Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
1

HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN
  
I. Lưu ý
Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp không giao nhau:
Nếu tập hợp hữu hạn A, B bất kỳ và
AB  
.Khi đó thì số phần tử của A

B bằng số phần tử của A cộng với
số phần tử của B, tức là:
| A

B| = |A| + |B|.
Tuy nhiên trong nhiều bài toán , chúng ta phải tính số phần tử của hai tập hợp A và B có giao khác rỗng. Nếu
trong trƣờng hợp này ta vẫn lầy số phần tử của tập A cộng với số phần tử của tập B thì khi đó số phần tử của A

B
sẽ đƣợc tính hai lần. Cho nên, đối với trƣờng hợp này ở kết quả chúng ta phải trừ đi số phần tử của A

B. Vậy:
Nếu cho tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B giao nhau khác rỗng.Khi đó thì số phần tử của A

B bằng số phần tử của
A cộng với số phần tử của B rồi trừ đi số phần tử của A

B, tức là:
| A


B| = |A| + |B| - | A

B|.
Quy tắc trên gọi là quy tắc cộng mở rộng.
II. BÀI TẬP
II.1 Phương pháp giải
II.1.1 Sử dụng qui tắc cộng để giải bài toán đếm.
Để sử dụng qui tắc cộng trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bƣớc:
Bước 1: Phân tách cách giải quyết một công việc thành k phƣơng án độc lập với nhau: A
1,
A
2,
… ,A
k
.
Bước 2: Nếu:
A
1
có n
1
cách khác nhau.
A
2
có n
2
cách khác nhau.
…….
A
k

có n
k
cách khác nhau.
Bước 3: Khi đó, ta có n
1
+ n
2
+ … + n
k
cách
II.1.2 Sử dụng qui tắc nhân để giải bài toán đếm.
Để sử dụng qui tắc nhân trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bƣớc:
Bước 1: Phân tách một công việc thành k công việc nhỏ liên tiếp:
A
1,
A
2,
… ,A
k
.
Bước 2: Nếu:
A
1
có n
1
cách khác nhau.
Ứng với mỗi cách thực hiện A
1,
A
2

có n
2
cách khác nhau.
…….
Ứng với mỗi cách thực hiện A
1,…,
A
k-1
thì A
k
có n
k
cách khác nhau.
Bước 3: Khi đó, ta có n
1
. n
2
.

… n
k
cách.
Chú ý:
 Điều quan trọng ở đây là làm sao khi đọc đề bài, chúng ta biết đƣợc rằng bài đó phải dùng qui tắc cộng hay qui
tắc nhân.
o Thông thƣờng, nếu một bài toán mà công việc có thể giải quyết theo nhiều phƣơng án hay có nhiều
trƣờng hợp xảy ra thì ta thƣờng dùng qui tắc cộng,
o Còn nếu bài toán mà công việc đƣợc thực hiện bằng những công việc nhỏ liên tiếp, nhiều công
đoạn hay là trƣờng hợp nhỏ này liên kết với trƣờng hợp nhỏ kia thì ta thƣờng dùng qui tắc nhân.
 Trong nhiều trƣờng hợp chúng ta cần kết hợp cả hai qui tắc để giải bài toán đếm.



Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
2
II.2. Bài tập vận dụng
II.2.1. Các bài toán sử dụng qui tắc cộng (qui tắc cộng mở rộng).
Bài 1
Giả sử bạn muốn mua một cái áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác
nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo)?
Giải
Ngƣời mua sẽ có hai phƣơng án chọn. Phƣơng án thứ nhất là chọn áo cỡ 39, do áo cỡ 39 có 5 màu nên phƣơng án
này có 5 cách chọn. Phƣơng án thứ hai là chọn áo cỡ 40, do áo cỡ 40 có 4 màu nên phƣơng án này có 4 cách chọn.
Vậy ngƣời mua áo có: 5 + 4 = 9 cách chọn mua áo.
Bài 2
Trong một trƣờng THPT, khối 12 có : 160 em học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, 140 tham gia câu lạc bộ Tin, 50
em tham gia cả hai câu lạc bộ.
Hỏi khối 12 có bao nhiêu học sinh?
Giải
Gọi tập hợp học sinh tham gia câu lạc bộ Toán và Tin lần lƣợt là A và B.
Vậy tập hợp các em HS của lớp là A

B và tập hợp các em tham gia cả hai câu lạc bộ là A

B => |A

B| = 50.
Theo đề bài ta có |A| = 160, |B| = 140
Theo quy tắc cộng mở rộng ta có:
| A


B| = |A| + |B| - |A

B|
=> | A

B| = 160 + 140 - 50
=> | A

B| = 250
Vậy số HS khối 12 ở trƣờng đó là 250 em.
Bài 3
Một lớp có 40 HS, đăng ký chơi ít nhất một trong hai môn thể thao: bóng đá và cầu lông. Có 30 em đăng ký môn
bóng đá, 25 em đăng ký môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký cả hai môn thể thao?



Giải
Gọi tập hợp các em HS đăng ký môn bóng đá và môn cầu lông lần lƣợt là A và B. Vậy tập hợp các em HS của lớp
là A

B và tập hợp các em đăng ký cả hai môn thể thao là A

B.
Mà số HS của lớp là 40 nên ta có |A

B|=40 và |A| = 30, |B| = 25
Theo quy tắc cộng mở rộng ta có:
| A


B| = |A| + |B| - |A

B|
=> |A

B| = |A| + |B| - | A

B|
=> |A

B| = 30 + 25 - 40
=> |A

B| = 15
Vậy số HS đăng ký cả hai môn thể thao là 15 em.







Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
3
II.2.2 Các bài toán sử dụng qui tắc nhân
Bài 1
Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải, nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách
chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?
Giải

Để chọn một chiếc đồng hồ, ta phải chọn một mặt và một dây. Một mặt đồng hồ đƣợc chọn từ 3 kiểu mặt nên có 3
cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn kiểu mặt đồng hồ thì một dây đƣợc chọn từ 4 kiểu dây nên có 4 cách chọn. Vậy
ta có: 3.4 = 12 cách chọn mua đồng hồ.
Bài 2
Một ngƣời vào cửa hàng ăn. Ngƣời đó muốn chọn thực đơn gồm một món ăn trong 10 món, một loại hoa quả tráng
miệng trong 5 loại hoa quả và một loại nƣớc uống trong 4 loại nƣớc uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn
của bữa ăn?
Giải
Một thực đơn gồm một món ăn, một loại hoa quả, một loại nƣớc uống.
Một món ăn đƣợc chọn từ 10 món nên có 10 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn một món ăn, một loại hoa quả đƣợc chọn từ 5 loại nên có 5 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn một món ăn và một loại hoa quả thì một loại nƣớc uống đƣợc chọn từ 4 loại nên có 4 cách
chọn.
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 10.5.4=200 cách chọn một thực đơn.
Bài 3
Trong một đội văn nghệ có 8 bạn nam và 6 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca nam – nữ?
Giải
Để chọn một đôi song ca nam – nữ, đầu tiên chọn một nam từ 8 bạn nam nên có 8 cách chọn. Ứng với mỗi cách
chọn bạn nam, một bạn nữ đƣợc chọn từ 6 bạn nữ nên có 6 cách chọn.
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 8.6=48 cách chọn một đôi song ca.
Bài 4
Từ các số 1,5,6,7 có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên
a) Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau)?
b) Có 4 chữ số khác nhau?
Giải
Gọi A=
 
7,6,5,1

Một số có 4 chữ số hình thành từ tập A có dạng:

abcd
, với a,b,c,d

A
a) Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau)
a đƣợc chọn từ tập A mà tập A có 4 phần tử nên có 4 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a thì b đƣợc chọn từ tập A nên có 4 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a,b thì c đƣợc chọn từ tập A nên có 4 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a,b,c thì d đƣợc chọn từ tập A nên có 4 cách chọn.
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 4.4.4.4 = 256 số
b) Có 4 chữ số khác nhau
a đƣợc chọn từ tập A mà tập A có 4 phần tử nên có 4 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a thì b đƣợc chọn từ tập A\
 
a
nên có 3 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a,b thì c đƣợc chọn từ tập A\
 
ba,
nên có 2 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a,b,c thì d đƣợc chọn từ tập A\
 
cba ,,
nên có 1 cách chọn.
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
4
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 4.3.2.1 = 24 số
Bài 5
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?

