thi HSG
I. Trắc nghiệm:
Hãy chọn chữ cãi đứng trớc câu trả lời đúng trong các câu sau:
Câu 1: Để đa thức f(x) = x
4
+ 2x
3
+ ax
2
+ 2x + b là bình phơng của một đa thức thì:
A. a = 3; b = 1 B. a = 3; b = 0 C. a = 4; b = 1 D. a = 1; b = 1
Câu 2: Cho phân thức
2
x(x-1)
2x
. Giá tri của phân thức bằng 0 khi:
A. x = 0 B. x = 0 hoặc x = 1 C. x = 1 D. Không có giá trị của x
Câu 3: Kết quả của phép tính (a
6
- 1) : (a
2
- 1) là:
A. a
4
+ 1 B. a
4
+ a
2
+ 1 C. a
4
+ 2a

2
+ 1 D. Không thực hiện đợc
Câu 4: Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 3cm và 8cm, góc xen giữa bằng 60
0
. Độ
dài cạnh còn lại là:
A. 7cm B. 4cm C.
55
D.
63
Câu5 Cho
1
2
<x-1
. Kết quả nào sau đây là đúng?
A. x = 0 B. x =
1
2
C.
1 3
2 2
x< <
D. x = 4
Câu 6 Biết
5 4x =
thì (x - 5)
2
bằng:
A. 2 B. 16 C. 32 D. 256
Câu 7 Tổng A = 3 - 3

2
+ 3
3
- 3
4
+ - 3
100
đợc kết quả là:
A.
101
3 3
4

B.
101
3 3
2

C. 3 - 3
101
D. 3
101
- 3
Câu 8 Một tam giác có góc B - góc C = 30
0
, tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Số đo
góc ADB là:
A. 30
0
B. 45

0
C. 60
0
D. 75
0

II. Tự luận:
Câu 5: Giải các phơng trình sau:
a/ 2x
3
+ x
2
- 5x + 2 = 0
b/ 2x
4
- 21x
3
+ 74x
2
- 105x

+ 50 = 0
c/
2 1 2 1 4x x + + =
Câu 6: Cho P =
2
2
8 7
1
x x

x
+
+
. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P
Câu 7:
a/ Cho ba số chính phơng A, B, C. Chứng minh rằng: (A - B)(B - C)(C - A) chia hết
cho 12.
b/ Cho a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc với a, b, c khác 0. Tính giá trị của biểu thức:
P =
1 1 1
a b c
b c a

+ + +
ữ ữ ữ

Câu 8: Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 5cm; BC = 6cm. Vẽ các đờng phân giác AD,
BE, CF
a/ Tính độ dài EF
b/ Tính diện tích tam giác DEF
Câu 9:
a/ Chứng minh rằng nếu a + b + c

3 thì a

4
+ b
4
+ c
4


a
3
+ b
3
+ c
3

b/ Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và số đo diện tích
bằng số đo chu vi.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 8
Đề 1
Bài 1: Trên cạnh AB<BC<AC của tam giác ABC cố định, người ta lần lượt lấy
các điểm M,N,P sao cho Tính diện tích MNP theo diện
tích ABC theo k.
Tính k Sao cho diện tích MNP đạt GTNN.
Bài 2: Cho tú giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O. Kí Hiệu S là diện tích.
Cho diện tích AOB và diện tích COD với a,b là 2 số cho trước .
1, Hãy tìm GTNN của diện tích ABCD ?
2, Giả sủ diện tích ABCD nhỏ nhất. Hãy tìm đường chéo BD điểm M sao
cho đường thẳng qua M // với AB bị 2 cạnh AD, BC và 2 đường chéo AC, BD
chia thành 3 phần bằng nhau.
Đề 2
Bài 1 Rút gọn biểu thức:

A=
Bài 2 Giải phương trình
a)
b)
Bài 3 Cho a,b,c thỏa mãn ab+bc+ac=4
chứng minh rằng: a
2
+b
2
+c
2
lớn hơn hoặc bằng 4
Bài 4 cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB),đường cao AH . Trong nửa mặt
phẳng bờ AH có chứa C vẽ hình vuông AHKE. gọi P là giao điểm của AC và KE
a)tính các góc của tam giác ABP
b)gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và
QA.cm H,I,K thẳng hàng
c)Gọi F là giao điểm AK và HE. cm AI.AK=AF.AQ
Đề 3
Bài 1:Cho đa thức P(x)= 2x
4
-7x
3
-2x
2
+13x+6
1) Phân tích P(x) thành nhân tử
2) Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x thuộc Z
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Vẽ CE vuông góc với AB và CF
vuông góc với AD. Chứng minh rằng: AB.AE+AD.AF=

Bài 3: Cho phân thức F(x)=
1) Rút gọn phân thức
2) Xác định x để phân thức có giá trị nhỏ nhất
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC bằng 289 và đường cao AH
bằng 120. Tính hai cạnh AB và AC
Bài 5:Cho 3 số dương a,b,c 1)C/m: >9
2) Giải phương trình:
.2đ.
tìm nghiệm nguyên dương của phương trình xyz= x + y + z
2.2đ:
a,giải phương trình
b,cho các số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xyz=100.tính giá trị biểu thức:
3.(2đ)
a,CMR nếu các số x,y,z có tổng là 1 số ko âm thì:
b, cho m,n là các số thỏa mãn điều kiện .tìm min của :
4.(1,5đ).trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m - 4)x+
(m-3)y=1( m là tham số ).tìm m để KC từ gốc tọa độ đến d là lớn nhất.
5.(2,5đ).Cho (O) đường kính BC = 2R .từ điểm P trên tia tiếp tuyến tại B của
đường tròn,vẽ tiếp tuyến thứ hai PA với đường tròn(A là tiếp điểm).Gọi H là
hình chiếu của A trên BC,E là giao điểm của PC và AH.
a,CM : E là TĐ của AH
b,tính AH theo R và khoảng cách d=PO
Sở GD-ĐT Hà TĩNH Đề THI họC SINH GiỏI LớP 8 NĂM HọC 2008-2009
PHòNG GD-ĐT HƯƠNG SƠN MÔN : TOáN(Thời gian 120 phút)
Câu: 1Cho biểu thức A=
)
1004
)(
1
14

1
1
1
1
(
2
2
x
x
x
xx
x
x
x
x


+
+



+
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A
b) Rút gọn biểu thức A
c) Với giá trị nào của x thì A <
2
1
Câu :2 Cho hai số dơng x và y thoả mãn x+y=1
a) Tính giá trị của biểu thức M= x(x+34) +y(y+34) +2xy +65

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =(1-
)
1
1)(
1
22
yx


Câu :3 Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1
Giả sử P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0 . Hãy tính giá trị của biểu thức :
Q= P(-2)+7P(6)
Câu : 4 Tìm tất cả các số nguyên n thoả mãn
(n+5)
2
=[4(n-2)]
3

Câu :5 Cho đoạn thẳng AB , gọi O là trung điểm của AB; vẽ về một phía của AB
các tia Ax và By cùng vuông góc với AB . Lấy điểm C trên Ax, lấy điểm D
trên By sao cho góc COD=90
0
a) Chứng minh
ACO
đồng dạng với

BOD
b) Chứng minh CD=AC+BD
c) Kẻ OM vuông góc với CD tại M . Gọi N là giao điểm của AD với BC
Chứng minh MN // AC

