Mục lục
Mục lục 1
Chủ đề 1: Căn thức - Biến đổi căn thức 1
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa 1
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức 2
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán 3
Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét 7
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai 7
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm 7
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm
của phơng trình bậc hai cho trớc 8
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô
nghiệm 9
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 thoả
mãn điều kiện cho trớc 9
Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số 10
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ
thuộc tham số 10
Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc hai 11
Chủ đề 3: Hệ phơng trình 14
Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản 14
Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ 14
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc
15
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I 15
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II 16
Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số 16
Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị 17
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số 17
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng 17
Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol 17

Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình 21
Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính đến dòng nớc chảy). 21
Dạng 2: Toán làm chung - làn riêng (toán vòi nớc) 21
Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm 21
Dạng 4: Toán có nội dung hình học 22
Dạng 5: Toán về tìm số 22
Chủ đề 6: Phơng trình quy về phơng trình bậc hai 23
Dạng 1: Phơng trình có ẩn số ở mẫu 23
Dạng 2: Phơng trình chứa căn thức 23
Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 24
Dạng 4: Phơng trình trùng phơng 24
Dạng 5: Phơng trình bậc cao 24
Phần II: Hình học 25
Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình 25
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn.
25
Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đờng thẳng đồng quy 27
Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định 28
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng thức hình học 28
Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu về hình học không gian 29
Phần I: đại số
Chủ đề 1: Căn thức - Biến đổi căn thức
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau).
Các chuyên đề ôn thi vào 10
3x16x 14)
x2x
1
)7
x5

3x
3x
1
13)
x7
3x
6)
65xx
1
12)
27x
x3
5)
35x2x 11) 12x 4)
73xx 10)
147x
1
3)
2x 9) 2x5 2)
3x 8) 13x 1)
2
2
2
2
2
2
++


+



+
+
+

+
+


+
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức.
Bài 1: Đa một thừa số vào trong dấu căn.
22
x
7
x e) ;
x25
x
5)(x d) ;
5
2
x c) 0);x (với
x
2
x b) ;
3
5
5
3

a)

>
Bài 2: Thực hiện phép tính.
33
3;
3
33
3152631526 h) ;2142021420 g)
725725 f) ;10:)4503200550(15 c)
26112611 e) ;0,4)32)(10238( b)
;526526 d) ;877)714228( a)
+++
++
++
++++
Bài 3: Thực hiện phép tính.
1027
1528625
c)
57
1
:)
31
515
21
714
b)
6
1

)
3
216
28
632
( a)
+
+


+





Bài 4: Thực hiện phép tính.
62126,5126,5 e)
77474 d) 25353 c)
535)(3535)(3 b) 1546)10)(15(4 )
+++
+++
++++a
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
53
53
53
53
d)
65

625
65
625
c)
113
3
113
3
b)
1247
1
1247
1
a)
+

+

+
+

+

+
+

+++

+
Bài 6: Rút gọn biểu thức:

10099
1

43
1
32
1
21
1
c)
34710485354b) 4813526a)
+
++
+
+
+
+
+
+++++
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau:
2
Các chuyên đề ôn thi vào 10
4
3y6xy3x
yx
2
e)
)4a4a(15a
12a
1

d)
;
4a
a42a8aa
c)
1.a và 0a với,
1a
aa
1
1a
aa
1 b)
b.a và 0b 0,a với,
ba
1
:
ab
abba
a)
22
22
24
++


+


+
>




















+
+
+
>>

+
Bài 8: Tính giá trị của biểu thức
(
)
(
)

a.)y)(1x(1xybiết , x1yy1xE e)
1.x2x9x2x16biết , x2x9x2x16D d)
0;3yy3xxbiết , yxC c)
;1)54(1)54(x với812xxB b)
549
1
y;
25
1
x khi2y,y3xxA a)
2222
2222
22
33
3
2
=++++++=
=+++++=
=+++++=
+=+=
+
=

=+=
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.
Bài 1: Cho biểu thức
21x
3x
P



=
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 -
3
).
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2: Xét biểu thức
1.
a
a2a
1aa
aa
A
2
+
+

+
+
=
a) Rút gọn A.
b) Biết a > 1, hãy so sánh A với
A
.
c) Tìm a để A = 2.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 3: Cho biểu thức
x1
x

2x2
1
2x2
1
C

+
+


=
a) Rút gọn biểu thức C.
b) Tính giá trị của C với
9
4
x =
.
c) Tính giá trị của x để
.
3
1
C =
Bài 4: Cho biểu thức
222222
baa
b
:
ba
a
1

ba
a
M










+

=
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị M nếu
.
2
3
b
a
=
3
Các chuyên đề ôn thi vào 10
c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
Bài 5: Xét biểu thức
.
2

x)(1
1x2x
2x
1x
2x
P
2










++
+



=
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bài 6: Xét biểu thức
.
x3
1x2

2x
3x
6x5x
9x2
Q

+


+

+

=
a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của Q cũng là số nguyên.
Bài 7: Xét biểu thức
( )
yx
xyyx
:
yx
yx
yx
yx
H
2
33
+

+













=
a) Rút gọn H.
b) Chứng minh H 0.
c) So sánh H với
H
.
Bài 8: Xét biểu thức
.
1aaaa
a2
1a
1
:
1a
a
1A









+










+
+=
a) Rút gọn A.
b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1.
c) Tính các giá trị của A nếu
200622007a =
.
Bài 9: Xét biểu thức
.
x1
2x

2x
1x
2xx
39x3x
M


+
+
+

+
+
=
a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của M cũng là số nguyên.
Bài 10: Xét biểu thức
.
3x
3x2
x1
2x3
3x2x
11x15
P
+
+




+
+

=
a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x sao cho
.
2
1
P =
c) So sánh P với
3
2
.
Bi 11: Tớnh giỏ tr ca biu thc:
2 2
7 5 7 5

+
1.1 Cho biu thc:
( )
2 1
1 : 1
1 1
x x x x
B x
x x

+ +
=
ữ ữ

+

a) Rỳt gn B.
b) Tớnh B khi
4 2 3x
=
c) Tỡm giỏ tr nh nht ca B vi x 0; x 1.
Bi 12:
1.1 Tớnh giỏ tr ca biu thc:
3 3
3 1 1 3 1 1

+ + +
1.2 Cho biu thc:
x x y y
x y
M
x y x y xy


=
+ +
a) Rỳt gn M.
4
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
b) Với điều kiện nào của x và y thì M = 0.
Bài 13:
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
3 5 3 5
3 5 3 5

− +
+
+ −
1.2 Cho biểu thức:
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
N
x x x x x
 
+ −
= + +
 ÷
− + + −
 
a) Rút gọn N. b) Chứng minh rằng: N > 0 với x ≥ 0; x ≠ 1.
Bài 14:
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
2 3 2 3
+ + −
1.2 Cho biểu thức:
1 1
1 1 1
x x x
P
x x x x x
−
= + +

− − − + −
a) Rút gọn P. b) Tính P khi
53
9 2 7
x =
−
c) Tìm x để P
= 16.
Bài 15:
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
2( 2 6)
3 2 3
+
+
1.2 Cho biểu thức:
3 3 1 2
2 2 1
x+ 9x x x
K
x x x x
− + −
= − +
+ − + −
a) Rút gọn K. b) Tính K khi
3 2 2x = +
.
c) Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên.
Bài 16:
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
1 1 3 2 4 1

