Chuyên đề bất phương trình vô tỉ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.54 MB, 40 trang )
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 1
BÀI 3: BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Để giải bất phương trình chứa căn thức người đều quy về việc giải bất phương
trình không chứa căn thức (đặc biệt là quy về bất phương trình bậc hai).
Để làm điều đó, người ta thường dùng các phương pháp cơ bản như: Đặt ẩn phụ,
nhân liên hợp hoặc biến đổi tương đương để làm mất các căn thức có mặt trong bất
phương trình chứa căn thức ban đầu.
Cần lƣu ý các dạng cơ bản sau của bất phƣơng trình chứa căn thức:
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
gx
fx
f x g x
gx
f x g x
( ) 0 ( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x f x
f x g x
f x g x
(Trong hai bpt
( ) 0gx
,
( ) 0fx
, bpt
nào đơn giản thì ta làm).
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
gx
f x g x f x
f x g x
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
gx
f x g x f x
f x g x
Một số dạng khác:
2
( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x
2
( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
fx
f x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
fx
f x g x
f x g x
2
2
2
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
gx
gx
gx
gx
f x g x
f x g x
f x g x
gx
f x g x
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 2
2
2
2
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
gx
gx
gx
gx
f x g x
f x g x
f x g x
gx
f x g x
2
22
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
gx
gx
f x g x
f x g x
g x f x g x
2
22
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
gx
gx
f x g x
f x g x
g x f x g x
2
2
2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x f x g x
f x g x
2
2
2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x f x g x
f x g x
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x g x f x g x
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x g x f x g x
0
0
0
2 . ( )
f
g
f g h
h
f g h f g
0
0
0
2 . ( )
f
g
f g h
h
f g h f g
0
0
0
2 . ( )
f
g
f g h
h
f g h f g
0
0
0
2 . ( )
f
g
f g h
h
f g h f g
f g h f h g
f g h f h g
f g h f h g
f g h f h g
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Bài 1(ĐHKTrúc-1977): Giải bất phương trình:
4 1 1xx
Bài giải:
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 3
Ta có:
1 4 1 4
4 1 1
4 2 2 1 1 1
xx
bpt x x
x x x x x
22
1 4 1 4 1 4
14
1 0 1 1
04
1
1 0 1 1
01
(1 ) 1 3 0 0 3
x x x
x
x x x
x
x
x x x
x
x x x x x
.
Bài 2(Khối.A-TP.HCM-1983): Giải bất phương trình:
1 4 2 1xx
Bài giải:
Ta có:
2
2
2
2
1
1
2
2
2 1 0
1
1
2 1 0
1 4 2 1
2
2
1 4 (2 1)
20
1 4 (2 1)
4 2 0
1 4 (2 1)
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
xx
x
xx
1
1
2
2
;0
1
1
0
2
2
20
x
x
x
x
x
x
.
Bài 3(A-2005): Giải bất phương trình:
5 1 1 2 4x x x
Bài giải:
Ta có bpt
2
2
5 1 0
1 0 2
5 1 1 2 4
2 4 0
2 2 6 4
5 1 3 5 2 2 6 4
x
xx
x x x
x
x x x
x x x x
2 2 2
2 2 2
2 10
4 4 2 6 4 10 0 0 10
x x x
x
x x x x x x x
.
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 4
Bài 4(ĐHTH.HCM-1991):
Giải bất phương trình:
2 2 2
6 12 2 2 15x x x x x x
Bài giải:
Ta có:
2
2
2 2 2
2
2 2 2
60
12 0
6 12 2 2 15
2 15 0
( 6)( 12) 4 21
xx
xx
x x x x x x
xx
x x x x x x
2
2
2
32
;2 3;
; 3 5;
; 3 4;
; 3 5;
3;7
; 3 5;
3;7
; 3 7;
4 21 0
; 3 7;
41
( 3) (8 41) 0
4 21 0
7
8 7 174 369 0
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
x x x
; 3 5;
3 5;7
3 5;
3;7
7
7
x
x
x
x
x
x
.
N.Xét: Các bạn cũng có thể giải Bài 3 theo tương tự như Bài 4 sau và ngược lại.
