = −
uuur uuur
BC BD
* Phương trình mặt phẳng (ABC)
mp(ABC) có VTPT :
( )
; 18;36;0
 
= =
 
r uuur uuur
n AC AB
.Do đó phương trình tổng quát mp(ABC)
là:

( ) ( ) ( )
18 0 36 1 0 6 0 2 2 0− + − + − = ⇔ + − =x y z x y
* Tương tự mặt phẳng (BCD): 3x + 8y – 2z – 8 = 0.
b) Ta có
( )
2;1;1=
uuur
CD
. Vì (α) chứa AB và song song CD nên có cặp VTCP là
&
uuur uuur
AB CD
;
do đó có một VTPT là:
( ) ( )
; 0;12; 12 hay ' 0;1; 1
 
= = − = −
 
r uuur uuur uur
n AB CD n
Do đó (α):
( ) ( ) ( )
0. 0 1. 1 1. 6 0 5 0− + − − − = ⇔ − + =x y z y z
c) Vì ∆ ⊥ (BCD) nên nhận
( )
2
3;8; 2= −
uur
n

làm VTCP; do đó PTTS của đường thẳng ∆ :
6 3
2 8 ,
3 2
= +


= − + ∈


= −

x t
y t t R
z t
; Thay x; y; z vào phương trình (BCD); ta được:
12
77
⇔ =t
Vậy giao điểm của ∆ với (BCD) là :
498 58 207
; ;
77 77 77
 
−
 ÷
 
M
Bài 3: Trong KG hệ tọa độ Oxyz; cho (S):
2 2 2

2 4 6 0+ + − − − =x y z x y z
a) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính (S).
b) Xét vị trí tương đối của (S) và mp(
α
): x + y − z + k = 0 tuỳ theo k.
c) Tìm tọa độ giao điểm của (S) với ∆ đi qua
( ) ( )
1;1;1 , 2; 1;5−M N
. Viết PT mặt phẳng
tiếp xúc với (S) tại các giao điểm đó.
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
a) Ta có
2 2 1
2 4 2
2 6 3
= =
 
 
= ⇒ =
 
 
= =
 
a a
b b
c c
.Vậy (S) có tâm I(1; 2; 3) ; bán kính R =
14
.
b) Ta có

( )
2 2 2
1.1 1.2 1.3
;( )
3
1 1 ( 1)
+ − +
= =
+ + −
k k
d I
α

42 42 42< ⇔ − < <k k
⇒ (
α
) và (S) cắt nhau.

42 42 42= ⇔ = − ∨ =k k k
⇒ (
α
) và (S) tiếp xúc nhau.

42 42 42> ⇔ < − ∨ >k k k
⇒ (
α
) và (S) không có điểm chung.
c) Đường thẳng ∆ qua M; N có VTCP
( )
1; 2;4= −

uuuur
MN
Phương trình là:
1
1 2 ,
1 4
= +


= − ∈


= +

x t
y t t R
z t
Thay x; y; z vào phương trình (S); ta được:
2
3
21 12 9 0 1
7
− − = ⇔ = ∨ = −t t t t
.
 t = 1: ∆ cắt (S) tại A(2; −1; 5)
* Phương trình tiếp diện tại A: Ta có
( )
1;3; 2= − −
uur
AI

Mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A nhận
uur
AI
làm VTPT nên có PTTQ:
(P):
( ) ( ) ( )
1. 2 3 1 2 5 0 3 2 15 0− − + + − − = ⇔ − + − =x y z x y z

3
7
= −t
: ∆ cắt (S) tại
4 13 5
; ;
7 7 7
 
−
 ÷
 
B
.
* Phương trình tiếp diện tại B: Ta có
3 1 26
; ;
7 7 7
 
= − − −
 ÷
 
uur

BI
Tương tự: (Q):
21 7 182 105 0
+ + + =
x y z
BÀI 4: (Đề thi kỳ 2 của sở)
Trong không gian Oxyz cho A(3;2;6);B(3; −1; 0); C(0;−7;0); D(−2; 1; −1).
a/ Viết phưong trình măt phẳng (ABC).
b/ Tính góc giữa đường thẳng (d) đi qua hai điểm A; D và mp(ABC)
a/ Ta có:
( )
1
(0;3;6); ( 3; 6;3) : , (5, 2,1)
9
 