4,5 50 :
2 2 2 5 15 8
 
× − +
 ÷
 
1.2 Cho biểu thức:
1 2
1 :
1
1 1
x x
A
x
x x x x x
   
= + −
 ÷  ÷
+
− + − −
   
a) Rút gọn A. b) Tính A khi
4 2 3x
= +
. c) Tìm x để A >
1.
Bài 17: Tính giá trị của biểu thức:
4 2 3 3
− −


1.1 Cho biểu thức:
2
2
1
1
x x x+ x
B
x x x
+
= + −
− +
a) Rút gọn B. b) Tìm x để B = 2. c) Tìm giá trị nhỏ nhất
của B.
Bài 18:
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
1 1
2 3 2 3
+
+ −
1.2 Cho biểu thức:
2 1 2
1
1
1 2 1
x+ x x x x x x x
C
x
x x x
 
− − + −

= + − ×
 ÷
−
− −
 
5
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
a) Rút gọn C. b) Cho
6
1 6
C
= ×
+
Tìm x ?. c) Chứng minh:
2
3
C
>
.
Bài 19:
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
(2 2 5 18)( 50 5)
− + +
1.2 Cho biểu thức:
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
D

x
x x x x
   
− − + −
= − − +
 ÷  ÷
−
+ − + −
   
a) Rút gọn D. b) Với giá trị nào của x thì D < 1.
Bài 20:
1.1 Tính giá trị của biểu thức:
2 7
2 2 3 2
+
− −
1.2 Cho biểu thức:
1 1 1 1 1
1 1
x x x x x x
E x
x x x x x x x
   
− + + −
 
= − + − +
 ÷  ÷
 ÷
− + − +
 

   
a) Rút gọn E. b) Tìm x để E = 6.
Bài 21:
1.1 So sánh hai số:
2005 2004 2004 2003 và
− −

1.2 Cho biểu thức:
2
2 2( 1)
1 1
x x x+ x x
P
x x x x
− −
= − +
+ + −
a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức
2 x
Q
P
=
nhận giá trị là số nguyên.
Bài 22: Tìm giá trị biểu thức sau:
a)
1 3 4
11 2 30 7 2 10 8 4 3
A = − −
− − +

. d)
2 2 2 2D = + + + +
b)
1 1 1

1 2 2 3 99 100
B = + + +
+ + +
.
c)
1 1 1

2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100
C = + + +
+ + +
.
Bài 23: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
4 1 1
:
4 4
2 2
x x x
A
x x
x x
 
−
= + +
 ÷

− −
+ −
 
b)
( ) ( )
3
2 3x y x x y y xy y
B
x y
x x y y
− + + −
= +
−
+
c)
1 3 2
1 1 1
C
x x x x x
= − +
+ + − +
d)
( )
( )
2
( )
x x y y xy x y
y
D
x y

x y x y
+ − +
= +
+
− +
6
n dấu căn
Các chuyên đề ôn thi vào 10
Bi 24: Cho abc = 1. Tớnh:
1 1 1
1 1 1
S
a ab b bc c ac
= + +
+ + + + + +
.
Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai.
Bài 1: Giải các phơng trình
1) x
2
- 6x + 14 = 0 ; 2) 4x
2
- 8x + 3 = 0 ;
3) 3x
2
+ 5x + 2 = 0 ; 4) -30x
2
+ 30x - 7,5 = 0 ;
5) x

2
- 4x + 2 = 0 ; 6) x
2
- 2x - 2 = 0 ;
7) x
2
+ 2
2
x + 4 = 3(x +
2
) ; 8) 2
2
x
2
+ x + 1 =
3
(x +
1) ;
9) x
2
- 2(
3
- 1)x - 2
3
= 0.
Bài 2: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
1) 3x
2
- 11x + 8 = 0 ; 2) 5x
2

- 17x + 12 = 0 ;
3) x
2
- (1 +
3
)x +
3
= 0 ; 4) (1 -
2
)x
2
- 2(1 +
2
)x + 1 + 3
2
= 0 ;
5) 3x
2
- 19x - 22 = 0 ; 6) 5x
2
+ 24x + 19 = 0 ;
7) (
3
+ 1)x
2
+ 2
3
x +
3
- 1 = 0 ; 8) x

2
- 11x + 30 = 0 ;
9) x
2
- 12x + 27 = 0 ; 10) x
2
- 10x + 21 = 0.
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm.
Bài 1: Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm.
1) x
2
- 2(m - 1)x - 3 - m = 0 ; 2) x
2
+ (m + 1)x + m = 0 ;
3) x
2
- (2m - 3)x + m
2
- 3m = 0 ; 4) x
2
+ 2(m + 2)x - 4m - 12 = 0 ;
5) x
2
- (2m + 3)x + m
2
+ 3m + 2 = 0 ; 6) x
2
- 2x - (m - 1)(m - 3) = 0 ;
7) x
2

- 2mx - m
2
- 1 = 0 ; 8) (m + 1)x
2
- (2m - 1)x - 3 + m = 0 ;
9) ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0.
Bài 2:
Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phơng trình sau luôn có nghiệm:
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0
Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phơng trình sau có hai nghiệm
phân biết:
x) (ẩn 0
cx
1
bx
1
ax
1
=

+

+

Chứng minh rằng phơng trình: c
2
x
2

+ (a
2
- b
2
- c
2
)x + b
2
= 0 vô nghiệm với a, b, c là
độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng phơng trình bậc hai:
(a + b)
2
x
2
- (a - b)(a
2
- b
2
)x - 2ab(a
2
+ b
2
) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3:
Chứng minh rằng ít nhất một trong các phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm:
ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx

2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (3)
Cho bốn phơng trình (ẩn x) sau:
x
2
+ 2ax + 4b
2
= 0 (1)
x
2
- 2bx + 4a
2
= 0 (2)
x
2
- 4ax + b
2
= 0 (3)
x
2
+ 4bx + a
2
= 0 (4)
Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất 2 phơng trình có nghiệm.
Cho 3 phơng trình (ẩn x sau):
7
Các chuyên đề ôn thi vào 10

(3) 0
cb
1
x
ba
ba2a
cx
(2) 0
ba
1
x
ac
ac2c
bx
(1) 0
ac
1
x
cb
cb2b
ax
2
2
2
=
+
+
+
+


=
+
+
+
+

=
+
+
+
+

với a, b, c là các số dơng cho trớc.
Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất một phơng trình có nghiệm.
Bài 4: Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0.
Biết a 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phơng trình đã cho có hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) có hai nghiệm nếu một
trong hai điều kiện sau đợc thoả mãn:
a(a + 2b + 4c) < 0 ;
5a + 3b + 2c = 0.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của
phơng trình bậc hai cho trớc.
Bài 1: Gọi x
1
; x
2

là các nghiệm của phơng trình: x
2
- 3x - 7 = 0.
Tính:
( )( )
4
2
4
1
3
2
3
1
1221
21
21
2
2
2
1
xxF ;xxE
;x3xx3xD ;
1x
1
1x
1
C
;xxB ;xxA
+=+=
++=


+

=
=+=
Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là
1x
1
và
1x
1
21

.
Bài 2: Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình: 5x
2
- 3x - 1 = 0. Không giải phơng
trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
.
x4xx4x
3xx5x3x
C
;
x
1
x

