GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
§ 1. Nguyên hàm
Bài tập 1 (trang 100 SGK Giải tích 12): Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là
nguyên hàm của hàm số còn lại?
a)
x
e
−
và
x
e
−
−
; b)
sin 2x
và
2
sin x
; c)
2
2
1
x
e
x
 
−
 ÷
 
và

4
1
x
e
x
 
−
 ÷
 
.
Có bao nhiêu cách để giải bài tập 1?
Có hai cách :
- Tính nguyên hàm.
- Đạo hàm.
Giải:
a)
x
e
−
và
x
e
−
−
là nguyên hàm của nhau.
b)
2
sin x
là một nguyên hàm của
sin 2x

.
c)
4
1
x
e
x
 
−
 ÷
 
là một nguyên hàm của
2
2
1
x
e
x
 
−
 ÷
 
.
Bài tập 2 ( trang 100, 101 SGK Giải tích 12): Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
3
1
( )
x x
f x

x
+ +
=
; b)
2 1
( )
x
x
f x
e
−
=
;
c)
2 2
1
( ) ;
sin .cos
f x
x x
=
d)
( ) sin 5 .cos3 ;f x x x=
e)
2
( ) tanf x x=
; h)
1
( )
(1 )(1 2 )

f x
x x
=
+ −
g)
3 2
( )
x
f x e
−
=
.
Giải :
a, Đưa về hàm số chứa các lũy thừa của biến x,
F(x) =
Cxxx
+++
3/26/73/5
2
3
7
6
5
3
.
c,
2 2 2
1 4
-2cot 2
sin .cos sin 2

dx dx x C
x x x
= = +
∫ ∫
.
hoặc
2 2 2 2
1 1 1
sin .cos sin cos
dx dx
x x x x
 
= +
 ÷
 
∫ ∫
.
d, Biến đổi thành tổng:
( )
1
( ) sin 5 .cos3 sin8 sin 2 ;
2
f x x x x x= = +
F(x) =
Cxx
++
−
)2cos8cos
4
1

(
4
1
.
b, Biến đổi thành tổng các tích phân:
2 1 2 1
2 1 1 1
. .
2 1
ln ln
2 ln 2 1
.
(ln 2 1)
x
x
x
x
x x
x
x
dx dx dx
e e e
C
e e
e e
C
e
−
   
= − =

 ÷  ÷
   
   
= − + =
 ÷  ÷
   
+ −
= +
−
∫ ∫ ∫
e, Biến đổi
2
2
1
( ) tan 1
cos
f x x
x
= = −
;
( ) tan - F x x x C
= +
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ. TRANG 1
GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
g, Biến đổi vi phân, F(x) =
Ce
x
+
−
−

23
2
1
.
h,
C
x
x
+
−
+
1
1
ln
3
1
.
hướng dẫn câu h:
{
3/2;3/102
1
)21)(1(
)2()(
)21)(1(
)1()21(
211)21)(1(
1
==⇒=+−
=+
−−

+−++
=
−−
−+−
=
−
+
+
=
−+
BABA
BA
xx
BABA
xx
xBxA
x
B
x
A
xx
Bài tập 3 ( trang 101 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
a)
9
(1 )I x dx
= −
∫
; b)
( )
2

2
3
1I x x dx
= +
∫
;
c)
3
cos .sin ;I x xdx
=
∫
d)
2
x x
dx
I
e e
−
=
+ +
∫
.
Giải:
a, Đặt
1u x= −
. I =
C
x
+
−−

10
)1(
10
. b, Đặt
2
1u x= +
. I =
Cx
++
2/52
)1(
5
1
.
c, Đặt
cost x
=
. I =
4
1
cos
4
x C− +
. d, Đặt
1
x
u e
= +
. I =
1

1
x
C
e
−
+
+
.
Bài tập 4 (trang 101 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng
phần, hãy tính:
a)
( )
ln 1 d ;x x x+
∫
b)
( )
2
2 1 d ;
x
x x e x
+ −
∫
c)
( )
sin 2 1 d ;x x x
+
∫
d)
( )
1 cos d .x x x