Bài 5(ĐHQG.TPHCM-1996):
Giải bất phương trình:
2 2 2
3 2 4 3 2 5 4x x x x x x
Bài giải:
Ta có:
2
2
2 2 2
2
2
3 2 0
4 3 0
3 2 4 3 2 5 4
5 4 0
2 1 ( 2)( 3) ( 1)(2 11)
xx
xx
x x x x x x
xx
x x x x x
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 5
1
;1 2;
1
1
;1 3;
1
;1 4;
24 97 0
2 ( 2)( 3) 11 2
2 1 ( 2)( 3) ( 1)(2 11)
4
4
2 11 0
2 ( 2)( 3) 2 11
2 11 0
24 97 0
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x x x x x
x
x
x
x x x
x
x
1
4
1
11
1 4;
4
2
11
2
x
x
x
x
x
x
x
.
Bài 6(ĐH Dược.HN-2000):
Giải bất phương trình:
2 2 2
8 15 2 15 4 18 18x x x x x x
Bài giải:
Ta có:
2
2
2 2 2
2
2
22
8 15 0
2 15 0
8 15 2 15 4 18 18
4 18 18 0
3 ( 25) ( 3)
xx
xx
x x x x x x
xx
x x x
22
2
2
2
24
;3 5;
; 5 3;
; 5 3 5;
; 5 3 5;
3
; 3;
3 ( 25) 3 0
3 6 34 0
2
3 ( 25) ( 3)
x
x
x
x
x
x x x
xx
x x x
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 6
; 5 3 5;
17
; 5 3 5;
17
3
3
x
x
x
.
N.Xét: Ta thấy Bài 5 biến đổi khác một chút so với Bài 3 và Bài 4. Tuy nhiên
chúng ta đều thấy chúng có dạng:
0
0
0
2 . ( )
f
g
f g h
h
f g h f g
0
0
0
2 . ( )
f
g
f g h
h
f g h f g
0
0
0
2 . ( )
f
g
f g h
h
f g h f g
0
0
0
2 . ( )
f
g
f g h
h
f g h f g
Bài 7(ĐH An Ninh-TP.HCM-1997): Giải bất phương trình:
3 2 8 7x x x
Đáp số:
4;5 6;7x
.
Bài 8(ĐH Ngoại Ngữ-HN-1997): Giải bất phương trình:
5 4 3x x x
Đáp số:
12 2 3
3;
3
x
.
Bài 9(ĐH Dân lập Hồng Bàng-1998):
Giải bất phương trình:
3 1 2 1x x x
Đáp số:
3
1;
2
x
.
Bài 10(ĐH Mỹ Thuật-1998): Giải bất phương trình:
7 1 3 18 2 7x x x
Đáp số:
9x
Bài 11(ĐH Dân lập Tôn Đức Thắng-1998):
Giải bất phương trình:
3 1 2x x x
Đáp số:
2 21
3
x
Bài 12(ĐH An Ninh-1999): Giải bất phương trình:
5 1 4 1 3x x x
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 7
Đáp số:
1
4
x
.
Bài 13(ĐH Bách Khoa-HN-1999): Giải bất phương trình:
1 3 4xx
Đáp số:
0x
.
Bài 14(ĐH Thủy Lợi-2000): Giải bất phương trình:
2 3 5 2x x x
Đáp số:
2;2x
.
Bài 15: Giải bất phương trình:
2
9 9 6x x x x
Bài giải:
Điều kiện:
0;9x
.
Ta có:
2 2 2 2 2 2
9 9 6 2 9 9 3 9 2 9 3 0 9 3x x x x x x x x x x x x x x
2
9 3 5 9 3 5
9 9 0
22
x x x
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy
9 3 5 9 3 5
;
22
x
là miền giá trị cần tìm.
Bài 16: Giải bất phương trình:
12 3 2 1x x x
Bài giải:
Điều kiện:
12 0
3 0 3
2 1 0
x
xx
x
.
Ta có:
2
2
7 0 7
12 3 2 1 7 2 5 3 13 4
9 52 0 13 4
xx
x x x x x x x
x x x
Kết hợp với điều kiện ta có:
3;4x
là miền giá trị cần tìm.
Bài 17(ĐH Sư phạm-TP.HCM-1994): Giải bất phương trình:
2
2 6 1 2 0x x x
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 8
Đáp số:
37
; 3;
2
x
.
