Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng

CÁC TẬP HỢP ĐIỂM THƯỜNG GẶP
TRONG MẶT PHẲNG PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
Nguyễn Văn Thiết
GV THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế
Trong chương trình Toán Giải tích lớp 12 hiện hành có chương IV về số phức. Trong
sách giáo khoa có các bài tập tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức. Đây là dạng bài tập khó
đối với học sinh. Bài viết này nhằm giúp các em học sinh có thể nhận dạng từng loại tập hợp
điểm và từ đó dễ dàng làm quen với dạng toán này, đồng thời có thể giúp các em làm được các
bài tập nâng cao để ôn thi tốt nghiệp 12 và ôn thi vào đại học.
Trong bài này, để cho gọn, thay vì nói “ điểm M biểu diễn số phức z ” ta nói “ điểm M
có tọa vị z ” và ký hiệu là
( )
M z
, tương tự thay vì nói “ véctơ
u
r
biểu diễn số phức w ” ta nói
“ véctơ
u
r
có tọa vị w ” và ký hiệu là
( )
u w
r
.
I- CÁC TẬP HỢP ĐIỂM THƯỜNG GẶP.
1) Tập hợp điểm là đường tròn hoặc hình tròn:
Trong mặt phẳng phức cho điểm A có tọa vị a và số thực dương R.
a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn

z a R− =
là đường tròn tâm A, bán kính R.
b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn
z a R− <
là hình tròn tâm A, bán kính R
( không kể đường tròn biên ).
c) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn
z a R− >
là phần của mặt phẳng nằm bên
ngoài hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ).
Chứng minh:
Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z. Khi đó tọa vị của véctơ
AM
uuuur
là
z a−
, suy ra
AM AM z a= = −
uuuur
.
a) Ta có
z a R− =

AM R
⇔ =

⇔
M thuộc đường tròn tâm A bán kính R.
b) Ta có
z a R− <


AM R
⇔ <

⇔
M thuộc hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể
đường tròn biên ).
c) Từ đó suy ra tập hợp điểm M có tọa vị z thỏa mãn
z a R− >
là phần của mặt phẳng
nằm bên ngoài hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ).
Ví dụ 1: ( Bài tập 20 trang 214 SGK Giải tích 12 nâng cao )
Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức
( )
1 3 2i z+ +
trong đó
1 2z − ≤
.
Lời giải:
Đặt
( )
1 3 2w i z= + +
thì
2
1 3
w
z
i
−
=

+
.
Do đó theo giả thiết
1 2z − ≤

2
1 2
1 3
w
i
−
⇔ − ≤
+

( )
3 3 2 1 3w i i⇔ − + ≤ +


( )
3 3 4w i⇔ − + ≤
. Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn có tâm
( )
3 3E i+
, bán kính
4R =

kể cả đường tròn biên. Đó là hình tròn có phương trình
( )
( )
2

2
3 3 16x y− + − ≤
.

Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 1
Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng

2) Tập hợp điểm là đường thẳng:
Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B theo thứ tự có tọa vị a, b và k là tham
số thực.
Nếu
1k ≠
thì tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn
z a
k
z b
−
=
−
là đường thẳng AB, trừ điểm B.
Chứng minh:
Giả sử M là điểm có tọa vị z thỏa mãn
z a
k
z b
−
=
−
. Khi đó véctơ
AM

uuuur
có tọa vị là
z a−
,
véctơ
BM
uuuur
có tọa vị là
z b−
.
Nếu
z b≠
và
1k ≠
thì
z a
k
z b
−
=
−
( )
z a k z b⇔ − = −

AM kBM⇔ =
uuuur uuuur

MA kMB⇔ =
uuur uuur


⇔
Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số
1k ≠

⇔
M thuộc đường thẳng AB, trừ điểm B
( vì
z b≠
).
3) Tập hợp điểm là đường trung trực hoặc nửa mặt phẳng:
Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A và B lần lượt có tọa vị a và b.
a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn
1
z a
z b
−
=
−
là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn
1
z a
z b
−
<
−
là nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là
đường trung trực của đoạn thẳng AB ( không kể đường trung trực ).
c) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn
1

z a
z b
−
>
−
là nửa mặt phẳng không chứa điểm A có
bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB ( không kể đường trung trực ).
Chứng minh:
Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z. Khi đó tọa vị của véctơ
AM
uuuur
là
z a−
, tọa vị của
véctơ
BM
uuuur
là
z b−
, suy ra
AM AM z a= = −
uuuur
và
BM BM z b= = −
uuuur
.
a) Ta có
1
z a
z b

