Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng

Giải tích hàm nhiều biến
Chương 4: Tích phân bội ba
•
Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008)

Nội dung


0.2 – Tọa độ trụ
0.3 – Tọa độ cầu
0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba
0.5 – Ứng dụng cơ học
0.4 – Ứng dụng hình học
I. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba


( , , )f f x y z=
xác định trên vật thể đóng, bị chặn
E
Chia E một cách tùy ý ra thành n khối nhỏ:
1 2
, , , .
n
E E E
Thể tích tương ứng mỗi khối
1 2
( ), ( ), , ( ).
n

V E V E V E
Trên mỗi khối lấy tuỳ ý một điểm
( , , ).
i i i i
M x y z
i
E
Lập tổng Riemann:
1
( ) ( )
n
n i i
i
I f M V E
=
= ×
∑
, không phụ thuộc cách chia E, và cách lấy điểm M
i


lim
n
n
I I
→+∞
=
được gọi là tích phân bội ba của f=f(x,y,z) trên khối E.
( , , )
E

I f x y z dxdydz=
∫∫∫
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép


Tính chất của tích phân bội ba
1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, có biên là mặt trơn tùng khúc
thì khả tích trên miền này.
3) ( , , ) ( , , )
E E
f x y z dxdydz f x y z dxdydz
α α
× =
∫∫∫ ∫∫∫
2)
E
E
V dxdydz
=
∫∫∫
4) ( )
E E E
f g dxdydz f dxdydz gdxdydz+ = +
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
5) Nếu E được chia làm hai khối E
1
và E
2
không dẫm lên nhau:


1 2
E E E
fdxdydz fdxdydz fdxdydz= +
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
6)
( , , ) , ( , , ) ( , , )
E E
x y z E f x y z g x y z f g∀ ∈ ≤ ⇒ ≤
∫∫∫ ∫∫∫
Định lý (Fubini)
( , , )
E
I f x y z dxdydz=
∫∫∫
Phân tích khối E:
Chọn mặt chiếu là x0y.
Mặt phía trên:
2
( , )z z x y=
1
( , )z z x y=
Mặt phía dưới:
Hình chiếu:
Hình chiếu: D
2
1
( , )
( , )
( , , )
z x y

D z x y
f x y z dz dxdy
 
=
∫∫ ∫
 
 
( , , )
E
I f x y z dxdydz=
∫∫∫
2
( , )z z x y=
1
( , )z z x y=
0
Pr
xy
E D=
Ví dụ
Tính tích phân bội ba trong đó E là vật thể giới hạn bởi
( )
E
I x z dxdydz= +
∫∫∫
Hình chiếu của E xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
2 2 2 2
1, 2 , 0x y z x y z+ = = − − =
2 2

: 1D x y+ ≤
Mặt phía trên:
2 2
2
( , ) 2z x y x y= − −
0z =
2 2
2 2
2
0
1
( )
x y
x y
I x z dz dxdy
− −
+ ≤
 
= +
 
∫∫ ∫
 
 
2 2
2 2
2
2
1
0
2

x y
x y
z
zI x dxdy
− −
+ ≤
 
= +
∫∫
 
 
2 2
2 2 2
2 2
1
(2 )
(2 )
2
x y
x y
I x x y dxdy
+ ≤
 
− −
= − − +
∫∫
 ÷
 
2 2
2 2 2

1
(2 )
2
x y
x y
I dxdy
+ ≤
− −
=
∫∫
Đổi sang tọa độ cực.
( )
2
2
2 1
0 0
2
2
r
I d r dr
π
ϕ
−
= × ×
∫ ∫
7
6
π
=
Ví dụ

Tính tích phân bội ba trong đó E là vật thể giới hạn bởi
E
I zdxdydz=
∫∫∫
Hình chiếu của E xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
2
1 , 1y x z x= − = −
Mặt phía trên:
2
2
( , ) 1z x y x= −
0z =
2
1
0
x
OAB
I zdz dxdy
−
∆
 
=
∫∫ ∫
 
 
và các mặt phẳng tọa độ, (phần )
0z ≥
Tam giác OAB
A

B
2
1
0
x
OAB
I zdz dxdy
−
∆
 
=
∫∫ ∫
 
 
( )
2
2
1 1
0 0
1
2
x
x
I dx dy
−
−
=
∫ ∫
11
60

=
A
O
B
2
1
2
0
2
x
OAB
z
I dxdy
−
∆
 
 
=
∫∫
 
 
( )
2
2
1
2
OAB
x
I dxdy
∆

−
=
∫∫
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
(2 3 )
E
I x y dxdydz= +
∫∫∫
Hình chiếu của E xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
, 1 , 0, 0.y x z y x z= = − = =
Mặt phía trên:
1z y= −
0z =
( )
1
0
2 3
y
D
I x y dz dxdy
−
 
