1

ÔN THI CAO HỌC
PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
(GV Trần Ngọc Hội - 2011)

A- KHÔNG GIAN VÉCTƠ
§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CĂN BẢN
1.1. Định nghĩa. Cho V là một tập hợp khác ∅. Ta nói V là một không gian véctơ trên F
(F = Q, R hay C) nếu trong V :
i) Tồn tại một phép toán “cộng véctơ”, tức là một ánh xạ
V × V → V
(u, v) → u + v
ii) Tồn tại một phép “nhân vô hướng với véctơ”, tức là một ánh xạ
F × V → V
(α, u) → αu
thỏa các tính chất sau: v
ới u, v, w ∈ V và α, β ∈ F:
1. u + v = v + u;
2. (u + v) + w = u + (v + w);
3. ∃ 0 ∈ V, u + 0 = 0 + u = u;
4. ∃ (–u) ∈ V, (–u) + u = u + (–u) = 0;
5. (αβ)u = α(βu);
6. (α + β)u = αu +βu;
7. α(u + v)u = αu + αv;
8. 1.u = u.
Khi đó:
• Mỗi phần tử u ∈ V là một véctơ.
• Mỗi số α ∈ F là một vô hướng.
• Véctơ 0 là véctơ không.

• Véctơ (–u) là véctơ đối của u.
Sau đây ta sẽ đưa ra vài ví dụ cơ bản về không gian véctơ.
1) Tập F
n
= {u = (x
1
, x
2
, , x
n
)⏐x
i
∈ F, 1 ≤ i ≤ n} (F = R hay C) với phép toán cộng véctơ
và phép nhân vô hướng với véctơ định bởi:

2

u + v = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, , x
n
+ y
n
),

αu = (αx
1
, αx
2
, , αx
n
),
với u = (x
1
, x
2
, , x
n
), v = (y
1
, y
2
, , y
n
)∈ V và α ∈ F, là một không gian véctơ trên F với véctơ
không là 0 = (0, 0, 0) và véctơ đối của véctơ u = (x
1
, x
2
, , x
n
) là
(–u) = (−x
1
, −x

2
, , −x
n
)
2) Tập V = M
mxn
(F) gồm các ma trận mxn với các hệ số trong F là một không gian véctơ
trên F với phép cộng véctơ là phép cộng ma trận thông thường và nhân vô hướng với véctơ là
phép nhân thông thường một số với ma trận, trong đó véctơ không là ma trận không và véctơ
đối của A = (a
ij
) là (–A) = (–a
ij
).
3) Tập V = F[x]
= {p(x) = a
n
x
n
+ + a
1
x + a
0
x + a
0
⏐ n ∈ N, a
i
∈ F, 1 ≤ i ≤ n}
gồm các đa thức theo x với các hệ số trong F là một không gian véctơ trên F với phép cộng
véctơ là phép cộng thông thường các đa thức và phép nhân vô hướng với véctơ là phép nhân

thông thường một số với một đa thức.
4) Với mỗi số nguyên n ≥ 1, tập
V = F
n
[x] = {p(x) = a
n
x
n
+ + a
1
x + a
0
⏐a
i
∈ F, 1 ≤ i ≤ n}
gồm các đa thức theo x bậc ≤ n, với các hệ số trong F là một không gian véctơ trên F với cộng
véctơ và phép nhân vô hướng với véctơ là các phép cộng đa thức và nhân một số với đa thức
thông thường (như trong 3) là một không gian véctơ trên trường F.
1.2. Mệnh đề. Cho V là một không gian véctơ trên F. Khi đó với mọi u ∈ V và α ∈ F ta
có:
i) αu = 0 ⇔ (α = 0 hay u = 0).
ii) (–1)u = –u.
T
ừ đây về sau ta ký hiệu V là một không gian véctơ trên trường F (F = Q, R hay C)

§2. TỔ HỢP TUYẾN TÍNH
2.1. Định nghĩa. Cho u
1
, u
2

, , u
k
∈ V. Một tổ hợp tuyến tính của u
1
, u
2
, , u
k
là một
véctơ có dạng:
u = α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
k
u
k

với α
i
∈ F (1 ≤ i ≤ k).
2.2. Tính chất. 1) u là tổ hợp tuyến tính của u
1
, u
2

, , u
k
khi và chỉ khi phương trình α
1
u
1

+ α
2
u
2
+ + α
k
u
k
= u có nghiệm (α
1
, α
2
, , α
k
)∈ F
k
.
2) Tổng của hai tổ hợp tuyến tính, tích của một số với một tổ hợp tuyến tính cũng là các
tổ hợp tuyến tính (của u
1
, u
2
, , u

k
):
kkk
1i 1i i i i
i1 i1 i1
uu()u
===
α+β= α+β
∑∑∑
;
kk
ii i i
i1 i1
u()u
==
⎛⎞
αα=αα
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
.

3

3) Véctơ không 0 luôn luôn là một tổ hợp tuyến tính của u
1
, u
2
, , u
k

vì 0 = 0u
1
+ 0u
2

+ + 0u
k
.
4) Mỗi véctơ u
i
, 1 ≤ i ≤ k là một tổ hợp tuyến tính của u
1
, u
2
, , u
k
vì
u
i
= 0u
1
+ + 0u
i–1
+ 1u
i
+ 0u
i+1
+ + 0u
k


Tổng quát hơn, mọi tổ hợp tuyến tính của u
1
, u
2
, ,u
j
(1 ≤ j ≤ k) đều là tổ hợp tuyến tính
của u
1
, u
2
, ,u
j
, u
j+1
, , u
k
vì:
α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
j
u
j

= α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
j
u
j
+ 0u
j+1
+ + 0u
k

4) Mọi tổ hợp tuyến tính của u
1
, u
2
, ,u
k-1
, u
k
đều là tổ hợp tuyến tính của u
1
, u
2
, , u

k-1

khi và chỉ khi u
k
là một tổ hợp tuyến tính của u
1
, u
2
, , u
k-1
.
2.3. Hệ quả. Cho u
1
, u
2
, , u
k
là k véctơ trong F
n
với u
j
= (u
1j
, u
1j
, , u
nj
), 1 ≤ j ≤ k:
u
1

= (u
11
, u
21
, u
n1
)
u
2
= (u
12
, u
22
, u
n2
)

u
k
= (u
1k
, u
2k
, u
nk
)
Khi đó véctơ u = (b
1
, b
2

, , b
n
) ∈ F
n
là tổ hợp tuyến tính của u
1
, u
2
, , u
k
khi và chỉ khi hệ
phương trình tuyến tính UX = B, trong đó:
11 12 1k 1 1
21 22 2k 2 2
n1 n2 nk n k
uu u b
uu u b
U;B;X

uu u b
α
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
α
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
===
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
α
⎝⎠⎝⎠⎝⎠


có nghiệm X.

Ví dụ. Trong không gian R
4
cho các véctơ:
u
1
= (1, 1, 1, 1);
u
2
= (2, 3, –1, 0);
u
3
= (–1, –1, 1, 1);
u
4
= (1, 2, 1, –1)
Tìm điều kiện để véctơ u = (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
) là một tổ hợp tuyến tính của:
a) u
1
, u

2
, u
3
;
b) u
1
, u
2
, u
3
, u
4
.
Đáp số: a) a
1
+ a
4
= a
2
+ a
3
.
b) Mọi véctơ u = (a
1
, a
2
, a
3
, a
4

) ∈ R
4
đều là tổ hợp tuyến tính của u
1
, u
2
, u
3
, u
4
.