Bài 18(ĐH Quốc gia-HN-1997): Giải bất phương trình:
2
6 5 8 2x x x
Đáp số:
3;5x
.
Bài 19(ĐH Dân lập kỹ thuật công nghệ-1999):
Giải bất phương trình:
2 3 2xx
.
Đáp số:
3
;3 2 2
2
x
.
Bài 20(ĐH Dân lập kỹ thuật công nghệ-2000):
Giải bất phương trình:
2 1 8xx
Đáp số:
1
;5
2
x
.
Bài 21(ĐH Mỏ địa chất-2000): Giải bất phương trình:
( 1)(4 ) 2x x x
Đáp số:
7
1;
2
x
.
Bài 22(TK-D-2005): Giải bất phương trình:
2
8 6 1 4 1 0x x x
Đáp số:
11
;
42
x
.
Bài 23: Giải bất phương trình:
2
3 2 1 1x x x
Đáp số:
1
1 ;1
3
x
.
Bài 24: Giải bất phương trình:
2
3 2 1x x x
Đáp số:
1x
.
Bài 25: Giải bất phương trình:
42
2 1 1x x x
Bài giải:
Ta có:
2
4 2 2 2
2
2
1
1
1
1
2 1 1 1 1 1 1
; 2 1;
11
0;1
11
x
x
x
x
x x x x x x x
x
xx
x
xx
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 9
1
1
1
x
xx
x
.
Bài 26(Học viện quân y-2000): Giải bất phương trình:
4 1 2xx
Bài giải:
Điều kiện:
10
1
20
15
4 1 0
x
x
x
x
x
Ta có:
2
2
4 1 2 4 1 2 1 2
5 3 0
x
x x x x x x
xx
5 13x
Vậy
5 13;1x
là miền giá trị cần tìm.
Bài 27(ĐH Sư phạm Quy Nhơn-2000):
Giải bất phương trình:
5 4 5 4 4xx
Đáp số:
0;1x
Bài 28(ĐH Hàng hải-2000): Giải bất phương trình:
11
42
xx
Bài giải:
Ta có:
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
11
4
11
2
42
20
24
11
20
1
42
4
1
0
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
1
2
0
1
0
2
x
x
x
.
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 10
Bài 29: Giải bất phương trình:
11x x x
(*)
Bài giải:
+) Điều kiện:
11x
+) TH1: Xét với
1 0 1 1x x x
, khi đó:
10
2
2
2 2 2 2 2 2 2
(*) 1 1 2 2 1 2 2 1 2 4 1
x
x x x x x x x x x
4
00xx
(thỏa mãn điều kiện).
+) TH2: Xét với
2
2 2 2
0 1 (*) 1 1 2 2 1x x x x x x
01
2
2 2 2 2 4
2 2 1 2 4 1 0
x
x x x x x
luôn đúng.
Vậy
01x
thỏa mãn bất phương trình đã cho.
Bài 30: Giải bất phương trình:
22
4 3 2 3 1 1x x x x x
(*)
Bài giải:
+) Điều kiện:
2
2
4 3 0
1
; 1 3;
2
2 3 1 0
xx
x
xx
.
+) Với
1x
thỏa mãn bất phương trình (*).
+) Với
1
2
x
, ta có:
(*) (1 ) 3 1 2 1 1 0 1 3 1 2 1 0x x x x x x x x x
1
2
3 1 1 2 2 3 1 3
x
x x x x x
luôn đúng.
+) Với
3x
, ta có:
(*) 1 3 2 1 1 1 0 1 3 2 1 1 0x x x x x x x x x
22
3 2 1 1 3 3 2 2 2 3 1 2 2 3 1 2 1x x x x x x x x x x
vô nghiệm với
3x
.
Vậy
1
;1
2
x
thỏa mãn bất phương trình đã cho.
DẠNG TOÁN: DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG
Bài 1(A-2004): Giải bất phương trình:
2
2( 16)
7
3
33
x
x
x
xx
Bài giải:
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 11
Ta có bpt
2
2
2
22
4
30
10 2 0
4
16 0
4
2( 16) 10 2
10 2 0
2( 16) ( 3) 7
2( 16) (10 2 )
x
x
x
x
x
x
xx
x
x x x
xx
2
5
5
5
45
10 34
45
10 34 5
20 66 0
10 34 10 34
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
.
