Trờng thpt trần phú nga sơn Đề khảo sát chất lợng các môn thi đại học lần 2
Đề chính thức năm học 2010 -2011
(Đề gồm 1 trang) Môn : Toán ; khối A+B
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
I, Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm)
Câu I ( 2.0 điểm)
Cho hàm số
3 2
3 2y x x= +
(C)
1. Khảo sát và vễ đồ thị (C) hàm số đã cho.
2. Tìm m để phơng trình
3 2
2
3 2 logx x m + =
có 8 nghiệm phân biệt.
Câu II (2,0 điểm).
1.Giải phơng trình :
2( cos )
1
cot 2 1
x sinx
tanx x cotx

=
+
2.Giải hệ phơng trình :
3 2 2 3
2 2
(1 ) (2 ) 30 0
(1 ) 11 0

x y y x y y xy
x y x y y y

+ + + + =


+ + + + =



( ; )x y R
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân
3
2
4
( )
1
tanx
I dx
cosx cos x


=
+

Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a ; chiều cao SO =
6
2
a
.Mặt phẳng (P) qua A

vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lợt tại B, C, D.Chứng minh rằng AC vuông góc với BD và tính thể tích khối chóp
S.ABCD.
Câu V (1,0 điểm).Cho a,b,c là các số dơng thoả mãn abc =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2 2 2 2 2 2
bc ca ab
M
a b a c b c b a c a c b
= + +
+ + +
II.Phần riêng(3.0 điểm)
Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chơng trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đờng thẳng (d
1
) :
3 4 5 0x y+ + =
và (d
2
) :
4 3 5 0x y =
.
Viết phơng trình đờng tròn có tâm nằm trên đờng thẳng (

):
6 10 0x y =
và tiếp xúc với hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2

).
2. Trong không gian toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng:
(d
1
) :
2 4
1 1 2
x y z +
= =

và (d
2
):
8 6 10
2 1 1
x y z+
= =

. Lập phơng trình đờng thẳng (d) cắt (d
1
) , (d
2
) và (d) song song
với trục Ox
Câu VIIa(1,0 điểm). Cho hai số phức
1
z
và
2
z

thoả mãn
1 2
1z z= =
;
1 2
3z z+ =
. Tính
1 2
z z
.
B. Theo chơng trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3), đờng cao BH nằm trên đờng thẳng
y x=
, phân giác
trong góc C nằm trên đờng thẳng :
3 2 0x y+ + =
. Viết phơng trình cạnh BC.
2. Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm M(1;2;-1) và N(7;-2;3) đờng thẳng (d) có phơng trình :

1 2 2
3 2 2
x y z+
= =

. Tìm điểm I thuộc (d) sao cho IM + IN nhỏ nhất.
Câu VIIb (1,0 điểm). Giải phơng trình :
5 4
log (3 3 1) log (3 1)
x x

+ + = +
. Hết
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên: Số báo danh

Trờng thpt trần phú nga sơn
đáp án Đề khảo sát chất lợng các môn thi đại học lần 2
năm học 2010 -2011
Môn : Toán ; khối A+B


Câu
Đáp án
Điểm

C.1
Câu I (2,0 điểm).
1, 1, TXĐ : R y
2, Sự biến thiên
a, Giới hạn của hàm số tại vô cực
lim
x
y
+
= +

;
lim
x
y


= -

b, Bảng biến thiên
y=3x
2
-6x, y = 0 khi x= 0;x= 2.
x -

0 2 +


y + 0 - 0 + x
2
+
y
-

-2

3, Vẽ đồ thị
Điểm uốn (1;0)
Giao với Ox: (1;0);
(1 3;0);(1 3;0) +
Giao với Oy: (0;2)

2, y
Số nghiệm của phuơng trình là số giao
điểm của hai đồ thi hàm số y=
2

log m
và y=
3 2
3 2x x +
.
Vẽ đồ thị y=
3 2
3 2x x +
nh sau :
Từ đồ thị câu 1 ta bỏ phần bên trái Oy
lấy đối xứng phần còn lại qua Oy , tiếp
tục bỏ phần đồ thị bên dới Ox lấy đối x
xứng phần bị bỏ qua Ox ta đợc đồ thi
nh hình vẽ.
Phơng trình đã cho có 8 nghiệm phân
biệt khi:
0 <
2
log m
< 2
1 4m p p
Vậy
1 4
4 1
m
m
< <