−
=
−
z a z b⇔ − = −

AM BM
⇔ =
⇔
M thuộc đường trung trực của
đoạn thẳng AB.
b) Ta có
1
z a
z b
−
<
−
z a z b⇔ − < −

AM BM⇔ <
(1)
Ta chứng minh tập hợp các điểm M thỏa mãn (1) là nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ
là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
+ Thật vậy, giả sử điểm M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trực
của đoạn thẳng AB. Khi đó hiển nhiên đoạn thẳng MB cắt đường trung trực tại điểm N nằm
giữa M và B. Từ bất dẳng thức trong tam giác AMN ta có
AM MN NA MN NB MB
< + = + =

( vì

N
thuộc đường trung trực nên
NA NB=
). Vậy (1) được thỏa mãn .
+ Ngược lại, giả sử điểm M thỏa mãn
AM BM<
(1).
- Nếu M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB thì
AM BM=
( mâu thuẩn với (1)).
- Nếu M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm B có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Khi
đó theo phần thuận ta có
BM AM<
( cũng mâu thuẩn với (1)).
Vậy M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
c) Chứng minh tương tự cho trường hợp
1
z a
z b
−
>
−
.

Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 2
Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng

Ví dụ 2: ( Bài tập 9 trang 190 SGK Giải tích 12 nâng cao )
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng
điều kiện sau:

a)
1z i− =
b)
1
z i
z i
−
=
+
c)
3 4z z i= − +
.
Lời giải:
a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn
1z i− =
là đường tròn tâm
( )
E i
bán kính
1R =
,
tức là đường tròn có phương trình
( )
2
2
1 1x y+ − =
.
b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn
1
z i

z i
−
=
+
là đường trung trực của đoạn thẳng AB,
với
( )
A i
và
( )
B i−
. Đường trung trực này đi qua trung điểm
( )
0O
của đoạn thẳng AB và nhận
véctơ
( )
2AB i−
uuur
làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là
( )
2 0 0y− − =
0y⇔ =
.
c) Vì
z z=
nên
3 4 3 4 3 4z i z i z i− + = − + = − −
,
suy ra

3 4z z i= − +

3 4z z i⇔ = − −

3 4
1
z i
z
− −
⇔ =
Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn
3 4
1
z i
z
− −
=
là đường trung trực của đoạn thẳng
OA, với
( )
0O
và
( )
3 4A i+
. Đường trung trực này đi qua trung điểm
3
2
2
K i
 

+
 ÷
 
của đoạn
thẳng OA và nhận véctơ
( )
3 4OA i+
uuur
làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là:

( )
3
3 4 2 0
2
x y
 
− + − =
 ÷
 

25
3 4 0
2
x y⇔ + − =
.
4) Tập hợp điểm là đường tròn đường kính AB:
Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B theo thứ tự có tọa vị a, b và
λ
là
tham số thực.

Nếu
0
λ
≠
thì tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn
z a
i
z b
λ
−
=
−
là đường tròn đường kính AB,
trừ hai điểm A và B. Đường tròn này có tâm
2
a b
E
+
 
 ÷
 
là trung điểm của đoạn thẳng AB và
có bán kính là
1
2
R a b= −
.
Chứng minh:
Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z thỏa mãn
z a

i
z b
λ
−
=
−
, với
z b≠
. Khi đó ta có
1
a bi
z
i
λ
λ
−
=
−
.
Suy ra
z a≠
( vì
0
λ
≠
). Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AB thì E có tọa vị là
2
a b
e
+

=
.
Do đó tọa vị của véctơ
EM
uuuur
là
1 2
a bi a b
z e
i
λ
λ
− +
− = −
−

( ) ( ) ( )
( )
2 1
2 1
a bi i a b
i
λ λ
λ
− − − +
=
−

( )
( )

2 1
a b a b i
i
λ
λ
− − −
=
−

( ) ( )
( )
1
2 1
a b i
i
λ
λ
− −
=
−

2
a b−
=
.

Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 3
Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng

Suy ra

1
2
z e a b− = −

⇔
M thuộc đường tròn tâm
2
a b
E
+
 
 ÷
 
bán kính
1
2
R a b= −
, trừ hai
điểm A và B ( vì
z a≠
và
z b≠
).
5) Tập hợp điểm là đường tròn Appollonius:
Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B lần lượt có tọa vị a, b và k là số thực
dương khác 1.
Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn
z a
k
z b

−
=
−
là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng
AB theo tỷ số k. Đường tròn này có tâm
2
2
1
a k b
E
k
 
