CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 1
CHƯƠNG I THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Bài 1. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP V =
1
3
Bh

BÀI TẬP
TÍNH THỂ TÍCH CÁC KHỐI CHÓP SAU ĐÂY
Bài 1. Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AB = a, SA  (ABCD),
S
SAC
= 2a
2

Bài 2. Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SB 
(ABCD), S
SBD
= 5a
2
Bài 3. Hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi, AC = 2, BD = 6, SC
(ABCD), S
SCD
=25
Bài 4. Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, AB=6, BC=CA=5; SD
 (ABCD), SD = 3
Bài 5. Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = a,

CD = 3a, AD = a, SC  (ABCD), S
SBC
= 5a
2

Bài 6. ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng 4m
Bài 7. S.ABC là chóp tam giác đều, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 4a
Bài 8. S.ABCD là chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 6a

BÀI 2. XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH ĐƯỜNG CAO CỦA HÌNH CHÓP

TÓM TẮC LÝ THUYẾT
1. Đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau trong (P) thì d vuông
góc với (P)


 
d a (P)
d b (P) d (P)
a b O



   








CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 2
2. Hai đường thẳng song song nhau, đường thứ nhất vuông góc với mp(

) thì
đường thứ 2 vuông góc mp (

)
d
d d’

d ( )
d' ( )
d / /d'


  



3. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của
chúng vuông góc mp thứ 3

( ) (P)
( ) (P) d (P)
( ) ( ) d




   


   


4. Hai mp vuông góc nhau, trong mp thứ nhất, đường thẳng nào vuông góc với
giao tuyến thì đường thẳng đó vuông góc với mp thứ 2


( ) ( )
( ) ( ) d a ( )
a ( ),a d

  

      


  



5. Tỉ số thể tích. Hình chóp SABC có A’,B’,C’P lần lượt thuộc cạnh SA, SB, SC
Thì
SA B C
SABC
V
SA SB SC


V SA SB SC
  
  


A
B
C
S
A'
B'
C'

H
S
C
B
A
A'
B'
C'
H'



CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 3
BÀI TẬP
Bài 1. Tứ diện ABCD có DC  (ABC), ABC vuông cân tại B, AC =
32

,
diện tích ADC bằng 6, I là trung điểm DA.
a. Tính V
ABCD

b. Tính V
IABC

c. Tính khoảng cách từ A đến mp (BCD)
Bài 2. Tứ diện ABCD có AD  (BCD),  BCD đều cạnh a. Biết V
ABCD
= 6a
3
.
I là trung điểm AB.
a. Tính V
I.BCD

b. Tính khoảng cách từ B đến mp (ADC)
Bài 3. Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AB = a, SA  (ABCD),
V
S.ABCD
= 3a
3
. I là trung điểm SC
a. Tính V
I.ABCD

b. Tính V
I.OBC


c. Tính khoảng cách từ O đến mp (IBC)
Bài 4. Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a,
(SBC)  (ABCD), (SBA)  (ABCD), diện tích  SAB bằng 2a
2
. M, N là trung
điểm SA, SD
a. Tính V
S.ABD

b. Tính V
S.BMN

Bài 5. Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AB = 4, (SCB) (ABCD),
(SAB)  (ABCD), diện tích  SBC = 8. I, J là trung điểm SA, SC
a. Tính V
SABCD

b. Tính V
I.BCD

c. Tính V
SBIJ

Bài 6. Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi, AC = 2BD = 4, (SCD)
(ABCD), (SCA) (ABCD), diện tích SCD = 5.
a. Tính V
S.ABCD

b. Tính khoảng cách từ A đến mp (SCD)

c. Tính kho từ A đến mp(SBC)
Bài 7. Tứ diện ABCD có (ABC)  (CBD), BCD và ABC đều cạnh BC =
2a, tính V
ABCD

Bài 8. Tứ diện ABCD có (ABD)  (ABC), ABC vuông tại C, CA = 8, CB =
6, ABD đều. Tính V
ABCD



CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 4
Bài 9. Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật AB = 2, BC = 4, SA =
SB = 5, (SAB)  (ABCD), I là trung điểm SD
a. Tính V
SABCD

b. Tính V
I.BCD

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi, AC = 2a = 2BD, SAC
đều, SBD cân tại S. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc cạnh SA, SB, SC sao
cho SM = ½ SA, SN = BN, SP = ¼ SC.
a. Tính thể tích khối chóp SABCD
b. Tính thể tích khối chóp SMNP
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = 3a; BC =
4a = SA = SC, SB= SD. Các điểm M, N, lần lượt thuộc cạnh SA, SB sao cho
SM = ½ SA, SN = 2BN,
a. Tính thể tích khối chóp SABCD

b. Tính thể tích khối chóp SMNC

Bài 3. GÓC
TÓM TẮC LÝ THUYẾT
1. Góc giữa đường thẳng d và mặt (P) là góc giữa d và hình chiếu d’ của d
lên mp (P)
2. Góc giữa hai đường thẳng
(d,d') (d,a)
nếu a // d’
3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc
giao tuyến tại 1 điểm
4. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc
với hai mặt phẳng đó
BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình chóp SABC có SA  (ABC),  ABC vuông tại A, AB = 3, BC
= 5, diện tích S
 SAC
= 6 (đvdt)
a. Tính thể tích khối chóp SABC
b. Tính góc giữa SB và mp (ABC)
c. Tính cosin của góc giữa SC và mp (ABC)
Bài 2. Cho hình chóp SABC có (SAB)  (ABC), (SBC)  (ABC),  ABC
vuông tại cân tại A, AB = 1, góc giữa đường thẳng SC và mp(ABC) bàng 45
0

a. Tính thể tích hình chóp
b. Tính cosin của góc giữa SA và mp(ABC)


CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12

Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 5
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có ABC đều cạnh a, DBC vuông cân tại D,
(DBC)  (ABC)
a. Tính thể tích tứ diện ABCD
b. Tính cosin của góc giữa DB và mp(ABC)
Bài 4. Cho hình chóp đều S.ABC ( ABC đều , SA = SB = SC ) AB = a, M, N
lần lượt là trung điểm SB, SC, SA =
2a 3
3
.
a. Tính thể tích khối chóp SABC
b. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy
c. Tính thể tích khối chóp SAMN
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có (SAB)(ABCD), ABCD là hình vuông cạnh
a, SAB đều
a. Tính thể tích chóp S.ABCD
b. Tính góc giữa SA và BC
c. Tính góc giữa SD và (ABCD)
Bài 6. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, CB = 3, BD = 5,
(SBD)  (ABCD), góc giữa SC và AD bằng 60
0
, SD = SB
a. Tính thể tích hình chóp SABCD
b. Tính sin của góc giữa SA và CD
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có SA =SC, SD = SB, ABCD là hình thoi, AC
= 8, BD = 6, góc giữa SB và AD bằng 60
0

a. Tính thể tích khối chóp SABCD
b. Cosin của góc giữa SA và CD

Bài 8. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 6a
Thể tích khối chóp
a. cosin của góc giữa SD và AB
b. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy
Bài 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, các mặt
bên tạo với mặt đáy góc 60
o
. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm của
tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN
theo a.



CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 6
Bài 4 . LĂNG TRỤ  HÌNH HỘP
Thể tích khối lăng trụ, khối hộp. V = B.h
Lăng trụ đứng. Cạnh bên vuông góc với đáy
Lăng trụ đều. Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
Hình hộp. Lăng trụ có đáy là hình bình hành
Hình hộp chữ nhật. Lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật

Bài 1. Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có  ABC vuông tại B, AC = 5, AB =
4, góc giữa A’B và mặt đáy bằng 45
0
. Tính thể tích hình lăng trụ.
Bài 2. Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = 4, AC = 5,
BAC
= 120
0

, góc
giữa B’C và mặt đáy bằng 60
0
. Tính thể tích hình lăng trụ.
Bài 3. Hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2, diện tích mặt bên
bằng 8. Tính thể tích hình lăng trụ.
Bài 4. Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, góc giữa
mặt (A’BD) và (ABCD) bằng 30
0
. Tính thể tích hình hộp.
Bài 5. Hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi, AB = 4, góc
ADC
= 60
0
, góc giữa AB’ và mp (ABCD) bằng 45
0
. Tính thể tích hình hộp.

BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 1. Cho hình lăng trụ (không… đứng) ABC.A’B’C’ có 4 điểm A’, A, B, C
lập thành một tứ diện đều cạnh a.
a. Tìm hình chiếu của A’ lên mp (ABC)
b. Tính thể tích khối lăng trụ
c. Tính góc giữa 2 mp (A’BC) và (ABC)
Bài 2. Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có hình chiếu của A’ lên mp (ABC) là trung
điểm M của đoạn BC,  ABC đều cạnh 3, CC’ = 6.
a. Tính thể tích khối lăng trụ
b. Vẽ MK  AB tại K, Chứng minh AB  A’K
c. Tính góc giữa 2 mp (AA’B) và (ABC)
Bài 3. Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC vuông cân tại A, AB = a. góc

giữa cạnh bên và mặt đáy bẳng 60
0
. Tính thể tích lăng trụ biết hình chiếu của
B’ lên mặt phẳng (ABC) là Trọng tâm G của ABC


CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 7
Bài 4. Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD =
4. Góc giữa mp(ABB’A’) và (ABCD) bằng 45
0
; Góc giữa mp(ADD’A’) và
(ABCD) bằng 60
0
, AA’ = 7.
Tính thể tích hình hộp.
Bài 5. Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A’.ABCD là hình chóp đều AB = 2a ,
góc giữa AA’ và (ABCD) bằng 60
0
. Tính thể tích hình hộp.
Bài 6. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao
cho AM = x (0  x  a). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) tại điểm A, lấy điểm S sao cho SA = y (y > 0). Tính thể tích khối
chóp S.ABCM theo a, y và x. Tìm giá trò lớn nhất của thể tích khối chóp
S.ABCM, biết rằng x
2
+ y
2
= a
2

