Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
Phần I:

giới thiệu đề tài:

A.Lý do chọn đề t i:
Giải toán l một nghệ thuật thực h nh;giống nh bơi lội,trợt tuyết,hay
chơi đ n Vì vậy để có kỹ năng giải b i tập phải qua quá trình luyện tập .Tuy
rằng,không phải l cứ giải b i tập l có kỹ năng.Việc luyện tập sẽ có hiệu
quả,nếu nh biết khéo lÐo khai th¸c tõ mét b i tËp sang mét loạt b i tập tơng
tự,nhằm vận dụng một tính chất n o đó,nhằm rèn luyện một phơng pháp chứng
minh n o ®ã. Thùc tiƠn cho thÊy häc sinh th−êng häc toán không chú ý đến
phơng pháp giải nên khi gặp những b i toán có sử dụng phơng pháp tơng tự
gặp nhiều lúng túng.
Vậy không ngo i tâm huyết với các em học sinh,niềm đam mê d nh cho
bộ môn toán học v sự mong muốn nâng cao chất lợng tôi đ tiến h nh học
tập tích luỹ soạn ra ®Ị t i n y”….”
B.nhiƯm vơ:
+C¬ së lý ln cđa ®Ị t i:
viƯc khai th¸c b i tËp to¸n cã ý nghÜa hay kh«ng?
+VËn dơng lý ln v o thùc tiƠn:
khai th¸c c¸c øng dơng tõ mét b i to¸n lớp 8
C.Phơng pháp nghiên cứu:
+phơng pháp nghiên cứu thực tiễn,lý thuyết
+phơng pháp tổng kết kinh nghiệm
+phơng pháp thực nghiệm s phạm
D.Giới hạn đề t i v mục đích nghiên cứu:
-Giới hạn đề t i khai thác các ứng dụng từ một b i toán lớp 8:áp dụng để dạy
học sinh lớp 6,7,8
-Mục đích đề t i:Phục vụ cho công tác båi d−ìng c¸c khèi 6,7,8 v l m t i liệu
tự học cho các em giúp các em tìm cho mình phơng pháp học tập tích cực.

Phần 2: nội dung
A.Cơ sở lý luận của đề t i:
Giải b i tập toán l quá trình suy luận,nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái
đ cho (giả thiết) với cái phải tìm (.kết luận).Nhng các quy tắc suy luận,cũng
nh các phơng pháp chứng minh cha đợc dạy tờng minh.Do đó,học sinh
thờng gặp nhiều khó khăn khi giải b i tập.Thực tiễn dạy học cũng cho thấy:HS
khá giỏi thờng đúc kết những tri thức,phơng pháp cần thiết cho mình bằng con
đờng kinh nghiệm;cònHS trung bình ,yếu, kém gặp nhiều lúng túng.Để có kĩ
năng giải b i tập phải qua quá trình luyện tập.Tuy rằng,không phải cứ giải nhiều
b i tập l có nhiều kĩ năng.Việc luyên tập sẽ có nhiều hiệu quả,nếu nh− biÕt
khÐo lÐo khai th¸c tõ mét b i tËp sang một loạt b i tập tơng tự,nhằm vận dụng
Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
1


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
một tính chất n o đó,nhằm rèn luyện một phơng pháp chứng minh n ođó.
Quan sát đặc điểm b i toán,khái quát đặc điểm đề mục l vô cùng quan
trọng,song quan trọng hơn l sự khái quát hớng suy nghĩ v phơng pháp
giải.Sự thực l khi giải b i tập thì không chỉ l giải một vấn đề cụ thể m l giải
đề b i trong một loạt vấn đề n o đó.Do đó hớng suy nghĩ v phơng pháp giải
b i tập cũng nhất định có một ý nghĩa chung n o ®ã.NÕu ta chó ý tõ ®ã m khái
quát đợc hớng suy nghĩ v cách giải của vấn ®Ị n o ®ã l g× th× ta sÏ cã thể
dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại v sẽ mở rộng ra.Nh toán học Đềcác
nói rất đúng rằng: Mỗi vấn đề m tôi giải quyết đều sẽ trở th nh ví dụ mẫu mực
dùng để giải quyết vấn đề khác.Do đó sau khi giải một b i toán nên chú ý khai
thác hớng suy nghĩ v cách gi¶i.
B.VËn dơng lý ln v o thùc tiƠn:
xÐt b i to¸n 28 trang 21 s¸ch b i tËp to¸n 8 –tËp 1:
a.Chøng minh:


1
1
1
−
=
x x + 1 x( x + 1)

(1)

b.§è: Đố em tính nhẩm đợc tổng sau:
1
1
1
1
1
+
+
+
+
x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5)
1
1
1
x +1− x
=
-H−íng dẫn:a.Biến đổi vế trái th nh vế phải :
=
x x + 1 x( x + 1) x( x + 1)


b.Xét đặc điểm đẳng thức ở câu a:VP có mẫu l 1tích 2biểu thức cách nhau 1;1
1
1
1

=
.Tơng tự với đặc ®iĨm nh− VP ë c©u a;ta cã:
x x + 1 x( x + 1)
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
=
x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + 5
1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
=
x x +1 x +1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5 x + 5 x

chÝnh l tư th× có

-Cách phát biểu khác của b i toán:
a.Viết phân thức

1
th nh hiƯu cđa hai ph©n thøc cã tư b ng 1
x( x + 1)

b.Vận dụng kết quả câu a,h y rót gän biĨu thøc sau:
1
1
1
1

1
1
+
+
+
+
+
x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + 5

I.khai th¸c ứng dụng bài 28 trong tính toán;trong toán
rút gọn;toán chứng minh đẳng thức:
Từ(1),nếu thay x=1 thì ta có các b i toán sau:

Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
2


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
B i1:TÝnh:
1
2

a. +

1
1
1
1
1
+

+
+
+ ..... +
2 .3 3 .4 4 .5 5 .6
99.100

H−íng dÉn:
1 1
1
1
1
1
=
+
+
+
+
+ ..... +
2 2 .3 3 .4 4 .5 5 .6
99.100
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
99
+ − + − + − + ... +
−
= 1−
=
2 2 3 3 4 4 5

99 100
100 100
1
2

1
1
1
+
+ ...... +
víi n 1
2 .3 3 .4
n(n + 1)
1
n
=
Hớng dẫn:tơng tự câu a;ta cã kÕt qu¶ l :1n +1 n +1

+ Tõ ®ã cã b i to¸n tỉng qu¸t :b.TÝnh tỉng +

*)NhËn xét đặc điểm mẫu các phân thức để từ đó ta có các dạng b i toán
khác:các hạng tử trong tổng trên đều l những phân thức có dạng:mẫu l một tích
2nhân tử cách nhau 1 đơn vị chính bằng tử.Vậy mẫu l tích 2nhân tử cách nhau 2
hay 3 hay 4thì giải b i toán nh thế n o?chẳng h¹n:
B i2:TÝnh tỉng:
a.

1
1
1

1
+
+
+ .... +
1 .3 3 .5 5 .7
2005.2007

b.

1
1
1
1
+
+
+ .... +
víi n ≥ 0
2.5 5.8 8.11
(3n + 2)(3n + 5)

Hớng dẫn:a.Viết mỗi hạng tử trong tổng dới dạng hiệu 2ph©n thøc:
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1
1 1
1
= ( − );
= ( − );

= ( − );......
= (
−
) .VËy
1 .3 2 1 3 3 .5 2 3 5 5 .7 2 5 7
2005.2007 2 2005 2007
1
1
1
1
+
+
+ .... +
=
1 .3 3 .5 5 .7
2005.2007
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1003
( − + − + − + .... +
−
) = (1 −
)=
2 1 3 3 5 5 7
2005 2007
2
2007

2007

b.Ph−¬ng pháp l m tơng tự nh câu a.
1
1
1
1
= (

) nên ta cã:
(3n + 2)(3n + 5) 3 3n + 2 3n + 5
1
1
1
1
+
+
+ .... +
=
2.5 5.8 8.11
(3n + 2)(3n + 5)
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1 1
1
n +1
( − + − + − + ... +
−
)= ( −

)=
3 2 5 5 8 8 11
3n + 2 3n + 5
3 2 3n + 5 3n + 5

XÐt h¹ng tư tỉng quát:

+Tơng tự nh vậy có thể đề xuất một loạt b i toán cùng loại v giải quyết với
cùng phơng pháp.
*)Chú ý đến đặc điểm tử v mẫu các phân thức ta có b i toán tổng quát
hơn:tử l một sè(biĨu thøc) bÊt kú,mÉu l tÝch cđa 2 sè(biĨu thøc) cách đều nhau
thì giải quyết b i toán nh thế n o?chẳng hạn:
Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
3


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
B i3:TÝnh tỉng:
5
5
5
5
5
+
+
+
+ .... +
2.4 4.6 6.8 8.10
98.100
n

n
n
n
+
+
+ ......
b.
víi a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k =b
a1a 2 a 2 a 3 a 3 a 4
a k a k +1

a.