−
∫
Giải
a,Áp dụng nguyên hàm từng phần.
Đặt
ln(1 )u x= +

2 2
dv d
1 1
Kq: ( 1)ln(1 )
2 4 2
x x
x
x x x C
=
− + − + +
c, Áp dụng nguyên hàm từng phần
Cxx
x
Kq
dxxdvxu
++++
−
+==
)12sin(
4
1
)12cos(
2

:
)12sin(,
b,Áp dụng nguyên hàm từng phần hai lần
2
2
2 1,
: ( 1)
x
x
u x x dv e dx
Kq e x C
= + − =
− +
d, Áp dụng tích phân từng phần
CxxxKq
xdxdvxu
+−−
==
cossin)1(:
cos,
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ. TRANG 2
GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
§ 2. Tích phân
Bài tập 1 (Bài tập 1, trang 112 SGK Giải tích 12): Tính các tích phân sau
a)
( )
1
2
2
3

1
2
1 x dx
−
−
∫
; b)
2
0
sin
4
x dx
π
π
 
−
 ÷
 
∫
; c)
( )
2
1
2
1
1
dx
x x +
∫
;

d)
( )
2
2
0
1 ;x x dx+
∫
e)
( )
2
2
1
2
1 3
;
1
x
dx
x
−
+
∫
g)
2
2
sin3 .cos5x xdx
π
−π
∫
.

Giải:
a)
( ) ( )
1 1
2
2 2
2
3
3
1 1
2 2
1 x dx 1 x dx
− −
− = −
∫ ∫

( )
( )
1
2
5
3
3
3
1
2
1 x
3
3 9 1
5

10 4
3
−
−
= = −
.
b)
2
0
sin x dx
4
π
π
 
−
 ÷
 
∫
2
0
2 2
cosx- sinx dx
2 2
π
 
=
 ÷
 
∫
2 2

0 0
2 2
cosxdx sinxdx
2 2
π π
= −
∫ ∫
0=
.
c)
ln 2
; d)
34
3
; e)
4
3ln 2
3
−
; g) 0.
Bài tập 2 (Bài tập 2, trang 112 SGK Giải tích 12): Tính các tích phân sau
a)
2
0
1I xdx= −
∫
;
b)
2
2

0
sinI xdx
π
=
∫
; c)
2
ln 2
0
1
x
x
e
I dx
e
+
=
∫
;
d)
2
0
sin 2 .cosI x xdx
π
=
∫
Giải:
a)
2
0

I 1 xdx= −
∫

1 2
0 1
1 xdx 1 xdx= − + −
∫ ∫


( ) ( )
1 2
0 1
1 x dx 1 x dx= − − −
∫ ∫

1=
.
c)
1
I e ;
2
= +
b)
2
0
1 cos2x
I dx
2
π
−

=
∫

2 2
0 0
1 1
dx cos2xdx
2 2
π π
= −
∫ ∫

4
π
=
.
d) Ta có
( )
2
1 1 1
sin 2 .cos sin 2 1 cos2 sin 2 sin 4 .
2 2 4
x x x x x x= + = +
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ. TRANG 3
GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
Bài tập 3 ( trang 113 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
a)
x
dx
x

3
2
3
0
2
(1 )
+
∫
; b)
x dx
1
2
0
1
−
∫
; c)
x
x
e x
dx
xe
1
0
(1 )
1
+
+
∫
; d)

a
dx
a x
2
2 2
0
1
−
∫
.
Giải:
a) Đặt t = 1 + x, A =
5
3
; b) Đặt x = sint, B =
4
π
c) Đặt t = 1 + xe
x
, C = ln(1 + e) d) Đặt x = asint, D =
6
π
.
Bài tập 4 ( trang 113 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần,
hãy tính:
a)
x xdx
2
0
( 1)sin