Bài 2: Giải bất phương trình:
3
2
0
4
xx
x
Bài giải:
Ta có bpt
3
3
33
3
22
40
4
44
14
20
2
4 4 4 4 0
x
x
xx
x
xx
xx
x x x x
Bài 3(D-2002): Giải bất phương trình:
22
( 3 ) 2 3 2 0x x x x
Bài giải:
Ta có bpt
2
2
( ;0] [3; )
30
1
( ; ] [3; )
1
2
( ; ] [2; )
2 3 2 0
2
x
xx
x
x
xx
.
Bài 4(ĐHNL.HCM-1991): Giải bất phương trình:
2
1 1 2
4
x
xx
Bài giải:
Ta có:
2
2
4
2 2 2
22
1;1
1;1
1 1 2
4
1 1 1 2
2(1 1 )
16
16
x
x
x
xx
x
x
x x x
xx
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 12
2 4 2 4
2
2 2 2
22
1;1 1;1
0
00
1;1 \ 0
00
1 (1 ) 1
1 1 1 2 1 1 1
8 256 8 256
16 16 16
xx
x
xx
x
xx
x x x x
x
x x x
xx
24
2
0
1;1 \ 0
0
1;1
1;1 \ 0
10 0
8 32
x
x
x
x
x
xx
x
.
Bài 5(ĐH Dân lập ngoại ngữ-Tin học-1998):
Giải bất phương trình:
22
( 3) 4 9x x x
Bài giải:
Điều kiện:
; 2 2;x
.
Ta có:
2
2 2 2
2
3
43
( 3) 4 9 ( 3) 4 ( 3) 0
3
43
x
xx
x x x x x x
x
xx
3
3
6 13 0
3
3
3
13
3
; 3;
3
30
6
13
3
13
3
6
30
6
6 13 0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(thỏa
mãn điều kiện).
Vậy
13
; 3;
6
x
là miền giá trị cần tìm.
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 13
Bài 6(ĐH Sư phạm Quy Nhơn-1997): Giải bất phương trình:
2 4 3
2
xx
x
Bài giải:
Điều kiện:
;2 \ 0x
.
Ta có:
2
2
0
0
4 11 7 0
2 3 2 0 2
2 4 3 2 2 3
20
3 2 0
02
3 2 0
2 3 2
4 11 7 0
x
x
xx
x x x
x x x x
x
xx
x
x
xx
xx
0
02
0
3
3
2
2 ;0 1;2
2
3
3
2
1
2
7
1
4
x
x
x
x
xx
x
x
x
.
Vậy
;0 1;2x
là miền giá trị cần tìm.
Bài 7(ĐH Tài chính kế toán-HN-1997): Giải bất phương trình:
2
51 2
1
1
xx
x
Bài giải:
Điều kiện:
2
51 2 0
1 2 13; 1 2 13 \ 1
10
xx
x
x
.
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 14
Ta có:
2
2
2
2
10
1 1 2 13
51 2 1
51 2 1
0
1
1
10
25 0
51 2 1
x
x
x x x
x x x
x
x
x
x
x x x
1 1 2 13
1 2 13 5
x
x
Vậy
1 2 13; 5 1; 1 2 13x
là miền giá trị cần tìm.
Bài 8(ĐH Xây dựng-1997): Giải bất phương trình:
2
3 4 2
2
xx
x
Đáp số:
94
1;0 ;
73
x
.
Bài 9(ĐH Giao thông vận tải-1998):
Giải bất phương trình:
22
3 6 4 2 2x x x x
Bài giải:
Ta có:
2
22
32
2
2 2 0
1 3 1 3
3 6 4 2 2
( 4 3 14) 0
( 2)( 2 7) 0
xx
x
x x x x
x x x x
x x x x
1 3 1 3
2;0
; 1 2 2 2;0 1 2 2;
x
x
x
.
Bài 10(ĐH Huế-1999): Giải bất phương trình:
22
66
2 5 4
x x x x
xx
Bài giải:
Ta thấy:
2;3x
thỏa mãn bất phương trinh.