§3. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH – PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH
3.1. Định nghĩa. 1) Cho u
1
, u
2
, , u
k
∈ V. Xét phương trình:

4

α
1
u
1
+ α
2
u

2
+ + α
k
u
k
= 0 (1)
Nếu (1) chỉ có nghiệm tầm thường α
1
= α
2
= = α
k
= 0 thì ta nói u
1
, u
2
, , u
k
(hay {u
1
,
u
2
, , u
k
}) độc lập tuyến tính.
Nếu ngoài nghiệm tầm thường, (1) còn có nghiệm khác thì ta nói u
1
, u
2

, , u
k
(hay {u
1
,
u
2
, , u
k
} ) phụ thuộc tuyến tính.
Nói cách khác,
• u
1
, u
2
, , u
k
độc lập tuyến tính khi và chỉ khi với mọi α
1
, α
2
, , α
k
∈F ta có:
α
1
u
1
+ α
2

u
2
+ + α
k
u
k
= 0 ⇒ α
1
= α
2
= = α
k
= 0.
• u
1
, u
2
, , u
k
phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại α
1
, α
2
, , α
k
∈ F không đồng
thời bằng 0 sao cho:
α
1
u

1
+ α
2
u
2
+ + α
k
u
k
= 0.
2) Tập con S ⊆ V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi {u
1
, u
2
, , u
k
} ⊆ S (k ∈ N tuỳ
ý) đều độc lập tuyến tính. Nếu S không độc lập tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ 1) Trong không gian R
3
cho các véctơ:
u
1
= (1, 2, −3); u
2
= (2, 5, −1); u
3
= (1, 1, −8)

ta có:

• u
1
, u
2
độc lập tuyến tính.
• u
1
, u
2
, u
3
phụ thuộc lập tuyến tính.
3.2. Nhận xét. Các véctơ u
1
, u
2
, , u
k
phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại véctơ u
i

“phụ thuộc” vào các véctơ khác theo nghĩa véctơ u
i
được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính
của các u
j
, 1 ≤ j ≠ i ≤ k.
Với u
1
, u

2
, , u
k
là k véctơ trong F
n
:
u
1
= (u
11
, u
21
, u
n1
)
u
2
= (u
12
, u
22
, u
n2
)

u
k
= (u
1k
, u

2k
, u
nk
)
ta có: u
1
, u
2
, , u
k
độc lập tuyến tính khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính UX = 0, trong
đó:
11 12 1k
21 22 2k
n1 n2 nk
uu u
uu u
U

uu u
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

chỉ có nghiệm tầm thường X = 0. Mặt khác,
Hệ UX = 0 chỉ có nghiệm tầm thường X = 0

⇔ Ma trận U có hạng là r(U) = k.

5

⇔ Ma trận A = U
T
có hạng là r(A) = k (do hai ma trận chuyển vị có cùng hạng).
Nhận xét rằng ma trận U có được bằng cách dựng u
1
, u
2
, , u
k
thành các cột, nên ma trận A =
U
T
có được bằng cách xếp u
1
, u
2
, , u
k
thành các dòng.
3.3. Hệ quả. Cho u
1
, u
2
, , u
k
là k véctơ trong F

n
. Gọi A là ma trận có được bằng cách
xếp u
1
, u
2
, , u
k
thành các dòng. Khi đó:
u
1
, u
2
, , u
k
độc lập tuyến tính ⇔ A có hạng là r(A) = k.
3.4. Chú ý. Trong thực hành, ta kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các véctơ u
1
, u
2
, ,
u
k
trong F
n
như sau:
Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u
1
, u
2

, , u
k
thành các dòng.
Bước 2: Dùng các phép BĐSCTD đưa A về dạng bậc thang R. Khi đó:
• Nếu R không có dòng 0 thì u
1
, u
2
, , u
k
độc lập tuyến tính.
• Nếu R có ít nhất một dòng 0 thì u
1
, u
2
, , u
k
phụ thuộc tuyến tính.
Trường hợp k = n, ta có A là ma trận vuông. Khi đó có thể thay Bước 2 bằng Bước 2′
như sau:
Bước 2′: Tính định thức detA:
• Nếu detA ≠ 0 thì u
1
, u
2
, , u
k
độc lập tuyến tính.
• Nếu detA = 0 thì u
1

, u
2
, , u
k
phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ 1. Trong không gian R
5
cho các véctơ:
u
1
= (1, 2, −3, 5, 1);
u
2
= (1, 3, −13, 22, −1);
u
3
= (3, 5, 1, −2, 5);
u
4
= (2, 3, 4, −7, 4);
Hãy xét xem u
1
, u
2
, u
3
, u
4
độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
Đáp số: Phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 2. Trong không gian R
3
cho các véctơ:
u
1
= (2m + 1, − m, m + 1)
u
2
= (m − 2, m – 1, m – 2)
u
3
= (2m − 1, m – 1, 2m –1)
Tìm điều kiện để u
1
, u
2
, u
3
độc lập tuyến tính trên R.
Đáp số: m ≠ 0; m ≠ ± 1.

§4. KHÔNG GIAN CON – TẬP SINH – CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU

6

4.1. Định nghĩa (không gian véctơ con).

Cho W là một tập con khác ∅ của V. Ta nói W là
một không gian véctơ con của V, kí hiệu W ≤ V, nếu W với phép cộng véctơ và phép nhân vô
hướng với véctơ cảm sinh từ V, cũng là một không gian véctơ trên trường F.

4.2. Định lý. Cho W là một tập con khác ∅ của V. Khi đó các khẳng định sau là tương
đương:
i) W ≤ V.
ii) Với u, v ∈ W và α ∈ F, u + v ∈ W và αu ∈ W.
iii) Với u, v ∈ W và
α ∈ F, αu + v ∈ W.

Ví dụ.1) W = {0} và V là các véctơ con của V. Ta gọi đây là các không gian con tầm
thường của V.
2) Trong không gian R
3
, đường thẳng (D) đi qua gốc tọa độ O là một không gian con của
R
3
.
3) Trong không gian R
3
, mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O là một không gian véctơ con
của R
3
.
4) Cho a
1
, , a
n
∈ F và b ∈ F\{0} Đặt:
W
1
= {(x
1

, , x
n
) ∈ F
n
| a
1
x
1
+ + a
n
x
n
= 0};
W
2
= {(x
1
, , x
n
) ∈ F
n
| a
1
x
1
+ + a
n
x
n
= b}

Ta có W
1
≤ F
n
nhưng
n
2
W ≤ 

4.3. Định lý. Giao của một họ tuỳ ý các không gian con của V cũng là một không gian con
của V.
Chú ý
.
Hợp của hai không gian con của V không nhất thiết là một không gian con của V.
Bây giờ cho S ⊆ V. Gọi {W
i
}
i ∈ I
là họ tất cả những không gian con của V có chứa S (họ
này khác rỗng vì có chứa V). Đặt:
i
Ii
WW
∈
=
∩

Khi đó:
• W là không gian con nhỏ nhất của V có chứa S.
Ta gọi

• W là không gian con sinh bởi S, kí hiệu W = < S >.
• S là tập sinh của W.
• Nếu S hữu hạn S = {u
1
, u
2
, , u
n
} thì ta nói W = < S > là không gian con hữu hạn sinh
bởi u
1
, u
2
, , u
n
và kí hiệu W = < u
1
, u
2
, , u
n
>.
4.4. Định lý. Cho ∅ ≠ S ⊆ V. Khi đó không gian con của V sinh bởi S là tập hợp tất cả
những tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn nhưng tùy ý các véctơ trong S, nghĩa là:
< S > = {u = α
1
u
1
+ + α
n

u
n
| n ∈ N, u
i
∈ S, α
i
∈ F, ∀ 1 ≤ i ≤ n}

7


Chú ý. 1) Nếu S = ∅ thì <S> = {0}.
2) Nếu S = {u
1
, u
2
, , u
n
} thì < S > = {α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
n
u
n

