Chuyên đề v. Dao động tắt dần dao động cỡng bức.
A. Lý thuyết.
1. Dao động tắt dần.
* Dao ng tt dn l dao
ng cú biờn gim dn theo thi gian.
* Nguyờn nhõn: Lc cn ca
mụi trng tỏc dng lờn vt lm gim c
nng ca vt. C nng gim thỡ th nng
cc i gim , do ú biờn A gim dn
ti dao ng tt dn. jDao ng tt dn
cng nhanh nu mụi trng cng nht.
* Khi lực cản môi trờng là
không đổi, chu kì của dao động tắt dần
bằng chu kì dao động riêng của hệ.
2. Dao ng duy trỡ.
* Nu ta cung cp thờm nng lng cho vt dao ng cú ma sỏt bự li s tiờu hao
nng lng do ma sỏt m khụng lm thay i chu kỡ riờng ca nú thỡ dao ng kộo di mói mói
gi l dao ng duy trỡ.Tc l h dao ng duy trỡ s thc hin dao ng t do.
* Nng lng m ta cung cp cho h c ly t mt ngun d tr.
* Chu kỡ ca dao ng duy trỡ bng chu kỡ dao ng riờng ca h.
3. Dao ng cng bc.
* Dao ng cng bc l dao ng c duy trỡ di tỏc dng ca ngoi lc cng
bc: f = F
0
cos(t + ).
* Tn s gúc ca dao ng cng bc bng tn s gúc ca ngoi lc .
* Biờn dao ng cng bc t l vi biờn
0
F
ca ngoi lc v ph thuc vo
chờnh lnh gia tn s f ca ngoi lc v tn s riờng

0
f
ca h.
* Nu
0
f f f =
ln , tc l f
0
f
thỡ bin dao ng nh.
* Nu f =
0
f
thỡ biờn dao ng t cc i cng hng dao ng.
* Cng hng: Hin tng biờn A ca dao ng cng bc tng nhanh n giỏ tr
cc i khi tn s ca ngoi lc cng bc f bng tn s riờng
0
f
ca h dao ng tt dn gi l
hin tng cng hng .
0
f f=
hay
0

=
A =
max
A
* nh hng ca ma sỏt : Vi cựng mt ngoi lc tỏc dng , nu ma sỏt gim thỡ giỏ tr

cc i ca biờn tng v ngc li.
* Phõn bit dao ng cng bc vi dao ng duy trỡ.
* Dao ng cng bc cú tn s dao ng f bng tn s dao ng f ca ngoi lc.
* Trong dao ng duy trỡ tn s ca dao ng f bng tn s dao ng riờng f
0
ca
h .
B. Bi tp.
Dng 1. Dao ng tt dn ca con lc lũ xo.
* Thit lp cỏc cụng thc tớnh toỏn.
* Xột mt con lc lũ xo dao ng tt dn, cú biờn ban u l A
0
. Biờn ca con
lc gim u sau tng chu k.
* Gi biờn sau mt na chu k u tiờn l A
1
.
* p dng nh lut bo ton nng lng ta cú:
2 2
1 0
1 1
.
2 2
kA kA F s =
.
Trong ú F l lc cn tỏc dng vo qu cu con lc khi con lc dao ng tt dn v s l quóng
ng m vt i c sau mt na chu k u tiờn. Ta cú s = A
1
+ A
0

.
T

x
t
O
* Khi đó
2 2
1 0 1 0 0 1
1 1 2
( )
2 2
F
kA kA F A A A A
k
− = − + ⇒ − =
, hay
2F
A
k
∆ =
(1).
* Gọi A
2
là biên độ sau một nửa chu kỳ tiếp theo (hay là biên độ ở cuối chu kỳ đầu
tiên).
Ta có:
2 2
2 1 2 1 1 2
1 1 2

. ( )
2 2
F
kA kA F s F A A A A
k
− = − = − + ⇒ − =
, hay
2F
A
k
∆ =
(2).
* Từ (1) và (2) ta có
0 2
4F
A A
k
− =
.
* Vậy độ giảm biên độ dao động của con lắc sau một chu kì là:
0 2
4F
A A A
k
∆ = − =
.
* Độ giảm biên độ dao động của con lắc sau N chu kì là:
0 2
4
N