Hớng dẫn:a.Phơng pháp l m:viết các hạng tử trong tổng dới dạng hiệu(tơng
5
5 1 1 5
5 1 1 5
5 1 1
5
5 1
1
) do ®ã:
= ( − );
= ( − );
= ( − );....;
= ( −
2 .4 2 2 4 4 .6 2 4 6 6 .8 2 6 8
98.100 2 98 100
5
5

5
5
5
5 1 1 1 1 1 1
1
1
= ( − + − + − + .... + −
)=
+
+
+
+ .... +
2.4 4.6 6.8 8.10
98.100 2 2 4 4 6 6 8
98 100
5 1
1
49
= ( )=
2 2 100
20

tự b i 2)

b.Phơng pháp l m tơng tự câu a.Đây chính l b i toán tổng quát rút ra từ các
b i toán trên.Vậy ta xét các trờng hợp sau:
+Trờng hợp 1:Nếu a 2 a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k =n
B i toán n y giải đợc dễ d ng theo cách phân tích của b i 1 vì khi ®ã:
n
1 1

= −
a 1a 2 a 1 a 2

……………………….
n
1
1
= −
a k a k +1 a k a k +1
1
1
n
n
n
n
+
+
+ ......
= −
a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4
a k .a k +1 a k a k +1
+Tr−êng hỵp 2:NÕu a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k = b ≠ n
n
n
n
n
n
b
b
b

b
+
+
+ ......
Ta cã
= (
+
+
+ .... +
)
a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4
a k .a k +1 b a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4
a k .a k +1

Céng tõng vÕ ta có:

B i toán n y thực chất đ đa về dạng b i 2;b i3.Do đó ta có kết quả l
n 1
1
( −
)
b a k a k +1

-NÕu mÉu l tích của 3 số tự nhiên cách đều nhau thì sao?Từ đó ta có các b i
toán khó hơn :
1
1
1
1
+

+
+ .... +
víi
1.2.3 2.3.4 3.4.5
(n − 1).n.(n + 1)
1
1
1
1
B=
+
+
+ .... +
víi n ∈ N ; n ≥ 2
1.3.5 3.5.7 5.7.9
(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3)

B i4:TÝnh tỉng :A=

n≥1

,n ∈ N

H−íng dẫn: Phơng pháp giải tơng tự nh các b i trên:viết các hạng tử dới
dạng hiệu.
Ngời thực hiện: Lê Thị HiÒn
4


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8

2
1
1
=
−
Do ®ã ta cã:
(n − 1)n(n + 1) (n − 1).n n.(n + 1)

NhËn xÐt:

1 1
1
1
1
1
1
1 1
1
−
+
−
+ ... +
−
)= ( −
)
2 1.2 2.3 2.3 3.4
(n − 1).n n.(n + 1) 2 2 n.(n + 1)
4
1
1

=
−
NhËn xÐt:
Do ®ã ta cã:
(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3)
1 1
1
1
1
1
1
1
1
+ ... +
−
)
B= ( − + − + −
4 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9
(2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3)
1 1
1
)
= ( −
4 3 (2n + 1)(2n + 3)

A= (

1 1 b a
*)Nhận xét: Từ (1) ta có đẳng thức tổng quát hơn: =
với a 0; b 0 thì

a b a.b
việc áp dụng ngợc công thức trên trong thực tế đợc sử dụng rất nhiều. Chẳng
hạn với b i to¸n sau:
B i 5: Cho biÕt a,b,c l c¸c sè thùc kh¸c nhau.Chøng minh:
b−c
c−a
a−b
2
2
2
+
+
=
+
+
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) a − b b − c c − a