Giải
Gọi A=
 
9,8,7,6,5,4,3,2,1,0

Một số có 5 chữ số hình thành từ tập A có dạng:
abcde
, với a,b,c,d,e

A
Nhƣng các chữ số đó cách đều chữ số đứng giữa nên ta sẽ có a=e, b=d.
a đƣợc chọn từ tập A\
 
0
có 9 phần tử nên có 9 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a thì b đƣợc chọn từ tập A nên có 10 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a,b thì c đƣợc chọn từ tập A nên có 10 cách chọn.
Vì d=b nên d chỉ có một cách chọn.
Vì e=a nên a chỉ có một cách chọn.
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 9.10.10 = 900 số
Bài 6
Có bao nhiêu số tự nhiên có tính chất:
a) Là số chẵn và có hai chữ số (không nhất thiết khác nhau)?
b) Là số chẵn và có hai chữ số khác nhau?
c) Là số lẻ và có hai chữ số (không nhất thiết khác nhau)?
d) Là số lẻ và có hai chữ số khác nhau?
Giải
Gọi A=
 
9,8,7,6,5,4,3,2,1,0


Một số có 2 chữ số hình thành từ tập A có dạng ab với a,b

A
a) a đƣợc chọn từ tập A\
 
0
có 9 phần tử nên có 9 cách chọn.
b phải là số chẵn nên b có 5 cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có: 9.5=45 số
b) Số chẵn và có hai chữ số khác nhau chính là các số chẵn ở câu a) trừ đi các số chẳn 2,4,6,8. Vậy ta có: 45-4 = 41
số.
c) a đƣợc chọn từ tập A\
 
0
có 9 phần tử nên có 9 cách chọn.
b phải là số lẻ nên b có 5 cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có: 9.5=45 số
d) Số lẻ và có hai chữ số khác nhau chính là các số lẻ ở câu c) trừ đi các số lẻ 1,3,5,7,9 Vậy ta có: 45-5 = 40 số.
II.2.3 Các bài toán sử dụng kết hợp qui tắc cộng và qui tắc nhân
Bài 1
Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?
Giải
Gọi A=
 
6,5,4,3,2,1

Các số tự nhiên bé hơn 100 gồm có một chữ số hoặc hai chữ số.
TH1) Có 6 số tự nhiên có một chữ số.
TH2) Giả sử số tự nhiên có hai chữ số có dạng

ab
với a,b thuộc A.
a đƣợc chọn từ tập A có 6 phần tử nên có 6 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a, b đƣợc chọn từ tập A có 6 phần tử nên có 6 cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có: 6.6 = 36 cách chọn.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: 36+6=42 cách chọn.
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
5
Bài 2
Có bao nhiêu số nguyên dƣơng gồm không quá 3 chữ số khác nhau?
Giải
Gọi A=
 
9,8,7,6,5,4,3,2,1,0

TH1) Số nguyên dƣơng có 1 chữ số đƣợc chọn từ tập A\
 
0
nên có 9 cách chọn.
TH2) Giả sử số nguyên dƣơng có 2 chữ số hình thành từ tập A có dạng
ab
với a,b

A.
a đƣợc chọn từ tập A\
 
0
có 9 phần tử nên có 9 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a thì b đƣợc chọn từ tập A\

 
a
nên có 9 cách chọn.
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 9.9 = 81 số
TH3) Giả sử số nguyên dƣơng có 3 chữ số hình thành từ tập A có dạng
abc
với a,b,c

A.
a đƣợc chọn từ tập A\
 
0
có 9 phần tử nên có 9 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a thì b đƣợc chọn từ tập A\
 
a
nên có 9 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a,b thì c đƣợc chọn từ tập A\
 
ba,
nên có 8 cách chọn
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 9.9.8 = 648 số.
Theo qui tắc cộng ta có: 9+81+648 = 738 số.
Bài 3
Một tổ gồm 6 HS nam và 4 HS nữ. Giáo viên chọn 3 HS để đi trực thƣ viện. Có bao nhiêu cách chọn nếu
a) Chọn HS nào cũng đƣợc?
b) Trong 3 HS đƣợc chọn có đúng một HS nữ đƣợc chọn?
c) Trong 3 HS đƣợc chọn có ít nhất một HS nữ đƣợc chọn?
Giải
a) HS1 đƣợc chọn từ 10 HS nên có 10 cách chọn.

HS2 đƣợc chọn từ 9 HS còn lại nên có 9 cách chọn.
HS3 đƣợc chọn từ 8 HS còn lại nên có 8 cách chọn.
Nhƣng nếu chọn nhƣ vậy sẽ có 6 cách chọn bị trùng lại.
Nên ta có (10.9.8) : 6 = 120 cách chọn.
b) Một HS nữ đƣợc chọn từ 4 HS nữ nên có 4 cách chọn.
Một HS nam đƣợc chọn từ 6 HS nam nên có 6 cách chọn.
Một HS nam còn lại đƣợc chọn từ 5 HS nam còn lại nên có 5 cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có: 4.5.6 = 120 cách chọn.
c) TH1) Trong 3 HS đƣợc chọn có đúng một HS nữ, vậy theo câu b) ta có 120 cách chọn.
TH2) Trong 3 HS đƣợc chọn có đúng hai HS nữ:
Một HS nữ đƣợc chọn từ 4 HS nữ nên có 4 cách chọn.
Một HS nữ thứ hai đƣợc chọn từ 3 HS nữ còn lại nên có 3 cách chọn.
Một HS nam đƣợc chọn từ 6 HS nam nên có 6 cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có: 4.3.6 = 72 cách chọn.
TH3) 3 HS đƣợc chọn đều là HS nữ:
HS nữ thứ nhất đƣợc chọn từ 4 HS nữ nên có 4 cách chọn.
HS nữ thứ hai đƣợc chọn từ 3 HS nữ còn lại nên có 3 cách chọn.
HS nữ thứ ba đƣợc chọn từ 2 HS nữ nên có 2 cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có: 4.3.2 = 24 cách chọn.
Vậy, theo quy tắc cộng ta có 120+72+24 = 216 cách chọn.


Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
6
Bài 4
Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách bƣớc lên tàu. Hỏi?
a) Có bao nhiêu trƣờng hợp về cách chọn toa của 4 hành khách?
b) Có bao nhiêu trƣờng hợp mà mỗi toa có một ngƣời lên?
c) Có bao nhiêu trƣờng hợp mà một toa có 3 ngƣời lên, một toa có 1 ngƣời lên và hai toa còn lại không có ai lên?

Giải
a) Ngƣời thứ nhất có 4 cách chọn toa.
Tƣơng tự, ngƣời thứ hai, ba, tƣ cũng có bốn cách chọn toa.
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 4.4.4.4 = 256 cách chọn.
b) Ngƣời thứ nhất có 4 cách chọn toa.
Ngƣời thứ hai có 3 cách chọn toa.
Ngƣời thứ ba có 2 cách chọn toa.
Ngƣời thứ tƣ có 1 cách chọn toa.
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 4.3.2.1 = 24 cách chọn.
Bài 5
Biển đăng ký xe ô tô có 6 chữ số và hai chữ cái đầu tiên trong 26 chữ cái (không dùng chữ I và O). Chữ số đầu tiên
khác 0. Hỏi số ô tô đăng ký nhiều nhất là bao nhiêu
Giải
Biển đăng ký xe có:
Hai chữ cái đầu tiên trong 24 chữ cái nên ta có: 24.24 = 576 cách chọn.
Chữ số đầu tiên khác 0 nên ta có: 9 cách chọn.
Năm chữ số còn lại không nhất thiết phải khác 0 và có thể trùng nhau nên ta có: 10.10.10.10.10 = 100000 cách
chọn.
Vậy theo quy tắc nhân ta có: 576.9.100000 = 518400000 cách chọn.

HOÁN VỊ - TỔ HỢP- CHỈNH HỢP

I. Sử dụng hoán vị thực hiện bài toán đếm:
Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, chúng ta thƣờng dựa trên dấu hiệu
đặc trƣng sau:
a. Tất cả n phần tử đều có mặt.
b. Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần.
c. Có sự phân biệt thứ tự giữa các phần tử.
d. Gọi P
n

là số hoán vị của n phần tử, ta có P
n
= n!
II. Sử dụng chỉnh hợp để giải bài toán đếm:
Để nhận dạng bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, chúng ta thƣờng dựa trên các
dấu hiệu đặc trƣng sau:
a. Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trƣớc
b. Có sự phân biệt thứ tự giữa k phần tử đƣợc chọn
III. Sử dụng tổ hợp để giải bài toán đếm:
Để nhận dạng 1 bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, chúng ta thƣờng dựa trên
dấu hiệu đặc trƣng sau:
a. Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trƣớc
b. Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử đƣợc chọn



Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
7
Hoán vị:

1) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 ngƣời khách gồm 3 nam và 2 nữ ngồi vào một hàng 8 ghế nếu:
a) họ ngồi chỗ nào cũng đƣợc?
b) họ ngồi kề nhau?
c) 3 nam ngồi kề nhau, 2 nữ ngồi kề nhau và giữa hai nhóm này có ít nhất một ghế trống?

2) Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 ngƣời khách
a) vào 5 ghế xếp thành một dãy.
b) vào 5 ghế chung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này.


3) Mƣời ngƣời muốn chụp ảnh chung. Họ muốn chụp nhiều ảnh khác nhau bằng cách đổi chỗ đứng lẫn nhau.
Cho rằng mỗi lần đổi chỗ và chụp ảnh mất 1 phút, hỏi cần bao lâu để có thể chụp tất cả các ảnh khác nhau?

4) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng ba chữ số này bằng 8?

5) Một dãy 5 ghế dành cho 3 nam sinh và 2 nữ sinh. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a) họ ngồi chỗ nào cũng đƣợc.
b) nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau.
c) chỉ có nữ sinh ngồi kề nhau.

6) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau biết rằng tổng ba chữ số này bằng 12?
Một phòng khách có 3 chỗ có thể đặt tranh, ảnh hoặc tƣợng. Chủ nhà muốn trang trí bằng cách xếp đặt 4
bức tranh khác nhau vào một chỗ, 3 tấm ảnh khác nhau vào chỗ thứ hai và 2 pho tƣợng khác nhau vào chỗ
còn lại. Hỏi có bao nhiêu cách trang trí phòng khách?