Ta có:
2
22
2
60
6 6 1
60
1
0
2 5 4 (2 5)( 4)
(2 5)( 4)
xx
x x x x x
xx
x
x x x x
xx
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 15
2;3
2; 1
5
; 4 ; 1
2
x
x
x
.
Vậy
2; 1 3x
là miền giá trị cần tìm.
Bài 11(ĐH Huế-1999): Giải bất phương trình:
22
12 12
11 2 9
x x x x
xx
Bài giải:
Ta thấy:
3;4x
thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Ta có:
2
22
2
12 0
12 12 2
12 0
2
0
11 2 9 ( 11)(2 9)
( 11)(2 9)
xx
x x x x x
xx
x
x x x x
xx
3;4
2;4
9
2; 11;
2
x
x
x
.
Vậy
3 2;4x
là miền giá trị cần tìm.
Bài 12(ĐH Mỹ thuật công nghiệp-1999): Giải bất phương trình:
2
x x x
Bài giải:
Ta có:
22
22
0
0
0
01
10
1
x
x
x
x x x x x x
xx
x
x x x
.
Bài 13: Giải bất phương trình:
22
1 1 2
xx
x x x
Bài giải:
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 16
Điều kiện:
2
2
1
0
1
1
0
x
x
x
x
x
.
Ta có:
2 6 3
2 2 4 2
1 1 2 1 4
2 2 1 2x x x x x x
x x x x x
3
3
3
3
3
6 3 6
3
2
20
5
2
20
4
5
1 4 4
4
x
x
x
x
x
x x x
x
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy
3
5
4
x
là miền giá trị cần tìm.
Bài 14: Giải bất phương trình:
2
2
4 1 2 10 1 3 2x x x
(*)
Bài giải:
+) Điều kiện:
3
2
x
+) Ta có:
2
2
2 2 2
22
(*) 4 1 2 10 1 1 3 2 2 10 1
1 3 2
x
x x x x x x
x
3
1
2
2
1 3 2 2 10 4 2 2 3 2 2 10 3 2 3 3
x
x x x x x x x
Vậy
3
;3 \ 1
2
x
thỏa mãn bất phương trình đã cho.
Bài 15: Giải bất phương trình:
2
1
1 1 2
4
x x x
(*)
Bài giải:
+) Điều kiện:
11x
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 17
+) Ta có:
2 2 4 2 2 4
11
(*) 2 2 1 4 1 2 1 1 0
16 16
x x x x x x
2
24
1
1 1 0
16
xx
luôn đúng với
11x
.
Vậy
11x
thỏa mãn bất phương trình đã cho.
Bài 16: Giải bất phương trình:
2
2 3 2 2 3 1x x x x
(*)
Bài giải:
+) Điều kiện:
2
2
2 10 16 0
2 3 2 2 0
1
1
10
xx
xx
x
x
x
+) Ta có:
2
2
2
5 8 2 3 1
2 3 2 2 3 1
(*)
13
3 1 0
x x x x
x x x x
xx
xx
2
2
6 9 2 3 1 1 0
3 1 0
13
13
x x x x x
xx
xx
xx
2
30
3 1 0
13
5
13
13
13
x
xx
xx
x
xx
xx
xx
thỏa mãn điều kiện.
Vậy
5x
thỏa mãn bất phương trình ban đầu.
DẠNG TOÁN: PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI HỆ QUẢ
Bài 1(ĐH Sư phạm Quy Nhơn-1998): Giải bất phương trình:
2
2
94
32
51
x
x
x
Bài giải:
Điều kiện:
55
;;
55
x
.
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 18
Ta có:
2
22
22
2
2
3
3 2 5 1
9 4 3 2 5 1
3 2 (3 2) 0
2
5 1 5 1
3
3 2 5 1
x
xx
x x x
xx
xx
x
xx
2
2
3
2
2
2
3
22
3
25
3
2
33
3 2 0
;
25
2
32
3
3 2 0
25
32
3
4 12 5 0
15
32
22
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
Kết hợp với điều kiện ta có:
2 5 5 5
;;
3 5 5 2
x
là miền giá trị cần tìm.
DẠNG TOÁN: DÙNG ẨN PHỤ
Bài 1(A-2010): Giải bất phương trình sau:
2
1
1 2( 1)
xx
xx
Bài giải:
Cách 1: Điều kiện:
2
2
0
10
0
1 2( 1) 0
x
xx
x
xx
.
