Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN
GIÁO VIÊN: ĐẶNG MẠNH HÙNG
TỔ: TOÁN
CÁC LOẠI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

ax+by=c
a'x+b'y=c'



1. Cách giải và biện luận
* Tính
' '
' '
' '
' '
' '
' '
x
y
a b
D ab a b
a b
c b
D cb c b
c b
a c
D ac a c
a c

= = −
= = −
= = −
+ Nếu
0
' '
a b
D
a b
≠ ⇔ ≠ ⇒
hệ phương trình có nghiệm duy nhất
x
y
D
x
D
D
y
D

=




=


+ Nếu
0

' '
a b
D
a b
= ⇔ =
- Nếu
0 0
x y
D D≠ ∨ ≠ ⇒
hệ phương trình vô nghiệm
- Nếu
0 0
x y
D D= ∨ = ⇒
hệ phương trình vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm
VD:
0x+0y=1
0x+0y=3



có
0
x y
D D D= = =
nhưng hệ phương trình vô nghiệm.
2. Ý nghĩa hình học
Ta có:
ax+by=c
là pt của đường thẳng

1
d
trong mặt phằng

a'x+b'y=c'
là pt của đường thẳng
2
d
trong mặt phằng
+
0D
≠ ⇔
hệ phương trình có nghiệm duy nhất
⇔
1
d
cắt
2
d
tại 1 điểm.
+
0
0 0
x y
D
D D
=

⇔


≠ ∨ ≠

hệ phương trình vô nghiệm
⇔

1 2
d dP
+
0
x y
D D D= = =
⇒
hệ phương trình vô số nghiệm
⇔

1 2
d d≡
3. Bài tập
Chuyên đề hệ phương trình GV:Đặng Mạnh Hùng
1
Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
Bài 1: cho hệ phương trình
mx+y=m-1
x+my=m+1



a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn
2y x≥ +
b. Giả sử hệ phương trình có nghiệm

( )
0 0
;x y
thỏa mãn
0 0
2y x≥ +
Tìm
0 0
MaxZ x y= +
Giải:
2
2
2
1
1
1
1 1
2 1
1
1
1
1 1
x
y
m
D m
m
m
D m m
m m

m m
D m
m
= = −
−
= = − −
+
−
= = +
+
a. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
0 1D m
⇔ ≠ ⇔ ≠ ±
Cần có nghiệm thỏa mãn
2 2
2 2
2
2
1 2 1
2 2
1 1
2
0 1 2
1
m m m
y x
m m
m m
m
m

+ − −
≥ + ⇔ ≥ +
− −
− −
⇔ ≤ ⇔ < ≤
−
b. Với
1 2m< ≤
ta có:

( )
(
]
(
]
0 0
2
1;2
2
1
2
' 0 1;2
1
4
=Z(2)=
3
axZ
m
m
Z x y

m
Z Z m
m
M
∈
= + =
+
= > ⇒ ↑ ∀ ∈
+
Bài 2: Tìm b để mọi a hệ phương trình
2
x+2ay=b
ax+(1-a)y=b



có nghiệm
Giải:
2
2
2
2
2
1 2
1 2
1
2
2
1
1

x
y
a
D a a
a a
b a
D b ab ab
b a
b
D b ab
a b
= = − −
−
= = − −
−
= = −
+ Khi
2
1
0 2 1 0
1
2
a
D a a
a
≠ −


≠ ⇔ − − + ≠ ⇔ ⇒


≠


hệ phương trình có nghiệm mọi b
Chuyên đề hệ phương trình GV:Đặng Mạnh Hùng
2
Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
+ Khi
2
1
0 2 1 0
1
2
a
D a a
a
= −


= ⇔ − − + = ⇔

=

- Với a=-1
2
22
2( )
2
2
x

y
D b b
x y b
x y b
D b b

= +
− =


⇒ ⇔
 
− = −
= +


có nghiệm
( )
2
x y
0
D =D =0
1
2
b
b b hay
b
=



⇔ = − ⇔

= −

- Với
1
2
a = −
2
2
1 1
2
2 2
x y b
x y b
x y b
x y b
+ =

+ =


⇒ ⇔
 
+ =
+ =



có nghiệm

2
0
2
1
2
b
b b
b
=


⇔ = ⇔

=

KL: Hệ phương trình có nghiệm với mọi x khi b=0
Bài 3: Tùy theo m, tìm giá trị nhỏ nhất hàm