⏐ α
i
∈ F, 1 ≤ i ≤ n}.
3) Nếu S ≤ V thì < S > = S.
4) Cho S ⊆ V và W ≤ V. Khi đó:
S ⊆ W ⇔ < S > ≤ W.
5. Nếu S
1
⊆ S
2
⊆ V thì < S
1
> ≤ < S
2
>.
4.5. Định nghĩa. Một tập hợp con B của không gian véctơ V được gọi là một cơ sở của V
nếu B là một tập sinh độc lập tuyến tính.
4.6. Bổ đề. Giả sử V sinh bởi m véctơ u
1
, u
2
, , u
m
: V = < u
1
, u
2
, , u
m
>. Khi đó mọi tập

hợp con độc lập tuyến tính của V có không quá m phần tử.
4.7. Hệ quả và định nghĩa. Nếu V có một cơ sở B hữu hạn gồm m phần tử: B = {u
1
, u
2
,
, u
m
} thì mọi cơ sở khác của V cũng hữu hạn và có đúng m phần tử. Khi đó ta nói V là một
không gian véctơ hữu hạn chiều trên F và m được gọi la số chiều (dimension) của V trên F, kí
hiệu dim
F
V = m hay dimV = m. Trong trường hợp ngược lại, ta nói V là một không gian véctơ
vô hạn chiều trên F, kí hiệu dim
F
V = ∞ hay dimV = ∞.
Ví dụ. 1) Không gian F
n
là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên F với dimF
n
= n do F
n

có một cơ sở là B
0
= {e
1
, e
2
, , e

n
} trong đó:
e
1
= (1, 0, 0, , 0)
e
2
= (0, 1, 0, , 0)

e = (0, 0, , 0, 1)
Ta gọi B
0
là cơ sở chính tắc của F
n
trên F.
2) Không gian M
mxn
(F) là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên F với dim M
m×n
(F) =
mn với cơ sở B
0
= {E
ij
| , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}, trong đó E
ij
là ma trận loại m×n chỉ có một hệ số
khác 0 là 1 tại dòng i cột j. Ta gọi B
0
= {E

ij
| , 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n} là cơ sở chính tắc của
M
mxn
(F) trên F.
3) Không gian F
n
[x] gồm các đa thức theo x bậc ≤ n với hệ số trong F, là một không gian
véctơ hữu hạn chiều trên F với dimF
n
[x] = n + 1 với một cơ sở là B
0
= {1, x, x
n
}. Ta gọi B
0
=
{1, x, x
n
} là cơ sở chính tắc của F
n
[x].
4) Không gian F[x] gồm tất các đa thức theo x bậc với hệ số trong F, là một không gian
véctơ vô hạn chiều với một cơ sở vô hạn B
0
= {1, x, x
2
, }.
4.8. Hệ quả. Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều trên F với dim V = n. Khi đó:
i) Mọi tập con của V có nhiều hơn n phần tử đều phụ thuộc tuyến tính.

ii) Mọi tập con của V có ít hơn n phần tử không thể là tập sinh của V.

8

4.9. Bổ đề. Cho S là một tập con độc lập tuyến tính của V và u ∈ V là một véctơ sao cho
u ∉ < S >. Khi đó tập hợp S
1
= S ∪ {u} độc lập tuyến tính.
4.10. Định lý. Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều với dim V = n. Khi đó:
i) Mọi tập hợp con độc lập tuyến tính gồm n phần tử của V đều là cơ sở của V.
ii) Mọi tập hợp sinh của V gồm n phần tử đều là cơ sở của V.

Nhận xét. Vì dim F
n
= n nên mọi cơ sở của F
n
phải gồm đúng n véctơ. Hơn nữa, do Định
lý 4.10: Với B = {u
1
, u
2
, , u
n
} là một tập con gồm đúng n véctơ của F
n
, ta có:
B = {u
1
, u
2

, , u
n
} là một cơ sở của F
n

⇔ u
1
, u
2
, , u
n
độc lập tuyến tính
⇔ detA ≠ 0, trong đó A là ma trận có được bằng cách xếp u
1
, u
2
, , u
n
thành các dòng.
Ví dụ. 1) Trong không gian R
4
, các véctơ
u
1
= (1, 1, 1, 1)
u
2
= (2, 3, –1, 0)
u
3

= (–1, –1, 1, 1)
u
4
= (1, 2, 1, –1)
tạo thành cơ sở của R
4
.
2) Trong không gian R
3
, các véctơ
u
1
= (2m + 1, − m, m + 1)
u
2
= (m − 2, m – 1, m – 2)
u
3
= (2m − 1, m – 1, 2m –1)
tạo thành một cơ sở của R
3
khi và chỉ khi m0,1
≠
± .
4.11. Định lý (về cơ sở không toàn vẹn). Cho V là một không gian véctơ hữu hạn chiều và
S là một tập con độc lập tuyến tính của V. Khi đó, nếu S không phải một cơ sở của V thì ta có
thể thêm vào S một số véctơ để được một cơ sở của V.
4.12. Định lý. Cho V là một không gian véctơ hữu hạn chiều sinh bởi S. Khi đó tồn tại
một cơ s
ở B của V sao cho B ⊆ S. Nói cách khác, nếu S không phải là một cơ sở của V thì ta có

thể loại bỏ ra khỏi S một số véctơ để được một cơ sở của V.
4.13. Hệ quả. Mọi không gian con W của một không gian véctơ V hữu hạn chiều đều hữu
hạn chiều, hơn nữa nếu W ≤ V và W ≠ V thì dim W < dim V.





9

§5. KHÔNG GIAN DÒNG
5.1. Định nghĩa. Cho ma trận A = (a
ij
) loại m×n với hệ số trong F:
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A

a a a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠


Đặt:
u
1
= (a
11
, a
12
, , a
1n
)
u
2
= (a
21
, a
22
, , a
2n
)

u
m
= (a
m1
, a
m2
, , a
mn
)
và W

A
= <u
1
, u
2
, , u
m
>. Ta gọi u
1
, u
2
, , u
m
là các véctơ dòng của A, và W
A
là không gian
dòng của A.
Ghi chú. dimW
A
còn được gọi là hạng của hệ véctơ u
1
, u
2
, , u
m
.
5.2. Định lý. Nếu A và B là hai ma trận tương đương dòng thì W
A
= W
B

, nghĩa là A và B
có cùng không gian dòng.
5.3. Nhận xét. Vì các véctơ dòng khác 0 của một ma trận dạng bậc thang luôn luôn độc
lập tuyến tính nên chúng tạo thành một cơ sở của không gian dòng. Từ đây ta suy ra cách tìm
số chiều và một cơ sở của không gian dòng của ma trận A như sau:
• Dùng các phép BĐSCTD đưa A về dạng bậc thang R.
• Số chiều của không gian dòng W
A
bằng số dòng khác 0 của R (do đó bằng r(A)) và
các véctơ dòng khác 0 của R tạo thành một cơ sở của W
A
.
Ví dụ. Tìm số chiều và một cơ sở của không gian dòng của ma trận:
12 11
25 1 4
A
511 2 8
920 314
−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
−
⎜⎟
−
⎝⎠