7) Ta muốn mời 6 ngƣời ngồi vào một dãy 6 ghế . Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a) Có 3 ngƣời trong bọn họ muốn ngồi kề nhau?
b) Có 2 ngƣời trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau?
c) Có 3 ngƣời trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau đôi một?

8) Một bàn dài có 12 ghế, mỗi bên 6 ghế. Ngƣời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 ngƣời khách gồm 6 nam và 6
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a) họ ngồi chỗ nào cũng đƣợc ?
b) nam ngồi một bên, nữ ngồi một bên ?
c) nam nữ ngồi đối diện nhau ?
d) nam nữ ngồi xen kẽ và đối diện nhau ?

Chỉnh hợp:
9) Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau đƣợc lấy từ các số đã cho,
sao cho:

a) Số đó chẵn
b) Số đó chia hết cho 5
c) Luôn có mặt chữ số 1 và 3

10) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau đƣợc lấy từ các chữ số
đã cho sao cho các số lẻ luôn đứng liền nhau.

11) Cho các số : 0,1,2,3,4,5,6
a) Có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 9 chữ số đƣợc lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có mặt 3 lần,
các số khác có mặt đúng 1 lần.
b) Có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 5 chữ số đƣợc lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có mặt 1 lần, các số
khác có mặt một vài lần.

12) Cho các số: 0,1,2,3,4,5. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số từ 4 số khác nhau đƣợc lấy từ các số đã cho. Sao cho:
a) Luôn có mặt chữ số 5.
b) Số đó chia hết cho 3.
c) Không bắt đầu từ chữ số 3.

13) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 6 chữ số đƣợc lấy từ các số đã cho sao cho:
a) Số đầu và số cuối giống nhau, các số giữa khác nhau.
b) 2 chữ số đầu và 2 chữ số cuối giống nhau.
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
8

14) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7
a) Có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 10 chữ số sao cho số 0 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 2 lần. Các số khác có
mặt một lần.
b) Có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số sao cho số 2 có mặt 2 lần, các số khác có mặt một vài lần.


15) Cho các số: 0,1,2,3,4,5. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho các số chẵn không đứng liền
nhau.

16) Một nhóm ngƣời thành lập một công ty. Họ muốn chọn một ban điều hành gồm một giám đốc,một phó
giám đốc và một thủ qũy. Có 10 ngƣời hội đủ điều kiện để đƣợc chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban
điều hành?

17) Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lƣu 11m. Có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) Cả 11 cầu thủ có khả năng nhƣ nhau? ( Kể cả thủ môn)
b) Có 3 cầu thủ bị chấn thƣơng và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4?

18) Một ngƣời muốn xếp đặt một số pho tƣợng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Có bao nhiêu
cách sắp xếp nếu:
a) Ngƣời đó có 6 pho tƣợng khác nhau?
b) Ngƣời đó có 4 pho tƣợng khác nhau?
c) Ngƣời đó có 8 pho tƣợng khác nhau?

19) Với năm số 1,2,3,4,5 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó số 1 có mặt hai lần các số còn lại
mỗi số có mặt đúng một lần?

20) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau biết rằng:
a) các số này chia hết cho 5?
b) trong các số này phải có mặt ba chữ số 0,1,2 ?

32) Với sáu số 2,3,5,6,7,8, ta muốn thành lập những số gồm bốn chữ số khác nhau.
a) Có bao nhiêu số nhỏ hơn 5000 ?
b) Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn 7000 ?

III – Tổ hợp:


21) Một lớp học có 30 học sinh. Trong đó có 12 nữ, cần thành lập một tổ công tác gồm 8 ngƣời. Có bao nhiêu
cách lập sao cho trong tổ có đúng 2 nữ.

22) Trong không gian cho một tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có thể lập
đƣợc bao nhiêu hình tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp đã cho.

23) Một bộ đề thi có 15 câu hỏi. Mỗi thí sinh phải rút ra 4 câu (4 câu rút ra là “ đề thi ” của thí sinh này).
a) Có bao nhiêu đề thi khác nhau? ( Hai đề thi đƣợc coi là khác nhau nếu có ít nhất một câu khác nhau. )
b) Tham gia kỳ thi có 2736 thí sinh. Chứng tỏ rằng có ít nhất 3 thí sinh gặp cùng một đề thi.

24) Một tổ trực gồm 9 nam sinh và 3 nữ sinh. Giáo viên trực muốn chọn 4 học sinh để trực thƣ viện. Có bao
nhiêu cách chọn nếu:
a) Chọn học sinh nào cũng đƣợc?
b) Có đúng một nữ sinh đƣợc chọn?
c) Có ít nhất một nữ sinh đƣợc chọn?

25) Một họ n đƣờng thẳng song song cắt một họ m đƣờng thẳng song song. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành
đƣợc tạo thành.

26) Cho tập X = {a, b, c, d }. Có bao nhiêu tạp con của X
a) Không chứa phần tử a?
b) Chứa phần tử a?

27) Một bình đựng 5 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ, chúng chỉ khác nhau về màu. Lấy ra hai viên.
a) Có bao nhiêu kết quả khác nhau?
b) Có bao nhiêu cách lấy ra đƣợc 2 viên bi xanh?, hai viên bi đỏ? Hai viên bi khác màu?
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
9


28) Giáo viên hƣớng dẫn lao động muốn chia 9 học sinh ra làm 3 nhóm gồm 4, 3, và 2 học sinh. Có bao nhiêu
cách chia?
29) Cho một đa giác lồi có n đỉnh (
4n 
).
a) Tính số đƣờng chéo của đa giác này;
b) Biết rằng ba đƣờng chéo không cùng đi qua một đỉnh thì không đồng quy, hãy tính số các giao điểm (
không phải là đỉnh ) của các đƣờng chéo ấy.

30) Một tổ trực gồm 8 nam sinh và 6 nữ sinh. Giáo viên trực muốn chọn một nhóm 5 học sinh. Có bao nhiêu
cách chọn nếu nhóm này phải có ít nhất một nữ sinh?

31) Giám đốc một công ty muốn chọn một nhóm 5 ngƣời vào hội đồng tƣ vấn. Trong công ty có 12 ngƣời hội
đủ điều kiện để đƣợc chọn, trong đó có hai cặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) Hội đồng này có đúng một cặp vợ chồng?
b) Hội đồng này không thể gồm cả vợ lẫn chồng ( nếu có )?

32) Tính số đƣờng chéo của một đa giác lồi có n cạnh. Tìm đa giác có số cạnh bằng số đƣờng chéo.

33) (ĐH-B-2002) Cho đa giác đều
1 2 2
( 2, )
n
A A A n n Z
nội tiếp đƣờng tròn (O). Biết rằng số tam giác
có các đỉnh là 3 trong 2n điểm
1 2 2
, , ,
n
A A A

nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n
điểm
1 2 2
, , ,
n
A A A
, tìm n?.

34) (ĐH-B-2004) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi
trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đƣợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi
khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ ) và số câu hỏi dễ
không ít hơn 2?.

35) (ĐH-B-2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngƣời gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?.

PHẦN 2
1 Sử dụng hoán vị thực hiện bài toán đếm:
Để nhận dạng một bài toán có sử dụng hoán vị của n phần tử, ta thƣờng dựa trên dấu hiệu đặc trƣng sau:
 Tất cả n phần tử đều có mặt.
 Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần.
 Có sự phân biệt thứ tự giữa các phần tử.
 Gọi P
n
là số hoán vị của n phần tử, ta có P
n
= n!
2 Sử dụng chỉnh hợp để giải bài toán đếm:
Để nhận dạng bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp, chúng ta thƣờng dựa trên các dấu hiệu đặc trƣng sau:
a) Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trƣớc

b) Có sự phân biệt thứ tự giữa k phần tử đƣợc chọn
c) Gọi A
n
k
là số phần tử chập k của n phần tử, ta có
( 1) ( 1)
k
n
A n n n k   
.
3 Sử dụng tổ hợp để giải bài toán đếm:
Để nhận dạng 1 bài toán đếm có sử dụng tổ hợp,chúng ta thƣờng dựa trên dấu hiệu đặc trƣng sau:
A. Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trƣớc
B. Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử đƣợc chọn

Bài tập: (Ba bài toán chọn cơ bản)
A/ Bài toán đếm số phƣơng án liên quan đến kiến thức thực tế
B/ Bài toán đếm số phƣơng án có liên quan đến hình học.
C/ Bài toán đếm số phƣơng án có liên quan đến số tự nhiên.
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
10