( ) ( )
2
2
2 4 2 2P x my x m y= + − + + − 
 
Ghi nhớ:
0
0
* ( )
* s/c f(x)=m(DK =)
* ( )
* s/c f(x)=m(DK =)

in ( )
ax ( )
x D
x D
f x m D
m
x D
f x m D
m
x D
M f x
M f x
∈
∈
≥ ∀

= ⇔

∃ ∈

≤ ∀

= ⇔

∃ ∈


Giải:
Có
0 ,P x y≥ ∀


2 0
0
4 2( 2) 1 0
x my
P
x m y
+ − =

= ⇔

+ − − =

có nghiệm

1
2 4
4 2( 2)
m
D m
m
= = − −
−
+
0 2D m≠ ⇔ ≠ − ⇒
hệ phương trình có nghiệm duy nhất
min
0P⇒ =
+
0 2D m= ⇔ = − ⇒

hệ phương trình
2 2
2 2
1
4 8 1
2
4
x y
x y
x y
x y
− =

− =


⇔
 
− =
− =




Hệ phương trình vô nghiệm
0P
⇒ >
khi đó
( ) ( )
2 2

2 2 4 8 1P x y x y= − − + − −
Đặt t=x-2y
Chuyên đề hệ phương trình GV:Đặng Mạnh Hùng
3
Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
Cách 1:
2 2 2
min
( 2) (4 1) 17 12 5
6
' 34 12 0
17
49 6
khi t=
17 17
P t t t t
P t t
p
⇒ = − + − = − +
= − = ⇔ =
=
Cách 2:sử dụng tính chất của hàm số bậc 2
a=17>0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng
' 49
17a
∆
− =
tại
' 6
17

b
x
a
= − =
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho hệ phương trình
3
ax+by= ab+3
ax b y

+ =




Tìm a, b để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x=y=1.
Bài 2: Cho hệ phương trình
( )
2
4 4
x+ m+3 y=2m+3
mx y m

+ = +




a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
x y≥

b. Với m tìm được, xác định min của A=x+y
Bài 3: Tìm a, b để hệ phương trình
( )
3 4 5 3
x+my=ma-2b+2m-1
m x y a b m+ + = + +




có nghiệm
m∀
Bài 4: Tìm min của
( ) ( )
2 2
2 1 2 5P x y x my= − + + + +
Bài 5: Giải và biện luận :
( )
( )
1 4
1-b x+ay=3
ax b y+ − =




B. Hệ phương trình bậc cao
I. Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài toán: Giải hệ phương trình


2 2
ax 0 (1)
Ax 0 (2)
bxy cy dx ey f
By C

+ + + + + =

+ + =

Phương pháp chung:
Cách 1: Được áp dụng cho mọi yêu cầu của dạng trên và thông thường bài toán được cho bới
dạng:
Cho hệ phương trình (I)
a. Giải hệ với một giá trị cụ thể của tham số
b. Có thể gặp các câu hỏi:
+ Giải và biện luận hệ theo tham số.
Chuyên đề hệ phương trình GV:Đặng Mạnh Hùng
4
Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm.
+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm duy nhất.
+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có 2 nghiệm phân biệt.
Khi đó ta nên làm:
Bước 1: Từ phương trình (2) rút x hoặc y rồi thế vào (1) khi đó ta được phương trình bậc 2
theo x hoặc y, giả sử:
f(x,m)=0 (3)
Bước 2: Giải câu a bằng cách thay giá trị cụ thể của tham số vào (3) từ đó có được x rồi suy ra
y.
Bước 3: Giải câu b