−
 ÷
−
 
và bán kính
2
1
k a b
R
k
−
=
−
.
Chứng minh:
Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z thỏa mãn
z a
k

z b
−
=
−
.
Gọi P và Q lần lượt là điểm chia ngoài và điểm chia trong đoạn thẳng AB theo tỷ số k.
Khi đó ta có
.PA k PB=
uuur uuur
và
.QA k QB= −
uuur uuur
.
Suy ra tọa vị của các điểm P, Q lần lượt là:
,
1 1
a kb a kb
p q
k k
− +
= =
− +
.
Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng PQ thì tọa vị của E là:
( )
2
2
1
2 1
a k b

e p q
k
−
= + =
−
.
Suy ra tọa vị của véctơ
EM
uuuur
là:
2
2
1
a k b
z e z
k
−
− = −
−

( )
2
2
1
z a k z b
k
− − −
=
−
(4)

Từ giả thiết
z a
k
z b
−
=
−
, suy ra
2
2
z a
k
z b
−
=
−

( ) ( )
( ) ( )
2
z a z a
k
z b z b
− −
⇒ =
− −
(5)
Thế (5) vào (4) ta được

( ) ( )

( ) ( )
( )
2
1
1
z a z a
z e z a z b
k
z b z b
 
− −
− = − − −
 
−
− −
 
 

( ) ( )
( )
2
1
1
z a z a
z a
k
z b
 
− −
= − −

 
−
−
 
 


( )
( )
2
1
1
z a
z a
k
z b
 
−
−
= −
 
−
−
 
 

( ) ( )
( )
2
1

z b z a
z a
k
z b
 
− − −
−
=
 
−
−
 
 

( )
( )
2
.
1
a b
z a
k
z b
−
−
=
−
−

( ) ( )

( )
2
.
1
a b z a
k
z b
− −
=
−
−

Suy ra
z e−

( )
( )
2
.
1
a b
z a
k
z b
−
−
=
−
−


2
.
1
a b z a
z b
k
− −
=
−
−

2 2
.
.
1 1
a b k a b
k
k k
− −
= =
− −
Vậy M thuộc đường tròn tâm
2
2
1
a k b
E
k
 
−

 ÷
−
 
, bán kính
2
.
1
k a b
R
k
−
=
−
.
Đường tròn này gọi là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k.
Chú ý: Đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB cho trước theo tỷ số k cho trước là tập
hợp các điểm M thỏa mãn
MA
k
MB
=
, với k là số thực dương khác 1.
Ví dụ 3: ( Bài tập 4.10 trang 178 SBT Giải tích 12 nâng cao )
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn

Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 4
Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng


z

k
z i
=
−
( k là số thực dương cho trước ).
Lời giải:
Gọi O, A lần lượt là các điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị là
0, i
. Khi đó ta có:
+ Nếu
1k =
thì tập hợp các điểm có tọa vị z thỏa mãn
1
z
z i
=
−
là đường trung trực của đoạn
thẳng OA. Phương trình đường trung trực này là
1
0
2
y − =
.
+ Nếu
1k ≠
thì tập hợp các điểm có tọa vị z thỏa mãn
z
k
z i

=
−
là đường tròn Appollonius
chia đoạn thẳng OA theo tỷ số
1k ≠
.Đường tròn này có tâm E có tọa vị là
2
2
0
1
k i
e
k
−
=
−
2
2
1
k
i
k
=
−
và có bán kính
2 2
0
1 1
k i
k

R
k k
−
= =
− −
. Suy ra phương trình đường tròn Appollonius là

( )
2
2 2
2
2
2
2
1
1
k k
x y
k
k
 
+ − =
 ÷
−
 
−
II. ỨNG DỤNG
1.Giải hệ phương trình trong tập hợp số phức:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau với ẩn là số phức z và
λ

là tham số thực khác 0.

4 2
(1)
2
2
1 (2)
2
z i
i
z
z
z i
λ
− −

=

+


−

=

+


Lời giải:
+ Gọi A, B theo thứ tự là các điểm trong mặt

phẳng phức có tọa vị là
4 2i+
,
2−
. Khi đó tập hợp
điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường
tròn đường kính AB, trừ hai điểm A và B. Đường tròn
này có tâm E biểu diễn số phức
1 i
+
và bán kính
1
6 2
2
R i= +

3 10i= + =
nên có phương trình là

( ) ( )
2 2
1 1 10x y− + − =
(1’)
+ Gọi C, D theo thứ tự là các điểm trong mặt
phẳng phức biểu diễn các số phức
2, 2i−
. Khi đó tập
hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (2) là đường trung trực của đoạn thẳng CD. Đường
trung trực này đi qua trung điểm
( )