.
Bài 7. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB=AD = a, AA’ =
a3
2
và góc BAD = 60
0
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh
A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN).
Tính thể tích khối chóp A.BDMN
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a,
BC = a
3
, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt
là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích
của khối chóp A.BCNM.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA  (ABCD);
AB = SA = 1;
AD 2
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là
giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O. Các
mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy (ABCD). Cho AB = a, SA =
a
2
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD .Tính thể tích khối
chóp S.AHK
BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH
Bài 1. Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = 6, AA’ = 4 và A’.ABD là hình
chóp tam giác đều
a. Tính thể tích hình hộp

b. Tính khoảng cách từ B đến mp(A’B’C’)
c. Tính khoảng cách giữa đường thẳng A’B’ đến mp(ABCD)


CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 8
Bài 2. Hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’(lăng trụ đứng, đáy là hình bình hành)
có AB = 2, BC= 4, góc
BCD
= 30
0
, khoảng cách giữa 2 đường thẳng A’D’
và BC bằng 5.
a. Tính thể tích hình hộp
b. Tính khoảng cách d(D,BC)
c. Tính khoảng cách giữa 2 mp (ABB’) và (DCC’)
Bài 3. Hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi AC = 2BD = 4,
khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và C’D’ bằng 5.
a. Tính thể tích hình hộp
b. Tính khoảng cách d
(A,BC)

c. Tính khoảng cách d
(A’D’, CC’)

Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 3, AD = 4 góc giữa
đường thẳng DC’ và mp (ABCD) bằng 45
0

a. Tính thể tích hình hộp

b. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB’ và CD
Bài 5. Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1

2a 5
và
o
BAC 120
. Gọi M là trung điểm của cạnh CC
1
. Chứng minh MB  MA
1
và
tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A
1
BM).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ACB)
bằng 60
0
, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính khoảng cách từ B
đến mp(SAC).
Bài 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 8a
3


a. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và A’D
b. Tính khoảng cách từ A đến mp(A’BC)
c. Tính thể tích hình chóp B.AA’D’



CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 9
Chương II
HÌNH CẦU – HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN
Bài 1. HÌNH CẦU

Diện tích mặt cầu S = 4
2
R

Thể tích khối cầu V =
3
4
R
3



Bài 1. Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua 2 điểm A, B phân biệt cho trước
Bài 2. Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C phân biệt cho trước
Bài 3. Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua một đường tròn cho trước
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có  ABC vuông tại A, AB = 3, CB = 5, SB 
(ABC), góc giữa SC và (ABC) bằng 45
0

.
a. Xác đònh tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp
b. Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp SABC
Bài 5. Trên 3 tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau, lần lượt lấy các điểm
A, B, C sao cho OA = 6, OB = 8, OC = 10
a. Xác đònh tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
b. Tính diện tích mặt cầu đó
Bài 6. Tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AD  (BCD), góc giữa
(BCD) và (ABC) bằng 60
0
.
a. Tính AD
b. Xác đònh tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp ABCD
c. Tính thể tích hình cầu đó
Bài 7. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a
Bài 8. Chóp tam giác đều S.ABC có AB =
33
, góc giữa mặt bên và mặt đáy
bằng 45
0

a. Xác đònh tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp
b. Tính diện tích mặt cầu
Bài 9. Chóp ABCD có  ABC vuông tại A, AC = 6, CB = 10 , (DBC) 
(ABC),  DCB cân tại D, diện tích  DCB bằng 10
a. Tính thể tích tứ diện
b. Xác đònh tâm và tính thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD


CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12

Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 10
Bài 10. Chóp S.ABCD có thể tích bằng 96 (đvtt) SA  (ABCD), ABCD là
hình chữ nhật, AB = 6, AD = 8. Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 11. Chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SC  (ABCD), góc
giữa SA và mặt đáy bằng 45
0
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hính chóp
Bài 12. Chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB =
3
, AD = 1,
SA = SB= SC = SD. V
S.ABCD
=
3
3
. Xác đònh tâm và tính thể tích mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp
Bài 13. Lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
Bài 14. Lăng trụ đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
4a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
Bài 15. Hình hộp chữ nhật có 3 kích thước 3, 4, 5. Tính thể tích hình cầu
ngoại tiếp
Bài 16. Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a
Bài 17. Tính diện tính mặt cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh bằng a

Bài 2. HÌNH TRỤ
O'
B'
O

A
B
A'

Diện tích xung quanh S
xq
= 2

R.h = 2

R.AA’
Thể tích V =

R
2
.h =

R
2
.AA’
Diện tích hình tròn S

=

R
2
; Chu vi đường tròn = 2

R
BÀI TẬP

Bài 1. Cho hình trụ có bán kính R = 4, mặt phẳng qua trục của hình trụ cắt
hình trụ theo thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng 24.
a. Tính thể tích khối hình trụ
b. Tính diện tích xung quanh hình trụ
c. Tính diện tích toàn phần hình trụ


CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 11
Bài 2. Hình trụ có bán kính R, mặt phẳng qua trục của hình trụ cắt hình trụ
theo thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình
trụ theo R
Bài 3. Cho hình trụ (T) có bán kính R = 2, trục OO’ bằng 4. Hình cầu (S) có
đường kính OO’
a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ
b. Tính diện tích mặt cầu
c. So sánh thể tích khối trụ (T) và khối cầu (S)
Bài 4. Một hình trụ có bán kính R và chiều cao R
3

a. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ
b. Tính thể tích khối trụ
c. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB
và trục của hình trụ bằng 30
0
. Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ
Bài 5. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và
chiều cao bằng 2a.
a. Tính diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp lăng trụ
b. Tính thể tích khối trụ nội tiếp lăng trụ

Bài 6. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và
chiều cao bằng 2a.
a. Tính diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp lăng trụ
b. Tính thể tích khối trụ nội tiếp lăng trụ
Bài 7. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4

, thiết diện qua trục là
hình vuông.
a. Tính diện tích toàn phần hình trụ
b. Tính thể tích khối trụ
c. Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ
d. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ



CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 12
Bài 3. HÌNH NÓN

O
A
B
S

Diện tích xung quanh.
S
xq
=

Rl (l: là đường sinh, R bán kính đáy, h chiều cao)

Thể tích khối nón.
V =
2
1
Rh
3


BÀI TẬP
Bài 1. Tính thể tích của hình nón trong các trường hợp sau
a. Đường sinh l = 3cm và góc hợp bởi đường sinh và đáy là 60
0
b. Bán kính đáy r =4cm và góc giữa đường sinh và trục của hình nón bằng 45
0

c. Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có diện tích bằng 6 cm
2


Bài 2. Cho  ABC vuông tại A, AB = 3, BC = 5.
Tính thể tích vật thể sinh ra khi quay  ABC quanh đường thẳng AC
Bài 3. Cho  ABC cân tại A, AB = 4,
0
ABC 60
. H, M, N lần lượt là trung
điểm BC, AC, AB
a. Tính thể tích vật thể sinh ra khi quay  ABC quanh đường thẳng AH
b. Tính thể tích vật thể sinh ra khi quay hình thang MNCB quanh đường
thẳng AH


BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 1. Cho hình nón đỉnh S, và bán kính đáy R, chiều cao h = R. Mặt phẳng
(P) di động, luôn qua S cắt đường tròn đáy theo một dây cung AB = a
(0

a

2R)




CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 13
Bài 2. Tính theo a, R diện tích thiết diện của hình nón và mặt phẳng (P)
a. Xác đònh a để diện tích đó lớn nhất
b. Khi a = 2R
6
3
, xác đònh và tính góc giữa mặt phẳng (P) và mp đáy
Bài 3. Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, bán kính R. Góc giữa
đường sinh và trục bằng 30
0
. Mặt phẳng (P) qua S hợp với đáy một góc

.
a. Hỏi

nằm trong giới hạn nào thì mặt phẳng (P) cắt hình nón ?
b. Khi (P) cắt đáy theo một dây AB. Tính thể tích tứ diện SOAB theo R và


. Đònh

để thể tích đó lớn nhất
Bài 4. Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn (C) có bán kính R, đường cao h
= 2R. Mặt phẳng (P) song song với đáy, cắt hình nón theo một đường tròn
(C’). Tính theo R bán kính của (C’) nếu
a. Mặt phẳng (P) chia hình nón thành 2 phần có thể tích bằng nhau
b. Mặt phẳng (P) chia hình nón thành 2 phần có diện tích xung quanh bằng nhau

ÔN TẬP HÌNH HỌC
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
SA

(ABCD) và SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, SC. Tính thể
tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mp(BMN).

Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình
chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác
ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo
một thiết diện có diện tích bằng
2
a3
8
. Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’.

Bài 3. Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều
cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với
đáy góc .


Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
0
BAD 60
,
SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C là trung điểm của SC. Mặt
phẳng (P) đi qua AC và song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần
lượt tại B, D. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.



CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 14
Bài 5. Cho hình hộp ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = AA
= 2a. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy.
M là trung điểm của BC. Tính thể tích hình hộp và cosin của góc giữa hai
đường thẳng AM và AC

Bài 6. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh
đáy AB = a, cạnh bên AA = b. Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(ABC). Tính tan

và thể tích của khối chóp A.BBCC.

Bài 7. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = 2AD
= 2a, sạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh SC tạo với mặt đáy
(ABCD) một góc
0

45
. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, mặt phẳng
(GCD) cắt SA, SB lần lượt tại P và Q. Tính thể tích khối chóp S.PQCD theo a.

Bài 8. Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF với SA = a, AB = b. Tính thể
tích của hình chóp đó và khoảng cách giữa các đường thẳng SA, BE.

Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân tại A, AB = AC = a.
Mặt bên SBC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt
đáy các góc 60
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.



CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 15
Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hệ trục tọa độ Oxyz: 3 trục Ox , Oy, Oz đôi một vuông góc nhau
2. Ba vecto đơn vò
i (1;0;0)

Ox ;
j (0;1;0)

Oy;

k (0;0;1)

Oz
3. Điểm M(x
0
; y
0
;z
0
)
0 0 0
x .i y .j z .k 0

M  Ox  M(x; 0; 0) M  Oy  M(0; y; 0) M  Oz  M(0; 0; z)
M  (Oxy)  M(x; y; 0) M  (Oyz)  M(0; y; z) M  (Oxz)  M(x; 0; z)
4. Hai điểm A(x
A
;y
A
; z
A
) , B(x
B
; y
B
; z
B
)
Vecto
B A B A B A

AB x x ;y y ;z z

Độ dài
2 2 2
B A B A B A
AB= AB x x y y z z

I là trung điểm AB
A B A B A B
x x y y z z
I ; ;
2 2 2

  




G là trọng tâm ABC
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G ; ;
3 3 3

     




5. Cho 2 vecto

a
= (a
1
; a
2
; a
3
) ;
b
= (b
1
;b
2
; b
3
)

222
1 2 3
a a a a


a
±
b
= (a
1
± b
1
; a

2
± b
2
; a
3
± b
3
)

1 2 3
ka ka ;ka ;ka


1 1 2 2 3 3
a.b a b a b a b


3
12
1 2 3
a
aa
a / /b a kb
b b b


a.b
cos a,b
ab



1 1 2 2 3 3
a b a.b 0 a b a b a b 0



CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 16

11
22
33
ab
a b a b
ab

6. Tích có hướng của 2 vecto
a
= (a
1
; a
2
; a
3
);
b
=(b
1
;b
2

; b
3
)

2 3 3 1
12
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
a b a,b ; ; c
b b b b b b

Tính chất.
ca
cb


a,b a . b.sin a,b

7. Ứng Dụng
a. Hai vecto
u,v
đồng phẳng
u,v 0

b. Ba vecto
u,v,w
đồng phẳng
u,v .w 0


c. Diện tích tam giác ABC. S
ABC
=
1
AB,AC
2

d. Thể tích tứ diện ABCD. V
ABCD
=
1
AB,AC .AD
6

e. Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’. V
ABCD.A’B’C’D’
=
AB,AD .AA'

B. BÀI TẬP
Bài 1. Hai vectơ bằng nhau
1. Cho tam giác ABC có trung điểm của các cạnh AB, AC và BC lần lượt là
M(1, 4, 3); N(2, 1, 0) và P(1, 1, 5). Tìm tọa độ của các đỉnh ABC.
2. Cho hình bình hành ABCD với A(2, 1, 1); B(4, 1, 3) và C(2, 3, 1). Tìm
tọa độ điểm D và tọa độ tâm của hình bình hành.
3. Cho hai điểm M(1, 2, 3) và N(4, 5, 6) chia đoạn AB thành ba phần bằng
nhau. Tìm tọa độ hai điểm A, B.
5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A’(1, 0, 1); B(2, 1, 2); D(1, 1, 1) và
C’(4, 5, 5). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.



CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 17
Bài 2. Tìm tọa độ điểm và vectơ
Cho vectơ
a
= (1,2,3);
b
= (1,4,2) và
c
= (5,2,1). Tìm tọa độ của vectơ
a.
m
= 2
a
+ 3
b
 5
c
b.
n
=
a
+ 24
b
+ 14
c

Bài 3. Hai vectơ cùng phương
1. Cho

a
= (2, m, 5) và
b
= (1, 2, n). Tìm m và n để hai vectơ cùng phương.
2. Xét tính thẳng hàng của ba điểm A,B, C biết rằng:
a. A(1, 3, 1); B(0, 1, 2) và C(0, 0, 1).
b. A(1, 1, 1); B(4, 3, 1) và C(9, 5, 1).
3. Cho ba điểm A(4, 3, 2); B(2, m, 3) và C(n, 4, 2).
a. Tìm m và n để ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b. Tìm giao điểm giữa AB với các mặt phẳng tọa độ.
4. Cho hai điểm A(1, 3, 0); B(2, 1, 0). Tìm giao điểm của AB với trục Ox, Oy
5. Tìm
b
cùng phương
a
= (2
2
, 1, 4) biết |
b
| = 10.
Bài 4. Tích vô hướng
1. Cho ba vectơ
a
= (1, 1, 1);
b
= (4, 0, 1);
c
= (3, 2, 1). Tìm:
a. (
a

.
b
)
c

b.
a
2
b
+
b
2
c
+
c
2
a

2. Cho
a
= (3, 2, 4);
b
= (5, 1, 6) và
c
= (3, 0, 2). Tìm
x
sao cho
a
.
x

= 4;
b
.
x
= 35 và
c
.
x
= 0
3. Tìm
x
cùng phương với
a
= (2, 1, 1) biết
a
.
x
= 3.
4. Cho
a
= (3m, 2m + 1, 5m  1). Tìm m để:
a.
a
vuông góc trục Ox b.
a
vuông góc trục Oy
5. Cho A(2, 1, 3) và B(2, 1, 4).
a. Tìm M trên Ox sao cho tam giác MAB vuông tại M.
b. Tìm N trên Oy sao cho tam giác NAB vuông tại A.
Bài 5. Góc giữa hai vectơ