Nếu câu hỏi là:
+ Giải và biện luận hệ theo tham số ta sẽ đi giải và biện luận (3).
+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm ta sẽ đi tìm điều kiện để (3) có nghiệm
+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm duy nhất ta sẽ đi tìm điều kiện để (3) có nghiệm
duy nhất.
+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có 2 nghiệm phân biệt ta sẽ đi tìm điều kiện để (3) có hai
nghiệm phân biệt.
Cách 2: Phương pháp đồ thị
Được áp dụng cho các bài toán chỉ đòi hỏi:
+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm
+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm duy nhất.
+ Tìm điều kiện của tham số để hệ có 2 nghiệm phân biệt.
Khi đó ta làm như sau:
Bước 1: Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét các đường:

2 2
(C) ax 0 bxy cy dx ey f+ + + + + =
là một đường cong bậc 2.

+ + =(d):Ax 0 By C
là một đường thẳng
Bước 2: Dựa vào vị trí tương đối của (C) và (d) ta được câu trả lời cho yêu cầu bài toán.
Bài tập:
Bài 1: cho hệ phương trình


+ =

+ =


2 2
4 8 (1)
2 (2)
x y
x y m
a. Giải hệ phương trình khi m=4
b. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.
Chuyên đề hệ phương trình GV:Đặng Mạnh Hùng
5
Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
Giải:
Từ phương trình (2) ta được:
= −2y m x (3)
Thay vào (1) ta được:
+ − = ⇔ − + − =
2 2 2 2
( ) 8 2 2 8 0 (4)x m x x mx m
a. Với m=4 thì
( )
⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ =
2 2
4 2 8 8 0 4 4 0 2x x x x x
Thay x=2 vào (3) ( với m=4) ta được: y=1
Vậy với m=4 hệ phương trình có một cặp nghiệm là: x=2; y=1
b. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m
xét phương trình (4) ta có:
∆ = −
2
' 16 m
+ Nếu

∆ < ⇔ − < ⇔ >
2
' 0 16 0 4m m
Phương trình (4) vô nghiệm hay hệ phương trình vô nghiệm
+ Nếu
∆ = ⇔ − = ⇔ = ±
2
' 0 16 0 4m m
Với m=4: như trường hợp a
Với m=-4: thì (4) có nghiệm x=-2 thay vào (3) ta được:y=-1
+ Nếu
∆ > ⇔ − > ⇔ <
2
' 0 16 0 4m m
Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt là:

+ −
=
2
16
2
m m
x

− −
=
2
16
2
m m

x
Với
+ −
=
2
16
2
m m
x
thay vào (3) ta được:
− −
=
2
16
4
m m
y
Với
− −
=
2
16
2
m m
x
thay vào (3) ta được:
+ −
=
2
16

4
m m
y
Vậy hệ có 2 nghiệm
Kết luận:
- Với
4m >
, hệ phương trình vô nghiêm
- Với
4m <
hệ phương trình có 2 nghiệm
- Với m=4 hoặc m=-4 hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 2: Giải hệ phương trình

2 2
9 4 36 (1)
2 5 (2)
x y
x y

+ =

+ =

Giải:
Chuyên đề hệ phương trình GV:Đặng Mạnh Hùng
6
Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
Cách 1: Phương pháp thế
Ta có:

8 9
(1) 25 2 40 64 0
5 5
x x x y⇒ − + = ⇔ = ⇒ =
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
Cách 2: Phương pháp lượng giác hóa
Ta có:
2 2
(1) 1
4 9
x y
⇔ + =
Đặt :
)
2sin
, 0,2
3cos
x t
t
y t
π

=

∈


=

Thay (2) vào (1)

2 2
sin os 1t c t+ =

4 8
sin
5 5
3 9
cos
5 5
t x
t y
 
= =
 
 
⇔
 
 
= =
 
 
Vậy hệ có nghiệm
Bài 3: tìm m để hệ phương trình có nghiệm

2 2
x 1 0 (1)
4 (2)
y mx my m
x y


+ + + − − =

+ =

Có hai cặp nghiệm
( )
1 1
;x y
và
( )
2 2
;x y
thỏa mãn:
( )
2
2
1 2 1 2
( ) 4x x y y− + − =
Giải:
Cách 1: Phương pháp thế
Ta có:
( )
2 2 2
1 (4 ) (4 ) 1 0 2 8 15 3 0 (3)x x mx m x m x x m⇒ + − + + − − − = ⇔ − + + =
Hệ có 2 nghiệm phân biệt khi (3) có hai nghiệm phân biệt hay:
7
' 0 14 6 0
3
m m∆ > ⇔ − − > ⇔ < −
Khi đó: (3) có 2 nghiệm