Trng THCS Tin Thnh Kho sỏt hc sinh gii
Mụn: Toỏn. Lp 8
Thi gian: 120 phỳt
Cõu 1( 2):
Bit: a - b = 25. Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc:
A = a( a + 2) + b( b - 2) - 2ab 75
b) Cho: x + y = 2; x2 + y2 = 10. Tớnh giỏ tr ca biu thc: B = x3 + y3
Cõu 2( 2):
Cho x + y = a; x2 + y2 = b; x3 + y3 = c.
Chng minh: a3 - 3ab +2c = 0.
Cõu 4( 2): a) Chng minh rng: Nu a, b, c l 3 cnh ca mt tam giỏc thỡ:
b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau: A = ( x - 2)2 + ( x - 3)2
Cõu 5( 2): Gi s AC l ng chộo ln ca hỡnh bỡnh hnh ABCD. T C, v ng
vuụng gúc CE vi ng thng AB, ng vuụng gúc CF vi ng thng AD ( E, F
thuc phn kộo di ca cỏc cnh AB v AD). Chng minh rng:
AB . AE + AD . AF = AC2
UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố
PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008
Môn : Toán
Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1.
2
7 6x x+ +
2.
4 2
2008 2007 2008x x x+ + +
Bài 2: (2điểm)
Giải phơng trình:

1.
2
3 2 1 0x x x + + =
2.
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

Bài 3: (2điểm)
1. Căn bậc hai của 64 có thể viết dới dạng nh sau:
64 6 4= +
Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng d-
ới dạng nh trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.
2. Tìm số d trong phép chia của biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8 2008x x x x+ + + + +
cho đa thức
2
10 21x x+ +
.
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H


BC). Trên tia HC lấy
điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo
m AB=
.
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.
òng GD & ĐT Nam Trực
đề thi khảo sát chất lợng hsg năm học 2008-2009
Môn: toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1(4đ)
Giải các pt sau:
a)
0
1
3
1
2
1
1
223
=


+
+
+
+
xxxx
x
b)
5
2004
4
2003
3
2002
2
2001
1
2000
=
+
+
+
+
+
+
+
+
xxxxx
Bài 2 (4đ)
a)Tích của 4 sốtự nhiên liên tiép cộng thêm 1 là một số chính phơng

b)
1
1

4
1
3
1
2
1
2222
<++++
n
Bài 3 (3đ)
Hai bể nớc chứa đầy cùng một lợng nớc và mỗi bể có1 vòi để xả nớc ra. Nừu mở
vòi ở bể thứ nhất thì trong 20 phút bể sẽ hết nớc. Nếu mở vòi ở bể thứ hai thì trong
10 phút bể sẽ hết nớc. Hỏi nếu mở hai vòi cùng một lúc thíau bao lâu số nớc còn lại
trong bể thứ nhất nhiều hơn số nớc còn lại trong bể thứ hai là 3 lần, biết vận tốc
dòng chảy của mỗi vòi là không đổi.
Bài 4(3đ)
Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm D bất kì lấy trên cạnh BC, kẻ DEAB,
DFac. Chứng minh rằng tổng DE+DF không đổi khi D di chuyển trên cạnh BC.
Bài 5 (4đ)
Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 20cm, Trên cạnh CD lấy điểm M. Đờng
vuông góc với BM cắt AD tại N.
a) Tính DN biết MC=5cm
b) Tìm vị trí điểm M để độ dài DN lớn nhất.
Bài 6 (2đ)
Xác định a để phơng trình 4x
2

+31y
2
=a + 6 - 17xy có nghiệm nguyên duy nhất
THI HC SINH GII MễN TON LP 8
QUN 1 TP H CH MINH NM HC 2002-2003
( Thi gian lm bi : 90 phỳt)
Bi 1: (3 im)
Phõn tớch a thc thnh nhõn t
a) x
2
+6x +5
b) (x
2
-x +1) (x
2
x+2) -12
Bi 2: (4 im)
a) Cho x+y+z = 0 .Chng minh x
3
+y
3
+z
3
=3xyza
b) Rỳt gn phõn thc :
3 3 3
2 2 2
3
( ) ( ) ( )
x y z xyz