1
1x
x
x
x
1x
x
x
x
B
;x3x2xx3x2xA
2
2
1
2
21
2
221
2
1
2
211
2
1
2
2
1
2
1
2

21
3
22
2
1
3
1
+
++
=









+
++
+
+=
+=
Bài 3:
a) Gọi p và q là nghiệm của phơng trình bậc hai: 3x
2
+ 7x + 4 = 0. Không giải phơng
trình hãy thành lập phơng trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là
1p

q
và
1q
p

.
b) Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là
2610
1
và
7210
1
+
.
Bài 4: Cho phơng trình x
2
- 2(m -1)x - m = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm x
1
; x
2
với mọi m.
b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mãn
1
22
2
11
x
1
xy và

x
1
xy +=+=
.
Bài 5: Không giải phơng trình 3x
2
+ 5x - 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
8
Các chuyên đề ôn thi vào 10
( )( )
2
2
1
1
21
1
2
2
1
1221
x
2x
x
2x
D ;xxC
;
1x
x
1x
x

B ;2x3x2x3xA
+
+
+
==

+

==
Bài 6: Cho phơng trình 2x
2
- 4x - 10 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Không giải phơng trình
hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn: y
1
= 2x
1
- x
2
; y
2
= 2x
2

- x
1
Bài 7: Cho phơng trình 2x
2
- 3x - 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phơng trình
ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:







=
=



+=
+=
1
2

2
2
2
2
1
1
22
11
x
x
y
x
x
y
b)
2xy
2xy
a)
Bài 8: Cho phơng trình x
2
+ x - 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phơng trình ẩn
y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:






=+++
+=+







+=+
+=+
0.5x5xyy
xxyy
b) ;
3x3x
y
y
y
y
x
x
x
x
yy
a)

21
2
2
2
1
2
2
2
121
21
1
2
2
1
1
2
2
1
21
Bài 9: Cho phơng trình 2x
2
+ 4ax - a = 0 (a tham số, a 0) có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy
lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2

thoả mãn:
21
2121
21
xx
y
1
y
1
và
x
1
x
1
yy +=++=+
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô
nghiệm.
Bài 1:
a) Cho phơng trình (m - 1)x
2
+ 2(m - 1)x - m = 0 (ẩn x).
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Cho phơng trình (2m - 1)x
2
- 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
c) Cho phơng trình: (m - 1)x
2
- 2mx + m - 4 = 0.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm.

- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
d) Cho phơng trình: (a - 3)x
2
- 2(a - 1)x + a - 5 = 0.
Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2:
a) Cho phơng trình:
( )
06mm
1x
x12m2
12xx
4x
2
224
2
=+
+


++
. Xác định m để phơng
trình có ít nhất một nghiệm.
b) Cho phơng trình: (m
2
+ m - 2)(x
2
+ 4)
2
- 4(2m + 1)x(x

2
+ 4) + 16x
2
= 0. Xác định
m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 thoả mãn
điều kiện cho trớc.
Bài 1: Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
3) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dơng (cùng âm).
5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
9
Các chuyên đề ôn thi vào 10
6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 2x
1
- x
2
= - 2.
7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1

; x
2
sao cho A = 2x
1
2
+ 2x
2
2
- x
1
x
2
nhận
giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) (m + 1)x
2
- 2(m + 1)x + m - 3 = 0 ; (4x
1
+ 1)(4x
2
+ 1) = 18
b) mx
2
- (m - 4)x + 2m = 0 ; 2(x
1
2
+ x
2
2

) = 5x
1
x
2
c) (m - 1)x
2
- 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
2
x
2
2
d) x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ 2 = 0 ; 3x
1
x
2
- 5(x
1
+ x
2

) + 7 = 0.
Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) x
2
+ 2mx - 3m - 2 = 0 ; 2x
1
- 3x
2
= 1
b) x
2
- 4mx + 4m
2
- m = 0 ; x
1
= 3x
2
c) mx
2
+ 2mx + m - 4 = 0 ; 2x
1
+ x
2
+ 1 = 0
d) x
2
- (3m - 1)x + 2m
2
- m = 0 ; x
1

= x
2
2
e) x
2
+ (2m - 8)x + 8m
3
= 0 ; x
1
= x
2
2
f) x
2
- 4x + m
2
+ 3m = 0 ; x
1
2
+ x
2
= 6.
Bài 4:
a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x
2
- (2m - 1)x - 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để ph-
ơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2

sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
b) Ch phơng trình bậc hai: x
2
- mx + m - 1 = 0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
x
1
; x
2
sao cho biểu thức
)xx2(1xx
3x2x
R
21
2
2
2
1
21
+++
+
=
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị
lớn nhất đó.
c) Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây bằng 2.
mx
2
- (m + 3)x + 2m + 1 = 0.
Bài 5: Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0).

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp
đôi nghiệm kia là 9ac = 2b
2
.
Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0). Chứng minh rằng điều kiện
cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là :
kb
2
= (k + 1)
2
.ac
Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số.
Bài 1:
a) Cho phơng trình x
2
- (2m - 3)x + m
2
- 3m = 0. Xác định m để phơng trình có hai
nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 1 < x
1
< x
2
< 6.
b) Cho phơng trình 2x

2
+ (2m - 1)x + m - 1 = 0. Xác định m để phơng trình có hai
nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thoả mãn: - 1 < x
1
< x
2
< 1.
Bài 2: Cho f(x) = x
2
- 2(m + 2)x + 6m + 1.
a) Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) =
0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x
2
+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
a) Với giá trị nào của tham số a, phơng trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn - 1.
Bài 4: Cho phơng trình: x
2
+ 2(m - 1)x - (m + 1) = 0.
a) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn
hơn 1.
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài 5: Tìm m để phơng trình: x
2

- mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x
1
- 2 x
2
.
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ
thuộc tham số.
Bài 1:
a) Cho phơng trình: x
2
- mx + 2m - 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của
phơng trình không phụ thuộc vào tham số m.
b) Cho phơng trình bậc hai: (m - 2)x
2
- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0. Khi phơng trình có
nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
10
Các chuyên đề ôn thi vào 10
c) Cho phơng trình: 8x
2
- 4(m - 2)x + m(m - 4) = 0. Định m để phơng trình có hai
nghiệm x
1
; x
2
. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các
nghiệm đối với hai số - 1 và 1.
Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m - 1)
2
x

2
- (m - 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phơng trình có
nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 3: Cho phơng trình: x
2
- 2mx - m
2
- 1 = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào m.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn:
2
5
x
x
x
x
1

2
2
1
=+
.
Bài 4: Cho phơng trình: (m - 1)x
2
- 2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải và biện luận phơng trình theo m.
b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
:
- Tìm một hệ thức giữa x
1
; x
2
độc lập với m.
- Tìm m sao cho |x
1
- x
2
| 2.
Bài 5: Cho phơng trình (m - 4)x
2
- 2(m - 2)x + m - 1 = 0. Chứng minh rằng nếu phơng
trình có hai nghiệm x
1
; x

2
thì: 4x
1
x
2
- 3(x
1
+ x
2
) + 2 = 0.
Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc hai.
Kiến thức cần nhớ:
1/ Định giá trị của tham số để phơng trình này có một nghiệm bằng k (k 0) lần một
nghiệm của phơng trình kia:
Xét hai phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
ax
2
+ bx + c = 0 (2)
trong đó các hệ số a, b, c, a, b, c phụ thuộc vào tham số m.
Định m để sao cho phơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k 0) lần một nghiệm của
phơng trình (1), ta có thể làm nh sau:
i) Giả sử x
0
là nghiệm của phơng trình (1) thì kx
0
là một nghiệm của phơng trình
(2), suy ra hệ phơng trình:

(*)
0c'kxb'xka'
0cbxax
0
2
0
2
0
2
0





=++
=++
Giải hệ phơng trình trên bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m.
ii) Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và (2) để kiểm tra lại.
2/ Định giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau.
Xét hai phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (3)
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (4)
Hai phơng trình (3) và (4) tơng đơng với nhau khi và chỉ khi hai phơng trình có cùng 1
tập nghiệm (kể cả tập nghiệm là rỗng).
Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau

ta xét hai trờng hợp sau:
i) Trờng hợp cả hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức là:





<
<
0
0
)4(
)3(
Giải hệ trên ta tịm đợc giá trị của tham số.
ii) Trờng hợp cả hai phơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:







=
=


(4)(3)
(4)(3)
(4)
(3)

PP
SS
0
0
11
Các chuyên đề ôn thi vào 10
Chú ý: Bằng cách đặt y = x
2
hệ phơng trình (*) có thể đa về hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn
nh sau:



=+
=+
c'ya'xb'
caybx
Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm nh sau:
- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m.
- Tìm m thoả mãn y = x
2
.
- Kiểm tra lại kết quả.
Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x
2
- (3m + 2)x + 12 = 0
4x
2
- (9m - 2)x + 36 = 0

Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm
chung đó:
a) 2x
2
+ (3m + 1)x - 9 = 0; 6x
2
+ (7m - 1)x - 19 = 0.
b) 2x
2
+ mx - 1 = 0; mx
2
- x + 2 = 0.
c) x
2
- mx + 2m + 1 = 0; mx
2
- (2m + 1)x - 1 = 0.
Bài 3: Xét các phơng trình sau:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
cx
2
+ bx + a = 0 (2)
Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm
chung duy nhất.
Bài 4: Cho hai phơng trình:
x
2
- 2mx + 4m = 0 (1)

x
2
- mx + 10m = 0 (2)
Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một
nghiệm của phơng trình (1).
Bài 5: Cho hai phơng trình:
x
2
+ x + a = 0
x
2
+ ax + 1 = 0
a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung.
b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài 6: Cho hai phơng trình:
x
2
+ mx + 2 = 0 (1)
x
2
+ 2x + m = 0 (2)
a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phơng trình tơng đơng.
c) Xác định m để phơng trình (x
2
+ mx + 2)(x
2
+ 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 7: Cho các phơng trình:
x

2
- 5x + k = 0 (1)
x
2
- 7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các
nghiệm của phơng trình (1).
Một số bài làm thêm
Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh sau:
a) 2x
2
+ 5x = 0 b) 2x
2
- 1 = 0 c) x
2
+ 5 = 0
d) 2x
2
- 3x - 5 = 0 e) x
2
-(
2
+ 1)x +
2
=0 f) 2x
4
- 7x
2
- 4 = 0
Bi 2: Tỡm m cỏc phng trỡnh sau cú nghim kộp:

a) 3x
2
+ (m + 1)x + 4 = 0 c) 5x
2
+ 2mx - 2m + 15 = 0
b) mx
2
- 2(m - 1)x + 2 = 0 d) mx
2
- 4(m - 1)x - 8 = 0.
Bi 3: Tỡm m cỏc phng trỡnh sau cú nghim :
a) 2x
2
- (4m + 3)x + 2m
2
- 1 = 0
b) mx
2
+ (2m - 1)x + m + 2 = 0
Bi 4: Tỡm m cỏc phng trỡnh sau cú 2 nghim phõn bit:
a) x
2
- 2(m + 3)x + m
2
+ 3 = 0 b) (m + 1)x
2
+ 4mx + 4m - 1 = 0
12
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
Bài 5: Với giá trị nào của m thì phương trình:

a) x
2
+ 2mx - 3m + 2 = 0 có 1 nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) 4x
2
+ 3x - m
2
+ 3m = 0 có 1 nghiệm x = -2. Tìm nghiệm còn lại.
c) mx
2
-
1
2
x - 5m
2
= 0 có 1 nghiệm x = -2. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 6: Không giải phương trình x
2
- 2x - 15 = 0. Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phương
trình. Tính
a) x
1
2
+ x
2
2

b)
2 2
1 2
1 1
x x
+
c) x
1
3
+ x
2
3
d) x
1
2
- x
2
2
e) (x
1
- x
2
)
2
g)
2 2
1 2
2 2
1 2 1 2
3 3 3x x

x x x x
+ −
+
h)
2
1
3 3
1
2 1 2
x x

x x x x
+
− −
Bài 7: Lập phương trình có hai nghiệm là x
1
, x
2
được cho trong mỗi trường hợp sau:
a) x
1
= - 4, x
2
= 7; b) x
1
= -
5
, x
2
= 3 +

5
; c) x
1
. x
2
= 4;
17
2 2
1 2
x + x
=
;
Bài 8: Cho phương trình: x
2
+ px - 5 = 0 có nghiệm là x
1
, x
2
. Hãy lập phương trình có
hai nghiệm là hai số được cho trong các trường hợp sau:
a) - x
1
và - x
2
b)
1
1
x
và
2

1
x
Bài 9: Cho phương trình x
2
+ (m - 3)x - 2m + 2 = 0.
a) Tìm giá trị của m để :
a
1
) phương trình có nghiệm x = -5. Tìm nghiệm còn lại.
a
2
) phương trình có hai nghiệm phân biệt.
a
3
) phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
a
4
) Phương trình có 2 nghiệm cùng dương.
a
5
) Phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
a
6
) Phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả 2x
1
+ x

2
= 3
a
7
) Phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả (x
1
- x
2
)
2
= 4
b) Viết một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình độc lập với tham số
m.
Bài 10: Cho phương trình x
2
+ 2(m - 1)x - 2m + 5 = 0. Định m để :
a) Phương trình có nghiệm.
b) Phương trình có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả :
α
) x
1
+ 2x

2
= 9
β
) x
1
+ x
2
+ 2x
1
x
2

≤
6
γ
) A = 12 - 10x
1
x
2
+ (x
1
2
+ x
2
2
) đạt GTNN.
Bài 11: Cho phương trình: (m - 2)x
2
- 3x + m + 2 = 0
a) Giải phương trình với m = 1.

b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
c) Giải và biện luận phương trình trên.
Bài 12: Cho phương trình: x
2
- mx - 2(m
2
+ 8) = 0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm để:
a)
2 2
1 2
52x x
+ =
b)
2 2
1 2
x x
+
đạt GTNN. Tìm GTNN này.
Bài 13: Cho phương trình: x
2
- mx - 7m + 2 = 0.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại.
13
Các chuyên đề ôn thi vào 10
b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim trỏi du.
c)Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x
1
, x
2

tho : 2x
1
+ 3x
2
= 0.
d) Tỡm m nguyờn biu thc
1 2
1 2
.
1
x x
A =
x x+
nhn giỏ tr nguyờn.
Bi 14: Cho phng trỡnh: x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
- 3m + 2 = 0.
a) nh m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit.
b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x
1
,x
2
tha món:
2 2
1 2
x x+
= 16 .
c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim cựng du. Khi ú hai nghim ca phng

trỡnh cựng du õm hay cựng du dng?
Bi 15: Cho phng trỡnh: x
2
- 2(m + 2)x + 6m + 1 = 0.
a) Gii phng trỡnh vi m = - 1.
b)Chng minh phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m.
c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim cựng dng.
d)Tỡm h thc liờn h gia cỏc nghim x
1
, x
2
ca phng trỡnh khụng ph thuc vo
m.
Bi 16: Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)
1 3 0x x
=
b) x
4
- 7x
2
- 144 = 0.
c) 2x
4
- x
3
- 6x
2
- x + 2 = 0 d)
15 3 6x x