1. Tính góc của hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:
a.
a
= (2, 1, 2);
b
= (0,
2
,
2
) c.
a
= (2, 5, 0);
b
= (3, 7, 0)
b.
a
= (6, 0, 8);
b
= (12, 0, 9) d.
a
= (2, 0, 6);
b
= (3, 0, 9)
2. Tính các góc của tam giác ABC biết A(3, 1, 0); B(2, 1, 1) và C(3, 2, –1)



CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 18
Bài 6. Tích hữu hướng của hai vectơ và ứng dụng

1. Tìm vectơ tích hữu hướng của các cặp vectơ sau
a.
a
= (2, 1, 2);
b
= (0, 1, 5) b.
a
= (4, 6, 8);
b
= (1, 7, 2)
c.
a
= (3, 1, 6);
b
= (4, 2, 8) d.
a
= (4, 3, 6);
b
= (5, 2, 8)
2. Cho tam giác biết A(2, 1, 3); B(3, 2, 2) và C(4, 0, 1)
a. Tìm diện tích tam giác ABC. b. Tính độ dài đường cao AH vẽ từ A
3. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ trong mỗi trường hợp sau:
a.
a
= (1, 1, 1)
b
= (0, 1, 2)
c
= (4, 2, 3)
b.

a
= (4, 3, 4)
b
= (2, 1, 2)
c
= (1, 2, 1)
c.
a
= (4, 2, 5)
b
= (3, 1, 3)
c
= (2, 0, 1)
4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1,0,1); B’(2,1,2); D’(1,1,1);
C(4,5,5). Tính thể tích hình hộp trên.
Bài 7. Bài tập làm thêm
1. Cho
a
= (2, 1, 1);
b
= (1, 3, 2). Gọi
v
= m
a
 3
b
và
w
= 3
a

+ 2m
b
.
Đònh m để
a.
v
và
w
vuông góc b.
v
và
w
cùng phương
2. Cho A(2, 3, 2); B(2, 3, 0); C(3, 0, 1); D(4, 6, 3). CMR ABCD là tứ
giác có hai đường chéo vuông góc nhau, tính diện tích tứ giác ABCD.
3. Cho ba điểm A(1, 0, 0); B(0, 0, 1); C(2, 1, 1)
a. Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác
b. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
c. Tìm chân đường cao H hạ từ A của tam giác ABC
d. Tìm tọa độ đđim D đ tứ giác ABCD là hình bình hành
e. Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A.
4. Cho bốn điểm A(1, 0, 0); B(0, 1, 0); C(0, 0, 1); D(2, 1, 1)
a. Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b. Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ A
5. Cho bốn điểm A(1, 5, 10); B(5, 7, 8); C(2, 2, 7); D(5, 4, 2)
a. Chứng minh rằng A, B, C, D cùng nằm trên một mặt phẳng.
b. Tính diện tích của tứ giác ABCD.
6. Cho bốn điểm S(1, 2, 3); A(2, 2, 3); B(1, 3, 3); C(1, 2, 4)
a. Chứng minh rằng SABC là một tứ diện.



CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 19
b. Chứng minh rằng SA  (SBC), SB  (SAC), SC  (SAB).
Bài 2. MẶT CẦU
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R > 0 là tập hợp những điểm M(x; y; z)
cách điểm I một khoảng R
Phương trình : (xa)
2
+ (yb)
2
+(zc)
2
= R
2
hoặc x
2
+y
2
+z
2
2ax2by2cz+d = 0
Với điều kiện. a
2
+ b
2
+ c
2
 d > 0, R=

2 2 2
a b c d  

1. Xác đònh toạ độ tâm và tính bán kính của các mặt cầu sau
a. (x – 2 )
2
+ (y + 1)
2
+ (z- 3)
2
= 25 b. x
2
+ (y – 1)
2
+ ( z + 2)
2
= 4
c. (x – 3 )
2
+ (y + 1)
2
+ z
2
= 25 d.
2 2 2
x y z 6x 4y 2z 22 0      

e.
2 2 2
x y z 6x 0   

f.
6 x 5 3 x 2        

g.
2 2 2
3x 3y 3z 6x 3y 15z 2 0      

2. Đònh m để các phương trình sau là phương trình mặt cầu
a. x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2mx  2my + 2(2m + 1)z 1 = 0
b. x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4mx – 2(m – 1)y – 4(m + 1)z 5 = 0
3. Viết phương trình mặt cầu biết rằng
a. Có tâm I (3, 4, 5) và r = 3
b. Có tâm I (1, 2, 3) và r =
2

c. Có tâm J (0, 4, 1) và đi qua điểm B(1, 2, 1)
d. Có tâm I (3, 4, 5) và đi qua điểm A(1, 2, 1)
e. Đường kính AB với A (1, 3, 0) và B(5, 3, 4)

f. Đường kính MN với M (0, 4, 1) và B(6, 2, 1)
g. 
h. 