Ta thấy:
2
2
13
1 2( 1) 1 2 0,
22
x x x x
.
Suy ra bpt
22
1 2( 1) 2( 1) 1 0x x x x x x x x
(*)
Do
0x
không thỏa mãn bất phương trình nên ta có:
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 19
(*)
2
11
2 2 1 0xx
xx
(**)
Đặt
1
tx
x
,
suy ra (**)
22
2
10
2 2 1 0 2 2 1 1
2 1 0
t
t t t t t
tt
.
1 1 5 3 5
1 1 0
22
x x x x x
x
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:
35
2
x
.
N.Xét: Ta có thể dùng kiến thức bất đẳng thức Bunhiacovsky để giải bài toán trên.
Bất đẳng thức Bunhiacovsky:
2 2 2 2 2
( ) ( )( )ab cd a c b d
Dấu “=” xảy ra
ac
bd
Cách 2: Điều kiện:
2
2
0
10
0
1 2( 1) 0
x
xx
x
xx
Ta thấy:
2
2
13
1 2( 1) 1 2 0,
22
x x x x
.
Suy ra bpt
22
1 2( 1) 2( 1) 1x x x x x x x x
(1)
Mặt khác:
cov
2
22
(1 ) (1 1) (1 ) 2( 1)
Bunhia sky
x x x x x x
(2)
Từ (1) và (2) bất phương trình xảy ra
2
1 2( 1)x x x x
.
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 20
Hơn nữa để (2) xảy ra
1 5 3 5
1 1 0
22
x x x x x x
(thỏa
mãn bất phương trình ban đầu).
Vậy bất phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất:
35
2
x
.
N.Xét: ta cũng có thể biến đổi tương đương như sau:
Cách 3: Điều kiện:
2
2
0
10
0
1 2( 1) 0
x
xx
x
xx
.
Ta thấy:
2
2
13
1 2( 1) 1 2 0,
22
x x x x
.
Suy ra bpt
22
1 2( 1) 2( 1) 1x x x x x x x x
2
2
2
2
35
15
10
0
0
2
2
2( 1) 1
10
( 1) 2 ( 1) 0
xx
x
x
x x x x
xx
x x x x
35
0
1 5 3 5
2
22
10
x
xx
xx
.
Vậy bất phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất:
35
2
x
.
Cách 4: +) Điều kiện:
0x
+) Ta có:
2
1 2 1 0,x x x
, do đó bất phương trình đã cho trở thành:
2
2
1 2 1 2 1 1x x x x x x x x
(I)
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 21
Đặt
22
2
22
0
1
( ) 2
2
ab
ax
I a b a b
a b a b
bx
2
0
0
0
ab
ab
ab
.
Suy ra:
0
35
1 1 0
2
x
x x x x x
.
Vậy
35
2
x
thỏa mãn bất phương trình đã cho.
Bài 2(Trung tâm đào tạo và bồi dưỡng cán bộ y tế-TP.HCM-1993):
Giải bất phương trình:
51
5 2 4
2
2
xx
x
x
Bài giải:
Điều kiện:
0x
.
Ta có:
5 1 1 1
5 2 4 2 5 4 0
24
22
x x x x
xx
xx
2
11
2 5 2 0
22
xx
xx
(*)
Đặt
1
2
tx
x
, theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
11
2 . 2
22
t x x
xx
.
Ta có:
2
2
(*) 2 5 2 0 2
t
t t t
.
Suy ra:
0
2 2 3
0 0 2
1
22
2 2 4 1 0
3
2
22
2
2
2
x
xx
x x x
x
x
x
Vậy
33
0; 2 2;
22
x
là giá trị cần tìm.
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 22
Bài 3(ĐH Thái Nguyên-2000): Giải bất phương trình:
31
3 2 7
2
2
xx
x
x
Đáp số:
33
0;4 7 4 7;
22
x
.
Bài 4: Giải bất phương trình:
2
1 4 1 3x x x x
(*)
Bài giải:
+) Điều kiện:
2
4 1 0
0;2 3 2 3;
0
xx
x
x
.
+) Với
0x
thỏa mãn (*).