π
+
∫
; b)
e
x xdx
2
1
ln
∫
; c)
x dx
1
0
ln(1 )
+
∫
; d)
x
x x e dx
1
2
0
( 2 1)
−
− −
∫
Giải:
a) Đặt
u x

dv xdx
1
sin

= +

=

, A = 2 b) Đặt
u x
dv x dx
2
ln

=

=

, B =
e
3
1
(2 1)
9
+
c) Đặt
u x
dv dx
ln( 1)


= +

=

, C = 2ln2 – 1 d) Đặt
x
u x x
dv e dx
2
2 1
−


= − −

=


,D = –1.(từng phần 2 lần)
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ. TRANG 4
GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
§ 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học
Bài tập 1. (trang 121 SGK) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a)
y x y x
2
, 2
= = +
; b)
y x yln , 1

= =
; c)
y x y x x
2 2
( 6) , 6= − = −
.
Giải:
a) Hoành độ giao điểm: x = –1, x = 2
S x x dx
2
2
1
9
2
2
−
= − − =
∫
.
c) Hoành độ giao điểm: x = 3, x = 6
S x x x dx
6
2 2
3
( 6) (6 )
= − − −
∫
= 9.
b) Hoành độ giao điểm:
x x e

e
1
,
= =
e
e
S x dx
1
ln 1
= −
∫
=
e
e
x dx x dx
1
1
1
(1 ln ) (1 ln )+ + −
∫ ∫
=
e
e
1
2
+ −
.
Bài tập 2: (Trang 121 SGK) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
2
1y x= +

, tiếp tuyến với đường này tại
( )
2;5M
và trục Oy.
Giải :
Viết phương trình tiếp tuyến với đường này tại
( )
2;5M
:
Phương trình tiếp tuyến:
4 3y x
= −
.
Hoành độ giao điểm: x = 0, x = 2
2
2
0
( 1) (4 3)S x x dx= + - -
ò

2
2
0
4 4x x dx= - +
ò

8
3
=
.

Bài tập 4: (Trang 121 SGK) Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau quay quanh trục Ox:
a)
y x y
2
1 , 0= − =
;
b)
y x y x xcos , 0, 0,
π
= = = =
;
c)
y x y x xtan , 0, 0,
4
π
= = = =
.
Giải :
a) Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
2
1y x
= −
với trục Ox ?
Ta có
2
1 0x− =
1
1
x

x
= −

⇔

=

Suy ra parabol
2
1y x
= −
cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là -1; 1.
Lập công thức tính thể tích ?
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ. TRANG 5
GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
Khi đó:
1
2 2
1
(1 )V x dxp
-
= -
ò
16
15
p=
.

b).
V xdx

2
2
0
cos
2
π
π
π
= =
∫
.
c)
V xdx
4
2
0
tan 1
4
π
π
π π
 
= = −
 ÷
 
∫
.
Bài tập 5: (Trang 121 SGK) Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox.
Đặt OM = R,
·

POM
α
=

R0 , 0
3
π
α
 
≤ ≤ >
 ÷
 
.
a) Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó quanh trục Ox.
b) Tìm
α
sao cho thể tích đó là lớn nhất.
Viết phương trình OM, toạ độ điểm P?
(OM): y = tanα.x
Tọa độ của P: P = (Rcosα; 0)
a. V=
os
2 2
0
tan .
Rc
x dx
a
p a
ò

=
3
3
( os -cos )
3
R
c
p
a a
b. Max V(
a
)=
3
2 3
27
Rp
.
Đặt
1
cos ;1
2
t t
 
= α ⇒ ∈
 
 
vì
0;
3
 π 

 
α∈
 ÷
 
 
 
, ta có
= −
R
V t t
3
3
( )
3
π
;
Có
= −
R
V t t
3
2
' ( 3 )
3
π
;

=

= ⇔


−

=


t
V
t loaïi
1
3
' 0
1
( ).
3
Vậy
( ) ( )
3
1
0; ;1
3 2
1 2 3
27
3
CÑ
R
max V maxV t V t
π
π
α

   
   
   
 