< <



0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
1 3+
O
2
1 3

2
-2
O
2
-2
CII
C©u II (2,0 ®iÓm).
1.
2( cos )
1
cot 2 1
x sinx
tanx x cotx
−
=

+ −
. (1)
§k
cot 1
cos .sin 2 .( 2 ). 0
x
x x tanx cot x sinx
≠


+ ≠

(1)
⇔
1 2(cos sin )
2
1
sin 2 sin
x x
sinx cos x cosx
cosx x x
−
=
+ −
2 ( )
.sin 2 2
4
2 2sin . 2 sin
2
2 ( )

4
x k loai
cosx x
sinx x cosx x cosx
cosx
x k Nhan
π
π
π
π

= +

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔


= − +


VËy x =
2
4
k
π
π
− +
(k
)Z∈

2.

3 2 2 3
2 2
(1 ) (2 ) 30 0
(1 ) 11 0
x y y x y y xy
x y x y y y

+ + + + − =


+ + + + − =


( )( ) 30
( ) 11
xy x y xy x y
xy x y xy x y
+ + + =

⇔

+ + + + =

Khi ®ã ta ®îc
5
1
x y
xy
+ =



=

hoÆc
2
3
xy
x y
=


+ =

-Víi
2
3
xy
x y
=


+ =

ta ®îc
nghiÖm lµ :
(1;2)
;
(2;1)
-Víi
1

5
xy
x y
=


+ =

ta ®îc ngiÖm lµ
5 21 5 21
( ; )
2 2
− +
,
5 21 5 21
( ; )
2 2
+ −
§¸p sè : HÖ cã 4 nghiÖm nh trªn.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
CIII
C©u IiI (1,0 ®iÓm).
3

2
4
( )
1
tanx
I dx
cosx cos x
π
π
=
+
∫
=
3
2
2
4
( )
1
1
tanx
dx
cos x
cos x
π
π
+
∫
=
3

2 2
4
( )
2 tan
tanx
I dx
cos x x
π
π
=
+
∫
.
§Æt t =
2
2 tan x+
th× dt =
2 2
tan
cos 2 tan
xdx
x x+
.
§æi cËn : Víi x =
4
π
th× t =
3
, x =
3

π
th× t =
5
.
Ta ®îc
5
3
5 3I dt= = −
∫
0,25
0,25
0,25
0,25
C.IV
Câu IV (1,0 điểm).
Dựng AC vuông góc với SC . Gọi O là tâm
đa giác đáy .G là giao điểm của AC và SO .
Qua G dựng đờng thẳng song song với BD
cắt SB,SD tại B và D
Vì SC

AC và SC

BD nên SC

BD. Lại
có BD//BD mà BD

AC nên BD


AC
Tam giác SAC đều nên AC = SO =
6
2
a
,
G là trọng tâm tam giác SAC nên
BD =
2
2
3
a
2
' ' '
1 3
'. ' '
2 3
AB C D
a
S AC B D = =
Vậy
3
' ' ' ' ' '
1 6
. '
3 18
SAB C D AB C D
a
V S SC= =
(đvtt)

0,25
0,25
0,25
0,25
CV.
Câu V (1,0 điểm).
2 2 2 2 2 2
bc ca ab
M
a b a c b c b a c a c b
= + +
+ + +
Đặt x =bc, y =ca, z =ab ( x > 0, y > 0, z > 0) thì xyz = 1 và
2 2 2
x y z
M
y z z x x y
= + +
+ + +
áp dụng BĐT cosi ta có
2
4
x y z
x
y z
+
+
+
;
2

4
y z x
y
z x
+
+
+
;
2
4
z x y
z
x y
+
+
+
Vậy M
3
3
3
2 2 2
xyz
x y z+ +
=
. Vậy GTNN của M là
3
2
khi x = y =z =1 tức là a =b =c =1 .
0,25
0,25

0,5
C.VI
a
Câu VIa (2,0 điểm).
1. (
( ) : 6 10 0x y =
có phơng trình tham số
4 6
1
x t
y t
= +