Giải tóm tắt. Dùng các phép BĐSCTD ta có

12 11 12 11
25 1 4 0132
A
R
511 2 8 00 0 1
920 314 0000
−−
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
==
⎜⎟⎜⎟
−
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠
∼
.
R có dạng bậc thang với 3 dòng khác 0. Do đó dim W
A
= 3 và một cơ sở của W
A
là:
{(1, 2, −1, 1); (0, 1, 3, 2); (0, 0, 0, 1)}


10

5.4. Cách tìm số chiều và cơ sở của một không gian con của F
n

khi biết một tập sinh:
Giả sử W = <u
1
, u
2
, , u
m
> ≤ F
n
(u
1
, u
2
, , u
m
không nhất thiết độc lập tuyến tính). Để
tìm số chiều và một cơ sở của W ta tiến hành như sau:
• Lập ma trận A bằng cách xếp u
1
, u
2
, , u
m
thành các dòng.
• Dùng các phép BĐSCTD đưa A về dạng bậc thang R.
• Số chiều của W bằng số dòng khác 0 của R (do đó bằng r(A)) và các véctơ dòng
khác 0 của R tạo thành một cơ sở của W.
Ví dụ. 1) Tìm một cơ sở cho không gian con của R
4
sinh bởi các véctơ u

1
, u
2
, u
3
, u
4
trong
đó:
u
1
= (1, 2, 1, 1)
u
2
= (3, 6, 5, 7)
u
3
= (4, 8, 6, 8)
u
4
= (8, 16, 12, 20)
Giải tóm tắt. Không gian W sinh bởi u
1
, u
2
, u
3
, u
4
là không gian dòng của ma trận:

12 1 1 1211
36 5 7 0012
A
R
4 8 6 8 0001
8161220 0000
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
==
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∼

Do đó W có dimW = 3 với cơ sở là :
B = {(1, 2, 1, 1); (0, 0, 1, 2); (0, 0, 0, 1)}
Nhận xét. Có thể kiểm chứng u
1
, u
2
, u
3
độc lập tuyến tính. Do đó {u
1
, u
2
, u
3
} cũng là

một cơ sở của W (do dimW = 3).
2) Tìm một cơ sở cho không gian con của R
4
sinh bởi các véctơ u
1
, u
2
, u
3
trong đó:
u
1
= (1, –2, –1, 3)
u
2
= (2, –4, –3, 0)
u
3
= (3, –6, –4, 4)
Không gian W sinh bởi u
1
, u
2
, u
3
là không gian dòng của ma trận:
1213 1213
A
2430 00 16 R
3644 0001

−− −−
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
=−− −−=
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
−−
⎝⎠⎝ ⎠
∼

W có dimW = 3 và một cơ sở B = {v
1
, v
2
, v
3
}, trong đó:
v
1
= (1, –2, –1, 3)
v
2
= (0, 0, –1, –6)

11

v
3
= (0, 0, 0, 1)
Nhận xét. Trong Ví dụ 2, ma trận dạng bậc thang R không có dòng 0 nên u

1
, u
2
, u
3
độc
lập tuyến tính, và do đó {u
1
, u
2
, u
3
} cũng là một cơ sở của W.

§6. KHÔNG GIAN NGHIỆM
6.1. Ví dụ minh họa. Cho W là tập tất cả các nghiệm (x
1
,x
2
,x
3
,x
4
) của hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất:
1234
12 3 4
1234
1234
x2x3x5x 0

x 3x 13x 22x 0
3x 5x x 2x 0
2x 3x 4x 7x 0
+−+=
⎧
⎪
+
−+ =
⎪
⎨
++−=
⎪
⎪
++−=
⎩
(1)
Ta giải hệ (1) bằng phương pháp Gauss:
A =
12 3 5 12 3 5
1 3 13 22 0 1 10 17
35 1 2 00 0 0
23 4 7 00 0 0
−−
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
−−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
−
⎜⎟⎜⎟

−
⎝⎠⎝⎠
∼

Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau:
1234
234
x2x3x5x 0
x10x17x 0
+
−+=
⎧
⎨
−+=
⎩

Chọn x
3
= α, x
4
= β, ta tính được:
1
2
x1729
x1017
=
−α+ β
⎧
⎨
=

α− β
⎩

Vậy hệ (1) có vô số nghiệm với hai ẩn tự do:
1234
(x ,x ,x ,x ) ( 17 29 ,10 17 , , )
=
−α+ β α−βαβ

với α, β ∈ R tùy ý. Do đó:
W {( 17 29 ,10 17 , , )| , R}
{( 17 ,10 , ,0) (29 , 17 ,0, )| , R}
{ ( 17,10,1, 0) (29, 17,0,1)| , R}
( 17,10,1,0);(29, 17,0,1)
=−α+ β α− βαβαβ∈
=− α αα + β−β βαβ∈
=α− +β − αβ∈
=< − − >

Đặt u
1
= (–17,10,1,0); u
2
= (29, –17,0,1). Ta có W = <u
1
, u
2
>, hơn nữa u
1
, u

2
độc lập tuyến tính
vì:
12
u u 0 ( 17,10,1, 0) (29, 17, 0,1) (0, 0, 0, 0)
( 17 29 ,10 17 , , ) (0, 0,0,0)
0
α+β =⇒α− +β − =
⇒− α+ β α− βαβ=
⇒α=β=

Suy ra {u
1
, u
2
} là một cơ sở của W và dimW = 2.

12

Ta gọi W là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1) theo định
nghĩa tổng quát sau:
6.2. Định nghĩa. Cho ma trận A = (a
ij
) loại m×n với hệ số trong F:
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A


a a a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

và S
A
là tập tất cả các nghiệm (x
1
,x
2
, ,x
n
) của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: AX = 0,
nghĩa là tập tất cả các nghiệm của hệ:
11 1 12 2 1n n
21 1 22 2 2n n
m1 1 m2 2 mn n
a x a x a x 0
a x a x a x 0

a x a x a x 0
+++ =
⎧
⎪

+++ =
⎪
⎨
⎪
⎪
+
++ =
⎩

Khi đó S
A
là một không gian con của F
n
. Ta gọi S
A
là không gian nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất AX = 0.
6.3. Cách tìm số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm:
Xét lại Ví dụ minh họa 5.1 ta thấy S
A
có một cơ sở là {u
1
, u
2
} với u
1
= (-17,10,1,0); u
2
=
(29, –17,0,1). Dễ thấy:

• u
1
được suy từ nghiệm tổng quát bằng cách chọn α = 1, β = 0.
• u
2
được suy từ nghiệm tổng quát bằng cách chọn α = 0, β = 1.
Ta gọi {u
1
, u
2
} là một hệ nghiệm cơ bản của (1).
Trường hợp tổng quát, để tìm số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm S
A
của hệ
phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, ta tiến hành các bước sau:
• Giải hệ AX = 0 tìm nghiệm tổng quát.
• Tìm một hệ nghiệm cơ bản của hệ AX = 0 như sau: Giả sử nghiệm tổng quát của hệ
AX = 0 có s ẩn tự do
12 s
kk k
x , x , , x .
- Chọn
12 s
kk k
x 1; x 0; ; x 0== = ta được nghiệm
1
k
u .
- Chọn
12 s

kk k
x 0; x 1; ; x 0== =
ta được nghiệm
2
k
u
.

- Chọn
12 s
kk k
x 0; x 1; ; x 1== =ta được nghiệm
s
k
u .
Khi đó {
12 s
kk k
u , u , ,u
} là một hệ nghiệm cơ bản.
• Không gian nghiệm S
A
có dimS
A
= s và một cơ sở là hệ nghiệm cơ bản
{
12 s
kk k
u , u , , u } đã tìm.