= = = =
 ÷
 

1 1
trong ño cos hay =arccos .
3 3
ù
α α
 
=
 ÷
 

GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ. TRANG 6
GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
Ôn tập chương III
Bài tập 3: (Trang 126 SGK) Tìm nguyên hàm của hàm số:
a)
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 1 3 ;f x x x x= − − −
b)
2
( ) sin4 . cos 2 ;f x x x=
c)
( )

2
1
;
1
f x
x
=
−
d)
( )
( )
3
1 .
x
f x e= −
Giải:
a) Khai triển thành tổng ta có
( )
4 3 2
3 11
3 ;
2 3
F x x x x x C= − + − +
b) Phân tích tích thành tổng :
1 cos 4
( ) sin 4 .
2
x
f x x
+

=

1 1
.sin 4 sin8
2 4
x x
= +
.
Ta có
1 1
( ) cos4 cos8
8 32
F x x x C
= − − +
;
c) Phân tích thành tổng:
( )
2
1 1 1 1
;
1 2 1 1
f x
x x x
 
= = +
 ÷
− + −
 
Ta có
( )

1 1
ln ;
2 1
x
F x C
x
+
= +
−
d) Khai triển
( )
( )
3
3 2
1 3 3 1.
x x x x
f x e e e e
= − = − + −

Ta có
( )
3 2
1 3
3 .
3 2
x x x
F x e e e x C= − + − +
Bài tập 4: (Trang 126 SGK).Tính:
a/.
( )

2 sin d ;x x x
−
∫
b/.
( )
2
1
d
x
x
x
+
∫
; c/.
3
1
d ;
1
x
x
e
x
e
+
+
∫
d/.
( )
2
1

d ;
sin cos
x
x x+
∫
e/.
1
d ;
1
x
x x+ +
∫
g/.
( ) ( )
1
d ;
1 2
x
x x+ −
∫
Giải:
a) Áp dụng nguyên hàm từng phần, ta được: F(x) =
( )
2 cos sin ;x x x C− − +
b)
( )
2
3 1 1
2
5/ 2 3/ 2 1/ 2

2 2 2
1
2 1 2 4
d d 2 d 2 ;
5 3
x
x x
x x x x x x x x x C
x x
−
 
+
+ +
= = + + = + + +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
.
c)
( ) ( )
( )
2
3
2 2
1 1
1 1
d d 1 d ;
1 1 2
x x x
x

x x x x
x x
e e e
e
x x e e x e e x C
e e
+ − +
+
= = − + = − + +
+ +
∫ ∫ ∫
d)
( )
2
2
1 1 1
d d tan ;
2 4
sin cos
2cos
4
x x x C
x x
x
π
π
 
= = − +
 ÷
 

 
+
−
 ÷
 
∫ ∫
e)
( )
( )
3
3
2
2
1 2 2
d 1 d 1 ;
3 3
1
x x x x x x C
x x
= + − = + − +
+ +
∫ ∫
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ. TRANG 7
GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
g)
( ) ( )
1 1 1 1 1 1
d + d ln .
1 2 3 1 2- 3 2
x

x x C
x x x x x
+
 
= = +
 ÷
+ − + −
 
∫ ∫
Bài tập 5: Tính:
a)
∫
+
3
0
1
dx
x
x
b)
64
3
1
1 x
dx
x
+
∫
; c)
∫

2
0
32
dxex
x
; d)
∫
+
π
0
.2sin1 dxx
.
Giải:
a) Đặt : t =
xtx +=⇒+ 11
2
Ta có: dx= 2tdt.
Đổi cận: x = 0 thì t = 1
x = 3 thì t = 2
2
0
3
2
0
2
2
0
2
3
0

|)2
3
2
()1(2
2)1(
1
ttdtt
t
tdtt
dx
x
x
−=−=
−
=
+
∫
∫∫
ĐS: 8/3;
b)
1839
14
c)
∫
2
0
32
dxex
x
Đặt u = x

