Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
Phần a: đặt vấn đề
Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê của những ngời yêu
thích toán học. Đối với học sinh để có một kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu
rèn luyện, học hỏi rất nhiều và bền bỉ. Đối với giáo viên: Làm thế nào để trang bị cho
các em đầy đủ kiến thức? Đó là câu hỏi mà giáo viên nào cũng phải đặt ra cho bản thân.
I. Lí do chọn đề tài SKKN
Chuyên đề "Phân tích đa thức thành nhân tử" đợc học khá kỹ ở chơng trình lớp 8, nó
có rất nhiều bài tập và cũng đợc ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập trong chơng trình
đại số lớp 8 cũng nh ở các lớp trên. Vì vậy yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng
nhuần nhuyễn các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề rất quan trọng.
Nắm đợc tinh thần này trong quá trình giảng dạy toán lớp 8 tôi đã dày công tìm tòi,
nghiên cứu để tìm ra các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng và dễ hiểu.
Góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực t duy sáng tạo cho học sinh. Trong SGK
đã trình bày các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử là phơng pháp đặt nhân tử
chung, phơng pháp nhóm các hạng tử, dùng hằng đẳng thức Trong chuyên đề này tôi
giới thiệu thêm các phơng pháp nh: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp
tách số hạng, phơng pháp thêm bớt số hạng, phơng pháp đặt ẩn phụ,phơng pháp tìm
nghiệm của đa thức Đồng thời vận dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để
làm một số dạng bài tập.
Khi học chuyên đề này học sinh tiếp thu rất thích thú. Các ví dụ đa dạng, có nhiều bài
tập vận dụng tơng tự nên giúp cho học sinh nắm vững chắc các phơng pháp phân tích đa
thức thành nhân tử tạo tiền đề cho các em học tập kiến thức mới và giải các bài toán khó.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
1, Đối với học sinh : Thực trạng khi nhận chuyên môn phân công dạy toán
8C ở những tiết đầu tiên tôi cảm thấy bi quan trớc cách học của học sinh.
Để thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tôi dùng nhiều hình thức phát
vấn trắc nghiệm rút ra một hiện tợng nổi bật: Học sinh trả lời rõ ràng nhng học vẹt,
vận dụng một cách máy móc. Quá trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng
của học sinh tôi đa ra một số ví dụ thì học sinh lúng túng không biết phơng pháp
giải quyết nh thế nào.

GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân
1
Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
Trớc thực trạng trên tôi đã điều tra học sinh qua nhiều biện pháp kết quả cho
thấy.
Lớp Sỉ số
Giỏi Khá TB Yếu- kém
SL % SL % Sl % SL %
8C 28 01 3,6 01 3,6 6 21,4 20 71,4
Sau khi kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm bài rất mơ hồ, số học sinh
làm đợc chỉ rơi vào học sinh Khá- Giỏi. Số còn lại là học sinh TB, Yếu, kém không
biết giải quyết bài toán nh thế nào.
2, Đối với giáo viên :
Thực trạng này, không thể đổ lỗi hết cho học sinh bởi vì ngời giáo viên là ng-
ời chủ động, chủ đạo kiến thức, nhng cũng chỉ tuân theo sách giáo khoa mà dạy
loại toán này. Song lại đòi hỏi học sinh phải t duy tốt và phải thâu tóm đợc kiến
thức đã học để vận dụng vào để giải bài tập . Nh vậy, là áp đặt, gò bó đối với học
sinh.
3, `Về phía học sinh: Cảm thấy khó tiếp thu bởi vì đây là dạng toán đòi hỏi
học sinh phải có hệ thống kiến thức lôgic. Do đó học sinh cảm thấy mơ hồ. Sau đây
tôi xin đa ra một số kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải các bài toán"Phân tích đa
thức thành nhân tử" trong đại số 8.
4, Mục đích nghiên cứu:
Trong nhiều năm tôi đợc phân công làm nhiệm vụ bồi dỡng học sinh giỏi tôi đã tích lũy
đợc nhiều kiến thức về dạng toán Phân tích đa thức thành nhân tử và những dạng bài
tập vận dụng ,đặc biệt là hớng dẫn học sinh cách nhận dạng bài toán để biết đợc nên áp
dụng phơng pháp nào để vừa nhanh gọn, vừa dễ hiểu.
Chỉ ra những phơng pháp dạy loại bài Phân tích đa thức thành nhân tử
Đổi mới phơng pháp dạy học
Nâng cao chất lợng dạy học,cụ thể là chất lợng mũi nhọn