x y y z z x
+
+ +
Bi 3 : (4 im)
Cho x , y , z l di ba cnh ca tam giỏc
A= 4x
2
y
2
(x
2
+ y
2
z
2
)
2
.Chng minh A >0
Bi 4 : (3 im)
Tỡm s d trong phộp chia ca biu thc
( x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2002 cho x
2
+8x +12
Bi 5: (6 im)
Cho tam giỏc ABC vuụng ti A (AC >AB) ,ng cao AH .Trờn tia HC ly
HD= HA .ng vuụng gúc vi BC ti D ct AC ti E
a) Chng minh AE = AB
b) Gi M l trung im ca BE .Tớnh gúc AHM
Đề thi học sinh giỏi toán 8
Bi 1: C/m rng

A=75( + + + +4+1)+25 l s chia ht cho 100
Bi 2: Cho a+b+c=1 v Chng minh
Bi 3: Tớnh giỏ tr ca a thc
P(x)= ti x=11
Bi 4:
An v Bỡnh cựng lỳc t lng sang lng B cựng mt b sụng ri quay v A
ngay. An i b, Bỡnh i thuyn vi vn tc riờng ca thuyn bng vn tc i b
ca An. Hi ai quay v sm hn?
Bi 5:
Cho tam giỏc ABC. Gi M l trung im ca BC. C/m rng AM<
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A. Trực tâm H chia đờng cao AE theo tỉ số 7:1. Hỏi giao
điểm I các đờng phân giác trong tam giác chia đờng cao AE theo tỉ số nào.
Đề thi học sinh giỏi trờng
năm học 2008-2009
Môn: Toán 8 (Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu1: Cho A = (
4
4
2
x
+
2
1
+x
-
x48
3

) :

44
7
x
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm x

Z để A

Z
c. Tìm x để
A
- A > 0
Câu2: a. Giải phơng trình:
79
11
81
9
84
6
87
3
+

+

+
xxxx
= 4
b. Cho x-2y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x
2

+y
2
+4
c. Tìm số d của phép chia đa thức x
2008
x
3
+ 5 cho đa thức x
2
1
Câu3: Cho AD là đờng phân giác của tam giác nhọn ABC(AB<AC), phân giác ngoài tại
A của tam giác ABC cắt BC tại K và cắt đờng vuông góc với AC qua D tại N. AC cắt DN
tại M.
a. Chứng minh:AN
2
=NM . ND
b. Từ D kẻ DH // AB (H thuộc AC) , DE//AC (E thuộc AB)
Chứng minh: EH // KN
c. Chứng minh: AH. KC = HC. KB
Câu4: Chứng minh: A = n
2
+ n + 4 không chia hết cho 25 với mọi n

N
THI HC SINH GII LP 8
QUN 1. TP H CH MINH
* Mụn : Toỏn * Khúa thi : 2002 - 2003 * Thi gian : 90 phỳt
Bi 1 : (3 im)
Phõn tớch a thc thnh nhõn t :
a) x

2
+ 6x + 5
b) (x
2
- x + 1) (x
2
- x + 2) - 12
Bi 2 : (4 im)
a) Cho x + y + z = 0. Chng minh x
3
+ y
3
+ z
3
= 3xyz.
b) Rỳt gn phõn thc :
Bi 3 : (4 im)
Cho x, y, z l di ba cnh ca tam giỏc.
A = 4x
2
y
2
- (x
2
+ y
2
- z
2
)
2