BÀI TOÁN ĐẾM LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TẾ

1. < 1 > Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem nhƣ đôi
một khác nhau ), ta chọn ra một bó gồm 7 bông.
a. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có đúng một bông hồng đỏ ?
b. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ ?
2. < 2 > ( HVKTQS –2000 ): Một lớp có 20 em h/s trong đó có 14 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu

cách lập một đội gồm 4 h/s trong đó:
a. Số nam nữ bằng nhau.
b. Có ít nhất 1 nữ.
3. < 3 > (ĐHYHN - 2000): Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý
nam. Lập một đoàn công tác 3 ngƣời cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý.
Hỏi có bao nhiêu cách?
4. < 4 > (ĐHĐN - 2000): Một tổ có 5 h/s nam và 5 h/s nữ xếp thành một hàng dọc
a. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ?
b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có h/s cùng giới đứng cạnh nhau ?
5. < 5 > (ĐHHuế - 2000): Một lớp có 30 h/s nam và 15 h/s nữ. Có 6 h/s đƣợc chọn ra để lập một tốp
ca. Hỏi có bao nhiêu cách lập khác nhau :
a. Nếu phải có ít nhất 1 nữ ?
b. Nếu chọn tuý ý ?
6. < 6 > (ĐHThái Nguyên – 2000 ): Một đội văn nghệ có 20 ngƣời, trong đó có 10 nam và 10 nữ.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 ngƣời sao cho:
a. Có đúng 2 nam trong 5 ngƣời đó.
b. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1nữ trong 5 ngƣời đó .
7. < 7 > (HVKTQS - 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 ngƣời. Trong ngày cần cử 3 ngƣời làm
nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 ngƣời làm nhiệm vụ ở địa điểm B, 4 ngƣời ở lại trực đồn. Hỏi có bao
nhiêu cách phân công?
8. < 8 > (ĐHGTVT – 2000): Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu
cách cử 3 ngƣời đi dự hội nghị sinh viên của trƣờng sao cho trong3 ngƣời có ít nhất một cán bộ
lớp?
9. < 9 > (HVCTQGHCM – 01 - 02): Một đội văn nghệ có 10 ngƣời trong đó có 6 nữ và 4 nam.
a. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành 2 nhóm có số ngƣời bằng nhau và mỗi nhóm có số
nữ nhƣ nhau ?
b. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 ngƣời mà trong đó có không quá 1 nam ?
10. < 10
*
> (ĐHCần Thơ - 01 - 02): Một nhóm gồm 10 h/s trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao

nhiêu cách xếp 10 h/s trên thành một hàng dọc sao cho 7 h/s nam phải đứng liền nhau ?
a. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ?
b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có h/s cùng giới đứng cạnh nhau ?
11. < 11 > > (ĐHHHHCM– 99- 2000): Có bao nhiêu cách xếp 5 h/s A, B, C, D, E vào một cái ghế dài
sao cho:
a. Bạn C ngồi chính giữa ?
b. Hai bạn A, E ngồi ở 2 đầu ghế ?
12. < 12 > (ĐHHuế – 2000): Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Ngƣời ta
chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không đủ cả 3 mầu ?

Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
11
13. < 13 > (HVQY – 99- 2000): Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào một
dãy 7 ô trống.
a.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau?
b.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp
cạnh nhau?
14. < 14 > (ĐHCần Thơ D - 99 - 00): Một nhóm h/s gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn trong mõi trƣờng hợp sau:
a. Có 3 h/s trong nhóm ?
b. Có 3 h/s trong nhóm trong đó có 2 nam và 1 nữ ?
15. < 15 > (ĐHCần Thơ A - 99 - 00): Trong một phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Ngƣời ta
muốn xếp chỗ ngồi cho 10 h/s gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu:
a. Các h/s ngồi tuỳ ý ?
b. Các h/s nam ngồi 1 bàn và các h/s nữ ngồi 1 bàn ?
16. < 16 > (ĐHluật HN - 99 - 00): Một đoàn tầu có 3 toa chở khách: toa I, toa II, toa III. Trên sân ga
có 4 hành khách chuẩn bị đi tầu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:
a. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên 3 toa tầuđó ?
b.Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên tầu để có 1 toa có 3 trong 4 hành khách trên

?
17. < 17 > (ĐHSPHN 2 –B- 99 - 00): Một trƣờng tiểu học có 50 h/s đạt danh hiệu cháu ngoan Bác
Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn 1 nhóm 3 h/s trong số 50 h/s trên đi dự đại hội
cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào . Hỏi có bao nhiêu
cách chọn ?
18. < 18 > (ĐHSPV –G- 99 - 00):Một tổ sinh viên có 20 em trong đó có 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7
em chỉ biết tiếng Pháp, và 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng
Anh, 4 em biết tiếng Pháp, 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
19. < 19 > (ĐHKT- 98 - 99): Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kỹ sƣ. Để lập một tổ công tác
cần chọn 1 kỹ sƣ làm tổ trƣởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao
nhiêu cách thành lập tổ công tác ?
20. < 20 > Để lập hồ sơ thi tuyển vào đại học, mỗi thí sinh cần thực hiện 2 việc:
- Chọn trƣờng thi có tất cả 33 trƣờng
- Chọn khối thi, mỗi trƣờng có 4 khối thi là A, B, C, D.
Hỏi có bao nhiêu cách lập hồ sơ ?
21. < 21 > Có 5 con đƣờng nối 2 thành phố X và Y, có 4 con đƣờng nối 2 thành
phố Y và Z. Muốn đi từ X đến Z phải qua Y.
a.Hỏi có bao nhiêu cách chọn đƣờng đi từ X đến Z ?
b.Có bao nhiêu cách chọn đƣờng đi và về từ X đến Z rồi về lại X bằng những con đƣờng khác
nhau?
22. < 22 > ở Việt Nam, mọi học sinh đã tốt nghiệp THPT đều có quyền dự thi
vào một trƣờng đại học( có 35 trƣờng ) hoặc một trƣờng cao đẳng ( có 25 trƣờng) hoặc một trƣờng
trung học chuyên nghiệp( có21 trƣờng ). Hỏi mỗi học sinh tốt nghiệp THPT có bao nhiêu
cáchchọn trƣờng thi ?
23. < 23 > Mỗi ngƣời sử dụng hệ thống máy tính đều có mật khẩu dài từ 6 đến 8 ký tự, trong đó mỗi
ký tự là một chữ hoa hay chữ số. Mỗi mật khẩu phải chứa ít nhất một chữ số. Hỏi mỗi ngƣời có
thể có bao nhiêu mật khẩu? Biết rằng có 26 chữ in hoa, 10 chữ số.
24. < 24 > Xếp 3 quyển sách toán, 4 quyển sách Lý, 2 quyển sách Hoá và 5 quyển sách Sinh vào một
kệ sách theo từng môn. Tất cả các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.

Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
12
25. < 25 > Có bao nhiêu cách chọn bốn cầu thủ khác nhau trong mƣời cầu thủ của đội bóng quần vợt
để chơi bốn trận đấu đơn, các trận đấu là có thứ tự ?
26. < 26 > (ĐHQG TPHCM – KA - 2000) Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó
có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và
đem tặng 6 em học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
a. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại văn
học và âm nhạc. Hỏi tất cả có bao nhiêu cách chọn sách để tặng?
b.Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 loại văn học, âm nhạc, hội
hoạ đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi tất cả có bao nhiêu cách chọn?
27. < 27 > Một lớp học có 40 h/s gồm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách lập ban cán sự lớp gồm:
a. 3 học sinh
b. 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ
c. 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam.
28. < 28 > (ĐH, CĐ 2005): Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngƣời, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi
tỉnh có 4 nam và 1 nữ ?
29. < 29 > (Đề thi CĐ 2005 – Khối D)
Một bó hồng gồm 10 bông hồng bạch và 10 bông hồng nhung. Bạn Hoa muốn chọn ra 5 bông để
cắm bình, trong đó phải có ít nhất 2 bông hồng bạch và 2 bông hồng nhung. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn?
30. < 30 > (ĐH 2004 – KB) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi
khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đƣợc bao nhiêu đề kiểm tra,
mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó,
trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ?
Lời giải
1. < 20 > Ta thấy có 33 cách lập trƣờng thi và ứng với mỗi cách chọn trƣờng đó, có 4
cách chọn khối để thi.
Do đó, có tất cả: 33. 4 =132 cách lập hồ sơ.

2. < 21 > a. Ta có: 5 cách chọn đƣờng đi từ X đến Y, ứng với mỗi cách chọn đƣờng đó có 4 cách
chọn đƣờng đi từ Y đến Z.
Do đó, có tất cả: 5. 4 = 20 cách chọn đƣờng đi từ X đến Z qua Y
b. Theo a) có 20 cách chọn đƣờng đi từ X đến Z qua Y
Khi trở về ứng với mỗi cách chọn đƣờng đó, từ Z đến Y có3 con đƣờng để chọn, do đó có 3 cách.
ứng với mỗi cách chọn đƣờng đó, từ Y về X chỉ còn lại 4 cách chọn.
Do đó, có tất cả 3. 4 = 12 cách chọn đƣờng đi về từ Z đến X qua Y. Vậy có tất cả: 20. 12 = 240
cách chọn đƣờng đi về trên tuyến
XZ
qua thành phố Y bằng những con đƣờng khác nhau
3. < 22 > Ta thấy:
- có 35 cách chọn trƣờng đại học
- Có 25 cách chọn trƣờng cao đẳng
- Có 21 cách chọn trƣờng trung học chuyên nghiệp
Khi đã chọn thi trƣờng đại học thì không chọn trƣờng thi là cao đẳng và chuyên nghiệp, tƣơng tự
với cao đẳng và trung học chuyên nghiệp, do đó có tất cả:
35 + 25 + 21 = 81 cách chọn trƣờng thi.
Nhận xét: Nhiều bài toán đếm phức tạp không thể giải được nếu chỉ sử dụng hoặc quy tắc nhân hoặc quy
tắc cộng. Nhưng chúng ta có thể giải được nếu sử dụng cả 2 quy tắc này.
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
13
4. < 23 > Gọi P là tổng số mật khẩu có thể và
6 7 8
,,P P P
tƣơng ứng là số mật khẩu dài 6, 7, 8 ký tự.
Theo quy tắc cộng ta có:
  