+ =
Chủ đề 3: Hệ phơng trình
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn.
Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản
Bài 1: Giải các hệ phơng trình
3x 2y 4 4x 2y 3
1) ; 2) ;
2x y 5 6x 3y 5
2x 3y 5 3x 4y 2 0
3) 4) ;
4x 6y 10 5x 2y 14
2x 5y 3 4x 6y 9
5) ; 6)
3x 2y 14 10x 15y 18
= =


+ = =

+ = + =


+ = + =

+ = =


= =

Bài 2: Giải các hệ phơng trình sau:

( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )







=
+
+
=
+
+








=+
+

+
=+




+=+
+=+



=+
=+
5
6y5x
103y-6x
8
3yx
2-5y7x
4) ;
7
5x6y
y
3
1x
2x
4
27y
5
3
5x-2y
3)
;

121x3y33y1x
543y4x42y3-2x
2) ;
4xy5y54x
6xy32y23x
1)
Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phơng trình sau
14
Các chuyên đề ôn thi vào 10
( )
( )





=++++
=+





=++
=++








=
+


=
+
+

+







=
+

+
=
+

+








=
+

+
=
+
+
+
13.44yy548x4x2
72y31x5
5) ;
071y22xx3
01y2xx2
4)
;
4
2y
5
1x
2
7
2y
3y
1x
1x
3) ;

9
4y
5
1x
2x
4
4y
2
1x
3x
2) ;
1
2xy
3
2yx
4
3
2xy
1
2yx
2
1)
22
2
2
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc
Bài 1: Định m và n để hệ phơng trình sau có nghiệm là (2 ; - 1).
( )
( )




=++
=+
32m3nyx2m
nmy1n2mx
Định a và b biết phơng trình: ax
2
- 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2.
Bài 2: Định m để 3 đờng thẳng sau đồng quy:
a) 2x - y = m ; x = y = 2m ; mx - (m - 1)y = 2m - 1
b) mx + y = m
2
+ 1 ; (m + 2)x - (3m + 5)y = m - 5 ; (2 - m)x - 2y = - m
2
+ 2m - 2.
Bài 3: Cho hệ phơng trình
số) thamlà (m
4myx
m104ymx



=+
=+
a) Giải hệ phơng trình khi m =
2
.
b) Giải và biện luận hệ theo m.
c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0,

y > 0.
d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên d-
ơng.
e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x
2
- y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
(câu hỏi tơng tự với S = xy).
f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm
trên một đờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bài 4: Cho hệ phơng trình:
( )



+=
=
5my2x
13mmyx1m
Giải và biện luận hệ theo m.
Với các giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y <
0.
Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x
2

+ 2y = 0. (Hoặc: sao cho M
(x ; y) nằm trên parabol y = - 0,5x
2
).
Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm D(x ; y) luôn luôn nằm
trên một đờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bài 5: Cho hệ phơng trình:



=
=+
12ymx
2myx
Giải hệ phơng trình trên khi m = 2.
Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0.
Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên.
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x - y đạt giá trị lớn nhất.
Một số hệ bậc hai đơn giản:
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I
15
Các chuyên đề ôn thi vào 10
Ví dụ: Giải hệ phơng trình
( )



=+++
=++
28yx3yx

11xyyx
22
Giải các hệ phơng trình sau:
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( )





=+
=+





=+
=






=+
=++





=+
+=++



=+
=++



=++++
=++





=+
=+



=+

=++



=++
=++





=++
=+++
35yyxx
30xyyx
10)
5xyyx5
6yxyx
9)
yx7yxyx
yx19yxyx
8)
6yx
232yxyx
7)
31xyyx
101y1x
6)
17xy1yy1xx
81y1x

5)
133yxy3x
1y3xyx
4)
84xyyx
19yxxy
3)
2yxyx
4yxyx
2)
7xyyx
8yxyx
1)
22
2
22
2
22
22
22
22
22
22
22
22
22
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II
Ví dụ: Giải hệ phơng trình






=+
=+
x21y
2y1x
3
3
Bài tập tơng tự:
Giải các hệ phơng trình sau:





+=
+=





=
=






+=
+=







=+
=+







=
=





+=
+=






=++
=++





+=
+=





=+
=+





=+
=+
3x7yy
3y7xx
10)
x3yy
y3xx

9)
8x3yy
8y3xx
8)
y
3
x
1
2y
x
3
y
1
2x
7)
y
x
43xy
x
y
43yx
6)
x2y2xy
y2x2yx
5)
1yxyx
1yxyx
4)
x2yy
y2xx

3)
x2xy
y2yx
2)
3x1y
3y1x
1)
3
3
2
2
3
3
22
22
2
2
3
3
22
22
2
2
Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số
Giải các hệ phơng trình sau:
16
Các chuyên đề ôn thi vào 10
2 2
2
2 2

2
2
1 0
12
1) 2)
3 0
8
2 4 4 2 2 11 0
3) 4)
4
2 5 4
2
5)
x y
x xy y
x xy
xy x y
xy x x x y xy
xy y x
x xy y x
x
+ =

=



+ + =
+ =





+ = + + =



+ =
+ =



( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
2
2 2
2 2
3 5 0 5 3 8
6)
5 0 2 3 12
2 2 0
0
7) 8)
2 0 2 0
2 1
9)
2 2 2 0
y x y x y x y
x y x y

x y
x y
y x x y
x y xy
x y xy y

+ + = + =


= + =


+ =

=

= + =


+ =


+ =



Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x - 5 ; b) y = - 0,5x + 3

Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax
2
khi:
a) a = 2 ; b) a = - 1.
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng
Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết:
(d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5)
(d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đờng thẳng () : y = 2x - 1/5.
(d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đờng thẳng (d): y = -1/2x + 3.
(d) đi qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dơng trục Ox một góc 30
0
.
(d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đờng thẳng
(): y = 2x - 3; (): y = 7 - 3x tại một điểm.
(d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dài).
Bài 2: Gọi (d) là đờng thẳng y = (2k - 1)x + k - 2 với k là tham số.
a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6).
b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y - 5 = 0.
c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = 0.
d) Chứng minh rằng không có đờng thẳng (d) nào đi qua điểm A(-1/2 ; 1).
e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol
Bài 1:
a) Biết đồ thị hàm số y = ax
2
đi qua điểm (- 2 ; -1). Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó.
b) Gọi A và B là hai điểm lần lợt trên (P) có hoành độ lần lợt là 2 và - 4. Tìm toạ độ
A và B từ đó suy ra phơng trình đờng thẳng AB.
Bài 2: Cho hàm số
2

x
2
1
y =
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P).
Bài 3:
Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P):
2
x
4
1
y =
và đờng thẳng (D): y = mx -
2m - 1.
a) Vẽ độ thị (P).
17
Các chuyên đề ôn thi vào 10
b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
Bài 4: Cho hàm số
2
x
2
1
y =
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1. Viết phơng trình đờng
thẳng MN.
c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng

MN và chỉ cắt (P) tại một điểm.
Bài 5:
Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax
2
(a 0) và đờng thẳng (D): y = kx +
b.
1) Tìm k và b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; - 1).
2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc ở câu 1).
3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc ở câu 1) và câu 2).
4) Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm






1;
2
3
C
và có hệ số góc m
a) Viết phơng trình của (d).
b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và
vuông góc với nhau.
HàM Số BậC NHấT
Bài 1: Cho hàm số:
(3 2) 1y x
= +
a) Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?
b) Tính giá trị của y biết

3 2x = +
c) Tính giá trị của x biết
3 2y
= +
Bài 2: Cho hàm số: y = x + 2.
a) Vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Các điểm sau có thuộc đồ thị hàm số trên không?