. Chng minh A > 0.
Bi 4 : (3 im)
Tỡm s d trong phộp chia ca biu thc :
(x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 2002 cho x
2
+ 8x + 12.
Bi 5 : (6 im)
Cho tam giỏc ABC vuụng ti A (AC > AB), ng cao AH. Trờn tia HC ly HD = HA. ng
vuụng gúc vi BC ti D ct AC ti E.
a) Chng minh AE = AB.
b) Gi M l trung im ca BE. Tớnh gúc AHM
THI HC SINH GII LP 8
HUYN YấN LC - TNH VNH PHC
* Mụn thi : Toỏn * Thi gian :150 phỳt * Khúa thi : 2002 - 2003
Cõu 1 : (2 im) Cho : A = (a
2
+ 4a + 4) / (a
3
+ 2a
2
- 4a - 8)
a) Rỳt gn A.
b) Tỡm a thuc Z A l s nguyờn.
Câu 2 : (2,5 điểm)
a) Cho a + b + c = 1 và 1/a + 1/b + 1/c = 0 . Tính a
2
+ b
2
+ c
2

.
b) Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn :
a / (b - c) + b / (c - a) + c / (a - b) = 0.
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c phải có một số âm, một số dương.
Câu 3 : (2 điểm)
Giải phương trình :
a) |x + 1| = |x(x + 1)|
b) x
2
+ 1 / x
2
+ y
2
+ 1 / y
2
= 4 .
Câu 4 : (1 điểm)
Tổng một số tự nhiên và các chữ số của nó bằng 2359. Tìm số tự nhiên đó.
Câu 5 : (2,5 điểm)
Cho tam giác vuông ABC vuông ở A và điểm H di chuyển trên BC. Gọi E, F lần lượt là điểm
đối xứng qua AB, AC của H.
a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng.
b) Chứng minh BEFC là hình thang. Có thể tìm được vị trí của H để BEFC trở thành hình thang
vuông, hình bình hành, hình chữ nhật được không ?
c) Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
THÀNH PHỐ PLEIKU-GIA LAI
* Môn thi : Toán * Th i gian : 150 phút ờ * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 :
Tìm số có 4 chữ số , biết rằng nếu đem số ấy nhân với 2 rồi trừ đi 1004 thì kết quả nhận

được là số có 4 chữ số viết bởi các chữ số như số ban đầu nhưng theo thứ tự ngược lại.
Bài 2 :
a) Phân tích đa thức : x
4
- 30x
2
+ 31x - 30 thành nhân tử.
b) Giải phương trình : x
4
- 30x
2
+ 31x - 30 = 0.
Bài 3 :
Cho m
2
+ n
2
= 1 và a
2
+ b
2
= 1.
Chứng minh -1 am + bn 1.
Bài 4 :
Cho tam giác ABC có  B =  C = 70
o
; đường cao AH. Các điểm E và F theo thứ tự thuộc các
đoạn thẳng AH, AC sao cho  ABE =  CBE = 30
o
Gọi M là trung điểm AB.

a) Chứng minh tam giác AMF đồng dạng với tam giácBHE.
b) Chứng minh AB x BE = BC x AE.
Môn Toán lớp 8 (2003 - 2004)
(Thời gian : 150 phút)
o Bài 1 : (5 điểm) Cho
a) Rút gọn A.
b) Tìm A để x = 6013.
c) Tỡm x A < 0.
d) Tỡm x A nguyờn
o Bi 2 : (3 im)
Cho A = (x + y + z)
3
- x
3
- y
3
- z
3

a) Rỳt gn A.
b) Chng minh A chia ht cho 6 vi mi x, y, z nguyờn.
o Bi 3 : (4 im)
Sau mt lot bn n tht ca 3 chin s Hựng, Dng, Cng (mi ngi bn mt viờn), ngi
bỏo bia cho bit cú ba im khỏc nhau l 8, 9, 10 v thụng bỏo :
a) Hựng t im 10.
b) Dng khụng t im 10.
c) Cng khụng t im 9.
ng thi cho bit trong 3 thụng bỏo trờn ch cú mt thụng bỏo l ỳng, hóy cho bit kt qu
im bn ca mi ngi.
o Bi 4 : (5 im)

Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, AB = c, AC = b. Ln lt dng trờn AB, AC, bờn ngoi tam
giỏc ABC cỏc tam giỏc vuụng cõn ABD ti D, ACE ti E.
a) Chng minh cỏc im E, A, D thng hng.
b) Gi trung im ca BC l I, chng minh tam giỏc DIE vuụng.
c) Tớnh din tớch t giỏc BDEC.
d) ng thng ED ct ng thng CB ti K. Tớnh cỏc t s sau theo b v c : img
src="Images/22dethi6.gif">
o Bi 5 : (3 im)
Cho t giỏc ABCD, M l mt im trờn CD (khỏc C, D).
Chng minh rng MA + MB < max {CA + CB ; DA + DB} (kớ hiu max {CA + CB ; DA +
DB} l giỏ tr ln nht trong 2 giỏ tr CA + CB ; DA + DB).
THI HC SINH GII QUNN HON KIM, H NI 2003 - 2004
Mụn toỏn lp 8
(Thi gian : 120 phỳt
Bi 1 : (4 im)
Gii phng trỡnh
Bi 2 : (4 im) Tỡm x hm s y = x/(x + 2004)
2
cú giỏ tr ln nht.
Bi 3 : (4 im)
Cho phng trỡnh
Vi giỏ tr no ca a thỡ phng trỡnh cú nghim khụng nh hn 1 ?
Bi 4 : (4 im)
T im O thuc min trong ca hỡnh thang cõn ABCD (AB = CD) ni vi cỏc nh ca hỡnh
thang c 4 on thng OA, OB, OC, OD. Chng minh rng t 4 on thng nhn c, cú
th dng c mt t giỏc ni tip hỡnh thang ny (mi nh ca t giỏc nm trờn mt cnh ca
hỡnh thang cõn).
Bi 5 : (4 im) Cho tam giỏc ABC cú AB = c, BC = a, CA = b. Gi I
b
, I

c
theo th t l di
ca cỏc ng phõn giỏc ca gúc B v gúc C. Chng minh rng nu b > c thỡ I
b
< I
c</SUB>.
phòng giáo dục - đào tạo
huyện trực ninh
Đề thi chọn học sinh giỏi
Năm học 2009 - 2010
Môn: toán - lớp 8
đề chính thức
Ngày thi: 13 tháng 4 năm 2010
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
Bài 1. (3 điểm).
Cho x + y = 5 và x.y = -84. Tính giá trị của biểu thức:
a.
2 2
A x y= +
.
b.
3 3
B x y=
.
Bài 2. (2 điểm).
Tìm a để đa thức
3 2
2x 3x 2x a + +
chia hết cho

x 2
Bài 3. ( 5 điểm). Cho phân thức
4 2
3
x 2x 1
A
x 3x 2
+
=

.
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A = 4.
c. Chứng minh rằng khi x >2 thì A luôn có giá trị dơng.
Bài 4. (8 điểm)
Câu 1 ( 2 điểm). Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' có
$ $
B B'=
. Chứng minh:
/ / /
ABC
/ / / /
A B C
S AB.CB
S A B .C B
=
Câu 2 ( 6 điểm). Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lần lợt lấy các điểm M và E sao
cho AM = ME = EB. Gọi N là trung điểm của CD. Điểm G thuộc NE thoả mãn
=
1

EG EN
3
. Đ-
ờng thẳng AG cắt các đờng thẳng BC; DC theo thứ tự ở I và P
a. Biết AB = 5 (cm). Hãy tính độ dài CP .
b. Tìm tỷ số
IB
IC
.
c. Gọi K là trung điểm của NP. Chứng minh M; G; K thẳng hàng.
Bài 5. (2 điểm). Cho dãy số sau
1
1a =
;
2
1
1
2
a = +
;
3
1 1
1
2 3
a = + +
; ;
1 1 1
1
2 3
n

a
n
= + + + +
Chứng minh rằng:
2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1
2
2 3
n
a a a na
+ + + + <
với mọi n >1
đề thi học sinh giỏi Toán 8 .8
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2đ)
Xác định giá trị của a, b và c để đa thức:
P(x) = x
4
+ ax
2
+ bx + c chia hết cho (x 3)
3
Bài 2: (2đ)
Thực hiện phép tính:
))((
1
22
bcbacacb +