1 2
,x x
thỏa mãn:

1 2
1 1
2 2
1 2
4
4
3 15
4
2
x x
y x
m
y x
x x

+ =

= −
 
⇒
 
+
= −
=





Khi đó:
2 2
1 2 1 2
8
4 ( ) ( ) 2( 6 14)
3
x x y y m m= − + − = − − ⇔ = −
thỏa mãn
Vậy với
8
3
m = −
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chuyên đề hệ phương trình GV:Đặng Mạnh Hùng
7
Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Giải hệ phương trình

2 2
2
4 1
3 4
x xy y
y xy

− + =



− =


Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất.

2 2
9 16 144x y
x y m

− =

− =

Bài 3: Cho hệ phương trình:

2 2
1x y
x y a

+ =

− =

Xác định các giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 4: Cho hệ phương trình:

2 2
0
0

x y x
x ay a

+ − =

+ − =

a. Giải hệ khi a=1
b. Tìm a để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c. Gọi
( )
1 1
;x y
và
( )
2 2
;x y
là các nghiệm của hệ đã cho. CMR:
( )
2
2
2 1 2 1
( ) 1x x y y− + − ≤
II. Hệ phương trình đối xứng loại I
1. Nhận dạng: Nếu thay x bởi y và y bởi x mà từng phương trình trong hệ phương trìnhệ
không thay đổi. Thì có hệ phương trình đối xứng loại I
VD:
( ) ( )
3 3
1 1 3

2
x y
x y xy
 + + =


+ + =


2. Cách giải chung.
+ Biến đổi từng phương trình trong hệ phương trình chứa x+y & xy
Đặt

= +

=

S x y
P xy
.
Khi đó có hệ phương trình 2 ẩn S, P
+ Tìm nghiệm S, P. Nếu
2
4S P≥ ⇒
có 2 nghiệm x, y
3. Các trường hợp riêng.
+ Hệ phương trình đối xứng vơi x & -y
+ Hệ phương trình đối xứng với xy khi đặt S= x+y và P=xy. Hệ phương trình 2 ẩn S, P phức
tạp ta chọn cách đặt ẩn phụ khác để nhận được hệ phương trình đơn giản hơn.
Chuyên đề hệ phương trình GV:Đặng Mạnh Hùng

8
Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
4. Hệ phương trình chứa tham số
* Nếu giải theo cách đặt S, P
+ đk
o
n ,x y∃
là
2
n S, P
+ S 4P
o

+∃


≥


+ đk
o
n∃
duy nhất x, y là:
2
n S, P
+ S =4P
o

+∃





+ Nếu giải theo cách đặt ẩn phụ khác: điều kiện tồn tại nghiệm giải theo phương pháp biến số (
Tách biến, xét hàm)
Chú ý: điều kiện nghiệm duy nhất ta có thể làm theo cách điều kiện cần và đủ
+ đk cần: gsử hệ phương trình có nghiệm
( )
0 0
;x y
do tính đối xứng nên
( )
0 0
;y x
cũng là nghiệm
của hệ phương trình. Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì
0 0
x y=
thay vào hệ phương
trình tìm ra m
+ đk đủ: thay m tìm được vào hệ phương trình thử lại và kết luận.
5. Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a.
3 3
8
2 2
x y
x y xy


+ =

+ + =

b.
( )
( )
2 2
4 4 2 2
7 1
21 2
x y xy
x y x y

+ + =


+ + =


Giải:
a.
2 2 2
( )( ) 8 ( )[( ) 3 ] 8
2 2 2 2
x y x xy y x y x y xy
x y xy x y xy
 
+ − + = + + − =
⇔

 
+ + = + + =
 
(I)
Đặt:
Đ

= +
≥

=

2
ieàu kieän: s 4p
s x y
p xy
Hệ (I) thành:

− =

+ =

2
( 3 ) 8
2 2
s s p
s p
Bài 2: Giải hệ phương trình :
( )
( )

2 2
2 2
( ) 13
( ) 25
x y x y
x y x y

− + =


+ − =


( hệ phương trình đối xứng x, -y)
Bài 3: Giải hệ phương trình :
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy

− + =


− + = −


( Dự bị 07)
HD: đặt a=x

2
;b=xy
Chuyên đề hệ phương trình GV:Đặng Mạnh Hùng
9
Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
Bài 4: Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1
( )(1 ) 5
1
( )(1 ) 49
x y
xy
x y
x y

+ + =




+ + =


Đặt u=x+1\x; v=y+1\y
Bài 5: Giải hệ phương trình
2 2
( 1)( 1) 12
8

xy x y
x y x y
+ + =


+ + + =


Bài 6:
2 2
8
9 9 10
x y
x y
+ =



+ + + =


Bài 7: Tìm m để hệ phương trình
2 2
1x xy y m
x y y x m
+ + = +


+ =


có nghiệm x, y>0
Chú ý: Để giải đk
2
4S P≥
bắt buộc ta phải tính ra S, P thay vào giải gián tiếp
Bài 8: Tìm m để hệ:
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y

+ + + =




+ + + = −


có nghiệm
Bài 9: Giải hệ phương trình sau:
1.
2 2
2 2 2

3( )
7( )
x xy y x y
x xy y x y

− + = −


+ + = −


8.
13
6
5
x y
y x
x y

+ =



+ =

2.
2 2
3 3
3
3

3( )
6
x y x y xy
x y

+ = +


+ =


9.
2 2
2 2
1 1
5
1 1
5
x y
x y
x y
x y

+ + + =




+ + + =



3.
3
1 1 4
x y xy
x y

+ − =


+ + + =


10)
4 4
34
2
x y
x y

+ =

+ =

4.
2 2
( 1)( 1) 10
( )( 1) 3
x y
x y xy


+ + =

+ − =

11)
( 1)( 1) 10
( )( 1) 25
x y
x y xy
+ + =


+ + =

5.
3 3
2
26
x y
x y
+ =


+ =

12 )
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) 185

( ) 65
x xy y x y
x xy y x y

+ + + =


− + + =


6.
2 2
2
4
x xy y
x xy y
+ + =


+ + =

13)
( 1)( 1) 72
( 1)( 1) 2
xy x y
x y
+ + =


− − =


7.
y x=30
x x +y y=35
x y

+




Bài 11: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
Chuyên đề hệ phương trình GV:Đặng Mạnh Hùng
10
Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
a.
2 2
8
( 1)( 1)
x y x y
x y m

+ + + =

+ + =

c.
5( ) 4 4
1
x y xy

x y xy m
+ − =


+ − = −

b.
x y m
x y xy m

+ =


+ − =


d.
1 3
2( 1)
x y m
x y m

+ − − =


+ = +


Bài 12: Tìm m để
2 2

1 ( 1) 1
1
x y m x y
x y xy

+ − − + − =


+ = +


III. Hệ phương trình đối xứng loại II
1. Nhận dạng: nếu thay x thành y, y thành x trong hệ gốc mà pt(1) của hệ trở thành pt (2) ;
pt(2) trở thành pt(1).
2. Dấu hiệu: Các hằng số có mặt ở 2 pt giống hệt nhau.
3. Cách giải
B1: Trừ các vế của 2pt được: (x-y).g(x;y)=0
B2: Dùng phương pháp thế được nghiệm hệ
(Độ phức tạp phụ thuộc vào g(x;y)=0)
Chú ý: Nếu trong các pt của hệ còn chứa hàm căn, logarit,mũ… ta có thể dùng cách biến
đổi hoặc đặt ẩn phụ đưa hệ về hệ đơn giản.
Bài tập hệ phương trình
Bài 1:
1)
2
2
3 2
3 2
x x y
y y x