Phần B: giải quết vấn đề
Trớc hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ Phân tích đa thức thành nhân tử là gì
và ngoài giải những bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử thì những dạng bài tập nào
đợc vận dụng nó và vận dụng nó nh thế nào ?
GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân
2
Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
- Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành một tích của
các đa thức,đơn thức khác.
- Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài toán khác. Ví dụ:
+ Bài toán chứng minh chia hết.
+ Rút gọn biểu thức
+Giải phơng trình bậc cao
+ Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất
I. Các ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử :
1- Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm, tách, thêm, bớt
hạng tử.
Ví dụ 1: x
4
+ 5x
3
+15x - 9
Đa thức đã cho có 4 số hạng không thể đặt ngay nhân tử chung hoặc áp dụng ngay các
hằng đẳng thức, vì vậy ta nghĩ tới cách nhóm các số hạng hoặc thêm bớt số hạng. Ta có
thể phân tích nh sau:
Cách 1: x
4
+ 5x
3
+ 15x - 9.

= x
4
- 9 + 5x
3
+ 15x
= (x
2
- 3) (x
2
+ 3) + 5x (x
2
+ 3)
= (x
2
+ 3) (x
2
- 3 + 5x)
= (x
2
+ 3) (x
2
+ 5x - 3)
Cách 2: x
4
+ 5x
3
+ 15x - 9.
= x
4
+ 5x

3
- 3x
2
+ 3x
2
+ 15x - 9
= x
2
(x
2
+ 5x - 3) + 3 (x
2
+ 5x - 3)
= (x
2
+ 3) (x
2
+ 5x - 3)
Bài này cần lu ý học sinh trong tập hợp số hữu tỉ đa thức x
2
+ 5x - 3 không phân tích đ-
ợc nữa.
Ví dụ 2: x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2

+ y
2
z + yz
2
+ 3xyz.
Giải: Đa thức đã cho có 7 số hạng lại không đặt nhân tử chung đợc mà có hạng tử
3xyz nên ta tách hạng tử 3xyz thành 3 hạng tử để sử dụng phơng pháp nhóm hạng tử.
x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 3xyz
= x
2
y + x
2
z + xyz + xy
2
+ y
2
z + xyz + xz
2

+ yz
2
+ xyz
= x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy)
GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân
3
Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
= (xy + xz + yz) (x + y + z).
Ví dụ 3: x
2
+ 6x + 8
Với các phơng pháp đã biết nh đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùng hằng đẳng thức
ta không thể phân tích đợc đa thức này. Nếu tách một số hạng thành hai số hạng để đa
thức trở thành 4 số hạng thì có thể nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung hoặc
xuất hiện các hằng đẳng thức Từ đó có nhiều khả năng biến đổi đa thức đã cho thành
tích.
Cách 1: x
2
+ 6x + 8 = x
2
+ 2x + 4x + 8
= x (x+2) + 4 (x+2) = (x+2) (x+4)
Cách 2: x
2
+ 6x + 9 - 1 = (x+3)
2
- 1
= (x + 3 - 1) (x+ 3 +1) = (x+2) (x+4)
Cách 3: x
2

- 4 + 6x + 12 = (x-2) (x+2) + 6 (x+2)
= (x+2) (x+4)
Cách 4: x
2
+ 6x + 8 = x
2
- 16 + 6x + 24
= (x - 4) (x + 4) + 6 (x + 4) = (x + 4) (x - 4 + 6) = (x+2) (x+4).
Ví dụ 4: x
3
- 7x - 6
Ta có thể tách nh sau:
Cách 1: x
3
- 7x - 6 = x
3
- x - 6x - 6 = x (x
2
- 1) - 6 (x + 1)
= x (x - 1) (x + 1) - 6 (x + 1) = (x + 1) (x
2
- x - 6)
= (x + 1) (x
2
- 3x + 2x - 6) = (x +1) [ x (x - 3) + 2 (x - 3)]
= (x + 1) (x + 2) (x - 3)
Cách 2: x
3
- 7x - 6 = x
3