+
))((
1
22
accabbac +
+
))((
1
22
ababccba +
Bài 3: (2đ)
Cho x, y, z ụi mt khỏc nhau v
0
z
1
y
1
x
1
=++
.
Tớnh giỏ tr ca biu thc:
xy2z
xy
xz2y
xz
yz2x
yz
A
222

+
+
+
+
+
=
Bài 4: (2đ)
Phân tích các đa thức sau thnh nhân tử:
a) (x-y)
3
+(y-z)
3
+(z-x)
3

b) x(y
2
-z
2
)+y(z
2
-x
2
)+z(x
2
-y
2
)
Bài 5: (2đ)
Cho hình bình hành ABCD. Gọi b và d là khoảng cách từ B và D đến đờng thẳng bất kỳ (ta gọi

là xy) qua A . Tính khoảng cách từ C đến đờng thẳng ấy.
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1998 -1999
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Xác định hệ số a sao cho:
a) 27x
2
+ a chia hết cho 3x + 2
b) 3x
2
+ ax + 27 chia hết cho x + 5 có số d bằng 2
Câu2: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn abc = 1999
Rút gọn biểu thức:
1999a b c
ab 1999a 1999 bc b 1999 ac c 1
+ +
+ + + + + +
Câu 3: Cho abc

0 và a + b+ c

0 giải phơng trình:
a b x a c x b c x 4x
1
c b a a b c
+ + +
+ + + =

+ +
Câu 4: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một nửa mặt phẳng có bờ là
AB các hình vuông AMCD, BMEF.
a. Chứng minh AE vuông góc với BC.
b. Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng hàng.
c. Những minh đoạn thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên
đoạn thẳng AB cố định.
d. Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông khi điểm M
chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1999 -2000
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
đề chính thức
đề chính thức
Câu 1: Tìm số tự nhiên n để:
a) Số A = n
4
+ 4 là số nguyên tố.
b) Phân số
7 2
8
n n 1
n n 1
+ +
+ +
tối giản.
Câu 2. Cho biểu thức:

2
3 2 3
1 a 1 4a 2b 2
A :
2a b a
2a b 2a a b a b ab

+

=
ữ
ữ
+
+ +


a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A biết 4a
2
+ b
2
= 5ab và a > b > 0
Câu 3. Giải phơng trình:
( )
2
2
x-101 x-103 x-105
a, 3
86 84 82
b, x 9 12x 1

+ + =
= +
Câu 4. Cho tứ giác ABCD; M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh BC và CD. Gọi E và
F là giao của BD với AM và AN. Chứng minh rằng: nếu BE = EF = FD thì tứ giác ABCD
là hình bình hành.
Câu 5. Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đờng chéo AC của hình chữ nhật ABCD; M,
K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD.
a. Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC. Chứng minh:
1
MO IC
2
=
b. Tính số đo góc BMK?
c. Gọi P và Q lần lợt là 2 điểm thuộc đoạn BM và BC. Hãy xác định vị trí của
P và Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất?
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2001- 2002
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: ( 4 điểm)
Cho biểu thức:
2 2 2 2
2 2
a b a b
P
ab
ab b ab a
+

= +
+
a. Rút gọn P.
b. Có giá trị nào của a, b để P = 0?
c. Tính giá trị của P biết a, b thỏa mãn điều kiện:
3a
2
+ 3b
2
= 10ab và a > b > 0
đề chính thức
Câu 2: ( 3,5 điểm)
Chứng minh rằng:
a. (n
2
+ n -1)
2
1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
b. Tổng các lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
Câu 3: ( 3 điểm)
Giải phơng trình: x
4
+ x
2
+ 6x 8 = 0
Câu 4: ( 3 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x
2
= y( y +1)(y + 2)(y + 3)