6 7 8
P P P P


Ta sẽ tính
6 7 8
,,P P P
:
- Tính
6
P
:
Số xâu dài 6 ký tự là chữ in hoa hoặc chữ số là:
6
36
. Vì mỗi vị trí có 36 cách chọn.
Số xâu dài 6 ký tự là chữ in hoa và không chứa chữ số nào là:
6
26
.Vậy:

66
6
36 26P

- Tƣơng tự:

77
7
36 26P




88
8
36 26P

Vậy, ta đƣợc:
  
6 7 8
P P P P
= 2684483063360
5. < 24 > Có 4 loại sách, do đó có 4! Cách sắp xếp theo môn.
ở mỗi loại sách có: 3! Cách sắp xếp sách toán.
4! Cách sắp xếp sách lý
2! Cách sắp xếp sách hoá
5! Cách sắp xếp sách sinh
Vậy có tất cả: 4!. 3!. 4!. 2!. 5! = 829440 cách sắp xếp.
6. < 25 > Mỗi cách chọn bốn cầu thủ của đội bóng là chỉnh hợp chập 4 của 10 phần tử.
Ta có:

4
10
5040A
cách chọn
7. < 26 > Số cách tặng sách là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự. Vậy số cách tặng là:
6
9
60480A 

1. Ta nhận xét rằng: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách.
+ Số cách chọn 6 sách từ 12 sách là:
6

12
665280A 

+ Số cách chọn sao cho không còn sách văn:
51
67
. 5040AA

+ Số cách chọn sao cho không còn sách nhạc:
42
68
. 20160AA

+ Số cách chọn sao cho không còn sách hội hoạ:
33
69
. 60480AA

+ Số cách chọn cần tìm là: 665280 – 85680 = 579600
8. < 27 > Ban cán sự lớp gồm 3 ngƣời trong lớp không có sự sắp xếp
a. Mỗi một ban cán sự 3 ngƣời là một tập con 3 phần tử của tập hợp 40 học sinh của lớp. Vậy
có:

3
40
9880C
cách lập ban cán sự lớp 3 ngƣời.
b. Có
1
25

C
cách chọn 1 học sinh nam và
2
15
C
cách chọn 2 học sinh nam.
Do đó có

12
25 15
. 2625CC
cách lập một ban cán sự lớp gồm 1 nam và 2 nữ
c. Có

3
15
455C
cách chọn 3 nữ sinh nên có 455 cách lập ban cán sự lớp 3 ngƣời toàn nữ.
Dó đó có: 9880 – 455 = 9425 cách lập ban cán sự 3 ngƣời ma trong đó có ít nhất một nam
9. < 28 > Nhận xét: Việc phân công vào 1 tỉnh không có sự sắp xếp
Có
14
3 12
.CC
cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất. Với mỗi cách phân công
các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất thì có
14
28
.CC
cách phân công các thanh niên tình

Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
14
nguyện về tỉnh thứ 2. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ 1 và tỉnh thứ
2 thì có
14
14
.CC
cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ 3.
Số cách phân công các thanh niên tình nguyện về 3 tỉnh thoả mãn yêu cầu bài toán là:

1 4 1 4 1 4
3 12 2 8 1 4
. . . . . 207900C C C C C C

10. < 29 > Bạn Hoa có 2 cách chọn bông cắm bình nhƣ sau:
Cách 1: Chọn 2 bông hồng bạch và 3 bông hồng nhung
+ Số cách chọn 2 bông hồng bạch trong 10 bông:
2
10
C

+ Với mỗi cách chọn 2 bông hồng bạch lại có
3
10
C
cách chọn 3 bông hồng nhung trong 10 bông.
Vậy cách 1 có
2
10

C
.
3
10
C
cách chọn bông.
Cách 2: Chọn 3 bông hồng bạch và 2 bông hồng nhung. Lập luận tƣơng tự nhƣ trên, ta cũng có
2
10
C
.
3
10
C
cách chọn bông.
Vậy bạn Hoa có số cách chọn bông là:
32
10 10
2 10800CC 
cách chọn
11. < 30 > Nhận xét: Nội dung đề không phụ thuộc vào việc sắp xếp thứ tự câu hỏi.
Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên có các trƣờng hợp sau:
- Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là:
2 2 1
15 10 5
. . 23625C C C 

- Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó, thì số cách chọn là:
2 1 2
15 10 5

. . 10500C C C 

- Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là:
3 1 1
15 10 5
. . 22750C C C 

Vì các cách chọn trên đôi một khác nhau, nên số đề kiểm tra có thể lập đƣợc là:
23625 + 10500 + 22750 = 56875

B/ Bài toán đếm số phương án có liên quan đến hình học.

1. < 1 > Cho 7 điểm trên mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng
a. Có bao nhiêu đƣờng thẳng mà mỗi đƣờng thẳng đi qua 2 trong 7 điểm nói trên?
b. Có bao nhiêu tam giác với các đỉnh là 3 trong 7 điểm nói trên ?
2. < 2 > Tìm số giao điểm tối đa của :
a. 10 đƣờng thẳng phân biệt?
b. 6 đƣờng tròn phân biệt?
c. 10 đƣờng thẳng và 6 đƣờng tròn trên?
3. < 3 > a. Có bao nhiêu đƣờng chéo trong một đa giác lồi n cạnh?
b. Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác n cạnh? Trong đó có bao nhiêu tam
giác có cạnh không phải là cạnh của đa giác n cạnh ?
4. < 4 > (ĐH, CĐ Khối B – 2003)
Cho đa giác đều

1 2 2
( 2, )
n
A A A n n Z
nội tiếp đƣờng tròn (O). Biết rằng số tam giác có đỉnh

là 3 trong 2n điểm
1 2 2
, , ,
n
A A A
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n
điểm
1 2 2
, , ,
n
A A A
, tìm n.
5. < 5 > (ĐHCSND - 1999 - 2000):Cho tam giác ABC, xét tập hợp 4 đƣờng thẳng song song với AB,
5 đƣờng thẳng song song với BC và 6 đƣờng thẳng song song với AC. Hỏi các đƣờng thẳng này
tạo đƣợc:
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
15
a.Bao nhiêu tam giác ?
b. Bao nhiêu hình thang ( Không kể hình bình hành ) ?
c. Bao nhiêu hình bình hành ?
6. < 6 > ( CĐSP -A- dự bị - 02 – 02 ): Cho đa giác lồi n cạnh. Xác định n để đa giác có số đƣờng
chéo gấp đôi số cạnh ?
7. < 7 > ( ĐHNT- 01 – 02 ):Trong mặt phẳng cho thập giác lồi
1 2 10
A A A
. Xét tất cả các tam giác
mà 3 đỉnh của nó là đỉnh của thập giác. Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3
cạnh của nó đều không phải là cạnh của thập giác ?
8. < 8 > ( HVNH- D- 2000 ):Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có 20 cạnh. Xét các tam giác mà

3 đỉnh của nó lấy từ các đỉnh của (H).
1. Có tất cả bao nhiêu tam giác nhƣ vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của
(H) ?
2. Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H) ?
3. Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của (H) ?
9. < 9 > Cho 2 đƣờng thẳng song song.Trên đƣờng thứ nhất có 10 điểm. Trên đƣờng thứ hai có 20
điểm. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho ?
10. < 10 > (ĐHCĐ - B - 2002):Cho đa giác đều
1 2 2

n
A A A
(
2n 
, n nguyên ) nội tiếp đƣờng tròn
( 0). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm
1 2 2
, , ,
n
A A A
nhiều gấp 20 lần số
hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm
1 2 2
, , ,
n
A A A
, tìm n.
11.
Lời giải:
1. < 1 > a. Mỗi cặp điểm không kể thứ tự, trong 7 điểm đã cho xác định một đƣờng thẳng và ngƣợc

lại. Vậy, số đƣờng thẳng đi qua 2 trong 7 điểm nói trên bằng:

 
  

2
7
7! 6.7
21
2! 7 2 ! 1.2
c
đƣờng thẳng.
b. Mỗi bộ 3 điểm không kể thứ tự, trong 7 điểm đã cho xác định một tam giác và ngƣợc lại. Vậy
số tam giác có đỉnh là 3 trong 7 điểm nói trên bằng:
2. < 2 > a. Hai đƣờng thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm. Số giao điểm tối đa của 10 đƣờng thẳng
phân biệt là số tổ hợp chập 2 của 10, do đó bằng:
 


2
10
10!
45
2! 10 2 !
C
điểm
b. Hai đƣờng tròn phân biệt có tối đa 2 giao điểm. Số giao điểm tối đa của 6 đƣờng tròn phân biệt
gấp 2 lần số tổ hợp chập 2 của 6, do đó bằng:

2

6
2. 2.15 30C
điểm.
c. Một đƣờng thẳng cắt một đƣờng tròn tối đa tại 2 điểm. Do đó số giao điểm tối đa của 10 đƣờng
thẳng phân biệt với 6 đƣờng tròn phân biệt bằng:
10.6.2
=120 điểm
Khi đó, số các giao điểm bằng: 45 + 30 +120 = 195 điểm
3. < 3 > a. Ta có: * Mỗi đa giác lồi n cạnh thì có n đỉnh.
*Mỗi đoạn thẳng nối 2 đỉnh bất kỳ, không kể thứ tự, thì hoặc là 1 cạnh, hoặc là một
đƣờng chéo của đa giác đó.
Vậy số đƣờng chéo của đa giác n cạnh bằng:

2
n
Cn

b. Số tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác n cạnh là số tổ hợp n chập 3:
 