NF
A A
k
− =
.
* Nếu sau N chu kì mà vật dừng lại thì A
2N
= 0 hay số chu kì vật dao động được là:
N =
0
4
kA
F
.
* Do một chu kì vật đi qua VTCB hai lần nên số lần vật đi qua VTCB cho đến lúc
dừng lại là: n = 2N =
0
2
kA
F
.
* Khoảng thời gian từ lúc vật bắt đầu dao động cho đến lúc vật dừng lại là:
t NT
∆ =
(Nếu coi dao động tắt dần có tính tuần hoàn với chu kỳ
2
T
π
ω
=

).
* Quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại:
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
2
2
0
0
1
.
2 2
kA
kA F s s
F
= ⇒ =
.
Chú ý:
* Lực F thường gặp là lực ma sát hoặc lực cản của môi trường. Nếu F là lực ma sát thì:
* Khi con lắc dao động trên mặt phẳng ngang: F = μmg.
* Khi con lắc dao động trên mặt phẳng nghiêng góc α so với mặt phẳng ngang: F =
μmgcosα.
* Khi vật bắt đầu dao động từ biên độ A
0
thì tốc độ cực đại mà vật đạt được là khi vật đi
qua vị trí mà hợp lực tác dụng vào vật bằng không lần thứ nhất.
Bài tập áp dụng.
1. Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi chu kỳ biên độ giảm 3%. Phần năng
lượng của con lắc bị mất đi trong một dao động toàn phần là bao nhiêu? (6%)
2. Một lò xo nhẹ độ cứng k = 300N/m, một đầu cố định, đầu kia gắn quả cầu nhỏ khối
lượng m = 0,15kg. Quả cầu có thể trượt trên dây kim loại căng ngang trùng với trục lò xo và
xuyên tâm quả cầu. Kéo quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng 2 cm rồi thả cho quả cầu dao động. Do

ma sát quả cầu dao động tắt dần chậm. Sau 200 dao động thì quả cầu dừng lại. Lấy g = 10m/s
2
.
Tính hệ số ma sát μ. (0.005)
3. Một con lắc lò xo đang dao động tắt dần. Người ta đo được độ giảm tương đối của biên
độ trong 3 chu kỳ đầu tiên là 10%. Độ giảm tương ứng của thế năng là bao nhiêu?
4. Một con lắc đơn có độ dài 0,3m được treo vào trần của một toa xe lửa. Con lắc bị kích
động mỗi khi bánh xe của toa xe gặp chổ nối nhau của các đoạn đường ray. Khi con tàu chạy
thẳng đều với tốc độ là bao nhiêu thì biên độ của con lắc lớn nhất. Cho biết khoảng cách giữa hai
mối nối là 12,5m. Lấy g = 9,8m/s
2
.
5. Mt ngi i b vi bc i di s = 0,6m. Nu ngi ú xỏch mt xụ nc m nc
trong xụ dao ng vi tn s f = 2Hz. Ngi ú i vi vn tc bao nhiờu thỡ nc trong xụ súng
sỏnh mnh nht ?
6. Mt vt khi lng m = 100g gn vi mt lũ xo cú cng 100 N/m, dao ng trờn
mt phng ngang vi biờn ban u 10cm. Ly gia tc trng trng g = 10m/s
2
,
2
= 10. Bit h
s ma sỏt gia vt v mt phng ngang l = 0,1. Vt dao ng tt dn vi chu kỡ khụng i.
a. Tỡm tng chiu di quóng ng s m vt i c cho ti lỳc dng li.
b. Tỡm thi gian t lỳc dao ng cho n lỳc dng li.
7. Mt con lc lũ xo gm lũ xo cú h s n hi k = 60(N/m) v qu cu cú khi lng m
= 60(g), dao ng trong mt cht lng vi biờn ban u A = 12cm. Trong quỏ trỡnh dao ng
con lc luụn chu tỏc dng ca mt lc cn cú ln khụng i F
c
. Xỏc nh ln ca lc cn
ú. Bit khong thi gian t lỳc dao ng cho n khi dng hn l t = 120(s). Ly