Câu 5: (7,5 điểm)
Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đờng trung tực trong tam giác, H là trực
tâm của tam giác. Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Gọi Q là
trung điểm đoạn thẳng AH.
a. Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để
OPQR là hình thoi?
b. Chứng minh AQ = OM.
c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng.
d. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE, ACFL. Gọi I là trung điểm của
EL. Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thì I di chuyển trên đờng nào?
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2001- 2002
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Cho a + b = 1. Tính giá trị biểu thức:
M = 2(a
3
+ b
3
) 3(a
2
+ b
2
)
Câu 2: Chứng minh rằng:
a b c
1, 1
ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1

+ + =
biết abc = 1.
2
*
4 2
n n 1
2, (n N )
n n 1
+ +

+ +
không là phân số tối giản.
Câu 3: Cho biểu thức:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
P
a a a 3a 2 a 5a 6 a 7a 12 a 9a 20
= + + + +
+ + + +
a. Tìm điều kiện để P xác định.
b. Rút gọn P.
c. Tính giá trị của P biết a
3
- a
2
+ 2 = 0
Câu 4
*
: Tìm số tự nhiên n để đa thức:
A(x) = x

2n
+ x
n
+1 chia hết cho đa thức x
2
+ x + 1
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Kẻ đờng thẳng qua C và vuông góc với
AB tại E. Gọi M là trung điểm của AD.
đề chính thức
a. Chứng minh: tam giác EMC cân.
b. Chứng minh: Góc BAD = 2 góc AEM.
c. Gọi P là một điểm thuộc đoạn thẳng EC. Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến
Me và đến MC không phụ thuộc vào vị trí của P trên EC.
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2002- 2003
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết:
a.
3 2
A n n n 1= +
là một số nguyên tố.
b.
4
4 3 2
n 16
C
n 4n 8n 16


=
+ +
có giá trị là một số nguyên.
c. D = n
4
+ 4
n
là một số nguyên tố.
Bài 2. Cho a + b +c = 0; abc

0.
a. Chứng minh: a
3
+ b
3
+ c
3
-3abc =0
b. Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
c a b
P
a b c b c a c a b
= +
+ + +
Bài 3:
a. Giải phơng trình:
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x a x c x b x c
1
b a b c a b a c

+ =

b. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x
2
- y
2
+ 2x - 4y -10 = 0
Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đờng chéo. Qua O kẻ đ-
ờng thẳng song song với AB cắt DA tại E; cắt BC tại F.
a. Chứng minh :
AOD BOC
S S

=
b. Chứng minh: OE = OF.
c. Chứng minh:
1 1 2
AB CD EF
+ =
d. Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đờng thẳng đi qua K và chia
đôi diện tích tam giác DEF.
đề chính thức

phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2003- 2004
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Cho biểu thức:
2
3 2
a 4a 4
A
a 2a 4a 8
+ +
=
+
a. Rút gọn A.
b. Tìm các số nguyên a để A có giá trị là một số nguyên.
Câu 2. Cho x, y, z đôi một kh`ác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu:
2 2 2
x yz y xz z xy
a b c

= =
thì ta có:
2 2 2
a bc b ca c ab
x y z

= =
Câu 3. Giải phơng trình:

a,
2 2 2
1 1 1
18
x 9x 20 x 11x 30 x 13x 42
+ + =
+ + + + + +
b, x
2
+ 3
y
= 3026 với x, y

N
Câu 4. Cho f(x) là một đa thức với hệ số dơng. Biết f(0); f(x) là các số lẻ. Chứng minh
rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên.
Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy
điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc DME bằng góc B. Chứng minh rằng:
a.
2
1
BD.CE BC
4
=
b. DM là phân giác của góc BDE.
c. Chu vi tam giác ADE không đổi khi D, E chuyển động trên cạnhAB và AC.
đề chính thức