3
! ( 1)( 2)
3! 3 ! 6
n
n n n n
C
n


Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
16
Số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác gồm 2 loại:
* Số tam giác chỉ có 1 cạnh bằng
1
4n
C


* Số tam giác 2 cạnh bằng
1
n
C

Suy ra, số tam giác có 1 hoặc 2 cạnh của đa giác là:

 
1 1 1 1 1 1
4 3 3
!
. ( 4) ( 3) . .
!!
n n n n n n
n
C C C n n n n n nC C C
r n r
  
       



Vậy, số tam giác có cạnh không phải là đa giác là:


       
     
2
3 1 1
3
( 2)( 1) ( 2)( 1) 6 ( 3) ( 9 20)
. ( 3)
6 6 6
n n n
n n n n n n n n n n n
C C C n n

4. < 4 > Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉểm
1 2 2
, , ,
n
A A A
là
3
2n
C

Gọi đƣờng chéo của đa giác đều

1 2 2
( 2, )

n
A A A n n Z
đi qua tâm đƣờng tròn (O) là đƣờng
chéo lớn thì đa giác đã cho có n đƣờng chéo lớn.
Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm
1 2 2
, , ,
n
A A A
có các đƣờng chéo là 2 đƣờng
chéo lớn. Ngƣợc lại, với mỗi cặp đƣờng chéo lớn ta có các đầu mút của chúng là 4 đỉnh của 1 hình
chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật nói trên bằng số cặp đƣờng chéo lớn của đa giác
1 2 2

n
A A A
, tức
 
2
!
!!
n
n
C
r n r
.
Theo giả thiết thì:
   
32
2

(2 )! ! 2 (2 1)(2 2) ( 1)
20 20 20
3! 2 3 ! 2! 2 ! 6 2
nn
n n n n n n n
CC
nn
  
     



    2 1 15 8nn
.

CÁC BÀI TOÁN ĐẾM LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TỰ NHIÊN

Khi giải bài toán đếm liên quan đến số tự nhiên ta cần lƣu ý:
 Nắm vững qui tắc cộng nhân.
 Ta thƣờng gọi số tự nhiên cần tìm là
1 2 3

n
n a a a a
sau đó căn cứ vào đầu bài đi chọn
từng chữ số một.Số nào yêu cầu cao thì chọn trƣớc.
 Khi chọn các chữ số cần phân tích câu văn đầu bài cặn kẽ, nắm chắc bản chất của từng đối
tƣợng từ đó tìm tập xác định và các khả năng có thể.
 Cẩn thận khi có số 0.
 Phải luôn luôn nghĩ tới phần bù, nếu phần bù đơn giản hơn ta tìm phần bù trƣớc.


Bài tập:
1. < 1 > ( ĐHQG HCM - 99) Với các số 1,2,5,7,8 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 3
chữ số phân biệt thoả mãn điều kiện:
a. Là 1 số chẵn. b. Là 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 278.
c. Là 1 số chẵn và nhỏ hơn hoặc bằng 278.
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
17
2. < 2 > Xét một dãy số gồm 7 chữ số ( Mỗi chữ số đƣợc chọn từ các số 0, 1 ,2, 3, 4,…9 ) thoả mãn
tính chất:
- Chữ số ở vị trí thứ 3 chẵn.
- Chữ số ở vị trí cuối cùng chia hết cho 5.
- Các chữ số ở vị trí thứ 4, 5, 6 đôi một khác nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu dãy số nhƣ vậy ?
3. < 3 > ( ĐHCSND – 99- 99):với 10 chữ số từ 1 >9 có thể lập đƣợc thành bao nhiêu chữ số gồm 5
chữ số khác nhau?
4. <4> ( ĐH Đà Lạt – D): có 10 chữ số khác nhau
a. Lập bao nhiêu chữ có 5 chữ cái ?
b. Lập bao nhiêu chữ có 5 chữ cái khác nhau?
5. <5> (ĐHSPV–Đ28-99-00): Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập đƣợc bao
nhiêu số, mỗi số gồm 4 chũ số, đôi một khác nhau và chia hết cho 10.
6. <6> (ĐHSPV - B - 99- 00): Có 5 số tự nhiên 1, 2, 3, 4, 5 . Hỏi có bao nhiêu số có 3 chữ số đôi
một khác nhau tạo thành từ 5 số đã cho?
7. <7> ( ĐHYHN – 99 – 00)
Có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn có năm chữ số khác nhau lấy từ các số 0, 2, 3, 6, 9,
8. <8> ( CĐSPHN - Đ36)
Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng có ghi 1 trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 3 miếng từ 5 miếng bìa
này đặt lần lợt cạnh nhau từ trái qua phải để đợc các số gồm 3 chữ số. Hỏi lập đợc bao nhiêu số có
ngiã gồm 3 chữ số và trong đó có bao nhiêu số chẵn.
Chú ý: các chữ số đôi một khác nhau do mỗi số chỉ chỉ có một miếng bìa.

9. <9> (ĐHQGHCM - Đ3 – 00 – 01)
1. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ?
2. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số
chẵn.
10. <10>( ĐHSPHN2 - Đ8):
Có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ ctrong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần các chữ
số khác có mặt một lần.
11. <11> Với các số 0, 1, 2, 3, 4, ,5 ta có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó số 1 có mặt
3 lần mỗi số khác có mặt 1 lần
12. <12> ( ĐHHuế – 00 – 01 - Đ26) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 từ các chữ số đã cho lập đợc:
1. Bao nhiêu chữ số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau đôi một?
2. Bao nhiêu chữ số chia hết cho 5, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau đôi một.
3. Bao nhiêu chữ số chia hết cho 9, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau đôi một.
.
13. <13> Ngời ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 nh sau: Trong mỗi số đợc viết có
một chữ số xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần. Hỏi có bao nhiêu số nh vậy.
14. <14> Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đợc viết bởi duy nhất 3 chữ số 1, 2, 3, trong đó chữ số
2 xuất hiện 2 lần.
15. < 15 > Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số ?
16. < 16 > Cho A = {1,3,5,6,8}.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số lấy từ các chữ số trong tập A ?
17. < 17 > Cho A = {0,1,2,3,5,7,9}.
Từ tập A có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi 1 khác nhau.
18. < 18 > Với tập E = {1,2,3,4,5,6,7} có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 5 số phân biệt và:
a. Trong đó có chữ số 7.
b. Trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn luôn là chữ số 1.
19. <19 > Với 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau:
a. Không bắt đầu từ chữ số 1
b. Không bắt đầu từ 123.
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.

Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
18
20. < 20 > Cho E = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau
lấy từ E trong mỗi trƣờng hợp sau:
a. Là số chẵn.
b. Một trong 3 số đầu tiên bằng 1.
21. < 21 > Từ các số 0,1,2, ,9 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao Cho trong
các số đó có mặt chữ số 0 và 1.
22. < 22 > Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau sao
cho trong các số đó phải có mặt chữ số 5.
23. < 23 > Cho các chữ số 0,2,4,5,6,8,9. Hỏi có thể lập đƣợc bao nhiêu số:
a. Có 3 chữ số mà trong mỗi số các chữ số khác nhau.
b. Có 4 chữ số khác nhau và có chữ số 5.
24. < 24 > Với 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và thoả mãn:
a. Mỗi số nhỏ hơn 40000.
b. Mỗi số nhỏ hơn 45000.
25. < 25 > Cho các số 0,1,2, ,9 có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn
60000 xây dựng từ 10 chữ số đó.
26. <26 > Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đƣợc :
a. Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau.
b. Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau.
27. < 27 > Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau có thể lập đƣợc từ các chữ số 0,2,4,6,8.
28. < 28 > Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đƣợc :
a. Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số 6,7.
b.Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 số trên sao cho:
1. Chữ số đầu tiên là 3.
2. Các chữ số đều khác nhau.
3. Không tận cùng bằng chữ số 4.
29. < 30 > Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}. Từ tập A:
a. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số.

b. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số lẻ.
c. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi 1 khác nhau.
d. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau và chia hết cho 5
e. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi 1 khác nhau sao cho chữ số đứng cuối
chia hết cho 4.
30. < 31 > Với 4 chữ số 1,2,3,4 có thể lập đƣợc bao nhiêu số có các chữ số phân biệt.
31. < 32 > Với 5 chữ số 1,2,3,4 ,5 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và là
a. Số lẻ.
b. Số chẵn.
32. < 33 > Từ 7 chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau.
(ĐHAN - 97 )
33. < 34 >Từ 6 chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau trong đó có
bao nhiêu số chia hết cho 5.
34. < 35 > Từ 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,7,8 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và
không chia hết cho 5.
35. < 36 > Từ 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và số đó
không chia hết cho 10.

Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
19
Lời giải
<1> Cách 1: Đặt E = {1,2,5,7,8 }.
Gọi số tự nhiên gồm 3 chữ số là
n
321
aaa
(
0
1

a
)
a. Do
n
chẵn nên a
3


{2,8}

a
3
có 2 cách chọn
a
1


E \ {a
3
}

a
1
có 4 cách chọn
a
2


E \ {a
1

,a
3
}

a
2
có 3 cách chọn
Vậy: có 2.3.4 = 24 cách chọn hay có 24 số.
Cách 2: a. Do
n
chẵn nên a
3


{2,8}

a
3
có 2 cách chọn
a
1
, a
2
là 1 bộ phận biết thứ tự đƣợc chen từ E\{a
3
} do đó nó là một chỉnh hợp chập 2

2
4
A

cách
chọn.
Theo qui tắc nhân, số các số chẵn gồm 3 chữ số phân biệt hình thành từ tâp E bằng 2.
2
4
A
= 24
(số).
b. Do
n
nhỏ hơn 278 nên a
1


{1;2}.
Trƣờng hợp 1: Nếu a
1
= 1 thì a
2


E\{a
1
}

a
2
có 4 cách chọn
a
3



E \ {a
1
,a
2
}

a
3
có 3 cách chọn


có 1.4.3 = 12 cách chọn .
Trƣờng hợp 2: nếu a
1
= 2 thì a
2


E\{2,8}

a
2
có 3 cách chọn
a
3


E \ {a

1
,a
2
}

a
3
có 3 cách chọn


có 1.3.3 = 9 cách chọn .
Vậy: có 12 + 9 = 21 cách chọn số có 3 chữ số phân biệt và nhỏ hơn 278. Tức là có 21 số thoả mãn
c. Do
n
chẵn nên a
3


{2,8} và số cần tìm nhỏ hơn 278 nên a
1


2.
Trƣờng hợp 1: nếu a
1
= 2

a
1
có 1 cách chọn

a
3


{2,8}

a
3
có 2 cách chọn
a
2


E \ {a
1
,a
3
}

a
2
có 3 cách chọn


có 1.2.3 = 6 cách chọn .
Trƣờng hợp 2: nếu a
1
= 2

a

1
có 1 cách chọn
a
3


{2,8}\{a
1
}

a
3
có 1 cách chọn
a
2


E \ {a
1
,a
3
}

a
2
có 3 cách chọn


có 1.1.3 = 3 cách chọn .
Vậy: có 6 + 3 = 9 cách chọn số tự nhiên chẵn gồm các chữ số khác nhau và nhỏ hơn hoặc bằng 278. Tức

là có 9 số thoả mãn ycbt.
< 15 > Các số tự nhiên là: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là :
321
aaa
(
0
1
a
)
Do a
1


{1,2,3,4,5,6,7,8,9} nên a
1
có 9 cách chọn.
Do a
2


{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} nên a
2
có 10 cách chọn.
Do a
3


{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} nên a
3

có 10 cách chọn.
Vậy: có 9.10.10 = 900 cách chọn hay có 900 số thoả mãn ycbt.
< 16 > Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm là
4321
aaaa
(
0
1
a
)
Ta thấy: a
1
có 5 cách chọn.
a
2
có 5 cách chọn.
a
3
có 5 cách chọn.
a
4
có 5 cách chọn.
Do đó theo qui tắc nhân có: 5.5.5.5 = 625 cách chọn hay có 625 số thoả mãn.
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
20
< 17 > Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi 1 khác nhau là:
4321
aaaa
(

0
1
a
)
Do a
1
khác 0 nên a
1
có 6 cách chọn.
Sau khi chọn a
1
còn 6 số tự nhiên nên a
2
có 6 cách chọn.
Tƣơng tự, a
3
có 5 cách chọn.
a
4
có 4 cách chọn.
Vậy: có 6.6.5.4 = 720 cách chọn hay có 720 số thoả mãn ycbt.
<18> Gọi số cần tìm là
54321
aaaaa
(
0
1
a
)
Giả sử a

1
= 7 khi đó số cần tìm có dạng:
5432
7 aaaa

Vì a
2
, a
3
, a
4
, a
5
là 1 bộ phận phân biệt thứ tự đƣợc chọn từ E\{7}
nên có
4
6
6!
360
21
A 

số.
Do số 7 ở vị trí bất kỳ nên ta có thể đổi chỗ của các vị trí a
1
, a
2
, a
3
, a

4
, a
5
.
Vậy có
4
6
5.A
= 1800 cách chọn hay có 1800 số thoả mãn ycbt.
b. Gọi số cần tìm là
54321
aaaaa
(
0
1
a
)
Do chữ số hàng nghìn bằng 1 nên a
2
= 1
Chọn 1 vị trí trong 4 vị trí còn lại là chữ số 7 nên có 4 cách chọn.
Ba vị trí còn lại là bộ phận phân biệt thứ tự đƣợc chọn từ E \ {1,7} nên có
3
5
A
cách chọn.
Vậy: số các số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập E trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn luôn
là chữ số 1 bằng 1.4.
3
5

A
= 240 số
< 19 > Đặt E = {1,2,3,4,5}
a. * Gọi số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau là:
54321
aaaaa
(
0
1
a
)
a
1
có 5 cách chọn.
a
2
có 4 cách chọn.
a
3
có 3 cách chọn.
a
4
có 2 cách chọn.
a
5
có 1 cách chọn.
Vậy có : 5.4.3.2.1 = 120 số.
* Gọi số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau, bắt đầu bằng chữ số 1 là:
abcd1
thì : a có 4

cách chọn ( vì a

E \ {1})
b có 3 cách chọn ( vì b

E \ {1, a})
c có 2 cách chọn ( vì c

E \ {1, a, b})
d có 1 cách chọn ( vì d

E \ {1, a, b, c})
suy ra có: 4.3.2.1 số bắt đàu từ chữ số 1 .
Vậy:số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, không bắt đầu bằng chữ số 1 là: 120 - 24 = 96 số.
b. Gọi số tự nhiên gồm 5 chữ số bắt đầu bằng chữ số 123 là:
xy123
gồm 5 chữ số khác nhau.
x có 2 cách chọn ( vì x

E \ {1,2,3})
y có 1 cách chọn ( vì y

E \ {1,2,3,x})


có 2.1 = 2 số.
Vậy: các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, không bắt đầu bằng chữ số123 gồm có 120 - 2 = 118 số.
< 20 >
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014

21

I – Giai thừa:

1) Cho n

2. Chứng minh rằng:
 
 
2
2!
4
.
1
!
n
n
n
n



2) Cho x>0, n

N. Chứng minh rằng:
23
1 .
2! 3! !
n
x

x x x
ex
n
     

3) Giải phƣơng trình:
 
 
   
   
! 1 ! 3 ! 6 1 !
.
2 ! 2 ! 1 !
x x x x
x x x
    

   

4) Chứng minh rằng :
 
2
!.
n
nn

5) Với n là số lẻ, n

3, x


0. Chứng minh:
2 3 2 3
1 . 1 1.
2! 3! ! 2! 3! !
nn
x x x x x x
xx
nn
   
          
   
   

6) CMR:
   
 
 
 
1!
!!
6.
6! 6 ! 5! 5 ! 6! 5 !
n
nn
n
n n n

  
  


7) CMR:
 
1.1! 2.2! . ! 1 ! 1.nn n     

8) CMR:
1
. ( 1) ( , )
nm
nC m C m n Z
m n m n

  


9) CMR:
22
( 2, )
1
C C n n n Z
n
n

   


10) CMR:
-
. . ( , , , , )
-
r k k r k

C C C C r k n N r n k r
n r n n r
   

11) CMR:
1
2 -1 1
( )
2 2 2 2
2
nn
C C C n Z
n n n

  


12) CMR:
-1
-1
n
rr
CC
n
n
r


13) CMR:
 

23
1
1
2. 3
1 2 -1 -1
2
p
n
C C C C
nn
n n n n
C p n
n
pn
C C C
C
n n n
n

      

14) CMR:
, 2 n N n  
ta có
 
1
1 1 1

2 2 2
23

n
n
A A A
n

   

15) CMR
2 2 2 5
1 3 5 5
1
. . . . . !. .
2
k n n n n
P A C A n k A
   


16) CMR:
-2
( -1) ( 1)
-2
kk
k k C n n C
n
n


17) CMR:
-1

(0 )
-1 -1
k k k
C C C k n
n
nn
   

18) CMR:
2
. ( ) 0 )(1)
2
2 2 -
n n n
C C C k n
n
n k n k
  


19) CMR:
1

11
k k k
A A kA
n
nn





20) CMR:
1 2 3 1
2 3 1
nn
P P P nP P

     

21) CMR:
3
3
2
2
32
4
1
52













k
m
C
k
m
C
k
n
C
k
n
C
k
n
C
k
n
C

Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
22
22) CMR:
1 2 3
33
3
k k k k k
C C C C C
n n n n

n
  
   


23) CMR:
-1 -2
2 (2 )
2
k k k k
C C C C k n
n n n
n
    


24) CMR:
1 2 3 3 2
2 5 4
32
k k k k k k
C C C C C C
n n n n
nn
    
    


25) CMR:
12

2 (2 ,)
2
k k k k
C C C C k n
n n n
n

    


26) CMR:
. . . ( , ; , , )
r k k n k
a C C C C r n k r n r k Z
n r n
rk

   



+ + +
1
. ( )
1
1 2 1
. ( )
1 2 1
n
r

rr
b C C r n
nr
r r r r
c C C C C r n
n n n r





  

  

27) CMR:

0 1 1 2 2 5 5
1) . . . .
5 5 5 5 5
1 2 1
2)
1 2 1
1 2 3 4
3) 4. 6. 4.
4
3 1 2
4) 3. 3
3
k k k k k

C C C C C C C C C
n n n n
n
r r r r
C C C C
n
n n r
k k k k k k
C C C C C C
n n n n n
n
k k k k k
C C C C C
n n n n
n
  
    

  
   
  
   
    

  
   



111

5) 2
2
m m m
n n n
m
C C C C
n

  



