thi HSG Toán 8(có DA(hot)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (265.83 KB, 3 trang )
thi HSG Toỏn 8 - cp huyn
Câu 1: a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn
b) Đặt A = n
3
+ 3n
2
+ 5n + 3 . Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá
trị nguyên dơng của n.
c) Nếu a chia 13 d 2 và b chia 13 d 3 thì a
2
+b
2
chia hết cho 13.
Câu2 : Rút gọn biểu thức:
a) A=
))(( caba
bc
+
))(( abcb
ca
+
))(( bcac
ab
b) B =
3
3
3
6
6
6
11
2
11
x
x
x
x
x
x
x
x
++
+
+
+
Câu 3: Tính tổng: S =
3.1
1
+
5.3
1
+
7.5
1
+ +
1
2009.2011
Câu 4: Cho 3 số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011. Chứng minh rằng biểu thức
sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z :
2011x y z
xy 2011x 2011 yz y 2011 xz z 1
+ +
+ + + + + +
Câu 5: Giải phơng trình:
69 x 67 x 65 x 63 x 61 x
5
1942 1944 1946 1948 1950
+ + + + =
Câu 6: Cho
ABC tam giác đều, gọi M là trung điểm của BC . Một góc
ã
xMy
= 60
0
quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E .
Chứng minh :
a) BD.CE=
4
2
BC
b) DM, EM lần lợt là tia phân giác của
ã
BDE
và
ã
CED
.
c) Chu vi
ADE không đổi.
Đáp án và biểu điểm
Câu Sơ lợc lời giải Biểu
điểm
1
a, Thực hiện chia
2
n n 1
m
n 1
+ +
=
+
= n +
1
n 1
+
0.5
Để m nguyên với n nguyên khi n + 1 là ớc của 1 0.5
Hay n + 1 {1; -1 }. Khi đó : n + 1 = 1 n = 0 Z ( t/m)
n + 1 = -1 n = -2 Z (t/m)
Với n = 0 m = 1 . Với n = -2 m = - 3 . Vậy
0.5
b, A = n
3
+ 3n
2
+ 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1)
3
+2(n+1) =
= n ( n +1) (n+ 2) + 3( n+1) 0.5
Khi đó : 3(n+1)
M
3
n( n +1) (n+ 2) là tích của 3 số nguyên dơng liên tiếp nên tồn tại một số là
bội của 3
0.5
c, a = 13k +2, b = 13q +3 0.5
a
2
+ b
2
= ( 13k +2 )
2
+ ( 13q + 3)
2
= = 13( 13k
2
+4k +13 q
2
+ 4q +1)
M
13
1
2
a) A=
bc ca ab
(a b)(a c) (b c)(a b) (a c)(b c)
+
(đổi dấu)
= . =
(a b)(a c)(b c)
(a b)(a c)(b c)
= 1
b) Ta có:
6
1
x
x
+
ữ
=
2
3
3
1 1
(x ) 3(x )
x x
+ + +
ữ
;
( )
2 2
2
6 3 3
6 3 3
1 1 1
x x x 2
x x x
+ = + = +
ữ ữ
Tử thức:
6
6
6
1 1
x x 2
x x
+ +
ữ ữ
=
2
3
3
1 1
(x ) 3(x )
x x
+ + +
ữ
-
2
3
3
1
x
x
+
ữ
=
3
3
1 1 1
3 x 2 x 3 x
x x x
+ + + +
ữ ữ ữ
Mộu thức:
3
3
3
1 1
x x
x x
+ + +
ữ
=
3
3
1 1
2 x 3 x
x x
+ + +
ữ ữ
Rút gọn ta có: B =
)
1
(3
x
x +
4
3
S =
1 1 1 1 1 1 1 1 1005
(1 ) (1 )
2 3 3 5 2009 2011 2 2011 2011
+ + + = =
2
4
2011x y z
2011 2011x xy xyz y yz 1 z zx
+ +
+ + + + + +
=
2
xy.xz y z
xyz x yz xy xyz y yz 1 z zx
+ +
+ + + + + +
=
xy.xz 1 z 1 z xz
xy(xz z 1) 1 z zx 1 z zx 1 z zx
+ +
+ + =
+ + + + + + + +
= 1 không đổi
2
5
69 x 67 x 65 x 63 x 61 x
1 1 1 1 1 0
1942 1944 1946 1948 1950
+ + + + + + + + + =
ữ ữ ữ ữ ữ
0.5
(2011 x)
1 1 1 1 1
( )
1942 1944 1946 1948 1950
+ + + +
= 0
1
2011 - x = 0 ( vì
1 1 1 1 1
0
1942 1944 1946 1948 1950
+ + + + >
) x = 2011.
0.5
6
Vẽ hình
0,5
a,Chứng minh
BMD
CEM
Vì BM = CM =
BC
2
BD.CE =
2
BC
4
b, Chứng minh
BMD
MED
Từ đó suy ra
1 2
D D=
, do đó DM là tia phân giác của góc BDE
Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED
c, Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC
Chứng minh DH = DI, EI = EK.
Chu vi bằng 2.AH .
Kết luận.
2.5
1.5
1.5
3
2
1
2
1
x
y
E
D
M
C
B
A