13

§7. KHÔNG GIAN TỔNG
7.1. Định lý. Cho W
1
,W
2
, , W
n
là các không gian con của V. Đặt:
W = { u
1
+ u
2
+ + u
n
⏐u
i
∈ W
i
, 1 ≤ i ≤ n}
Khi đó W là không gian con của V sinh bởi
i
n
1i
WU
=
. Ta gọi W là không gian tổng của W
1

,W
2
, ,
W
n
, kí hiệu:
W = W
1
+ W
2
+ + W
n
.

Nhận xét.
1) u ∈ W
1
+ W
2
+ + W
n
⇔ ∃u
i
∈W
i
(1 ≤ i ≤ n), u = u
1
+ + u
n
.

2) W
1
+ W
2
+ + W
n
≤ U ⇔ W
i
≤ U , ∀ 1 ≤ i ≤ n.
7.2. Hệ quả. Cho W
1
, W
2
, , W
n
là các không gian con của V với W
i
= < S
i
>. Khi đó
W
1
+ W
2
+ + W
n
= <
i
n
1i

SU
=
>.
Ví dụ. Trong R
4
cho các véctơ:
u
1
= (1, 2, 1, 1) v
1
= (1, 2, 2, 3)
u
2
= (3, 6, 5, 7) v
2
= (2, 5, 2, 2)
u
3
= (4, 8, 6, 8) v
3
= (3, 7, 4, 5)
u
4
= (8, 16, 12, 16) v
4
= (6, 14, 8, 10)
Đặt W
1
= <u
1

, u
2
, u
3
, u
4
> và W
2
= <v
1
, v
2
, v
3
, v
4
>. Tìm một cơ sở và xác định số chiều của mỗi
không gian W
1
+ W
2
và W
1
∩ W
2
.
Giải. W
1
là không gian dòng của ma trận
1

12 1 1 1211
3 6 5 7 0024
A
48 6 8 0000
8161216 0000
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
=
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∼

Vậy W
1
= < (1, 2, 1, 1); (0, 0, 2, 4) > .
Tương tự W
2
là không gian dòng của ma trận:
2
12 2 3 1223
25 5 6 0110
A
3 7 7 9 0000
6141418 0000
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
=

⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∼
Vậy W
2
= < (1, 2, 2, 3); (0, 1, 1, 0) >.
Theo Hệ quả 7.2, không gian W
1
+ W
2
sinh bởi các véctơ:
(1, 2, 1, 1); (0, 0, 2, 4) ; (1, 2, 2, 3); (0, 1, 1, 0).
Ta tìm một cơ sở của W
1
+ W
2
:

14

1211 1211
0024 0110
A
1223 0012
0110 0000
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
=

⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∼
Suy ra W
1
+ W
2
có số chiều là 3 và một cơ sở là {(1, 2, 1, 1); (0, 1, 1, 0) ; (0, 0, 1, 2)}.
Ta có: u ∈ W
1
∩ W
2
khi và chỉ khi tồn tại α
i
∈ R, 1 ≤ i ≤ 4 sao cho:
12
34
12
131341234123
12
1234
u (1, 2,1,1) (0, 0, 2, 4)

u (1, 2, 2, 3) (0,1,1, 0)
u (1, 2, 1,1) (0, 0, 2, 4)
;2 2 ; 2 2 ; 4 3
u (1, 2, 1,1) (0, 0, 2, 4)
2;0
u (1, 2, 2, 3) vôùi

=α +α
⎧
⎨
=α +α
⎩
=α +α
⎧
⇔
⎨
α=α α=α+αα+α=α+αα+α=α
⎩
=α +α
⎧
⇔
⎨
α=α=αα=
⎩
⇔=α α∈


Suy ra: W
1
∩ W
2
có số chiều là 1 và một cơ sở là {(1, 2, 2, 3)}.
7.3. Định lý. Cho W
1
, W
2
là hai không gian véctơ con hữu hạn chiều của V. Khi đó W

1
+
W
2
là không gian con hữu hạn chiều của V và
dim(W
1
+ W
2
) = dim W
1
+ dim W
2
– dim(W
1
∩ W
2
).
7.4. Định nghĩa. Cho W
1
, W
2
, , W
n
là các không gian con của V. Ta nói W là không gian
tổng trực tiếp của W
1
, W
2
, , W

n
, kí

hiệu
12 n
W W W W
=
⊕⊕⊕
nếu W = W
1
+ W
2
+ + W
n
và
ij
ji
W(W)
≠
=
∅
∑
∩ với mọi 1≤ i ≤ n.
7.5. Hệ quả. Cho W
1
, W
2
, , W
n
là các không gian con của hữu hạn chiều của V và

W = W
1
+ W
2
+ + W
n
.
Khi đó W là tổng trực tiếp của W
1
, W
2
, , W
n
khi và chỉ dimW = dimW
1
+ dimW
2
+ + dimW
n
.

§8. TỌA ĐỘ VÀ MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ
8.1. Định lý. Cho B = (u
1
, u
2
, , u
n
) là một cơ sở của không gian véctơ V trên F, trong đó
thứ tự giữa các phần tử là u

1
, u
2
, , u
n
. Khi đó, với mọi u ∈ V, phương trình:
α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
n
u
n
= u (1)
luôn luôn có duy nhất một nghiệm. Gọi
00 0
12 n
( , , , )
α
αα là nghiệm của (1). Ta đặt:

15

0
1

0
2
0
n
[u] =

⎛⎞
α
⎜⎟
α
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
α
⎝⎠
B
: Tọa độ của véctơ u trong cơ sở B.
Như vậy,
0
1
0
00 0
2
11 22 nn
0
n
[u] = u u u u

⎛⎞

α
⎜⎟
α
⎜⎟
⇔=α +α ++α
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
α
⎝⎠
B


8.2. Hệ quả. Giả sử B = (u
1
, u
2
, , u
k
) là một cơ sở của W ≤ F
n
trong đó:
u
1
= (u
11
, u
21
, u
n1

)
u
2
= (u
12
, u
22
, u
n2
)

u
k
= (u
1k
, u
2k
, u
nk
)
Khi đó với mọi u = (b
1
, b
2
, b
n
) ∈ W, ta có:
1
2
n

b
b
[u] = X UX

b
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⇔=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
B

trong đó:
11 12 1k
21 22 2k
n1 n2 nk
uu u
uu u
U

uu u
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠


là ma trận có được bằng cách dựng u
1
, u
2
, , u
k
thành các cột.
8.3. Nhận xét. Đối với cơ sở chính tắc B
0
= (e
1
, e
2
, , e
n
) của không gian F
n
, ta có:

0
1
2
n
12 n
n
b
b
u (b , b , , b ) R ,[u]


b
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
∀= ∈ =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
B
.
Nói cách khác, tọa độ của véctơ u theo cơ sở chính tắc B
0
của F
n
chính là ma trận cột tương ứng
của u.