Bài 3. MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

A. TÓM TẮT GIÁO KHOA
1. Vectơ pháp tuyến (VTPT ) của mặt phẳng (P) là
n (P), n 0

2. Vectơ chỉ phương (VTCP) của mặt phẳng (P) là
u / /(P), u 0



CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 20
3. Nếu mặt phẳng (P) có 2 VTCP
u,v
thì (P) có VTPT là
n u,v

4. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0
Trong đó vectơ pháp tuyến là
n
=(a;b;c)
5. Mặt phẳng (P) qua điểm M(x
0
; y

0
; z
0
), (P) có VTPT
n
=(a;b;c)  phương
trình tổng quát (P): a(x  x
0
) + b(y  y
0
) + c(z  z
0
) = 0
6. Chùm mặt phẳng : nếu mặt phẳng (P) chứa ( đi qua) giao tuyến của hai mặt
phẳng (Q): ax + by + cz + d = 0 ; (R ): a’x + b’y + c’z + d’ = 0 thì phương trình
(P): m(ax + by + cz + d) + n(a’x + b’y + c’z + d’ ) = 0 (
22
m n 0
)
7. Phương trình đoạn chắn. Nếu mặt phẳng (P) cắt 3 trục tọa độ lần lượt tại
A(a; 0;0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c  0)  phương trình (P):
x y z
1
a b c
  

B. BÀI TẬP
Bài 1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (căn bản)
1. Tìm pt tổng quát của mặt phẳng (P) qua A và có vectơ pháp tuyến
n

với
a. A(3, 4, 5);
n
= (1, 2, 3) b. A(2, 3, 0);
n
= (2, 3, 4).
c. A(0, -5, 1);
n
= (2, 3, 0) d. A(3, 0, 6);
n
= (1, 5, 3)
2. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua A và có cặp vectơ chỉ
phương
a
và
b

a. A(2, 0, 1);
a
= (2, 2, 0);
b
= (4, 1, 3)
b. A(2, 2, 1);
a
= (1, 2, 4);
b
= (2, 1, 0)
c. A(2, 3, 4);
a
= (2, 1, 1);

b
= (1, 1, 1)
3. Lập phương trình mặt phẳng Oxy
4. Lập phương trình mặt phẳng Oxz
5. Lập phương trình mặt phẳng Oyz
6. Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (P) biếtt rằng:
a. (P) qua N(1, 4, 3) và và vuông góc với
n
= (1, 2, 3).
b. (P) qua E(5, 4, 2) và vuông góc với trục Oz.
c. (P) qua A(3, 6, 1) và vuông góc đt BC biết B(0, 1, 2); C(3, 5, 0).
d. (P) qua điểm B(1, 1, 2) và song song với mp (

): x + 3y  2z + 1 = 0.
e. (P) qua điểm M(2, 3, 1) và song song với mặt phẳng (Oxz).
f. (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB với A(3, 2, 1) và B(5, 0, 3).


CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 21
g. (P) qua ba điểm A(2, 3, 5);B(1, 2, 1); C(1, 3, 2).
h. (P) qua 2 điểm A(1,2, 2), B(3, 1,2) và vuông góc mp(

): 2x + y+6=0
i. (P) qua A(3, 2, 4) và chứa trục Oy.
j. (P) qua A(1, 2, 3); đng thời vuông góc với hai mp(

): x  2z + 1 = 0 và
(


): x + y  z + 1 = 0

Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH CHÙM MẶT PHẲNG
1. Lập phng trình mặt phẳng (P) qua A(3, 4, 1) và chứa giao tuyến của 2
mặt phẳng (Q): x – y – 4z + 27 = 0 và (R): 2x – y + 3z + 11 = 0.
2. Cho ba mặt phẳng (
1

), (
2

), (
3

) lần lượt có phương trình: (
1

): 2x – y +
z + 1 = 0; (
2

):x + 3y – z + 2 = 0; (
3

): -2x + 2y + 3z + 3 = 0. Viết phương
trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (
1

) và (
2


); đồng
thời thỏa điều kiện sau
a. Qua M(1, 2, 1)
b. Song song với trục Oz.
c. Vuông góc mặt phẳng (
3

)
3. Viết phương trình của mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a. Qua giao tuyến của hai mặt phẳng y + 2z – 4 = 0 và x + y – z – 3 = 0;
đồng thời song song với mặt phẳng x + y + z – 3 = 0.
b. Qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x + z – 2 = 0 và x + 4y – 5 = 0;
đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x – y+ z + 7 = 0.

Bài 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐOẠN CHẮN
Lập phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau
a. (P) qua 3 điểm A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,1)
b. (P) qua 3 điểm A(4,0,0), B(0,1,0), C(0,0,5)
c. (P) qua 3 điểm M(7,0,0), N(0,0,2), E(0,4,0)
d. (P) qua M(4, 1, 2), (P) cắt Ox, Oy, Oz tại A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c);
biết a, b, c > 0 và thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Tìm phương trình mp(P)


CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 22
Bài 4. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A. TÓM TẮT GIÁO KHOA
1. Vectơ pháp tuyến (VTPT ) của đường thẳng (d) là
n (d), n 0


2. Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng (d) là
u / /(d), u 0

3. Nếu đường thẳng (d) có 2 VTPT
12
n ,n
thì (d) có VTCP là
1
2
u n ,n


1
n

2
n


d
u

4. Đường thẳng d có VTCP
u
=(a; b ; c), d đi qua điểm M(x
0
; y
0
; z

0
)
Phương trình tham số d:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct








tham số t  R
Phương trình chính tắc d:
0 0 0
x x y y z z
a b c
  

( a, b, c  0)
5. Nếu đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng
(Q): ax + by + cz + d = 0 ; (R ): a’x + b’y + c’z + d’ = 0 thì phương trình
tổng quát của đường thẳng d là :

(Q): ax by cz d 0

(P): a x b y c z d 0

   

   
   


Khi đó d có VTCP là
Q
R
u n ,n

B. BÀI TẬP
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG DẠNG CƠ BẢN
1. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d qua A và có
vectơ chỉ phương
a
trong mỗi trường hợp sau:
a. A(3, 4, 5);
a
= (1, 1, 3) b. A(2, 3, 7);
a
= (2, 3, 5)
c. A(4, 5, 1);
a
= (4, 3, 0) d. A(3, 4, 6);
a
= (1, 6, 2)
2. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d qua A và có cặp

vectơ pháp tuyến
1
n
,
2
n
trong mỗi trường hợp sau:
a. A(2, 0, 1);
1
n
= (2, 2, 3);
2
n
= (4, 1, 3).


CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 23
b. A(2, 2, 1);
1
n
= (1, 2, 4);
2
n
= (2, 1, 5).
c. A(2, 3, 4);
1
n
= (2, 6, 8);
2

n
= (1, 1, 1).
3. Vit pt tham s ng thng (trc) Ox
4. Vit pt tham s ng thng (trc) Oy
5. Vit pt tham s ng thng (trc) Oz
6. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d biết:
a. d qua A(7, 2, 3) và cùng phương
a
= (2, 3, 4).
b. d qua A(4, 3, 2) và vuông góc với cặp vectơ
a
= (7,2, 1) và
b
= (2, 4, 6)
c. d qua 2 điểm A(2, 9, 3) và B(1, 0, 1)
d. d qua A(4, 4, 1) và song song với đường thẳng
1
x 3 4t
( ): y 1 2t
z 2 7t



  





e. d qua A(2, 2, 0) và vuông góc mặt phẳng (P): 3x  y + z – 2 = 0.

f. d qua A(0, 2, 1); vuông góc với 2 đường thẳng
1
x 3 4t
( ): y 1 2t
z 2 7t



  




và
2
x 2 y 1 3 z
( ):
3 2 4
  
  


g. d qua A(1, 7, 2) và song song với 2 mặt phẳng (P): 3x  y + z – 2 = 0 và
(Q): x  y +10 = 0
h. d qua A(4, 5, 6); song song mặt phẳng (P): x + 2y  3z + 11 = 0 và vuông
góc với đường thẳng
x 3t
( ): y 2 t
z 4 t




  




.
7. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d biết
a. d là giao tuyến của (
1

): x – 2y + z + 5 = 0 và (
2

): 4x + y – z + 7 = 0
b. d chứa trong 2 mặt phẳng (P): x  4y  6z +3 = 0 và mặt phẳng (Oyz)
9. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d biết:
a. d có phương trình tổng quát là
2x y 3z 0
3x 4y 2z 5 0

  

   




CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12

Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 24
b. d qua M(1, 1, 2) và song song với đường thẳng (

):
3x y 2z 7 0
x 3y 2z 3 0

   

   


c. d qua A(-1, -3, -4) và có phương song song với giao tuyến của hai mặt
phẳng (
1

): x + y + z + 1 = 0; (
2

): x +3y – 2z + 12 = 0.



CHUẨN KIẾN THỨC HÌNH HỌC 12
Lê Xuân Hiếu – 0966004478. 27/2 Cách Mạng, Pleiku, Gia Lai 25
TỔNG HP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG

1. Lp phng trình mp (P) chứa điểm M(3,1,0) và đường thẳng
d:
x 1 y 2 z 2

3 2 2
  


(CĐ CĐ HẢI PHÒNG 2006)
2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm M(4, 5, 2); N(3, 3, 1) và
song song với trục Oy.
3. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
x 4 t
(d): y 1 5t
z 7t








và vuông
góc với mặt phẳng (P):
x 2y z 5 0   

4. Cho 3 điểm A(1, 3, 2); B(1, 2, 1); C(1, 1, 3). Hãy viết phương trình tham số
của đường thẳng
()
đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt
phẳng chứa tam giác.
5. Viết phương trình mặt phẳng qua A và chứa đường thẳng d biết rằng:
a. A(1, -2, 3) và

x 4 t
(d): y 1 5t
z 7t








.
b. A(2, 3, 6) và
xt
(d): y 3 3t
z 2 t









6. Cho hai đường thẳng
1
x1
(d ): y 2 t
z 3 t









và
2
x 2 t
(d ): y 1 2t
z 3 3t



  




.
Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
) và song song (d
2
).

BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Cho 3 điểm A(5; 4; 3) , B(1; 2; 3), C(2; 3 4)

a. lập phương trình mặt phẳng (ABC)
b. Lập phương trình đường cao AH của ABC
c. Lập phương trình đường trung trực của đoạn AB nằm trong mp(ABC)