Đề thi HSG toán dự bị 2011 Hà nam
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (433.71 KB, 4 trang )
Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Hà nam lớp 9 thcs năm 2011
đề dự bị Môn: toán
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1:(4 điểm) Cho x, y,z là các số dơng thỏa mãn: xy + yz + xz = 1
a. Chứng minh rằng: 1 + x
2
= (x + y)(y + z)
b. Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
1 1 1
y z z x x y
P x y z
x y z
+ + + + + +
= + +
+ + +
Bài 2:(6điểm) a. Giải phơng trình:
2 3
3 4 1x x + =
b. Giải hệ phơng trình:
2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y
y x
y
x y
+
+ =
+
=
+
Bài 3:(3 điểm) a.Tìm m để đờng thẳng (d): y = 2x + m cắt Parabol
(P): y = mx
2
(
0m
)tại hai điểm có hoành độ là:
3
(1 2)+
và
3
(1 2)
.
b.Với số tự nhiên n (
3n
) đặt:
S
n
=
1 1 1
3(1 2) 5( 2 3) (2 1)( 1)n n n
+ + +
+ + + + +
Chứng minh rằng: S
n
<
1
2
Bài 4:(5,0 điểm)
Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, A là một điểm thuộc đờng tròn, H là hình chiếu
của A trên BC. Vẽ đờng tròn tâm K đờng kính AH cắt AB, AC lần lợt tại M và N.
a. Chứng minh : OA
MN
b. Vẽ đờng kính AOP của (O). Gọi E là trung điểm của HP. Chứng minh E là tâm
đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC.
c. Cho BC cố định. Xác định vị trí của A để bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
BMNC lớn nhất.
Bài 5:(2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn hệ thức:
BC
2
+ AB.AC - AB
2
= 0. Tính:
2
3
A B+
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1: Giám thị 2:
Sở giáo dục và đào tạo đáp án và hớng dẫn chấm
Hà nam đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
đề dự bị Môn: toán
Năm học : 2010 -2011
Bài Đáp án Điểm
Bài 1
1a, 1+x
2
= (x+y)(x+z)
1+x
2
-x
2
-(xy+yz+xz)=0 vì xy+yz+xz = 1
1,5
B
A
C
P
H
N
K
M
E
O
(4®)
2a, x
2 2
2
(1 )(1 ) ( )( )( )( )
1 ( )( )
y z y x y z z x z y
x xy xz
x x y x z
+ + + + + +
= = +
+ + +
0,5
y
2 2
2
(1 )(1 ) ( )( )( )( )
1 ( )( )
z x z x z y x y x z
y xy yz
y y x y z
+ + + + + +
= = +
+ + +
0,5
z
2 2
2
(1 )(1 )
1
x y
yz xz
z
+ +
= +
+
0,5
P = 2(xy+yz +xz) = 2 1,0
Bµi 2
(6®)
2a,
2 3
3 4 1x x− + − =
(1)
§Æt x-4 =t th× (1)
⇔
3
2
( 1) 1t t+ + =
0,5
+, t
2 3 2
0 ( 1) 1 ( 2) 0 0t t t t t t≥ ⇒ + + = ⇔ + + = ⇔ =
1,0
+, t <
2 3
0 ( 1) 1 ( 1)( 2) 0 1t t t t t t⇒ + − = ⇔ + − = ⇔ = −
1,0
Víi t = 0
⇔
x-4 =0
⇔
x=4
Víi t = -1
⇔
x-4 = -1
⇔
x =
⇔
x=3
VËy S =
{ }
3;4
0,5
2b,
2
2 2
2 2
2 2
2 2
3
3
3(1)
3
3
3
0(2)
0
x y
xy y
x
xy y
x y
x y
y x
xy xy
y
xy
x y
x y
+
+
+ =
+ =
+
+
⇒
−
−
− =
+ =
+
+
§K: x
2
+y
2
>0 1,0
Céng vÕ víi vÕ cña hai pt ta ®îc: 2xy+3 = 3y
⇔
x =
3( 1)
2
y
y
−
tõ (2)
⇒
x
2
y +y
3
- y +3x = 0 thay x vµo ta cã: 4y
5
+5y
3
-9y = 0
1,0
⇔
y(4y
4
+5y
2
-9) =0
⇔
1y = ±
Víi y = 1
⇒
x = 0
Víi y = -1
⇒
x= 3
Thö l¹i tháa m·n .VËy nghiÖm cña hÖ lµ(x;y)=
{ }
(0;1);(3; 1)−
1,0
Bµi 3
(3®)
3a, Pt hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) lµ mx
2
- 2x - m = 0 (
0m ≠
) Cã
2
1 0m∆ = + >
0,5
TheoViet:x
1
+x
2
=
2
m
3 3
2 1
(1 2) (1 2) ( )
4
m T M
m
⇔ + + − = ⇔ =
0,5
3b, Theo cosi:
( 1) 2 1n n n+ ≤ +
0,5
1 1
(2 1)( 1) 2( 1) ( 1)
1 1 1 1
( )
2
2 ( 1) 1
n n n n n n n
n n
n n n n
<
+ + + + + +
+
= =
+ +
1,0
Nên
S <
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1 ) (1 )
2 2 2
2 2 3 1 1n n n
+ + + + = <
+ +
0,5
Bài 4
(5,0đ)
4a, C,m: MN đi qua K (
ã
MAN
= 90
0
) 0,25
+,
ã
ã
(MAK AMK AKM=
cân tại K)
ã
ã
(CAO OCA AOC=
cân tại O)
0,25
0,25
Mà
ã
ã
MAK ACO=
( cùng phụ với
à
B
) 0,25
ã
ã
AMK CAO =
0,25
Lại có:
ã
ã
0
90 (AMK ANK MAN+ =
vuông tại A) 0,25
ã
ã
0
90CAO ANK + =
0,25
Vậy OA
MN
0,25
4b,EK là đờng trung bình của
/ /AHP EK AO EK MN
Nên EK là đờng trung trực của MN
0,5
+, tơng tự OE là đờng trung trực của BC 0,5
+, Tứ giác BMNC nội tiếp 0,5
Vậy E là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC 0,5
4c, BC cố định
2
BC
BO =
cố định
BE lớn nhất
OE lớn nhất
AH lớn nhất
AO
BC
1,0
Bài 5
(2.0đ)
A
C
B
D
Từ BC
2
+ AB.AC - AB
2
= 0
2
( )
BC AB AC
BC AB AC AB
AB BC
= =
Nên AB > AC
0,5
Trên AB lấy D sao cho AC = AD
BD = AB - AC
Do đó
BC BD
AB BC
=
ABC
~
( . . )CBD c g c
ã ã
ACB CDB =
(1)
0,5
Mặt khác:
ã
à
ã
CDB A ACD= +
(2)
Có
ã
à
0
180
2
A
ACD
=
(3)
0,5
Từ (1), (2), (3)có:
ã
à
à à
0 0
180 180
2 2
A A
ACB A
+
= + =
à
à à à à
0 0 0
2 180 2 180 ( ) 180C A A B A
= + + = +
à à à à
0 0
2
180 3 2 60
3
A B A B = + + =
0,5
Chú ý: +, Mọi cách làm đúng khác với đáp án cho điểm tơng úng với biểu điểm
+, Điểm toàn bài là tổng điểm của các bài và không làm tròn số