2
= 10.
8.(HA 2010). Mt con lc lũ xo gm vt nh khi lng 0,02 kg v lũ xo cú cng 1
N/m. Vt nh c t trờn giỏ c nh nm ngang dc theo trc lũ xo. H s ma sỏt trt gia
giỏ v vt nh l 0,1. Ban u gi vt v trớ lũ xo b nộn 10 cm ri buụng nh con lc dao
ng tt dn. Ly g = 10 m/s
2
. Tc ln nht vt nh t c trong quỏ trỡnh dao ng l bao
nhiờu?
9.(CA 2008). Mt con lc lũ xo gm viờn bi nh khi lng m v lũ xo khi lng
khụng ỏng k cú cng 10 N/m. Con lc dao ng cng bc di tỏc dng ca ngoi lc tun
hon cú tn s gúc
F
. Bit biờn ca ngoi lc tun hon khụng thay i. Khi thay i
F
thỡ
biờn dao ng ca viờn bi thay i v khi
F
= 10 rad/s thỡ biờn dao ng ca viờn bi t
giỏ tr cc i. Khi lng m ca viờn bi bng bao nhiờu?
10. Con lắc lò xo ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m và vật m = 100g, dao động
trên mặt phẳng ngang, hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang là = 0,01, lấy g = 10m/s
2
. Sau mỗi lần
vật chuyển động qua VTCB biên độ dao động giảm 1 lợng là bao nhiờu?
11. Một con lắc lò xo ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m và vật m = 100g, dao động
trên mặt phẳng ngang, hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang là = 0,02. Kéo vật lệch khỏi VTCB
một đoạn 10cm rồi thả nhẹ cho vật dao động. Quãng đờng vật đi đợc từ khi bắt đầu dao động đến
khi dừng hẳn là bao nhiờu?
Dng 2. Dao ng tt dn ca con lc n (xột trng hp con lc dao ng bộ).

* Thit lp cỏc cụng thc tớnh toỏn.
* Xột mt con lc n dao ng tt dn, cú biờn gúc ban u l
0
. Biờn ca
con lc gim u sau tng chu k.
* Gi biờn sau mt na chu k u tiờn l
1
.
* p dng nh lut bo ton nng lng ta cú:
2 2
1 0 c
1 1
mg - mg = - F .s
2 2
l l
.
Trong ú F
c
l lc cn tỏc dng vo qu cu con lc khi con lc dao ng tt dn v s l quóng
ng m vt i c sau mt na chu k u tiờn. Ta cú s = (
0
+
1
).
* Khi ú
2 2
1 0 1 0
1 1
mg - mg = - F ( + )
2 2

l l l
, hay
c
1
2F
=
mg

(1).
* Gi
2
l biờn sau mt na chu k tip theo (hay l biờn cui chu k u
tiờn).
Ta cú:
2 2
2 1 1 2
1 1
mg - mg = - F ( + )
2 2
l l l
, hay
c
2
2F
=
mg

(2).
* T (1) v (2) ta cú
c

0 2
4F
- =
mg

.
* Vy gim biờn gúc dao ng ca con lc sau mt chu kỡ l:
c
0 2
4F
= - =
mg

.
* gim biờn dao ng ca con lc sau N chu kỡ l:
c
0 2N
4NF
- =
mg

.
* Nu sau N chu kỡ m vt dng li thỡ
2N
= 0 hay s chu kỡ vt dao ng c l: N
=
0
c
mg
4F

.
* Do mt chu kỡ vt i qua VTCB hai ln nờn s ln vt i qua VTCB cho n lỳc
dng li l: n = 2N =
0
c
mg
4F
.
* Khong thi gian t lỳc vt bt u dao ng cho n lỳc vt dng li l:
t = NT
( Nu coi dao ng tt dn cú tớnh tun hon vi chu k
2
T =

=
2
g

l
).
* Quóng ng vt i c cho n khi dng li:
p dng nh lut bo ton nng lng:
2
2
0
0 c
c
mg
1
mg = F .s hay s =

2 2F


l
l
.
Bi tp ỏp dng.
1. Mt con lc n gm dõy mnh di l cú gn vt nng nh khi lng m. Kộo
con lc ra khi VTCB mt gúc
0