= +


= +


7)
3
3
2
2
x x y
y y x

= +


= +


2)
2
2
3
2
3
2
x y
x

y x
y

= +




= +


8)
2 2
2 2
2 2
2 2
x y x y
y x y x

− = +


− = +


3)
9 7 4
9 7 4
x y
y x


+ + − =


+ + − =


9)
3
3
1 2
1 2
x y
y x

+ =


+ =


4)
2
2
2
2
2
3
2
3

y
y
x
x
x
y

+
=



+

=


10)
2
2
1
2
1
2
x y
y
y x
x

= +





= +


5)
2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x

=

−



=

−


11)
2 2
2 2
x y
y x

+ − =


+ − =


Chuyên đề hệ phương trình GV:Đặng Mạnh Hùng
11
Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
6)
1
2
1
2
x
y
y
x

+ =





+ =


12)
4 2 2
4 2 2
x y
y x

+ − =


+ − =


13)
1 1
1 1
x y
y y

+ + =


+ + =


Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
1)

2 1
2 1
x y m
y x m

+ − =


+ − =


3)
3
3
x y m
y x m

+ − =


+ − =


2)
4 2
4 2
x y m
y x m

+ − =



+ − =


4)
1 2
1 2
x y m
y x m

+ + − =


+ + − =


Bài 3: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất?
1)
2
2
x y y m
y x x m

= − +


= − +



4)
2
2
2
2
m
x y
y
m
y x
x

= +




= +


2)
2 3 2
2 3 2
3 2
3 2
x y y my
y x x mx

= − +



= − +


5)
2
2
( 1)
( 1)
x y m
y x m

+ = +


+ = +


3)
2 3 2
2 3 2
4
4
x y y my
y x x mx

= − +


= − +



6)
3
3
2
2
x y x m
y x y m

= + +


= + +


IV. Hệ phương trình đẳng cấp
1. Định nghĩa
* Biểu thức
( )
f x;y
gọi là đẳng cấp bậc k nếu
( )
f mx;my ( ; )
k
m f x y=
* Hệ:
( ; )
( ; )
f x y a

g x y b

=

=

trong đó
( )
f x;y
và
( )
g x;y
đẳng cấp gọi là hệ đẳng cấp.
2. Cách giải
+ xét x=0 ( Hoặc y=0) thay vào hệ=> kết luận có nghiệm hay không có nghiệm
+ x#0 đặt y=kx thay vào hệ chia các vế 2 pt được pt ẩn k
3.Bài tập
1)
2 2
2 2
2 4
2 2 4
x xy y
x xy y

+ + =


+ + =



6
2
3 3
( ) 2
19
x y y
x y

− =


− =


2)
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15
x xy y
x xy y

+ − =


− − =


7

2 2
2
4 1
3 4
x xy y
y xy

− + =


− =


Chuyên đề hệ phương trình GV:Đặng Mạnh Hùng
12
Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
3)
2 2
2 2
2 ( ) 3
( ) 10
y x y x
x x y y

− =


+ =



8
y x=30
x x +y y=35
x y

+




4)
3 3
2 2
8 2
3 3( 1)
x x y y
x y

− = +


− = +


9)
3 3
2 2
7
2 3 16
y x

x y xy

− =


+ =


5
2 2
2 2
3 1
3 13
x xy y
x xy y

− + = −


− + =


10)
2 2
2 2
( )( ) 3
( )( ) 15
x y x y
x y x y


− − =


+ + =


C. MỘT SỐ BÀI TẬP DẠNG KHÁC
1.
2
2
1 ( ) 4
( 1)( 2)
x y y x y
x y x y

+ + + =


+ + − =


2.
3 3
2 2
8 2
3 3( 1)
x x y y
x y

− = +



− = +


3.
2 2
2
2
1
xy
x y
x y
x y x y

+ + =

+


+ = −

4.
2 2
3 3
1
3
x y xy
x y x y


+ + =


+ = +


5.
3 3 2
4 4
1
4 4
x y xy
x y x y

+ − =


+ = +


6.
2 2
2
3 85
4 4( )
( ) 3
1 13
2
3
xy x y

x y
x
x y

+ + + =

+



+ =

+

7.
2 2
2 2
4 0
2 5 2 0
x y x y
x xy y x y

+ + + − =


+ − − + + =


8.
3

4 1 1 2
x y x y
x y x

− = −


+ − − = −


9.
2
2
1
3
1
3
x
x
y y
x
x
y y

+ + =




+ + =



10.
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y

+ + − + =


+ =


11.
3 2
2 2
3 49
8 8 17
x xy
x xy y y x

+ = −


− + = −


12.
( ) ( )