2
và dv = e
3x

ta được du = 2xdx và v =
3
1
e
3x
∫
2
0
32
dxex
x
=
=
3
1
x
2
e
3x

2
0
-
∫
2
0

3
3
2
dxxe
x

Đặt u = x và dv = e
3x
ta được du = dx và v =
3
1
e
3x
∫
2
0
32
dxex
x
=
3
1
x
2
e
3x

2
0
-

9
2
xe
3x

2
0
+
∫
2
0
3
)3(
27
2
xde
x
=
3
4
6
e
-
9
4
6
e
+
27
2

3x
e
2
0
=
9
8
6
e
+
27
2
6
e
-
27
2

=
27
2
(13e
6
– 1);
d) ĐS:
22
.
Bài tập 6: Tính:
a)
2

2
0
cos2 .sin ;x xdx
π
∫
b)
1
1
2 2 d ;
x x
x
−
−
−
∫
c)
( ) ( ) ( )
2
2
1
1 2 3
d ;
x x x
x
x
+ + +
∫
d)
2
2

0
1
d ;
2 3
x
x x− −
∫
e)
( )
2
2
0
sin cos d ;x x x
π
+
∫
g)
∫
+
π
0
2
)sin( dxxx
.
Giải:
g)
∫
+
π
0

2
)sin( dxxx
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ. TRANG 8
GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
Ta có: I =
∫
+
π
0
2
)sin( dxxx
=
∫
++
π
0
22
)sinsin2( dxxxxx
=
∫
π
0
2
dxx
+
∫
π
0
sin2 xdxx
+

∫
π
0
2
sin xdx
=
3
3
x
π
0
+ 2I
1
+
2
1
∫
−
π
0
)2cos1( dxx
=
3
3
π
+2I
1
+
2
1

x
π
0
-
4
1
∫
π
0
)2(2cos xxd
=
3
3
π
+2I
1
+
2
π
-
4
1
sin2x
π
0

Tính I
1
=
∫

π
0
sin xdxx
Đặt u = x và dv = sinxdx
ta có du = dx và v = -cosx
I
1
=
∫
π
0
sin xdxx
= -xcosx
π
0
+
∫
π
0
cos xdx
=
π
+ sinx
π
0
=
π
I =
∫
+

π
0
2
)sin( dxxx
=
3
3
π
+
2
5
π
Đáp số
Bài 3 / ( Trang 126 , SGK ) .
a)
4 3 2
3 11
3
2 3
x x x x C− + − +
b)
1 1
cos cos8
8 32
x x C− − +
c)
1 1
ln
2 1
x

C
x
+
+
−
d)
3 2
1 3
3
3 2
x x x
e e e x C− + − +
Bài 4 / ( Trang 126 , SGK )
a) ( x – 2 ) cosx – sinx + C
b)
5 3 1
2 2 2
2 4
2
5 3
x x x C+ + +
c)
2
1
2
x x
e e x C− + +
d )
1
tan( )

2 4
x C
π
− +
e )
3 3
2 2
2 2
( 1)
3 3
x x C+ − +
Bài 5 / ( Trang 127 , SGK )
a)
8
3
b)
1839
14
c)
6
2
(13 1)
27
e −
d)
2 2
Bài 6 / ( Trang 127 , SGK )
a)
8
π

−
b)
1
ln 2
c)
21
11ln 2
2
+
d)
1
ln3
2
−
e)
1
2
π
+
Bài 7 / ( Trang 127 , SGK )
a)
1
2
π
−
b)
4
3
π
.

GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ. TRANG 9
GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
§ 1 Số phức
Bài 1(trang 133) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết:
) 1 ; ) 2 ; ) 2 2; ) 7 .a z i b z i c z d z i= − = − = = −
π
Giải:
Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là: a. 1;-π b.
2
;-1 c. 2
2
;0 d. 0;-7.
Bài 2(trang 133). Tìm các số thực x và y, biết:
a)
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 2 1 1 5 ;x y i x y i− + + = + − −
b)
( ) ( )
1 2 3 5 1 3 ;x i y i− − = + −
c)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 3 2 1 .x y y x i x y y x i+ + − = − + + + +
Giải:
Cho phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau, ta có các hệ phương trình ẩn x, y.
a.
3 4
;
2 3
 

 ÷
 
; b.
1 5 1 3
;
2 3
 
− +
 ÷
 ÷
 
; c.
( )
0;1
.
Bài 4(134). Tính
z
với:
a)
2 3;z i= − +
b)
2 3 ;z i= −
c)
5;z = −
d)
3.z i=
Đáp số:
a.
7
b.