+) Với
0x
, ta chia hai vế của (*) cho
x
, ta được:
11
(*) 4 3xx
x
x
(1)
Đặt
22
1 1 1
2 2 2
cauchy
t x t x x t
xx
x
, khi đó:
2
22
2
2
30
3
60
5
23
(1) 6 3 6 3
30
2
5
2
63
t
t
t
t
t t t t t
t
t
tt
Suy ra:
1
1
15
2
2 5 2 0
4
2
4
2
x
x
x x x
x
x
x
Vậy kết hợp với điều kiện ta có
1
0; 4;
4
x
thỏa mãn bất phương trình ban
đầu.
Bài 5(ĐH Quốc gia TP.HCM-1999):
Giải bất phương trình:
22
( 4) 4 ( 2) 2x x x x x
Bài giải:
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 23
Điều kiện:
0;4x
.
Ta có:
22
( 4) 4 ( 2) 2 (4 ) (4 ) 1 2 0x x x x x x x x x
(*)
Đặt:
(4 )( 0)t x x t
, ta có:
2 3 2 2
(*) ( 1) 2 0 2 0 ( 1)( 2 2) 0 1t t t t t t t t
.
Suy ra:
2
(4 ) 1 4 1 0 2 3;2 3x x x x x
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy
2 3;2 3x
là miền giá trị cần tìm.
Bài 6(ĐH An ninh-2000):
Giải bất phương trình:
2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x
Bài giải:
Điều kiện:
7 7 0
6
7 6 0
7
x
x
x
Ta có:
2
2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14 7 7 7 6 7 7 7 6 182 0x x x x x x x x x
Đặt
7 7 7 6t x x
, ta có:
7 7 6
' 0,
7
2 7 7 2 7 6
tx
xx
.
Suy ra:
6
13
7
tt
. Khi đó ta có bất phương trình:
2
13
13 13 13 7 7 7 6 13
182 0
t
t x x
tt
2
84 7 0
6 7 49 7 42 84 7 6
6
x
x x x x x
x
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 24
Vậy
6
;6
7
x
là miền giá trị cần tìm.
Bài 7: Giải bất phương trình:
2
1 3 3 2 2x x x x
Bài giải:
Điều kiện:
2
10
1
3 2 2 0
x
x
xx
.
Đặt:
10
3
ux
vx
, suy ra bpt
0
22
1 ( 3) 0
0
0 1 0
0
2
( 2 ) 0 0
10
2
1 2( 3)
u
xx
uv
ux
uv
u v v u
u u v u
x
uv
xx
2
2
2
2
13
13
1
7 10 0 2 5
1
33
1
13
4 25 37 0
2( 3) 0
3
25 33
1 4( 3)
8
4 25 37 0
25 33
8
xx
xx
x
x x x
x
xx
x
xx
xx
x
x
x
xx
xx
x
25 33
5
8
x
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy
25 33
;5
8
x
là miền giá trị cần tìm.
Bài 8: Giải bất phương trình:
2
( 1)( 4) 5 5 28x x x x
Bài giải:
Facebook: hocmainguyenchithanh-01688.783.999
S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T
Page 25
Điều kiện:
x
.
Ta có:
2 2 2
( 1)( 4) 5 5 28 5 28 5 5 28 24 0x x x x x x x x
(*)
Đặt
2
5 28 0t x x
, ta có:
0
2 2 2
(*) 5 24 0 0 8 0 5 28 8 5 36 0 9 4
t
t t t x x x x x
.
Vậy
9;4x
là miền giá trị cần tìm.
Bài 9: Giải bất phương trình:
2
35
12
1
x
x
x
Bài giải:
Điều kiện:
; 1 1;x
.
+) Ta thấy
1x
thì bất phương trình vô nghiệm.
+) Với
1x
, ta có:
42
2
22
35 1225
20
12 1 144
11
x x x
x
x
xx
(*)
Đặt
2
2
0
1
x
t
x
, ta có:
2
2
2 4 2
2
2
25
1225 25 25
9
(*) 2 0 144 625 625 0
25
144 12 12
1
16
x
x
t t t x x
x
x
1
5
3
55
5
1; ;
44
3
55
44
x
x
x
x
x
Vậy
55
1; ;
44
x
là miền giá trị cần tìm.