16

Ví dụ. 1) Trong không gian R
3
, mọi véctơ u = (a, b, c) có tọa độ theo cơ sở chính tắc B
0

là:
0
a
[u] b
c
⎛⎞

⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
B
.
2) Trong không gian R
3
, cho các véctơ:
u
1
= (1, 2, 1)
u
2
= (1, 3, 1)
u
3
= (2, 5, 3)
a) Chứng minh B = (u
1
, u
2
, u
3
) là một cơ sở của R
3
.
b) Tìm tọa độ của véctơ u = (a,b,c) ∈ R
3

theo cơ sở B.
Đáp số:
4a b c
[u] a b c
ac
−−
⎛⎞
⎜⎟
=−+ −
⎜⎟
⎜⎟
−+
⎝⎠
B
.
8.4. Định lý. Cho V là một không gian véctơ có dimV = n và hai cơ sở của V như sau:
B
1
= (u
1
, u
2
, , u
n
);
B
2
= (v
1
, v

2
, , v
n
).
Đặt:
1
1j
2j
j
nj
p
p
[v ] = , 1 j n

p
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
≤≤
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
B
,
và P là ma trận vuông cấp n có các cột lần lượt là
1 1 1
12 n
[v ] ,[v ] , ,[v ]
B

BB
, nghĩa là:

11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
p p p
p p p
P =

p p p
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Khi đó P khả nghịch và là ma trận duy nhất thỏa:
1 2
u V, [u] = P[u]∀∈
BB

Ta gọi P là ma trận chuyển cơ sở từ B
1
sang B
2
, kí hiệu
1 2
P

→
B
B
. Như vậy,
1 1 2 2
uV, [u] = P [u]
→
∀∈
BBBB

8.5. Mệnh đề. Cho V là một không gian véctơ hữu hạn chiều và B
1,
B
2
, B
3
là ba cơ sở
của V. Khi đó:

17

2 1 1 2
1 3 1 2 2 3
1
1) P (P )
2) P P P
−
→→
→→→
=

=
BB BB
B
BBBBB

8.6. Hệ quả. Cho B
1
= (u
1
, u
2
, , u
n
); B
2
= (v
1
, v
2
, , v
n
) là hai cơ sở của không gian F
n
.
Gọi B
0
= (e
1
, e
2

, , e
n
) là cơ sở chính tắc của F
n
. Khi đó:
0 1
1) P
→
B
B
là ma trận có được bằng cách dựng các véctơ u
1
, u
2
, , u
n
thành

các cột.
1 0 0 1
1
2)P (P )
−
→→
=
BB BB
.
3) Nếu qua một số phép BĐSCTD ma trận
0 1
P

→
B
B
biến thành ma trận đơn vị I
n
thì cũng
chính qua những phép biến đổi đó ma trận
0 2
P
→
B
B
sẽ biến thành ma trận
1 2
P
→
B
B
, nghĩa là:
0 1 0 2 1 2
BÑSCTD
n
(P P ) (I P )
→→ →
⎯⎯⎯⎯⎯→
BB BB BB

Ví dụ. 1) Trong không gian R
3
, cho các véctơ:

u
1
= (1, 2, 1)
u
2
= (1, 3, 1)
u
3
= (2, 5, 3)
a) Chứng minh B = (u
1
, u
2
, u
3
) là một cơ sở của R
3
.
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở chính tắc B
0
của R
3
.
c) Tìm tọa độ của véctơ u = (1,2, −3) theo cơ sở B.
Đáp số: b)
0
411
P111
10 1
→

−−
⎛⎞
⎜⎟
=− −
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
BB
.
c) Với u = (1,2,−3),
0
5
[u] 4
4
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
B
.
2) Trong không gian R
3
cho các véctơ phụ thuộc tham số m∈R:
u
1
= (1, 1 + m, 2);

u
2
= (1, –1, –m);
u
3
= (1 – m, 2, 3).
a) Tìm điều kiện để B(m) = (u
1
, u
2
, u
3
) là một cơ sở của R
3
.
b) Đặt B
1
= B(1) và B
2
= B(–1). Chứng tỏ B
1
và B
2
là hai cơ sở của R
3
. Tìm các ma
trận chuyển cơ sở từ B
1
sang B
2

và từ B
2
sang B
0
trong đó B
0
= (e
1
, e
2
, e
3
) là cơ sở chính tắc
của R
3
. Hãy tìm
12
[u] ; [u]

B
B
với u = (1, 0, 1).

18

Đáp số: a) m ≠ 0 và m ≠ ±2.
b)
2 0
514
1

P412
3
21 1
→
−−
⎛⎞
⎜⎟
=−−
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
BB
;
1 2
342
1
P674
3
663
→
−−
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
BB
.

Với u = (1, 0, 1),
2
1
1
[u] 2
3
1
−
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
B
;
1
1
1
[u] 4
3
3
−
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
B


3) Cho W là không gian con của R
4
sinh bởi các véctơ:
u
1
= (1, 2, 2, 1); u
2
= (0, 2, 0, 1); u
3
= (–2, 0, –4, 3)
a) Chứng minh B = (u
1
, u
2
, u
3
) là một cơ sở của W. Tìm điều kiện để véctơ u = (x
1
, x
2
, x
3
,
x
4
) thuộc W. Khi đó, tìm [u]
B
.
b) Cho v

1
= (1, 0, 2, 0);
v
2
= (0, 2, 0, 1);
v
3
= (0, 0, 0, 3)
Chứng minh B ' = (v
1
, v
2
, v
3
) cũng là một cơ sở của W. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B
sang B '.
Đáp số: a) 2x
1
= x
3
. Khi đó:
12 4
214
42
3x x 2x
3
5x 6x 4x
[u]
6
2x x

6
−+
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
B

b)

10 2
P112
00 1
′
→
⎛⎞
⎜⎟
=− −
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
BB



19



B- ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

§1. KHÁI NIỆM VỀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1.1. Định nghĩa. Cho V và W là hai không gian véctơ trên F. Ánh xạ f: V → W được gọi
là một ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa hai tính chất sau:
1) ∀u, v ∈ V, f(u + v) = f(u) + f(v);
2) ∀u ∈ V, ∀α ∈ F, f(αu) = αf(u).
Hơn nữa, nếu f thoả thêm tính chất là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) thì f được gọi là một đơn
cấu (toàn cấu, đẳng cấu) không gian véctơ. Khi tồn tại mộ
t đẳng cấu giữa V và W ta nói V
đẳng cấu với W, ký hiệu
V
W≅ .
Trường hợp W = V thì ánh xạ tuyến tính f: V → V được gọi là một toán tử tuyến tính hay
một phép biến đổi tuyến tính trên V.
Ký hiệu:
• L(V,W): Tập tất cả các ánh xạ tuyến tính từ V vào W.
• L(V): Tập tất cả các toán tử tuyến tính trên V.
Nhận xét. Hai tính chất 1) và 2) ở trên tương đương với tính chất sau:
∀u, v ∈ V,∀α ∈ F, f(αu + v) = αf(u) + f(v).
1.2. Ví dụ. Xét ánh x
ạ f: R
2
→ R

3
xác định bởi:
f(x, y) = (x + 2y, 2x – y, x – y)
Với u = (x
1
, y
1
); v = (x
2
, y
2
) ∈ R
2
và α ∈ R, ta có:
f(u + v) = f(u) + f(v) và f(αu) = αf(u).
nên f là một ánh xạ tuyến tính.

1.3. Mệnh đề. Với ánh xạ tuyến tính f: V
→
W, ta có:
(i) f(0
V
) = 0
W
;
(ii)
∀
u
∈
V, f(–u) = –f(u);

(iii)
∀
u
1
, u
2
, … , u
n

∈
V;
α
1
,
α
2
, … ,
α
n

∈
F,
f(
α
1
u
1
+
α
2

u
2
+ … +
α
n
u
n
) =
α
1
f(u
1
)

+
α
2
f(u
2
)

+ … +
α
n
f(u
n
).