11
c. 5 d.
3
§ 2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC
Bài 1 Thực hiện các phép tính
a) (3 - 5i) +(2+4i) = 5 - i
b) ( -2-3i) +(-1-7i) = -3-10i
c) (4+3i) -(5-7i) = -1+10i
d) ( 2-3i) -(5-4i) = -3 + i.
Bài 2.Tính α+β, α-β với
a)α = 3,β = 2i b)α = 1-2i,β = 6i
c)α = 5i,β =- 7i d)α = 15,β =4-2i
giải
a)α+β = 3+2i α-β = 3-2i;
b)α+β = 1+4i α-β = 1-8i;
c)α+β =-2i α-β = 12i;
d)α+β = 19-2i α-β = 11+2i.
Bài 3. Thực hiện các phép tính
a) (3-2i) .(2-3i) = -13i;
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ. TRANG 10
GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
b) ( -1+i)(3+7i) = -10-4i ;
c) 5(4+3i) = 20+15i;
d) ( -2-5i).4i = -8i + 20.
Bài 4.Tính i
3
, i
4
i
5

Nêu cách tính i
n
với n là số tự nhiên tuỳ ý .
giải
i
3
=i
2
.i =-i
i
4
=i
2
.i
2
=-1
i
5
=i
4
.i =i
Nếu n = 4q +r, 0 ≤ r < 4 thì i
n
= i
r
Bài 5.Tính
a) (2+3i)
2
=-5+12i;
b) (2+3i)

3
=-46+9i;
§ 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC
Bài 1 Thực hiện các phép chia sau:
a/
2
3 2
i
i
+
−
=
4 7
13 13
i+
; b/
1 2
2 3
i
i
+
+
=
2 6 2 2 3
7 7
i
+ −
+
;
c/

5
2 3
i
i−
=
15 10
13 13
i− +
; d/
-2 -5i
.
Bài 2 Tìm nghịch đảo
1
z
của số phức
z
biết:
a)
1 2 ;z i= +
b)
2 3 ;z i= −
c)
;z i=
d)
5 3z i= +
.
Giải:
a/
1
1 2i

+
=
1 2
5 5
i−
; b/
1 2 3
2 9
2 3
i
i
+
=
+
−
=
2 3
11 11
i+
;
c/
1
1
i
i
i
−
= = −
; d/
1 5 3

25 3
5 3
i
i
−
=
+
+
=
5 3
28 28
i−
.
Bài 3 Thực hiện các phép tính sau:
a/
2 (3 )(2 4 )i i i+ +
; b/
2 3
(1 ) (2 )
2
+
− +
i i
i
; c/
3 2 (6 )(5 )i i i+ + + +
; d/ 4-3i+
5 4
3 6
i

i
+
+
.
Giải:
a)
2 (3 )(2 4 ) 2 (2 14 ) - 28 4i i i i i i+ + = + = +
;
b)
2 3
(1 ) (2 ) 2 ( 8 )
2 2
i i i i
i i
+ −
=
− + − +
=
16( 2 ) 32 16
5 5 5
i
i
− −
= − −
;
c)
3 2 (6 )(5 ) 3 2 29 11 32 13i i i i i i+ + + + = + + + = +
;
d) 4-3i+
5 4

3 6
i
i
+
+
= 4-3i +
(5 4 )(3 6 )
45
i i+ −
= 4-3i +
39 18 219 153
45 45 45 45
i i− = −
.
Bài 4 Giải các phưong trình sau:
a/(3-2i)z +(4+5i)=7+3i
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ. TRANG 11
GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
(3-2i)z=3 – 2i
z =
3 2
3 2
i
i
−
−
=1
b/ (1+3i)z-(2+5i)=(2+i)z
(-1+2i)z=(2+5i)
 z=