2 2
1 1
1
1
log 1 .log 2
6
x y
x y

+ =




− − = −


13.
2 2
2 3
2 2
2 3
log (1 3 1 ) log (1 ) 2
log (1 3 1 ) log (1 ) 2
x y
y x

+ − = − +



+ − = − +


14.
( )
( )
2
2
2 3 18
5 9 0
x x x y
x x y

+ + =


+ + − =


15.
3 3
2 2
7( )
2
x y x y
x y x y

− = −



+ = + +


16.
( )
2
3 3
2
19
x y y
x y

− =


− =


17.
2
( 2)(2 ) 9
4 6
x x x y
x x y
+ + =


+ + =

18.

3 3 3
2 2
1 19
6
x y x
y xy x

+ =


+ = −


19.
2 2
2
4 2
log ( ) 5
2log log 4
x y
x y

+ =

+ =

20.
( )
2
2

log 3
log
2 2
9 3
3 3 6
xy
xy
x y y x

=


+ = + +


Chuyên đề hệ phương trình GV:Đặng Mạnh Hùng
13
Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
21.
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+


= −


+
=

 +
22.
log log
2 2 3
y x
x y
xy y

=


+ =


23.
2 2
1
2 2
x y x
x y y x
x y
+ −


+ = +


− = −


24.
( )
( )
4
4
4
4
3 1
8 6 0
y x
x y
x y
x y
−
−

+ =


+ − =


25.
2 3

2
6
6
x x
y y
xy xy

   
+ =

 ÷  ÷

   

+ =

26.
( )
3
3 4
1 1 3
log 1
y
x
x
x
y x

−
+ − =




+ =

27. Tìm a để hệ có nghiệm 28.
( )
3 3
2 2
4 16
1 5 1
x y y x
y x

+ = +


+ = +



2
2
2
3 1 1
1
1
x a y
x y a
y y


− + =


+ + =

+ +


29.
8 8
log log
4 4
4
log log 1
y x
x y
x y

+ =

− =

30.
( ) ( )
2 3
2 2
log log 1
2
x y x y

x y
 + − − =


− =


31.
4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y
 − + =


− =


32.
( )
(
)
2 2
3 3
3
3
2 3
6
x y x y xy

x y

+ = +



+ =

33.
3 2 1
0
x y x y
x y x y

+ − + = −


+ + − =


34.
( )
1 4
4
2 2
1
log log 1
25
y x
y

x y

− − =



+ =

35.
( )
2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y

− + − =


− =


36.
2 1
2
2 4 4 2 5 1
2 2 1
2 4 4 2 5 1
y

x x x
x
y y y







−
+ − + = +
−
+ − + = +
37.
2 2
2 2
12
12
x y y x
x y x

+ + − =


− =


38.
3

2
x y x y
x y x y

− = −


+ = + +


39.
2 2
2 2
1 1
3 4
y x
y x
x y

+ +
=



+ =

40.
3
2
2 1

3 2
2 1
log ( 3) 1
x
x
y
y x
+

−
+ =

+


− = +

41.
2 2
4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y

+ + + =

+ + + + =

42.
2 2

3 2
8 12
2 12 0
x y
x xy y

+ =


+ + =



Chuyên đề hệ phương trình GV:Đặng Mạnh Hùng
14
Trường THPT Quế Võ 3 Tổ Toán
43.
3 2 16
( 2) ( 4) 33
xy x y
x x y y
− − =


− + − =

44.
2 2
2 2
2 3 5

2 3 2
x y x y
x y x y

+ + + + + =


− − + + + + =



Chuyên đề hệ phương trình GV:Đặng Mạnh Hùng
15