1H i−
của đoạn thẳng CD và nhận
( )
2 2CD i− −
uuur
làm véctơ
pháp tuyến nên có phương trình là
( ) ( )
2 1 2 1 0x y− − − + =

0x y⇔ + =
(2’).
Suy ra giao điểm của đường tròn và đường trung trực là nghiệm của hệ đã cho. Đó là các điểm
( )
;x y
thỏa mãn (1’) và (2’), tức là nghiệm của hệ phương trình sau

( ) ( )
2 2
0
1 1 10
x y
x y
+ =



− + − =



( ) ( )
2 2
1 1 10
y x
x x
= −


⇔

− + − − =



2
y x
x
= −

⇔

= ±


2
2
x
y
=


⇔

= −

hoặc
2
2
x
y
= −


=


Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là
2 2z i
= −
và
2 2z i
= − +
.

Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 5
Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng

Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình sau với z là ẩn số

1 4 3 (3)

3 2
2 (4)
3
2
z i
z i
z i

− − =



+ +
=

 + −


Lời giải:
+ Gọi E là điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị là
1 4i
+
. Khi đó tập hợp điểm M biểu
diễn số phức z thỏa mãn (3) là đường tròn tâm E, bán kính
3R =
.
Phương trình đường tròn này là:
( ) ( )
2 2
1 4 9x y− + − =

(3’)
+ Gọi A, B theo thứ tự là các điểm có tọa vị
là
3
3 2 ,
2
i i− − − +
. Khi đó tập hợp điểm M biểu
diễn số phức z thỏa mãn (4) là đường tròn
Appollonius chia đoạn thẳng AB theo tỷ số
2k =
.
Đường tròn Appollonius có tâm F là điểm có tọa
vị
2
2
1
a k b
f
k
−
=
−

3
3 2 4
2
1 4
i i
 

− − − − +
 ÷
 
=
−

1 2i
= − +

và có bán kính
2
1
k a b
R
k
−
=
−

3
2 3 2
2
1 4
i i− − + −
=
−

1 2 5i= − − =
.
Phương trình đường tròn Appollonius là


( ) ( )
2 2
1 2 5x y+ + − =
(4’)
Suy ra nghiệm của hệ đã cho là giao điểm của hai
đường tròn (3’) và (4’), tức là các điểm
( )
;x y
thỏa
mãn hệ phương trình sau:

( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 4 9
1 2 5
x y
x y

− + − =


+ + − =



2 2
2 2

2 8 8 0
2 4 0
x y x y
x y x y

+ − − + =

⇔

+ + − =



2 2
2 0
2 4 0
x y
x y x y
+ − =

⇔

+ + − =



( ) ( )
2
2
2

2 2 4 2 0
y x
x x x x
= −


⇔

+ − + − − =



2
2
2 0
y x
x x
= −

⇔

+ − =


1
1
x
y
=


⇔

=

hoặc
2
4
x
y
= −


=

.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là
1z i
= +
và
2 4z i
= − +
.

2. Giải hệ bất phương trình trong tập hợp số phức.
Ví dụ 3: Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z :
3 2 (5)
2 9 2 5 (6)
z i
z i
 − − ≤



− − ≥


Lời giải:
Gọi
( )
,z x yi x y= + ∈¡
là tọa vị của điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức.
+ Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (5) là hình tròn tâm

Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 6
Các tập hợp điểm thường gặp trong mặt phẳng phức và ứng dụng

( )
3A i+
, bán kính
2R =
( kể cả biên ).
+ Ta có
9 5
(6)
2 2
z i⇔ − − ≥
Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn
(6) là phần của mặt phẳng nằm bên ngoài
hình tròn tâm
9
2

B i
 
+
 ÷
 
, bán kính
5
2
R =
( kể cả biên ).
Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho
là giao của hai tập hợp trên. Đó là “ hình trăng
lưỡi liềm ” không bị bôi đen trong hình vẽ.
Ví dụ 4: Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z :

3 2
1 (7)
1
1 2 2 (8)
z i
z
z i

+ −
≥

+


− − ≤


Lời giải:
Gọi
( )
,z x yi x y= + ∈¡
là tọa vị của
điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức.
+ Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa
mãn (7) là nửa mặt phẳng không chứa điểm A
có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB
( kể cả đường trung trực ), với
( )
3 2A i− +
và
( )
1B −
.
+ Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa
mãn (8) là hình tròn tâm
( )
1 2E i+
, bán kính
2R =
( kể cả biên ).
Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là
giao của hai tập hợp trên. Đó là phần hình tròn kể cả biên không bị bôi đen trong hình vẽ.


Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, TT Huế - ĐT 01697163373 7