3 7 1 5
( ; ) ( ; )
2 2 2 2
A , B

Bài 3: Cho hàm số: y = (m + 1)x + 5
a) Vẽ đồ thị hàm số trên với m = 1.
b) Tìm m để hàm số đồng biến; nghịch biến.
Bài 4: Cho hàm số: y = (m
2
- 3)x + 2 có đồ thị (d).
a) Tìm m để hàm số đồng biến; nghịch biến?
b) Vẽ (d) với m = 2.
c) Tìm m để (d) đi qua A(1; 2).
d) Tìm m để (d) đi qua B(1; 8).
Bài 5: Cho hàm số: y = (m - 1)x + m + 1 có đồ thị (d).
a) Tìm m để (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Vẽ (d) với m vừa tìm đợc.
b) Tìm m để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3. Vẽ (d) với m vừa tìm
đợc.
c

) Tìm m biết (d) tạo với trục hoành một góc bằng 45

0
.
Bài 6: Viết phơng trình đờng thẳng (d), biết (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3
và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2.
Bài 7: Viết hàm số bậc nhất y = ax + b biết hàm số:
a) Có hệ số b bằng
3
và song song với đờng thẳng (d): 2x - y + 1 = 0.
b) Có đồ thị đi qua A(3; 2) và B(1; -1)
c) Có đồ thị đi qua C(2; -1) và vuông góc với đờng thẳng (d): y = 3x + 1.
Bài 8: Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A( -2; 1) và đi qua điểm M thuộc đờng
thẳng (d): 2x + y = 3 có hoành độ bằng
1
2
.
Bài 9: Xác định m để đờng thẳng y = x + m + 1 tạo với các trục tọa độ 1 tam giác có
diện tích bằng 8 (đvdt).
18
Các chuyên đề ôn thi vào 10
Bài 10: Cho hệ phơng trình:
2
2 1
x my
mx y
+ =


=

a) Giải hệ phơng trình với m = 2.

b) Tìm số nguyên m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0; y < 0.
Bài 11: Cho hệ phơng trình:
2 5
3 1
mx y
mx y
+ =


+ =

a) Giải hệ phơng trình với m = 1.
b) Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m.
Bài 12: Cho 3 đờng thẳng (d
1
): x + y = 1; (d
2
): x - y = 1; (d
3
): (a+1)x + (a - 1)y = a + 1
a) Với giá trị nào của a thì (d
1
) vuông góc với (d
3
).
b) Tìm a để 3 đờng thẳng trên đồng quy.
c) CMR khi a thay đổi, đờng thẳng (d
3
) luôn đi qua 1 điểm cố định.
Bài 13: Trong hệ tọa độ Oxy cho 3 điểm A(2; 5), B(-1; -1) và C(4; 9).

a) Viết phơng trình đờng thẳng BC.
b) CMR 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
c) CMR các đờng y = 3; 2y + x - 7 = 0 và đờng thẳng BC đồng quy.
HàM Số bậc hai
Bài 1: Cho hàm số: y = ax
2
(a 0) có đồ thị (P).
a) Xác định a biết (P) đi qua A(-3; 12)
b) Với a vừa tìm đợc:
b
1
) Vẽ đồ thị (P).
b
2
) Tìm các điểm B, C thuộc (P) có hoành độ lần lợt là:
1
2

và 2.
b
3
) Các điểm sau có thuộc (P) hay không?

( )
1 2
;
2 3
D , E 6; 48

ữ


Bài 2: Cho hàm số:
2
3
2
y = f(x) = x

có đồ thị (P) và hàm số:
2
1
y = x
2

có đồ thị (d).
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
c) Không tính, hãy so sánh:
c
1
) f(-2) và f(-3) c
2
)
(1 2)f

và
( 3 2)f

Bài 3: Cho hàm số: y = (m
2
- 4)x

2
.
a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x < 0.
b) Vẽ đồ thị hàm số trên với
3
2
m

=
.
c) Với m cho ở câu b), hãy tìm GTLN, GTNN của hàm số với -3 x 1
Bài 4: Cho hàm số: y = ax
2
(a 0) có đồ thị (P).
a) Tìm a biết (P) đi qua
4
( 2; )
3
M
.
b) Với a vừa tìm đợc, hãy:
b
1
) Tìm giá trị của y biết x = -3.
b2) Tìm giá trị của x biết y = 13.
b3) Tìm các điểm A thuộc (P) có tung độ gấp đôi hoành độ.
Bài 5: Cho hàm số:
2
1
2

y = x

có đồ thị (P).
a) Tìm các điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lợt bằng -1 và 2.
b) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
c) Viết phơng trình đờng thẳng song song với AB và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp
điểm.
19
Các chuyên đề ôn thi vào 10
Bài 6: Cho hàm số: y = (m + 1)x
2
có đồ thị (P).
a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x > 0.
b) Với m = - 2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với đờng thẳng (d): y = 2x - 3.
c) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d): y = 2x - 3. Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 7: Chứng tỏ đờng thẳng (d) luôn tiếp xúc với Parabol (P) biết:
a) (d): y = 4x - 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = 2x - 1; (P): y = x
2
.
Bài 8:
8.1) Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt:
a) (d): y = 3x - 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = - 4x + 3; (P): y = 4x
2
.

8.2) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) trong các trờng hợp trên.
Bài 9: Cho Parabol (P) có phơng trình: y = ax
2
và hai đờng thẳng sau:
(d
1
):
4
1
3
y x
=
(d
2
): 4x + 5y - 11 = 0
a) Tìm a biết (P), (d
1
), (d
2
) đồng quy.
b) Vẽ (P), (d
1
), (d
2
) trên cùng hệ trục tọa độ với a vừa tìm đợc.
c) Tìm tọa độ giao điểm còn lại của (P) và (d
2
).
d) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) và vuông góc với (d
1

).
Bài 10: Cho Parabol (P):
2
1
2
y x
=
và đờng thẳng (d): y = 2x + m + 1.
a) Tìm m để (d) đi qua điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng - 2.
b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm
c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dơng.
d) Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x
1
x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
1 1 1
2x x
+ =
Bài 11: Cho hàm số: y = ax
2
có đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1có đồ thị (d).
a) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm M cố định.
b) Tìm a để (P) đi qua điểm cố định đó.
c) Viết phơng trình đờng thẳng qua M và tiếp xúc với Parabol (P).
Bài 12: Cho hàm số:
2
1

2
y x
=
có đồ thị (P) và đờng thẳng (d):
3
2
2
y x=
a) Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm tọa độ giao điểm A và B của (d) và (P). Tính chu vi AOB.
c) Tìm tọa độ điểm C thuộc Ox để chu vi tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 13: Cho Parabol (P): y = ax
2
.
a) Tìm a biết (P) đi qua điểm A thuộc đờng thẳng (d):
1 1
4 2
y x= +
có hoành độ bằng
2.
b) Tìm giao điểm B còn lại của (d) và (P).
c) Tìm tọa độ điểm C thuộc cung AB của (P) để diện tích ABC đạt giá trị lớn nhất.
Bài 14: Cho hàm số:
2
1
2
y x
=
có đồ thị (P).
a) Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2.

b) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
c) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) và vuông góc với AB.
Tìm tọa độ tiếp điểm.
d) Tìm điểm C thuộc cung AB của (P) sao cho tam giác ABC cân tại C.
Bài 15: Cho hàm số:
2
1
4
y x
=
có đồ thị (P) và đờng thẳng (d):
1
3
2
y x=
.
a) Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
20
Các chuyên đề ôn thi vào 10
c) Viết phơng trình đờng thẳng qua M và tiếp xúc với (P) trong các trờng hợp sau:
c
1
)
1
( ;1)
2
M
c
2

) M(-1;1)
Bài 16: Cho hàm số:
2
1
2
y x
=
có đồ thị (P).
a) Chứng minh đờng thẳng (d): y = 2x - 2 luôn tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp
điểm.
b) Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ.
c) Tìm m để đờng thẳng (d): y = 3mx - 2 luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
d) Tìm những điểm thuộc (P) cách đều hai trục tọa độ.
Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng
trình
Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính đến dòng nớc chảy)
Bài 1:
Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ.
Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu.
Bài 2: Một ngời đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trớc. Sau
khi đợc
3
1
quãng đờng AB ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng còn lại.
Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đờng, biết rằng ngời đó đến B sớm hơn
dự định 24 phút.
Bài 3:
Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngợc
từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách

giữa hai bến A và B. Biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc
xuôi và lúc ngợc bằng nhau.
Bài 4:
Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngợc về 36 km. Biết thời gian xuôi
dòng sông nhiều hơn thời gian ngợc dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc
khi ngợc dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngợc dòng.
Dạng 2: Toán làm chung - làn riêng (toán vòi nớc)
Bài 1:
Hai ngời thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nừu ngời thứ
nhất làm trong 5 giờ và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc ắ công
việc. Hỏi một làm công việc đó trong mấy giờ thì xong?
Bài 2:
Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì đợc
5
4
hồ. Nếu vòi A chảy trong 3 giờ
và vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì đợc
2
1
hồ. Hỏi nếu chảy một mình mỗI vòi chảy
trong bao lâu mới đầy hồ.
Bài 3:
Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một
mình cho đầy bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi
chảy một mình đầy bể?
Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm.
Bài 1:
Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vợt
mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng
giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy?.

Bài 2:
21
Các chuyên đề ôn thi vào 10
Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu ngời. Dân số tỉnh A năm nay
tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000 ng -
ời. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay?
Dạng 4: Toán có nội dung hình học.
Bài 1:
Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Ngời ta làm lối đi xung quanh vờn
(thuộc đất trong vờn) rộng 2 m. Tính kích thớc của vờn, biết rằng đất còn lại trong vờn
để trồng trọt là 4256 m
2
.
Bài 2:
Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện
tích tăng 500 m
2
. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm
600 m
2
. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.
Bài 3:
Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích
tam giác tăng 50 cm
2
. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm
2
.
Tính hai cạnh góc vuông.
Dạng 5: Toán về tìm số.

Bài 1:
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng
chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
Bài 2:
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số
cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì đợc thơng là 4 và số d là 3.
Bài 3:
Nếu tử số của một phân số đợc tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số
bằng
4
1
. Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng
24
5
. Tìm phân
số đó.
Bài 4:
Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1 vào
cả tử và mẫu, phân số tăng
2
3
. Tìm phân số đó.
Một số bài làm thêm
Bài 1: Một mô tô đi từ A đến B trong thời gian đã định. Nếu vận tốc xe tăng 3km/h thì
đến B sớm 2h. Nếu vận tốc xe giảm 3km/h thì đến B chậm 3h. Tính quãng đờng AB?.
Bài 2: Có 2 đội công nhân sửa đoạn đờng dài 10km. Nếu làm riêng thì thời gian đội 1
làm nhiều hơn đội 2 là 1ngày. Hỏi trong 1 ngày mỗi đội làm đợc bao nhiêu km đờng?
Biết rằng cả 2 đội làm đợc 4,5km trong 1 ngày.
Bài 3: Lúc 7 giờ có 1 xe đạp đi từ A dến B, 8 giờ 30 phút có một xe mô tô đi từ B đến A.
Một lúc sau họ gặp nhau rồi tiếp tục cuộc hành trình của mình. Nửa giờ sau khi gặp

nhau ngời đi mô tô về đến A và 2 giờ sau xe đạp về đến B. Hỏi mỗi ngời đi hết quãng đ-
ờng AB mất bao lâu?.
Bài 4: Hai vật A và B chuyển động đều trên hai cạnh góc vuông hớng về đỉnh góc
vuông. Khi cha chuyển động vật A và B cách đỉnh góc vuông lần lợt là 60m và 80m. Khi
cho hai vật chuyển động cùng một lúc, sau 3 giây thì khoảng cách giữa hai vật là 70m;
sau 2 giây tiếp theo thì khoảng cách giữa hai vật giảm đi 20m. Tính vận tốc mỗi vật theo
m/s?.
Bài 5:
Hai ngời cùng làm chung một công việc trong 4 giờ thì hoàn thành 2/3 công việc. Nếu
để mỗi ngời làm riêng, thì ngời thứ nhất làm xong công việc trớc ngời thứ hai là 5 giờ.
Hỏi để làm xong công việc thì mỗi ngời phải làm trong bao lâu?
Bài 6:
Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi lại chạy ngợc dòng từ B về A mất tất cả 4
giờ. Tính vận tốc ca nô khi nớc yên lặng? Biết rằng quãng sông AB dài 30km và vận tốc
dòng nớc là 4km/h.
22
Các chuyên đề ôn thi vào 10
Bài 7:Một giải bóng đá đợc tổ chức theo thể thức đấu vòng tròn một lợt tức là mỗi đội
đợc đấu với một đội khác một lần để xếp hạng. Có tất cả 15 trận đấu. Hỏi có bao nhiêu
đội thi đấu bóng đá?
Bài 8:Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số
của nó thì đợc thơng là 4 và d là 3; còn nếu đem số đó chia cho tích các chữ số của nó
thì đợc thơng là 3 và d là 5.
Bài 9: Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có
một chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3km/h. Sau khi đến B ca nô trở về bến A ngay và
gặp bè khi bè đã trôi đợc 8km. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết thời gian ca nô đi cho
đến khi gặp bè là 2 giờ 40 phút.
Bài 10: Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 30km/h. Sau đó một thời gian một xe con
cũng xuất phát từ A với vận tốc 40km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp ô tô tải
tại B. Nhng khi đi đợc nửa quãng đờng AB thì xe con tăng vận tốc thành 45km/h nên sau