H−íng dÉn:§èi víi ®Ị n y nÕu dïng c¸ch ho ®ång mÉu sè vế trái để
chứng minh thì quá trình tính phức tạp.Có cách gì ngắn gọn không?Quan sát các
số hạng ở vế trái ta thấy tử số vừa đúng bằng hiệu của 2 thừa số ở mẫu số:
b-c=(a-c)-(a-b);c-a=(b-a)-(b-c);a-b=(c-b)-(c-a).Điều đó gợi cho ta nhí ®Õn dïng
b−a 1 1
b−c
1
1
= −
tøc
=
−
. Do ®ã:

a.b
a b
(a − b)(a − c) a − b a − c
b−c
c−a
a−b
1
1
1
1
1
1
+
+
=
−
+
−
+
−
=
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) a − b a − c b − c b − a c − a c − b
1
1
1
1
1
1
2
2

2
+
+
+
+
+
=
+
+
(§PCM)
a−b c−a b−c a−b c−a b−c a−b b−c c−a
*)Chó ý ®Õn mÉu: nÕu ta thay x.(x+1)= x 2 + x ; (x+1)(x+2)= x 2 + 3x + 2 ;….ta sÏ có

ngợc

công

thức

các b i toán luyện cho học sinh kỹ năng phân tích đa thức th nh nhân tử:
B i6:Rút gọn các biêủ thức sau:
1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2

x + x x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20
1
1
1
1
b. N= 2
+ 2
+ 2
+ 2
x − 5x + 6 x − 7x + 12 x − 9x + 20 x 11x + 30

a. M=

2

Hớng dẫn:a.Để rút gọn M cần phân tích các mẫu th nh nhân tử
Ta có: x 2 +x = x(x+1); x 2 + 3x + 2 = x 2 + x + 2x + 2 = (x+1)(x+2);
x 2 + 5x + 6 = x 2 + 2x + 3x + 6 = (x+2)(x+3); x 2 + 7x + 12 = x 2 + 3x + 4x + 12 =(x+3)(x+4);
x 2 + 9x + 20 = x 2 + 4x + 5x + 20 =(x+4)(x+5) Do ®ã:
Ng−êi thực hiện: Lê Thị Hiền
5


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
1
1
1
1
1
+

+
+
+
(x + 1)x (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= −
+
−
+
−
+
−
+
−
x x +1 x +1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5
1
1
5
= −
=
x x + 5 x(x + 5)


M=

b.T−¬ng tù ta cã:
1
1
1
1
+
+
+
(x − 2)(x − 3) (x − 3)(x − 4) (x − 4)(x − 5) (x − 5)(x − 6)
1
1
1
1
1
1
1
1
=
−
+
−
+
−
+
−
x −2 x −3 x −3 x −4 x −4 x −5 x −5 x −6
1

1
−4
=
−
=
x − 2 x − 6 (x − 2)(x − 6)

N=

B i 7: Rót gän:
a
a
a
a
1
+ 2
+ 2
+ 2
+
2
2
2
x + a.x x + 3a.x + 2a
x + 5.a.x + 6a
x + 7.a.x + 12a
x + 4a
a
a
a
a

1
b.H= 2
+ 2
+ 2
+ .. + 2
+
2
2
2
x + ax x + 3ax + 2a
x + 5ax + 6a
x + 19ax + 90a
x + 10a

a.K=

2

H−íng dÉn:
a
a
a
a
1
+
+
+
+
x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a
1

1
1
1
1
1
1
1
1
= −
+
−
+
−
+
−
+
x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a
1
=
x
a
a
a
a
1
b.H=
+
+
+
+

x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a
1
a
1
+ ... +
+
x + 5a
(x + 9a)(x + 10a) x + 10a
1
1
1
1
1
1
1
1
1
H== −
+
−
+
−
+
−
+
x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a
1
1
1
1

+ ... +
−
+
x + 5a
x + 9a x + 10a x + 10a
1
H=
x
2x + 1
1
1
*)XÐt biÓu thøc sau: (x + 1)2 − x 2 = 2x + 1 nªn ta cã: 2
= 2 −
2
x .(x + 1)
x
(x + 1) 2

a.K=

Do đó ta có b i toán sau:

Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
6


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
B i8:Rót gän biĨu thøc sau:
A=


3
5
2x + 1
+
+ ........ +
2
2
(1.2) (2.3)
[x(x + 1)]2

H−íng dÉn:
2x + 1
=
x .(x + 1)2
1
1
1
1
1
A= 2 − 2 + 2 − 2 + 2 −
1
2
2
3
3
1
x(x + 2)
=1=
2
(x + 1)

( x + 1) 2

-NhËn xÐt:

2

1
1
−
nªn ta cã:
2
x
(x + 1) 2
1
1
1
+ ... + 2 −
2
4
x
(x + 1) 2

II.khai thác các ứng dụng bài 28 trong chứng minh bất
đẳng thøc:
B i9:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 1 :
1
1
1
1
1

1
+ 2 + 2 + 2 + ... +
<
2
2
2
4
6
8
(2n)
2
1
1
1
1
1
b.B = 2 + 2 + 2 + .... +
<
2
3
5
7
(2 n + 1)
4

a.A =

H−íng dÉn:
a.NhËn xÐt:


1
1 1
1
1
= . 2 < .
m
2
(2 n )
4 n
4 ( n − 1).n

1
1
1
=
− nªn ta cã:
(n − 1).n n − 1 n

1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + ... +
= ( 2 + 2 + 2 + ... + 2 ) nªn
2

2
2
4
6
8
(2n)
4 1
2
3
n
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
) hay
A< (1 +
4
1.2 2.3 3.4
(n − 1).n
1
1 1 1 1 1
1
1
− ) hay
A< (1 + 1 − + − + − + ... +
4

2 2 3 3 4
n −1 n

A=

1
4

1
n

1
2

A< (1 + 1 − ) hay A < −

1
1
hay A<
4n
2

(§PCM)

b.NhËn xÐt:
1
1
1
1
1

1 1
1
<
⇔
<
⇔
< ( −
)
2
2
2
2
(2n + 1)
(2n + 1) − 1
(2n + 1)
2n.(2n + 2)
(2n + 1)
2 2n 2n + 2
nªn ta cã:
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ ... +
hay
3 −1 5 −1 7 −1
(2n + 1)2 − 1
1

1
1
1
+
+
+ ... +
B<
hay
4.2 4.6 6.8
2n(2n + 2)

B<

2

Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
7


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
B<

1 1 1 1 1 1 1
1
1
( − + − + − + ... +
−
) hay
2 2 4 4 6 6 8
2n 2n + 2


B<

1 1
1
1
1
1
( −
)⇒B < −
⇒B<
2 2 2n + 2
4 4(n + 1)
4

(§PCM)

B i10:Chøng minh víi n nguyên,n>1 thì:
1
1
1
1
1
A= 2 + 2 + 2 + .... + 2 < 2
1
2
3
n
n
Hớng dẫn:Để áp dụng (1) cần sử dụng phơng pháp l m trội,tơng tự nh b i 9.

-NhËn xÐt: Víi k=2;3;4;…;n ta cã:

1
1
1
1
1
<
hay 2 <
−
(2)
2
k
(k − 1).k
k
k 1 k

Lần lợt cho k=2;3;4;;n trong (2) rồi cộng lại vế theo vế ta đợc:
1 1 1 1
1
1 1 1 1
1
1
−
A= 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 1 + − + − + ... +
1 2 3 4
n
1 2 2 3
n −1 n
A<2-


1
n

hay

(§PCM)

-Tõ b i 10 ta cã thÓ ra b i tËp sau:
B i11: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n ≥ 2 th×:
1
1
1
1
B = 2 + 2 + 2 + .... + 2 < 1
2
3
4
n
Hớng dẫn: áp dụng kết quả b i 10 ta cã A<2®ã: B+1 < 2-

1
m B = A-1 hay A = B+1 khi
n

1
1
hay B < 1- hay B < 1 (§PCM)
n
n


B i12: Chøng minh r»ng víi mọi số tự nhiên n; n 2 thì:
1
1
1
1
2
C = 2 + 2 + 2 + ..... + 2 <
2
3
4
n
3
H−íng dẫn:Để áp dụng (1) cần sử dụng phơng pháp l m tréi.VËy vËn dơng nã
nh− thÕ n o?cã gièng víi b i 11 không?(với b i 11 thì cha đánh giá đợc
2
3

C< ).H y xem nhận xét sau:
1
4
4
1
1
1
= 2 < 2
⇔ 2 < 2(
−
) Do ®ã:
2

n
4n
4n − 1
n
2n − 1 2n + 1
1 1 1 1
1
1
−
) hay
C < 2( − + − + ... +
3 5 5 7
2n − 1 2n + 1

1
3

C < 2( −

1
)
2n + 1)

hay

Ng−êi thùc hiÖn: Lê Thị Hiền
8


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8

C<

2
3

(ĐPCM)