- 4x - 3x - 6 = x (x
2
- 4) - 3 (x + 2)
= x (x - 2) (x + 2) - 3 (x + 2) = (x + 2) (x
2
- 2x - 3)
= (x + 2) (x
2
- 3x + x - 3) = (x + 2) (x - 3) (x + 1)
Cách 3: x
3
- 7x - 6 = x
3
- 27 - 7x + 21 = (x - 3) (x
2
+ 3x + 9 - 7)
= (x - 3) (x
2
+ 3x + 2) = (x - 3) (x
2
+ x + 2x + 2)
= (x - 3) (x + 2) (x + 1)
Cách 4: x
3
- 7x - 6 = x
3
+ 1 - 7x - 7 = (x + 1) (x
2
- x + 1) - 7 (x + 1)
= (x + 1) (x

2
- x + 1 - 7)
= (x + 1) (x
2
- x - 6) = (x + 1) (x
2
- 3x + 2x - 6)
= (x + 1) (x + 2) (x - 3)
GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân
4
Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
Cách 5: x
3
- 7x - 6 = x
3
+ 8 - 7x - 14 = (x + 2) (x
2
- 2x + 4 - 7)
= (x + 2) (x
2
- 2x - 3) = (x + 2) (x
2
+ x - 3x - 3)
= (x + 2) (x + 1) (x - 3)
Cách 6: x
3
- 7x - 6 = x
3
- 9x + 2x - 6 = x (x - 3) (x + 3) + 2 (x - 3)
= (x - 3) (x

2
+ 3x + 2) = (x - 3) (x + 1) (x + 2).
Chú ý: Cần lu ý học sinh khi phân tích đa thức này phải triệt để, tức là kết quả cuối
cùng không thể phân tích đợc nữa. Tất nhiên yêu cầu trên chỉ có tính chất tơng đối vì nó
còn phụ thuộc tập hợp số mà ta đang xét. Nếu phân tích không triệt để học sinh có thể
gặp tình huống là mỗi cách phân tích có thể có một kết quả khác nhau. Chẳng hạn ở bài
tập trên cách 1, cách 4 có thể cho ta kết quả là:
x
3
- 7x - 6 = (x + 1) (x
2
- x - 6).
Cách 2, cách 5 cho kết quả là:
x
3
- 7x - 6 = (x + 2) (x
2
- 2x - 3)
Cách 3, cách 6 cho kết quả là:
x
3
- 7x - 6 = (x - 3) (x
2
+ 3x + 2)
Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh chú ý sau:
- Một đa thức dạng ax
2
+bx + c chỉ phân tích đợc thành nhân tử trong tập hợp Q khi đa
thức đó có nghiệm hữu tỉ


(hoặc

,
)là một số chính phơng (trong đó

= b
2
-4ac (

,
= b
,2
- ac)
- Một đa thức dạng ax
2
+bx + c tách làm xuất hiện hằng đẳng thức đợc khi :

(hoặc

,
)
là một số chính phơng và chứa 2 trong 3 hạng tử của A
2
+2AB +B
2
hoặc A
2
- 2AB +B
2


Ví dụ 5: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) . Đa thức trên ta có thể dự đoán có 1 nhân
tử là b + c hoặc c - a hoặc a + b.
Ta có các cách phân tích nh sau:
Cách 1: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
= bc (b + c) +ac
2
- a
2
c - a
2
b - ab
2
.
= bc (b +c) + (ac
2
- ab
2
) - (a
2
c + a
2
b)
= bc (b +c) + a (c - b) (c + b) - a
2
(c+ b)
= (b + c) (bc + ac - ab - a
2
)
= (b + c) [(bc - ab ) + (ac - a
2

) ] = (b + c) [b (c - a) +a (c - a)]
= (b + c) (b + a) (c -a)
GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân
5
Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
Cách 2: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
= b
2
c bc
2
+ ac (c -a) - a
2
b - ab
2
= ac (c - a) + b
2
(c - a) + b (c
2
- a
2
)
= ac (c -a) + b
2
(c - a) + b (c - a) (c + a)
= (c - a) (ac + b
2
+ bc + ab)
= (c - a) (a +b) (c+ b)
Cách 3: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
= b