đó 1 giờ thì đuổi kịp ô tô tải. Tính quãng đờng AB?
Bài 11 : Hai canô cùng khởi hành đi từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngợc
chiều nhau. Sau 1h40 phút thì hai canô gặp nhau . tính vận tốc thực của mỗi canô, biết
rằng vận tốc của canô đi xuôi dòng thì lớn hơn vận tốc của canô đi ngợc dòng là 9 km/h
và vận tốc dòng nớc là 3 km/h .
Bài 12: Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1 cm Nếu tăng chiều dài
thêm
1
4
của nó thì diện tích của hình chữ nhật đó tăng lên 3 cm
2
. Tính diện tích hình
chữ nhật lúc đầu?
Bài 13: Trên một đoạn đờng AB, một xe đạp đi từ A cùng một lúc với một Ôtô đi từ B và
đi ngợc chiều nhau . Sau 3 giờ hai xe gặp nhau và tiếp tục đi thì Ôtô đến A sớm hơn xe
đạp đến B là 8 giờ . Hỏi thời gian mỗi xe đi hết quãng đờng AB .
Bài 14: Chia một số có hai chữ số cho tổng hai chữ số của nó đợc thơng là 6 và d là 2 .
Nếu chia số đó cho tích hai chữ số của nó thì đợc thơng là 5 và d là 2. Tìm số đó ?
Bài 15: Hai đội cùng làm việc trong 12 giờ thì xong một công việc . Nếu để riêng đội
thứ nhất làm một nữa công việc rồi nghỉ, đội thứ hai làm tiếp cho đến lúc hoàn thành
công việc thì thời gian tổng cộng là 25 giờ. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì hoàn thành
công việc trong bao lâu?
Bài 16: Hai địa điểm A,B cách nhau 60 km. Ngời đi xe đạp khởi hành từ A đến B, rồi
quay về A nh vận tốc ban đầu ; nhng sau khi đi từ B đợc 1 giờ thì nghỉ mệt 20 phút rồi đi
tiếp về A với vận tốc tăng thêm 4 km/h. Tính vận tốc ban đầu, biết thời gian đi và về nh
nhau.
Chủ đề 6: Phơng trình quy về phơng trình bậc hai
Dạng 1: Phơng trình có ẩn số ở mẫu.
Giải các phơng trình sau:
1t

5t2t
t
1t
t
c)
12x
3x
3
x
12x
b)
6
1x
3x
2x
x
a)
22
+
+
=+


+
=+

=

+
+


Dạng 2: Phơng trình chứa căn thức.
23
Các chuyên đề ôn thi vào 10



=

=



=

=
2
BA
0B
BALoại
BA
0)(hayB 0A
BALoại
Giải các phơng trình sau:
( )
( )( )
( )
3xx1x e)
9x32x1x d) 1x53x2x c)
145x3x2x b) 1x113x2x a)

2
2
2
2
22

=+=+
+=+=
Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Giải các phơng trình sau:
3x44xx1x d) 4x xxx22xx c)
32xx12x2x b) 3xx1x a)
224224
22
=++=++++
++=+++=+
Dạng 4: Phơng trình trùng phơng.
Giải các phơng trình sau:
a) 4x
4
+ 7x
2
- 2 = 0 ; b) x
4
- 13x
2
+ 36 = 0;
c) 2x
4
+ 5x

2
+ 2 = 0 ; d) (2x + 1)
4
- 8(2x + 1)
2
- 9 = 0.
Dạng 5: Phơng trình bậc cao.
Giải các phơng trình sau bằng cách đa về dạng tích hoặc đặt ẩn phụ đa về phơng trình
bậc hai:
Bài 1:
a) 2x
3
- 7x
2
+ 5x = 0 ; b) 2x
3
- x
2
- 6x + 3 = 0 ;
c) x
4
+ x
3
- 2x
2
- x + 1 = 0 ; d) x
4
= (2x
2
- 4x + 1)

2
.
Bài 2:
a) (x
2
- 2x)
2
- 2(x
2
- 2x) - 3 = 0 ; c) (x
2
+ 4x + 2)
2
+4x
2
+ 16x + 11 = 0 ;
( ) ( )
7.3xx53xxk) 6
3x2x
13x
35x2x
2x
i)
0
x
4
3
x
10
x

48
3
x
h) 02433x2x513x2x3 g)
064xx
104xx
21
f) 04
5xx
3x
x
5xx
e)
023
x
1
x16
x
1
x4 d) 03xx2x xc)
22
22
2
2
2
2
2
2
22
2

2
222
+=++=
++
+
+
=






=++++
=+
+
=+
+
+
+
=+






+







+=++
Bài 3:
a) 6x
5
- 29x
4
+ 27x
3
+ 27x
2
- 29x +6 = 0
b) 10x
4
- 77x
3
+ 105x
2
- 77x + 10 = 0
c) (x - 4,5)
4
+ (x - 5,5)
4
= 1
d) (x
2
- x +1)

4
- 10x
2
(x
2
- x + 1)
2
+ 9x
4
= 0
24
Các chuyên đề ôn thi vào 10
Phần II: Hình học
Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình
Bài 1:
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn tâm O. D và E lần lợt là điểm chính giữa của
các cung AB và AC. DE cắt AB ở I và cắt AC ở L.
a) Chứng minh DI = IL = LE.
b) Chứng minh tứ giác BCED là hình chử nhật.
c) Chứng minh tứ giác ADOE là hình thoi và tính các góc của hình này.
Bài 2:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn có các đờng chéo vuông góc với nhau tại I.
a) Chứng minh rằng nếu từ I ta hạ đờng vuông góc xuống một cạnh của tứ giác thì đờng
vuông góc này qua trung điểm của cạnh đối diện của cạnh đó.
b) Gọi M, N, R, S là trung điểm của các cạnh của tứ giác đã cho. Chứng minh MNRS là
hình chữ nhật.
c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật này đi qua chân các đờng vuông góc
hạ từ I xuống các cạnh của tứ giác.
Bài 3:
Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v) có AH là đờng cao. Hai đờng tròn đờng kính AB

và AC có tâm là O
1
và O
2
. Một cát tuyến biến đổi đi qua A cắt đờng tròn (O
1
) và (O
2
) lần
lợt tại M và N.
a) Chứng minh tam giác MHN là tam giác vuông.
b) Tứ giác MBCN là hình gì?
c) Gọi F, E, G lần lợt là trung điểm của O
1
O
2
, MN, BC. Chứng minh F cách đều 4 điểm
E, G, A, H.
d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E vạch một đờng nh thế nào?
Bài 4:
Cho hình vuông ABCD. Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng tròn phía trong hình
vuông.Lấy AB làm đờng kính , vẽ 1/2 đờng tròn phía trong hình vuông. Gọi P là điểm
tuỳ ý trên cung AC ( không trùng với A và C). H và K lần lợt là hình chiếu của P trên AB
và AD, PA và PB cắt nửa đờng tròn lần lợt ở I và M.
a) Chứng minh I là trung điểm của AP.
b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui.
c) Chứng minh PM = PK = AH
d) Chứng minh tứ giác APMH là hình thang cân.
đ) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để tam giác APB là đều.
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng

tròn.
Bài 1: (Bài 1.5/53 - Nguyễn Tiến Quang)
Cho hai đờng tròn (O), (O') cắt nhau tại A, B. Các tiếp tuyến tại A của (O), (O') cắt (O'),
(O) lần lợt tại các điểm E, F. Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF.
a) Chứng minh tứ giác OAO'I là hình bình hành và OO'//BI.
b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' cùng thuộc một đờng tròn.
c) Kéo dài AB về phía B một đoạn CB = AB. Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp.
Bài 2: (Bài 65/52 - Ôn tập và kiểm tra hình học 9)
Cho tam giác ABC. Hai đờng cao BE và CF cắt nhau tại H.Gọi D là điểm đối xứng của
H qua trung điểm M của BC.
a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đợc trong một đờng tròn.Xác định tâm O của đ-
ờng tròn đó.
b) Đờng thẳng DH cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2 là I. Chứng minh rằng 5 điểm A, I, F,
H, E cùng nằm trên một đờng tròn.
Bài 3: (Bài 66/52 - Ôn tập và kiểm tra hình học 9)
Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tia OA cắt đờng tròn (O') tại C, tia
O'A cắt đờng tròn (O) tại D. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OO'CD nội tiếp.
b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ đó suy ra năm điểm O, O', B, C, D cùng nằm trên một đ-
ờng tròn.
Bài 4: (Bài 67/53 - Ôn tập và kiểm tra hình học 9)
25