1.4. Định lý. Cho V, W là hai không gian véctơ trên F. Giả sử dim V = n và A = {u
1

, u
2
,
… , u
n
} là một cơ sở của V trên F. Khi đó, với w
1
, w
2
, … , w
n
là n véctơ bất kỳ của W (w
i
có thể
trùng nhau), tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f: V
→
W thỏa f(u
i
) = w
i
,
∀
1
≤
i
≤
n. Ánh xạ
tuyến tính f được xác định như sau:
∀
u

∈
V, f(u) =
α
1
w
1
+
α
2
w
2
+ … +
α
n
w
n


20

trong đó:
1
2
n

α
⎛⎞
⎜⎟
α
⎜⎟

⎜⎟
⎜⎟
α
⎝⎠
= [u]
A

1.5. Ví dụ. Trong không gian R
3
cho các véctơ:
u
1
= (1, –1, 1);
u
2
= (1, 0, 1);
u
3
= (2, –1, 3).
a) Chứng tỏ B = {u
1
, u
2
, u
3
} là một cơ sở của R
3
.
b) Tìm ánh xạ tuyến tính f: R
3

→ R
3
thỏa:
f(u
1
) = (2, 1, –2); f(u
2
) = (1, 2, –2); f(u
3
) = (3, 5, –7)
Đáp số: f(x, y, z) = (x – y, y + 2z, x – 3z).

1.6. Mệnh đề. Cho V, W là các không gian véctơ và f, g
∈
L(V,W). Ta định nghĩa tổng
f + g của hai ánh xạ tuyến tính và tích
α
f (
α

∈
F) của một vô số với một ánh xạ tuyến tính như
sau:
∀
v
∈
V, (f + g)(v) = f(v) + g(v)
∀
v
∈

V, (
α
f)(v) =
α
f(v)
Khi đó f + g và
α
f đều thuộc L(V,W) và với các phép toán trên, L(V,W) là một không gian véctơ
trên F.
1.7. Mệnh đề. Cho V, W, T là các không gian véctơ trên F và f
∈
L(V,W); g
∈
L(W,T).
Khi đó:
1) Nếu f là song ánh thì f
-1
là một ánh xạ tuyến tính từ W vào V.
2) g
o
f là một ánh xạ tuyến tính từ V vào T.

§2. NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
2.1. Định lý. Cho V, W là hai không gian véctơ và f: V
→
W là một ánh xạ tuyến tính.
Khi đó:
1) Nếu U
≤
V thì f(U)

≤
f(V). Hơn nữa, nếu U = < S > thì f(U) = < f(S)>.
2) Nếu T
≤
W thì f
−
1
(T)
≤
V.

2.2. Định nghĩa. Cho V, W là hai không gian véctơ và f: V → W là một ánh xạ tuyến
tính.
1) Không gian con f
−1
(0) của V, gồm tất cả các phần tử của V có ảnh là 0 ∈ W được gọi
là nhân (kernel) của f, ký hiệu là Ker(f):
Ker(f) = {v ∈ V | f(v) = 0}.
2) Không gian con f(V) của W, gồm tất cả các phần tử của W là ảnh của ít nhất một phần
tử của V được gọi là ảnh (image) của f, kí hiệu là Im(f):

21

Im(f) = {w ∈ W | ∃v ∈ V, f(v) = w}
2.3. Ví dụ. Xét lại Ví dụ 1.2 trong §1: f: R
2
→ R
3
định bởi
f(x, y) = (x + 2y, 2x – y, x – y).

Ta có: Ker(f) = {0} và Im(f) = {(t
1
, t
2
, t
3
) ∈ R
3
| t
1
– 3t
2 +
5t
3
= 0}.
2.4. Định lý. Với ánh xạ tuyến tính f: V
→
W, các mệnh đề sau tương đương:
1) f là đơn cấu.
2) Ker(f) = {0}.
3) Nếu S là một tập con độc lập tuyến tính bất kỳ của V thì {f(u)| u
∈
S} là tập con độc
lập tuyến tính của W.
4) Tồn tại một cơ sở B của V sao cho {f(u)| u
∈
B} là tập con độc lập tuyến tính của W.
2.5. Định lý. Với ánh xạ tuyến tính f: V
→
W, các mệnh đề sau tương đương:

1) f là toàn cấu.
2) Nếu S là một tập sinh bất kỳ của V thì f(S) là tập sinh của W.
3) Tồn tại một tập sinh S của V sao cho f(S) là tập sinh của W.
2.6. Định lý. Với ánh xạ tuyến tính f: V
→
W, các mệnh đề sau tương đương:
1) f là đẳng cấu.
2) Nếu B là một cơ sở bất kỳ của V thì {f(u)| u
∈
B} là một cơ sở của W.
3) Tồn tại một cơ sở B của V sao cho {f(u)| u
∈
B} là một cơ sở của W.

Nhận xét. Do Định lý 2.6, nếu
V
W
≅
thì dim V = dimW.
2.7. Định lý. Nếu V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên F thì
n
V
F≅ , trong đó
n = dimV.
2.8. Định lý. Cho f: V
→
W là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véctơ hữu hạn chiều V
vào không gian véctơ W. Khi đó:
dim Im(f) + dim Ker(f) = dim V (1)
Ta gọi

• dim Im(f) là hạng (rank) của f, ký hiệu rank(f) hay r(f).
• dim Ker(f) là số khuyết (defect) của f, ký hiệu def(f) hay d(f).

§3. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TRÊN CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ HỮU HẠN CHIỀU
3.1. Định lý và định nghĩa. Cho V, W là hai không gian véctơ hữu hạn chiều, trong đó:
1) V có dimV = n với cơ sở A = (v
1
, v
2
, , v
n
);
2) W có dimW = m với cơ sở B = (w
1
,w
2
, , w
m
)
và f
∈
L(V,W). Với mỗi 1
≤
i
≤
n, đặt:

22

[f(v

j
)]
B
=
1j
2j
mj
a
a

a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

nghĩa là: f(v
j
) = a
1j
w
1
+ a
2j
w
2
+ + a

mj
w
m
.
Gọi A là ma trận loại m
×
n có các cột lần lượt là [f(v
1
)]
B
, [f(v
2
)]
B
, , [f(v
n
)]
B
, nghĩa là:
A = ( [f(v
1
)]
B
[f(v
2
)]
B
[f(v
n
)]

B
)= (a
ij
)
m
×
n

Khi đó A là ma trận duy nhất thỏa tính chất:
∀
v
∈
V, [f(v)]
B
= A[v]
A
(1)
Ta gọi A là ma trận biểu diễn của f theo cơ sở A, B, kí hiệu A = [f]
A,B
. Như vậy,
∀
v
∈
V, [f(v)]
B
= [f]
A,B
[v]
A


Trường hợp V = W và A = B, ta dùng kí hiệu [f]
A
thay cho [f]
A,A
và gọi là ma trận biểu
diễn của f theo cơ sở A. Như vậy,
∀
v
∈
V, [f(v)]
A
= [f]
A
[v]
A


Ví dụ. Xét ánh xạ f: R
2
→ R
3
xác định bởi:
f(x, y) = (x + 2y, 2x – y, x – y)
A = (v
1
, v
2
) là cơ sở của R
2
; trong đó v

1
= (1, 2); v
2
= (1, 3)
B = (e
1
, e
2
, e
3
) là cơ sở chính tắc của R
3

Ta có: [f]
A,B
57
01
12
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
.
3.2. Nhận xét. Với A, B là hai cơ sở của không gian n chiều V, ta có:
• [Id
v
]

A
= I
n
(ma trận đơn vị).
• [Id
v
]
A,B
= P
B→A
(ma trận chuyển cơ sở từ B sang A).
3.3. Ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính từ F
n
vào F
m