= +

.
Xét điểm E(4+6t;-1+t)

( )
.
Ta có
1
( , )d E d
=
3(4 6 ) 4( 1 ) 5 22 13
5 5
t t t+ + + + +
=


2
( , )d E d
=
4(4 6 ) 3( 1 ) 5 21 14
5 5
t t t+ + +
=
.
Ta phải có
1
( , )d E d
=
2
( , )d E d
1
22 13 21 14
27
43
t
t t
t
=


+ = +


=

Với t =1 thì E(10;0) và R = 7 phơng trình đờng tròn là

2 2
( 10) 49x y + =
Với t =
27
43

thì E(
10 70
; )
43 43

và R =
7
43
phơng trình đờng tròn là:
2 2
2
10 70 49
43 43 43
x y

+ + =
ữ ữ

0,25
0,25
0,25
0,25
D
S

A B
C
B
C

O
D
G

1. Phơng trình tham số của
( )
1
d
,
( )
2
d
tơng ứng là
( )
1
d
2
2 4
x t
y t
z t
=


= +



=


( )
2
d
2 ' 8
' 6
' 10
x t
y t
z t
=


= +


= +

Lấy M(t; -t+2; 2t-4), N(2t-8; t+6; -t+10)
Ta có
(2 ' 8; ' 4; ' 2 14).MN t t t t t t= + + +
uuuur
Để MN nằm trên Ox hay MN // Ox cần và đủ là
' 4 0
' 2 14 0
t t

t t
+ + =


+ =

Ta đợc
18
' 22
t
t
=


=

.
Vậy M(18; -16; 32) ,
MN
uuuur
=(-70;0;0) .Từ đó ta đợc phơng trình đờng thẳng (d) là
18 70
16 ( )
32
x t
y t R
z
=



=


=

. Vì M không thuộc Ox nên (d) //Ox.
0,25
0,25
0,25
0,25
C,
Vii
a
CVi
b
CâuVIIa (1,0 điểm).

1 2
1z z= =
;
1 2
3z z+ =
. Tính
1 2
z z
.
Đặt
1 1 1 2 2 2
;z a b i z a b i= + = +
. Từ giả thiết ta có hệ phơng trình

2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
( ) ( ) 3
a b a b
a a b b

+ = + =


+ + + =


.
Suy ra 2
2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
( ) 1 ( ) ( ) 1 1a b a b a a b b z z+ = + = =

CâuVIb (2,0 điểm).
1. Đờng thẳng AC đi qua A và

BH nên có
phơng trình là x+ y -2 = 0, C là giao điểm
của AC và phân giác trong của nó nên C(4;-2)
Gọi A là điểm đối xứng của A qua đờng
phân giác trong góc C thì AC chứa cạnh BC
Gọi E là giao điểm của AA và x+3y+2=0 thì E là trung

điểm của AA. Đởng thẳng AA đi qua A và

CE nên
pt : 3x y + 6 = 0 suy ra E(-2;0) và A(-3;-3). Vậy đờng
thẳng AC có phơng trình là : x 7y 18 = 0.
Đáp số : BC có phơng trình là : x -7y -18 = 0

2.Đờng thẳng d có VTCP
=

(3; 2;2); (6; 4;4) 2u MN MN u= = =
r uuuur uuuur r
, M
d
nên MN//d , do
đó trên mặt phẳng (d;MN) gọi M là điểm đối xứng với M qua d và (

) là mp qua M và
d

suy ra (

) có phơng trình 3x -2y +2z + 3 =0 . Gọi H =d
( ) ( 1; 2; 2) '( 3;2;5). ' / /H M I M N d HI MN I

=
là trung điểm của MN
nên I(2;0;4) là điểm cần tìm.

Câu VIIb (1,0 điểm). Đặt

5 4
log (3 3 1) log (3 1)
x x
t+ + = + =
. Ta đợc :
3 1 4
1 2
3 2 5 3( ) ( ) 1
5 5
3 3 1 5
x t
t t t t
x t

+ =

+ = + =

+ + =


Vế trái là một hàm số nghịch biến còn vế phải bằng 1 nên nghiệm t = 1 là duy nhất
Với t =1 ta có x =1.
Đáp số : x =1 .
Hết
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Hết
A B
E
A
H
C