B i13: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n ≥ 2 ta cã:
1 1 1
1 1
D= 3 + 3 + 3 + ..... + 3 <
2 3 4
n
4
H−íng dẫn:Để áp dụng (1) cần sử dụng phơng pháp l m tréi.VËy sư dơng nh−
thÕ n o?H y xem nhËn xÐt sau:
1
1
1
1
1 1
1
1
< 3
hay 3 <
hay 3 < (
−
) Do ®ã ta cã:
3
k

k −k
k
(k − 1)k(k + 1)
k
2 (k − 1)k k(k + 1)
D<

1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
+ 3
+ .... + 3
+
−
+ ... +
−
)
hayD< ( −
2 −2 3 −3
n −n
2 1.2 2.3 2.3 3.4
(n − 1)n n.(n + 1)
3


hay
1 1
2 2

D< ( −

1
1
) hay D <
(§PCM)
n(n + 1)
4

B i14: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n ≥ 3 ta cã:
1 1 1
1
1
E= 3 + 3 + 3 + .... + 3 <
3 4 5
n 12
H−íng dÉn:Ta cã:

1
1
1
1
1 1
1
1
< 3

hay 3 <
hay 3 < (
−
)
n3 n − n
n
(n − 1)n(n + 1)
n
2 (n − 1)n n(n + 1)

Do ®ã :
1 1
1
1
1
1
1
−
+
−
+ ... +
−
) hay
E< (
2 2.3 3.4 3.4 4.5
(n − 1)n n(n + 1)

1 1
1
(

−
) hay E < 1 (§PCM)
2 2.3 n(n + 1)
12
B i15:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n ≥ 2 ta cã:
1 2 3
n −1
<1
H= + + + ... +
2! 3! 4!
n!
H−íng dÉn:Ta cã:
n −1
1
1
=
−
Do ®ã:
n!
(n − 1)! n!
1
1 1 1
1
1
−
hay H=1H=1- + − + ... +
hay H<1 (§PCM)
2! 2! 3!
(n − 1)! n!
n!

B i16:Chøng minh r»ng với mọi số nguyên dơng n ta có:
E<

Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
9


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
2

n + n −1
1 5 11
K= + + + ….+
<2
n!
2! 3! 4!
n 2 + n − 1 n(n + 1)
1
1
1
=
−
=
−
H−íng dÉn:Ta cã:
(n + 1)!
(n + 1)! (n + 1)! (n − 1)! (n + 1)!
Do ®ã K=

1

1 1
1 1
1 1
1
1
+ ( − ) + ( − ) + ( − ) + ... + (
−
) hay
2! 1! 3!
2! 4!
3! 5!
(n − 1)! (n + 1)!

1
1 1 1
1
1
1
+ ( + + + ... +
) − ( + ... +
) hay
2! 1! 2! 3!
(n + 1)!
3!
(n + 1)!
1 1 1 1
1
1
1
K= + + − −

hay K = 2- −
VËy K < 2 (§PCM)
2! 1! 2! n! (n + 1)!
n! (n + 1)!
B i17: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta cã:
3 5
7
2n + 1
+ .... + 2
<1
M= + +
4 36 144
n .(n + 1)2

K=

2n + 1
1
1
= 2−
Do ®ã:
n 2 .(n + 1)2 n (n + 1)2
1 1 1
1
1
1
= 1−
M= 1 − 2 + 2 − 2 + ... + 2 −
<1
(§PCM)

2 2 3
n (n + 1)2
(n + 1)2
H−íng dÉn:Ta cã:

B i18:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ta cã:

1 1 1
1
9
+ + .... + 2
<
2
5 13 25
n + (n + 1)
20

N= +

H−íng dÉn:Ta cã:

1
1
1
1
1 1
1
= 2
< .
= ( −

)
2
k + (k + 1)
2k + 2k + 1 2 k(k + 1) 2 k k + 1
2

1 1 1 1
< ( − )
13 2 2 3
1 1 1 1
< ( − )
k=3:
25 2 3 4
……………………….
1
1 1
1
< ( −
)
k = n:
2
2
n + (n + 1)
2 n n +1
1 1 1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
) hay

) hay N< + ( −
Do ®ã N< + ( − + − + ... + −
5 2 2 3 3 4
n n +1
5 2 2 n +1
1 1
9
N< + hayN <
(§PCM)
5 4
20

Víi k=2:

Ng−êi thực hiện: Lê Thị Hiền
10


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
III.khai thác các ứng dụng b i 28 trong giải phơng
trình,bất phơng trình:
B i19:Giải phơng trình:
a.(

1
1
1
1
1
1

+
+ ..... +
).x = +
+ ... +
.
1.101 2.102
10.110
11 2.12
100.110

b.(

1
1
1
1
148
98
+
+
+ ... +
).(x − 2) + x =
x−
1.3 3.5 5.7
97.99
99
99

1
3


1 1
1
2007
+ ... +
=
x(x + 1) 2009
6 10
2

c. + +

1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
)
+
+ ... +
(1 −
+ −
+ ... + −
1.101 2.102
10.110 100

101 2 102
10 110
1
1 1
1
1 1
1
1
)
=
(1 + + + ... + ) −
(
+
+ ... +
100
2 3
10 100 101 102
110
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
XÐt +
)
+ ... +
= ( − + − + ... +
−
11 2.12

100.110 10 1 11 2 12
100 110
1
1 1
1
1 1
1
1
)
= (1 + + + ... +
− − − ... −
− ... −
10
2 3
100 11 12
100
110
1
1
1
1
1
1
= (1 + + ... + −
) Do ®ã ta cã:
−
− ... −
10
2
10 101 102

110
1 1
x= :
= 10
10 100
1
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
b.XÐt
+
+
+ ... +
= (1 − + − + − + ... +
− )
1 .3 3 .5 5 .7
97.99 2
3 3 5 5 7
97 99
1
1
49
= (1 − ) =
Khi ®ã ta cã:
2
99

99
49
148
98
hay 49(x-2)+99x=148x-98 hay
( x − 2) + x =
x−
99
99
99
49x+99x-148x=0 hay 0.x=0 hay x∈ R
2007
1 1 1
1
=
c. + + + ... +
hay
x( x + 1) 2009
3 6 10
2

H−íng dÉn:a.XÐt

2
2
2
2
2007
+
+

+ ... +
=
2.3 3.4 4.5
x(x + 1) 2009
1 1 1 1 1 1
1
1
2007
)=
⇔ 2( − + − + − + ... + −
2 3 3 4 4 5
x x + 1 2009
1
1
2007
2
2007
2
2
)=
=
⇔ 2( −
⇔ 1⇔
⇔ x=2008(tho¶ m n
=
2 x + 1 2009
x + 1 2009
x + 1 2009

x≠ o; x ≠ −1 )

Ng−êi thùc hiÖn: Lê Thị Hiền
11


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
B i21:Giải phơng trình:
1
1
1
1
1
9
+
+
+ .... +
)( x 1) + x = x −
1 .2 2 .3 3 .4
9.10
10
10
1
1
1
1
1
1
1
1
b.(
)

+
+
+ .... +
)x = (
+
+
+ ... +
1.51 2.52 3.53
10.60
1.11 2.12 3.13
50.60
1
1
1
1
1
9
H−íng dÉn:a. ( +
+
+ .... +
)( x − 1) + x = x −
1 .2 2 .3 3 .4
9.10
10
10
1 1 1 1 1
1 1
1
9
⇔ ( 1 − + − + − + ... + − ) (x-1)+ x = x −

2 2 3 3 4
9 10
10
10
9
1
9
⇔ ( x − 1) + x = x −
⇔ 0x=0 ⇔ x ∈ R
10
10
10
1
1
1
1
1
1
1
1
)
b. .(
+
+
+ .... +
)x = (
+
+
+ ... +
1.51 2.52 3.53

10.60
1.11 2.12 3.13
50.60
1
1 1 1 1 1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
⇔
(1 − + −
+ − + ... + − ) x = ( − + − + ... +
− )
50
51 2 52 3 53
10 60
10 1 11 2 12
50 60
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1
⇔

(1 + + + ... + − −
− ... − ) x = (1 + + ... +
− − − ... − )
50
2 3
10 51 52
60
10
2
50 11 12
60
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
⇔
(1 + + ... + − −
− ... − ) x = (1 + + ... + − −
− ... − )
50
2
10 51 52
60

10
2
10 51 52
60
1 1

x= : =5
10 50

a.(

B i22:Giải các phơng trình sau:
1
1
1
+ 2
=
a. 2
x + 4x + 3 x + 8x + 15 6
1
2
3
−6
+ 2
+ 2
=
b. 2
x − 5x + 6 x − 8x + 15 x − 13x + 40 5
1
1

1
+ 2
=
x + 9x + 20 x + 13x + 42 18
1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ .... + 2
=
d. 2
x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12
x + 15x + 56 14

c.