2 5 8 9
1 2 5 5
i
i
i
+
= −
− +
c/

(2 3 ) 5 2
4 3
3
4 3
(3 )(4 3 )
15 5
z
i i
i
z
i
i
z i i
z i
+ − = −
−
⇔ = +
−
⇔ = + −
⇔ = −

§ 4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Bài 1(140) Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121.
a)
7i±
; b)
2 2i±
; c)
2 3i±
; d)
2 5i±
; e)
11i±
.
Bài 2(140) Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
2
3 2 1 0;z z− + − =
b)
2
7 3 2 0;z z+ + =
c)
2
5 7 11 0.z z− + =
Đáp số:
a)
1,2
1 2
3
i
z

±
=
; b)
1,2
3 47
14
i
z
− ±
=
; c)
1,2
7 171
10
i
z
±
=
.
Bài 3(140) Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a)
4 2
6 0;z z+ − =
b)
4 2
7 10 0.z z+ + =
Đáp số:
a)
1,2 3,4
2, 5z z i= ± = ±

; b)
1,2 3,4
2, 5z i z i= = ±
.
Bài 4(140) Cho
1 2
, , , 0, ,a b c a z z∈ ≠¡
là hai nghiệm của phương trình
2
0.az bz c+ + =
Hãy
tính
1 2
z z+
và
1 2
.z z
theo các hệ số
, , .a b c
Giải:
Phương trình có nghiệm:
1 2
;
2 2
b i b i
z z
a a
− + ∆ − − ∆
= =
Ta có:

1 2 1 2
; .
b c
z z z z
a a
+ = − =
.
Bài 5(140) Cho
z a bi= +
là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số
thực nhận
z
và
z
làm nghiệm.
Giải:
Theo công thức nghiệm của ptb2:
( )
( ) ( )
2
0 0x z x z x z z x zz− − = ⇔ − + + =
Nếu
z a bi= +
, thì phương trình bậc hai là :
2 2 2
2 0x ax a b− + + =
.
ÔN TẬP CHƯƠNG IV
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ. TRANG 12
GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12

Bài tập 5. (trang 143 SGK) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức
z
thỏa mãn điều kiện :
a) Phần thực của
z
bằng 1 ;
b) Phần ảo của
z
bằng -2 ;
c) Phần thực của
z
thuộc đoạn
[ ]
1;2−
, phần ảo của
z
thuộc đoạn
[ ]
0;1
;
d)
2.z ≤
Giải :
1/ Số phức
z
có phần thực a = 1: Là đường thẳng qua hoành độ 1 và song song với Oy.
2/ Số phức
z
có phần ảo b = -2: Là đường thẳng qua tung độ -2 và song song với Ox.
3/ Số phức

z
có phần thực a
[ ]
2,1−∈
,phần ảo b
[ ]
1,0∈
: Là miền hình chữ nhật giới hạn bởi
các đường thẳng x = -1; x = 2; y = 0; y = 1.
3/
2z ≤
: Là hình tròn tâm tại gốc tọa độ O, có R = 2.
Bài tập 6 Tìm các số thực x, y sao cho :
b) 2x + y – 1 = (x+2y – 5)i



=
−=
⇔



=−+
=−+
⇔
3
1
052
012

y
x
yx
yx
Bài tập 8 Tính :
b) (4-3i)+
i
i
+
+
2
1
= 4- 3i +
)2)(2(
)2)(1(
ii
ii
−+
−+
= 4 – 3i +
i
i
5
14
5
23
5
3
−=
+

Bài tập 10 Giải các phương trình sau trên tập số phức:
b)
4
8 0z − =
.

2
2
8
8

=

= −


z
z

4
1,2
4
3,4
8
8

= ±


= ±


z
z i
.
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ. TRANG 13