= = − − ⇒ = = −
 
uuur uuur r uuur uuur
ABC
BA BC vtpt n BA BC
Vậy Phưong trình mp(ABC): 5(x − 3) − 2(y − 2) +(z − 6) = 0
⇔
5x–2y+z –17 = 0
b/ Ta có
( 5; 1; 7)= = − − −
r uuur
a AD
là vtcp của đường thẳng AD
Gọi
ϕ

là góc giữa đường thẳng AD và mp(ABC) ;
0 0
0 90≤ ≤
ϕ
Khi đó: sin
ϕ

.
25 2 7
10
5
75 30
− + −
= = =
r r
r r
a n
a n
⇒ ϕ ≈ arcsin
10
5
.
7 chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2011
BÀI 5(TN 05+06)
Trong không gian Oxyz; cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 2 4 3 0+ + − + + − =x y z x y z
và hai
đthẳng
1 2

2
1
( ) : 1 ; ( ) :
1 1 1
=

−

∆ = − ∆ = =

− −

=

x t
x y z
y t
z t
1.Chứng minh: (∆
1
) và (∆
2
) chéo nhau.
2.Viết pt tiếp diện của mặt cầu (S); biết tiếp diện đó song song với (∆
1
) và (∆
2
)
1/ Xét
1

( )∆
qua điểm A(0;1;0) và có vtcp
(2; 1;1)= −
r
u
;

2
( )∆
qua điểm B(1;0;0) và có vtcp
( 1;1; 1)= − −
r
v
;

, (0;1;1), (1; 1;0)
 
= = −
 
urr uuur
u v AB
⇒
, . 1 0
 
= − ≠ ⇒
 
urr uuur
u v AB
(∆
1

) và (∆
2
) chéo nhau.
2/ Gọi (P) là tiếp diện cần tìm. Vì (P) // với (∆
1
) và (∆
2
) nên có
vtpt
, (0;1;1)
 
= =
 
r r r
n u v
.Phưong trình mặt phẳng (P) có dạng y + z +m = 0
Mặt cầu (S) có tâm I(1;−1;−2)và có bán kính R = 3.
(P) tiếp xúc (S) ⇔ d[I;(P)] = R
⇔

3
3 3 3 2
2
−
= ⇔ = ±
m
m
+Với
3 3 2= +m


⇒

1
( ) : 3 3 2 0+ + + =P y z

+ Với
3 3 2= −m

⇒

2
( ) : 3 3 2 0+ + − =P y z
Tự luyện
A. Tọa độ điểm, vectơ
 Cho
r
a
= ( −2 ;1; 0 );
r
b
= ( 1; 3;−2 );
r
c
= (2;4;3 )
1/ Tìm toạ độ
ur
d
=
1 3
2

2 2
+ −
r r r
a b c
. Đáp số :
1 17
( 2, , )
2 2
= − −
ur
d
2/ Cm
r
a
;
r
b
không cùng phương HD: −2: 1: 0 ≠ 1: 3: −2
3/ Tìm toạ độ
r
b
/
= ( 2; y
o
; z
o
); biết
r
b
/

cùng phương
r
b
Đáp số :
( )
'
2;6; 4= −
uv
b
 Cho A( 0 −2; 4 ) ; B( 5;−1;2 );
3 4= − + +
uuuvvvv
OC i j k
1/ Cm: A; B; C không thẳng hàng.
2/ Tìm toạ độ M là giao điểm của đường thẳng BC với (0xy); M chia đoạn BC theo
tỉ số nào? Đáp số : M( −11;9;0 )
2=
uuur uuuur
MB MC
⇒ k = 2
3/ Tìm toạ độ D ; biết
uuur
CD
= ( 1;−2; −4 ) Đáp số : D ( −2;2;−3 )
4/ Tìm toạ độ A
/
đối xứng với A qua B Đáp số : A
/
( 10;0; 0 )
5/ Tìm toạ độ E để ABED là hình bình hành Đáp số : E( 2;5;−1 )

 Cho M( x; y; z ); tìm toạ độ các điểm:
1/ M
1
; M
2
; M
3
lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên mp ( 0xy ) ;( 0yz) ;( 0xz )
Đáp số : M
1
( x; y; 0) ; M
2
( 0; y; z ) ; M
3
( x; 0; z )
2/ M
/
1
; M
/
2
; M
/
3
lần lượt là hình chiếu của M trên Ox; Oy; Oz