= +
∫∫ ∫
 
 
( )
( )

1 1
0
2 3 (1 )
x
I dx x y y dy= + −
∫ ∫
1
0
(2 3 )
y
D
I x y dxdyz
−
 
= +
∫∫
 
( )
( )
2 3 (1 )
D
I x y y dxdy= + −
∫∫
11
60
I =
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
( 1)
E

I z dxdydz= +
∫∫∫
Hình chiếu của E xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
2
, , 0, 1.= = = =x y z x z x
Mặt phía trên: z x=
0z =
0
( 1)
x
D
I z dz dxdy
 
= +
∫∫ ∫
 
 
2
2
1 1
1
2
y
x
I dy x dx
−
 
= +
∫ ∫

 ÷
 
2
0
2
x
D
z
I z dxdy
 
 
 
= +
∫∫
 ÷
 
 
 
2
2
D
x
I x dxdy
 
= +
∫∫
 ÷
 
38
35

I =
II. Toạ độ trụ


Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz.
( , , )M x y z •
1
( , ,0)M x y•
ϕ
r
z
y
x
z
M được xác định duy nhất bởi bộ
( , , )r z
ϕ
( , , )r z
ϕ
được gọi là tọa độ trụ của điểm M.
Công thức đổi biến từ tọa độ Decasters sang
tọa độ trụ:
cos
sin
x r
y r
z z
ϕ
ϕ
= ×



= ×


=

' ' '
' ' '
' ' '
r z
r z
r z
x x x
J y y y
z z z
ϕ
ϕ
ϕ
=
r=
1
( , )z z r
ϕ
=
2
( , )z z r
ϕ
=
Đổi biến sang tọa độ trụ.

cos
sin
x r
y r
z z
ϕ
ϕ
= ×


= ×


=

( , , )
E
I f x y z dxdydz=
∫∫∫
Mặt phía dưới:
1
( , )z z r
ϕ
=
Mặt phía trên:
2
( , )z z r
ϕ
=
Hình chiếu:

D
Xác định cận của D:

,r
ϕ
1 2
1 2
:D
r r r
ϕ ϕ ϕ
≤ ≤


≤ ≤

2 2 2
1 1 1
( , )
( , )
( cos , sin , )
r z r
r z r
I d rdr f r r z dz
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
= × ×
∫ ∫ ∫
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi

2 2
E
I x y dxdydz= +
∫∫∫
Hình chiếu xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
2 2 2 2
4, 1 , 1.z z x y x y= = − − + =
Mặt phía trên:
4z =
2
1z r= −
2 2
: 1D x y+ ≤
2
2 1 4
0 0
1 r
I d dr r dzr
π
ϕ
−
= × ×
∫ ∫ ∫
0 2
:
0 1
D
r
ϕ π

≤ ≤


≤ ≤

2
2 1
4
2
1
0 0
r
I d dr r z
π
ϕ
−
 
=
∫ ∫
 
 
( )
2 1
2 2
0 0
(3 )d r r dr
π
ϕ
= +
∫ ∫

12
5
π
=
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
E
I zdxdydz=
∫∫∫
Hình chiếu của E xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
2 2 2 2 2 2
, 2 , 1.z x y z x y x y= + = + + + =
Mặt phía trên:
2
2z r= +
2
z r=
2 2
: 1D x y+ ≤
Cận của D:
0 2
:
0 1
D
r
ϕ π
≤ ≤



≤ ≤

y
2
2
2 1 2
0 0
r
r
I d dr z dzr
π
ϕ
+
= × ×
∫ ∫ ∫
2
2
2
2
2 1
0 0
2
r
r
z
d r dr
π
ϕ
+
=

∫ ∫
3
π
=
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E:
( )
2 2
E
I x z dxdydz= +
∫∫∫
2 2
2 , 2.y x z y= + =
Chiếu xuống x0z
Mặt trên:
2y =
Mặt dưới:
2
2
r
y =
Hình chiếu:
2 2
: 4D x z+ ≤
2
2 2 2
2
0 0
/ 2r
I d dr r dyr

π
ϕ
= × ×
∫ ∫ ∫
II. Toạ độ cầu


Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz.
( , , )M x y z •
1
( , ,0)M x y
•
ϕ
y
x
z M được xác định duy nhất bởi bộ
( , , )
θ ϕ ρ
( , , )
θ ϕ ρ
được gọi là tọa độ cầu của điểm M.
Công thức đổi biến sang tọa độ cầu:
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
ρ θ ϕ
ρ θ ϕ