Xét ánh xạ f: F
n
→ F
m
định bởi:
f(x
1
, , x
n
) = (a
11
x
1
+ + a

1n
x
n
, , a
m1
x
1
+ + a
mn
x
n
) (1)
trong đó a
ij
∈ F (1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n). Dễ thấy rằng f là một ánh xạ tuyến tính, hơn nữa, gọi
A
0
= (e
1
, e
2
, , e
n
) và B
0
= (e'
1
, e'
2
, , e'

m
) lần lượt là các cơ sở chính tắc của F
n
và F
m
, ta có:
f(e
1
) = (a
11
, a
21
, , a
m1
);
f(e
2
) = (a
12
, a
22
, , a
m2
);


23

f(e
n

) = (a
1n
, a
2n
, , a
mn
)
nghĩa là:
0 0 0
11 12 1n
21 22 1n
12 n
m1 m2 mn
aa a
aa a
[f(e )] = ;[f(e )] = ; ;[f(e )] =

aa a
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
BB B

Do đó ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính f theo cặp cơ sở chính tắc A
0
, B
0

là:

⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
0 0
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
[f ] A.

a a a
A,B

Đảo lại, với f: F
n
→ F
m
là một ánh xạ tuyến tính bất kỳ, gọi A =
0 0
[f ]
A
B


là ma trận biểu
diễn của f theo cặp cơ sở chính tắc A
0
, B
0
của F
n
và F
m
. Khi đó, dễ thấy rằng f có biểu thức
định bởi (1).
Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng với ánh xạ tuyến tính f: F
n
→ F
m
, hai khẳng định
sau tương đương.
1) ∀(x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ F
n
, f(x
1
, , x
n

) = (a
11
x
1
+ + a
1n
x
n
, , a
m1
x
1
+ + a
mn
x
n
).
2) Với A
0
, B
0
lần lượt là các cơ sở chính tắc của F
n
và F
m
, ta có:
0 0
[f ]
A
B


= (a
ij
)
m×n
.
Ta gọi ma trận A = (a
ij
)
m×n
là ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính f.

3.4. Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f: R
3
→ R
3
định bởi:
f(x, y, z) = (3x – 2y + 4z, 7x – y + z, x – 3y – z)
Với B
0
= (e
1
, e
2
, e
3
) là cơ sở chính tắc của R
3
, ta có: ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính f
là:

324
A
711
131
−
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
−
−
⎝⎠


3.5. Cách tìm Ker(f) và Im(f) của ánh xạ tuyến tính f: F
n
→ F
m

Giả sử ánh xạ tuyến tính f: F
n
→ F
m
có ma trận chính tắc là A = (a
ij
)
m×n
.
1) Ker(f): Ta có:

(x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ Ker(f) ⇔ f(x
1
, x
2
, , x
n
) = 0 ⇔ [f(x
1
, x
2
, , x
n
)]
0
B
= 0

24

⇔ A [(x
1
, x
2
, , x

n
)]
0
B
= 0 ⇔ AX = 0 với X =
1
2
n
x
x

x
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

Nói cách khác, Ker(f) chính là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
AX = 0.
2) Im(f): Gọi A
0
= (e
1
, e
2
, , e
n
) là cơ sở chính tắc của F

n
, ta có:
f(e
1
) = (a
11
, a
21
, , a
m1
);
f(e
2
) = (a
12
, a
22
, , a
m2
);

f(e
n
) = (a
1n
, a
2n
, , a
mn
)

Mà Im(f) = < f(e
1
), f(e
2
), , f(e
n
) > nên Im(f) chính là không gian cột của ma trận A, nghĩa là
không gian sinh bởi các véctơ cột của ma trận A. Nói cách khác, Im(f) là không gian dòng của
ma trận chuyển vị A
T
,
3.6. Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f: R
4
→ R
3
định bởi:
f(x, y, z, t) = (x – 2y + z – t, x + 2y + z + t, 2x + 2z)
Hãy tìm cơ sở, số chiều của Ker(f) và Im(f).
Đáp số:
• Ker(f) có một cơ sở là {(–1, 0, 1, 0); (0, -1, 0, 2)}và dimKer(f) = 2.
• Im(f) có một cơ sở là {(1, 1, 2); (0, 1, 1)} và dim Im(f) = 2.
3.7. Định lý. Cho V, W, T là các không gian véctơ hữu hạn chiều trên F với các cơ sở
tương ứng lần lượt là A, B, C. Khi đó, với f, g: V
→
W; h: W
→
T là các ánh xạ tuyến tính và
α

∈

F ta có:
1) [f + g]
A, B
= [f]
A, B
+ [g]
A, B
;
2) [
α
f]
A, B
=
α
[f]
A, B
;
3) [h
o
f]
A, C
= [h]
B, C
[f]
A, B
.
3.8. Hệ quả. Cho V, W là các không gian véctơ hữu hạn chiều trên F: dimV = n, dimW =
m, với các cơ sở lần lượt là A, B. Khi đó
mn
L(V, W) M (F)

×
≅

qua đẳng cấu
ϕ
định bởi

,
(f) [f ]ϕ=
A
B
.
3.9. Định lý. Cho V, W là hai không gian véctơ hữu hạn chiều và f
∈
L(V,W). Khi đó với
A, A' là hai cơ sở của V và B, B ' là hai cơ sở của W, ta có:
1) [f]
A
′
,B
′

= (P
B
→
B
′

)
–1

[f]
A, B
P
A
→
A
′

2) Đặc biệt, nếu V = W và A = B, A' = B' thì:
[f]
B
′

= (P
B
→

B
′
)
–1
[f]
B
P
B
→

B
′



25

Chứng minh. 2) là trường hợp đặc biệt của 1).
Ta chứng minh 1): [f]
A ′,B ′
= (P
B→B ′
)
–1
[f]
A,B
P
A→A ′
.
Thật vậy, xét dãy các ánh xạ:
WWVV
wv
Id
f
Id
⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯
A ' A B B '
Ta có: f = Id
W o
f
o
Id
V


nên theo Định lý 3.7:
[f]
A ′,B ′
= [Id
W o
f
o
Id
V
]
A, B ′
= [Id
W
]
B, B ′
[f
o
Id
V
]
A ′, B
= [Id
W
]
B, B ′
[f]
A, B
[Id
V
]

A ′, A

Mặt khác, [Id
W
]
B, B ′
= P
B ′→ B
= (P
B → B ′
)
–1
và [Id
V
]
A ′,A
= P
A→ A ′
nên
[f]
A ′, B ′
= (P
B → B ′
)
–1
[f]
A, B
P
A →A ′
.

3.10. Ví dụ.
Ví dụ 1. Trong không gian R
3
cho các véctơ:
u
1
= (1, 1, 0); u
2
= (0, 2, 1); u
3
= (2, 3, 1)
và ánh xạ tuyến tính f: R
3
→ R
3
định bởi:
f(x, y, z) = (2x + y – z, x + 2y – z, 2x – y + 3z)
a) Chứng minh B = (u
1
, u
2
, u
3
) là một cơ sở của R
3
.
b) Tìm [f]
B
.
Đáp số:

11 8
[f] = 1 1 3
207
−−
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
B
.

Ví dụ 2. Trong không gian R
3
cho các véctơ:
u
1
= (1, –1, 2); u
2
= (3, –1, 4); u
3
= (5, –3, 9).
a) Chứng tỏ B = (u
1
, u
2
, u
3
) là một cơ sở của R

3
.
b) Cho f: R
3
→ R
3
là một ánh xạ tuyến tính thỏa:
[f]
B
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
112
011
201

Hãy tìm biểu thức của ánh xạ f.
Đáp số:
f(x,y,z)=
2

1
(54x–70y–54z,–32x+40y+34z,97x–125y–100z).
3.11. Định lý. Cho V, W là hai không gian véctơ n chiều và f
∈
L(V,W). Các khẳng định
sau tương đương:
1) f là đơn ánh.