3 12
6) 3 3
3
1 2 3 2 3
7)2 5. 4.
23
kkk k k
C C C C C
n n n n
n
k k k k k k
C C C C C C
n n n n
nn
 
   

    

    


28) CMR:
1000
(0 k 2000)
2001 2001 2001 2001
1 1001k k
C C C C    

( ĐHQGHN – A –99- 00 )
29) CMR:
100 100
22
50
10 2 10 2
100
C

30)
 
12
2
2 2 .
k k k k
n n n n
C C C C k n


    


31)
 
1 2 3
3
3 3 3 .
k k k k k
n n n n n
C C C C C k n
  

     

32) Chứng minh :
11
1
.
k k k
n n n
C C C




Chứng minh rằng với 4

k

n thì:
1 2 3 4

4
4. 6. 4. .
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
   

    


GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CÓ GIAI THỪA
33) Tìm số nguyên dƣơng n thỏa mãn các điều kiện:
a)
3
20
n
An
; b)
54
2
18
nn
AA


; c)
21
3.
nn
AA


34) Giải phƣơng trình :
   
5
25
720 . .
n
nn
P A P



79
21

 x
x
x
x
o
x
CCC


 
32
1
1
3.
2

nn
n
A A P



xCA
x
xx
14
23



xxCCC
xxx
14966
2321


33
86
5
x
xx
CA





Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
23
2
7
321
x
CCC
xxx


1
4
2
1
1
6
711


xxx
CCC


1
1
1
.
72
y

x x y
x
AP
P





 
31
11
14 1 ;
x
xx
A C x


  

 
2
2 2 3 1
12
. 4 .
x x x
C A x A




22
1
3. 2. .
xx
C A x




35) Giải bất phƣơng trình:
a)
4 3 2
1 1 2
5
0.
4
x x x
C C A
  
  
b)
4
1
3
3
1
14. .
x
x
x

A
P
C





c)
21
11
2000.
xx
xx
CC



d)
xAA
xx
215
23


e)
10
6
2
1

322
2

xxx
C
x
AA
g)
2
5
3
60
( )!
k
n
n
P
A
nk






h)
12
22
5
2

nn
n n n
C C A



i)

36) Giải bất phƣơng trình sau: ( ĐHBK – 2000- 2001 ):

2 2 3
2
16
10
2
x x x
A A C
x
  
ĐS:
3; 4xx

37) Giải hệ phƣơng trình:
2:5:6::
11
1



y

x
y
x
y
x
CC
C
ĐS: x = 8; y = 3
38) Giải hệ phƣơng trình:
1 1 1
11
( ): : 10:2:1
y y y y
x x x x
A yA A C
  



39) Giải hệ phƣơng trình:









1

12
35
y
x
y
x
y
x
y
x
CC
CC

2 5 90
5 2 80
yy
xx
yy
xx
AC
AC











IV – Nhị thức Newton:

40) Chứng minh bất đẳng thức:
 
12
. 2 1 .
nn
n n n
C C C n    


41) Chứng minh:
1
1 2 1
.
k k k k k
k k k k m k m
C C C C C

    
    


42) Cho m

k

n. Chứng minh:
0 1 1 2 2

.
k k k m k m k
m n m n m n m n m n
C C C C C C C C C
  

    


43) Chứng minh rằng:
   
0 1 2
1 1 0.
kn
kn
n n n n n
C C C C C        

44) a) Chứng minh:
1
0 1 2
22
. . .
1
n
n
n
n n n n
C C C C
n









b. Chứng minh:
 
2
2 2 2

n n n
n k n k n
C C C




45) a) Chứng minh:
   
2 3 2
2.1. 3.2. . 1 . . 1 .2 .
nn
n n n
C C n n C n n

     


b) Chứng minh:
     
2 2 2
01
2
.
nn
n n n n
C C C C   

46) Tìm x để trong khai triển:
6
1
12
lg 1x
xx





có số hạng thứ 4 bằng 200.
Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
24
47) Trong khai triển
17
3
4
3

2
1
.x
x




Tìm số hạng không chứa x của khai triển.
48) (ĐH-D-2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của
7
3
4
1
x
x




với
x > 0.
49) Khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức:
       
5 6 7 11
1 1 1 1 .x x x x       
Ta đƣợc một đa thức:
2 11
( ) 0 1 2 11
. . . .

x
P A A x A x A x    

Tính
7
A
=?.

50) Khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức
 
9
23
1 xx
. Ta đƣợc một đa thức:
22
0 1 2

x
P A A x A x   
. Tính
7
.A


51) (ĐH-A-2004) Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển của biểu thức:
 
8

2
1 1 .xx





52) Tìm hệ số của
3
x
trong khai triển của biểu thức:
 
       
2345
1 1 1 1 .
x
P x x x x       

53) Trong khai triển:
7
3
2
1
x
x






.Tìm số hạng chứa
2
x
của khai triển đó.
54) (ĐH-A-2003) Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhị thức Newton của:
5
3
1
n
x
x




, biết
rằng:
1
43
7( 3)
nn
nn
C C n


  
( n là số nguyên dƣơng, x > 0 ).


55) (ĐH-D-2003) Với n là số nguyên dƣơng, gọi
33n
a

là hệ số của
33n
x

trong khai triển thành đa thức của
 
 
2
1 2 .
n
n
xx
Tìm n để
33
26 .
n
an




56) (ĐH-A-2006) Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển nhị thức Newton của:

7
4
1
n
x
x




, biết
rằng:
1 2 3 20
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1.
n
n n n n
C C C C
   
     
( n là số nguyên dƣơng, x > 0 ).

57) Trong khai triển:
21
3
3
ab
ba






. Tìm số hạng có số mũ của a và b nhƣ nhau.

58) Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị:
0 1 2
, , , , .
n
n n n n
C C C C


59) Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển:
 
n
ab
, biết rằng tổng các hệ số bằng 4096.

60) (ĐH-A-2008) Cho khai triển:
 
01
1 2 .
n
n
n
x a a x a x    
Trong đó
*
nN

và các hệ số
0 1, ,
,
n
a a a
thỏa mãn hệ thức:
1
0
4096
22
n
n
a
a
a    
. Tìm số lớn nhất trong các số:
01
, , , .
n
a a a


61) (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức:
1
1
1 1 1 1
0 1 1
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

n n n
nn
x x x x
x x x x
nn
n n n n
C C C C


   
   

       
     
     
       
     
     
       
( n là số
nguyên dƣơng ). Biết rằng trong khai triển đó
31
5
nn
CC
và số hạng thứ tƣ bằng 20n, tìm n và x.

Chuyen đề tổ hợp- xác suất.
Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014
25

62) (ĐH-A-2005) Tìm số nguyên dƣơng n sao cho:
 
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 2 1 .2 2005.
nn
n n n n n
C C C C n C

    
      


63) (ĐH-B-2003) Cho n là số nguyên dƣơng. Tính tổng:
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1
.
2 3 1
n
n
n n n n
C C C C
n

  
   




64) (ĐH-D-2002) Tìm số nguyên dƣơng n sao cho:
0 1 2
2 4 2 243.
nn
n n n n
C C C C    


65) (ĐH-D-2005) Tính giá trị của biểu thức:
 
43
1
3
,
1!
nn
AA
M
n




biết rằng:
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
   

   
( n là số nguyên dƣơng ).

<1> CMR:
1919
20
17
20
5
20
3
20
1
20
2  CCCCC
( CĐSP bến tre –A- 02 – 03 )
Hd: khai triển: ( 1+ x)
20
cho x =1, x = -1
<2> CMR:
144332211
3 2.4.2.3.2.2.2


nn
nn
n
n
n
n

n
n
n
nCnCCCC

Hd: + Dùng khai triển:
(1 )
n
x
,Lấy đạo hàm hai vế + Cho x = 1/2
<3> CMR:
1 2 3 1
2. 3. .2
nn
n n n n
C C C nC n

    
Hd: + Dùng khai triển:
(1 )
n
x
+
Cho x = 1.
<4> CMR:
1717
17
172
17
1521

17
161
17
0
17
17
74 3.4.3.4.3  CCCC
Hd: Khai triển: ( 3x + 4)
17
,
cho x =1
<5> CMR:
0 1 2 2 3 3
6 6 6 6 7
n n n
n n n n n
C C C C C     
Hd: Khai triển: ( 1 + x)
n
, cho x =6
<6> CMR:
       
 
n
n
n
n
nnnn
CCCCC
2

2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
0
2
1 

<7
*
> CMR:
k
nm
mkm
m
k
nm
k
nm
k
nm
CCCCCCCCC




22110

<8> CMR:
       
n
n
n
nnnn
CCCCC
2
22
2
2
1
2
0


<9> Tính I =
1
2
0
(1 ) ( )
n
x x dx n N


3. Bài tập tƣơng tự
< 1 > Cho n  Z

+
, Tính
n
n
C
n
n
C
n
CS
1
1

2
3
1
1
2
1
1


( ĐHSPHCM 2000 - D – E )
< 2 >

Tính tổng
1 2 3 1
2 3 ( 1) . , , 3
nn
S C C C nC n N n

n n n n

       
( ĐHBK- A- 99-2000
)
< 3 > 1/ Tính I =
)(
1
0
19
)1( Nndxxx 



2/ Rút gọn
0 1 2 19
19 19 19 19
1 1 1 1

2 3 4 21
S C C C C    
( ĐHNN- I- 99 –
00)