ρ θ
= × ×


= × ×


= ×

' ' '
' ' '
' ' '
x x x
J y y y
z z z
ρ ϕ θ
ρ ϕ θ
ρ ϕ θ
=
2
| | sinJ
ρ θ
⇒ = ×
θ
ρ
cosz
ρ θ
=
sinr
ρ θ

=
II. Toạ độ cầu


Giả sử trong tọa độ cầu, vật thể E được giới hạn bởi:
1 2
1 2
1 2
θ θ θ
ϕ ϕ ϕ
ρ ρ ρ
≤ ≤


≤ ≤


≤ ≤

( , , )
E
I f x y z dxdydz=
∫∫∫
2 2 2
1 1 1
2
( sin cos , sin sin , co ) s ns i
θ ϕ ρ
θ ϕ ρ
θ ϕ ρ θ ϕ ρ θ ϕ ρ ρ θθ ρ

= × ×
∫ ∫ ∫
d d f d
Chú ý:
0
0 2
0
or
θ π
ϕ π π ϕ π
ρ
≤ ≤
≤ ≤ − ≤ ≤
< < +∞
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
2 2 2
E
I x y z dxdydz= + +
∫∫∫
Xác định cận:
2 2 2 2 2
, .z x y x y z z≥ + + + ≤
Đổi sang tọa độ cầu:
sin cos
sin sin
cos
x
y
z

ρ θ ϕ
ρ θ ϕ
ρ θ
= × ×


= × ×


= ×

0
4
π
θ
≤ ≤
0 2
ϕ π
≤ ≤
0 osc
ρ θ
≤ ≤
/ 4 2 cos
0 0 0
2
sinI d d d
π π θ
ρϕ ρ θθ ρ
= × ×
∫ ∫ ∫

1 2
10 80
π
 
= −
 ÷
 
Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
E
I zdxdydz=
∫∫∫
Xác định cận:
2 2 2 2 2
, 1.z x y x y z
≤ − + + + =
Đổi sang tọa độ cầu:
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
ρ θ ϕ
ρ θ ϕ
ρ θ
= × ×


= × ×



= ×

3
4
π
θ π
≤ ≤
0 2
ϕ π
≤ ≤
0 1
ρ
≤ ≤
1
0 0
2
2
3 / 4
cos sinI d d d
π π
π
θ ϕ ρ θ ρ ρθ
= × ×
∫ ∫ ∫
y

x


z

8
π
= −
x

y
z

Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
( )
E
I y z dxdydz= +
∫∫∫
Xác định cận:
2 2 2
0, 2 ( 0) z x y z y z= + + = ≤
Đổi sang tọa độ cầu:
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
ρ θ ϕ
ρ θ ϕ
ρ θ
= × ×



= × ×


= ×

2
π
θ π
≤ ≤
0
ϕ π
≤ ≤
0 2sin sin
ρ θ ϕ
≤ ≤ ×
2sin sin
/ 2 0 0
2
( sin sin c sinos )+I d d d
θ ϕ
π π
π
θ ϕ ρ θ ρϕ θρ θ ρ
×
= × ×
∫ ∫ ∫
Cách 2.
Xác định cận:

sin cos
sin sin
cos
1
x
y
z
ρ θ ϕ
ρ θ ϕ
ρ θ
= × ×


= ×− ×


= ×

2
π
θ π
≤ ≤
0 2
ϕ π
≤ ≤
0 1
ρ
≤ ≤
2 1
/ 2 0

2
0
(1 sin sin co is ) s n+I d d d
π π
π
θ ϕ ρ θ ϕ ρ θ ρ θ ρ
= + × ×
∫ ∫ ∫
Đổi sang tọa độ cầu mở rộng
x

y
z

Gốc tọa độ dời về đây
x

y
z

Ví dụ
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
2 2 2 3/2
( )x y z
E
I e dxdydz
+ +
=
∫∫∫
Xác định cận:

2 2 2
0, 1 ( 0) y x y z y= + + = ≤
Đổi sang tọa độ cầu:
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
ρ θ ϕ
ρ θ ϕ
ρ θ
= × ×


= × ×


= ×

0
θ π
≤ ≤
2
π ϕ π
≤ ≤
0 1
ρ
≤ ≤
3

2
2 1
0 0
sinI d d e d
π π
ρ
π
θ ρρϕ θ
= × ×
∫ ∫ ∫
1
2
3
e
π
−
=