2

H−íng dÉn:
a.NhËn xÐt: x 2 +4x+3=(x+1)(x+3)
x 2 +8x+15=(x+3)(x+5)
§KX§:x ≠ −1;x ≠ −3;x ≠ −5
1
1
1
+
=

(x + 1)(x + 3) (x + 3)(x + 5) 6
1 1
1
1
1
1
−
+
−
)=
⇔ (
2 x +1 x + 3 x + 3 x + 5 6

PT đ cho đợc viết:

Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
12


Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
⇔

1 1
1
1
(
−
)=
2 x +1 x + 5 6


⇒ 3(x + 5 − x − 1) = (x + 1)(x + 5)
2

2

⇔ (x + 3) = 4
⇔ x+3=4 hc x+3=-4
⇔ x=1 hoặc x=-7 (thoả m n ĐKXĐ)

*)Các câu b;c;d phơng pháp l m ho n to n tơng tự câu a.
B i 23:Giải bất phơng trình:
(

1
1
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
+ ... +
)x <
1.51 2.52
10.60
11 2.12 3.13
50.60


Hớng dẫn:Cách l m tơng tự b i 21b);chỉ có chú ý dấu bất đẳng thức thay cho
dấu đẳng thức v ta có giá trị biểu thức sau luôn dơng :
1 1
1 1 1
1
1 + + + ... + ...
nên ta có kết quả l x < 5
2 3
10 51 52
60
Phần 3:kết luận:
Phơng pháp gi¶i b i tËp cã hƯ thèng l mét u tố cơ bản giúp học sinh nắm
vững kiến thức,giải quyết linh hoạt các b i tập toán v đạt kết quả cao trong học
tập môn toán.Điều quan trọng nhất cần đề cập b i toán theo nhiều cách khác
nhau,nghiên cứu kỹ ,khảo sát kỹ từng chi tiết v kết hợp các chi tiết của b i toán
theo nhiều cách để mở rộng cho các b i toán khác.Đồng thời qua ®ã cã thĨ khai
th¸c c¸c øng dơng cđa mét b i toán cơ bản v o giải quyết các b i toán cùng loại.
Hi vọng rằng với một số ví dụ tôi đa ra trong đề t i n y gióp c¸c em häc
sinh sÏ biÕt c¸ch l m chđ đợc kiến thức của mình,thêm yêu mến môn toán,tự tin
trong quá trình học tập v nghiên cứu sau n y.
Đây mới chỉ l kinh nghiệm của bản thân tôi nên chắc chắn còn nhiều
khiếm khuyết,hi vọng đợc các bạn đồng nghiệp quan tâm v góp ý để đề t i
đợc ho n chỉnh hơn.
*)Sau đây l một số b i tập đề nghị:
B i 1:Tính các tổng sau:
a.

1
1

1
1
+
+
+ ... +
1.5 5.9 9.13
(4n − 3)(4n + 1)

1
1
1
+
+ ... +
4.5 5.6
(n + 3)(n + 4)
7
7
7
1
+
+ ... +
+
c.
1.8 8.15
(7n − 6)(7n + 1) 7n + 1

b.

Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
13



Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
1
1
1
1
+
+
+ ... +
2.5 5.8 8.11
(3n + 2)(3n + 5)
B i 2:Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
2
2
2
2
+
+
+
a.
(x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) x + 4

d.

1
1
1
1
1

+
+
+ ... +
+
A 1.(2n − 1) 3.(2n − 3) 5(2n − 5)
(2n − 3).3 (2n − 1).1
b. =
1 1
1
B
1 + + + ... +
3 5
2n − 1

B i 3:Giải phơng trình:
1
1
1
1
149
99
+
+ ... +
)(2x ) + x =
.x −
a.(
1.2 2.3
99.100
2
50

200
1
1
1
1
+ 2
+ 2
=
x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 6
B i 4:Chứng minh rằng với n l số nguyên dơng bất kú th×:
1 1 1
1
A= 2 + 2 + 2 + .... + 2 <1,65
1 2 3
n

b.

2

Ng y 21 th¸ng 5 năm 2008
Ngời thực hiện:

Lê thị hiền
Giáo viên:Trờng THCS Thị Trấn.

Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
14