= 0,1rad ri th cho nú dao ng ti ni cú gia tc
trng trng g. Trong quỏ trỡnh dao ng con lc chu tỏc dng ca lc cn cú ln
khụng i luụn tip xỳc vi qu o ca con lc. Con lc thc hin bao nhiờu dao ng
thỡ dng hn, cho bit F
c
= mg.10
-3
N.
2. Một con lắc đơn có chiều dài
( )
ml 5,0=
, quả cầu nhỏ có khối lợng
( )
gm 100=
. Cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng trờng
( )
2
/8,9 smg =
với biên độ góc

( )
rad14,0
0
=

. Trong quá trình dao động, con lắc luôn chịu tác dụng của lực ma sát nhỏ
có độ lớn không đổi
( )
NF
C
002,0=
thì nó sẽ dao động tắt dần. Tính gióm biờn
gúc ca con lc sau mi chu kỡ v khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi
dừng hẳn. Lấy
1416,3=

.
3. Một con lắc đơn có chiều dài
( )
ml 248,0=
, quả cầu nhỏ có khối lợng
( )
gm 100=
. Cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng trờng
( )
2
/8,9 smg =
với biên độ
góc
( )

rad07,0
0
=

trong môi trờng dới tác dụng của lực cản (có độ lớn không đổi) thì
nó sẽ dao động tắt dần có cùng chu kì nh khi không có lực cản. Lấy
1416,3=

. Xác định
độ lớn của lực cản. Biết con lắc đơn chỉ dao động đợc
( )
s100=

thì ngừng hẳn.
4. Một con lắc đơn có chiều dài
( )
ml 992,0=
, quả cầu nhỏ có khối lợng
( )
gm 25=
. Cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng trờng
( )
2
/8,9 smg =
với biên độ
góc
0
0
4=


trong môi trờng có lực cản tác dụng. Biết con lắc đơn chỉ dao động đợc
( )
s50=

thì ngừng hẳn. Lấy
1416,3=

.
a. Xác định độ hao hụt cơ năng trung bình sau một chu kì.
b. Để duy trì dao động, ngời ta dùng một bộ phận bổ sung năng lợng, cung cấp
cho con lắc sau mỗi chu kì. Bộ phận này hoạt động nhờ một pin tạo hiệu điện thế
( )
VU 3=
, có hiệu suất
%25
. Pin dự trữ một điện lợng
( )
CQ
3
10=
. Tính thời gian hoạt
động của đồng hồ sau mỗi lần thay pin.
5. Một con lắc đồng hồ đợc coi nh một con lắc đơn dao động nhỏ tại nơi có
( )
2
/8,9 smg =
với chu kì
( )
sT 2=
. Quả cầu nhỏ của con lắc có khối lợng

( )
gm 50=
.
Biên độ góc
( )
rad15,0
0
=

trong môi trờng có lực cản tác dụng thì nó chỉ dao động đợc
( )
s200=

thì ngừng hẳn. Lấy
1416,3=

.
a. Tính số dao động thực hiện đợc, cơ năng ban đầu và độ giảm cơ năng trung
bình sau mỗi chu kì.
b. Ngời ta có thể duy trì dao động bằng cách dùng một hệ thống lên giây cót
đồng hồ sao cho nó chạy đợc trong một tuần lễ với biên độ góc
0
0
4=

. Tính công cần
thiết để lên giây cót. Biết
%80
năng lợng đợc dùng để thắng lực ma sát do hệ thống các
bánh răng ca.

6. Một con lắc đồng hồ đợc coi nh một con lắc đơn có chu kì dao động
( )
sT 2=
;
vật nặng có khối lợng
( )
kgm 1=
. Biên độ góc dao động lúc đầu là
0
0
5=

. Do chịu tác
dụng của một lực cản không đổi
( )
NF
C
011,0=
nên nó chỉ dao động đợc một thời gian
( )
s

rồi dừng lại.
a. Xác định

b. Ngời ta dùng một pin có suất điện động
( )
V3
điện trở trong không đáng kể
để bổ sung năng lợng cho con lắc với hiệu suất 25%. Pin có điện lợng ban đầu

( )
CQ
4
0
10=
. Hỏi đồng hồ chạy đợc thời gian bao lâu thì lại phải thay pin?
ĐS: 1)
( )
s40=

; 2)
( )
Ngày92