2
c + bc
2
+ ac
2
- a
2
c - ab (a + b)
= c (b
2
- a
2
) + c
2
(a + b) - ab (a + b)
= c (b - a) (a + b) + c
2
(a + b) - ab (a + b)
= (a + b) (cb - ca + c
2
- ab) = (a + b) [c (b + c) - a (c + b)]
= (a + b) (b + c) (c - a)
Cách 4: Nhận xét: c - a = (b + c) - (a + b)
bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
= bc (b + c) + ac (b + c) - ac (a + b) - ab (a + b)
= c (b + c) (b + a) - a (a + b) (c + b)
= (b + c) (a + b) (c - a)
Cách 5: Nhận xét: b + c = (c - a) + (a + b)
Ta có: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a + b)
= bc (c - a) + bc (a + b) + ac (c - a) - ab (a + b).

= c (c - a) (b + a) + b (a + b) (c - a ) = (a + b) (c - a) (c + b).
Cách 6: Nhận xét: a + b = (b + c) - (c - a)
bc (b + c) + ac (c - a) - ab (b + c) + ab (c - a)
= b (b + c) (c - a) + a (c - a) (c + b)
= (c - a) (c + c) (b + a).
Ví dụ 6: a
5
+ a + 1.
Số mũ của a từ 5 xuống 1 nên giữa a
5
và a cần có những số hạng với số mũ trung gian
để nhóm số hạng làm xuất hiện nhân tử chung.
Cách 1: a
5
+ a + 1
= a
5
+ a
4
- a
4
+ a
3
- a
3
+ a
2
- a
2
+ a + 1

= a
5
+ a
4
+ a
3
- a
4
- a
3
- a
2
+ a
2
+ a +1
= a
3
(a
2
+ a + 1) - a
2
(a
2
+ a

+ 1) + a
2
+ a

+ 1

GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân
6
Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
= (a
2
+ a

+ 1) (a
3
- a
2
+ 1)
Cách 2: a
5
+ a + 1
= a
5
- a
2
+ a
2
+ a + 1 = a
2
(a - 1) (a
2
+ a + 1) + (a
2
+ a + 1)
= (a
2

+ a + 1) (a
3
- a
2
+1).
2 - Phơng pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1: (b - c)
3
+ (c - a)
3
+ (a - b)
3
.
Đặt x = b - c; y = c - a; z = a - b.
Ta thấy: x + y + z = 0 => z = - x - y
(b - c)
3
+ (c - a)
3
+ (a - b)
3
= x
3
+ y
3
+ z
3
= x
3
+ y

3
+ (- x - y)
3
= x
3
+ y
3
- x
3
- y
3
- 3x
2
y - 3xy
2
= - 3xy ( x + y)
= 3xyz = 3 (b - c) (c - a) (a - b)
Ví dụ 2: (x
2
+ x + 1) (x
2
+ x + 2) - 12
Thông thờng khi gặp bài toán này học sinh thờng thực hiện phép nhân đa thức với đa
thức sẽ đợc đa thức bậc 4 với năm số hạng. Phân tích đa thức bậc 4 với năm số hạng này
thờng rất khó và dài dòng. Nếu chú ý đến đặc điểm của đề bài: Hai đa thức x
2
+ x + 1 và
x
2
+ x + 2 chỉ khác nhau bởi hạng tử tự do, do đó nếu ta đặt y = x

2
+ x + 1 hoặc y = x
2
+ x
thì biến đổi đa thức thành đa thức bậc hai sẽ đơn giản hơn nhiều.
Đặt y = x
2
+ x + 1.
Ta có: (x
2
+ x + 1) (x
2
+ x + 2) - 12 = y(y + 1) - 12 = y
2
+ y - 12
= y
2
+ 4y - 3x - 12 = (y +4 ) (y - 3)
= (x
2
+ x + 1 + 4) (x
2
+ x + 1 - 3) = (x
2
+ x + 5) (x
2
+ x - 2)
= (x
2
+ x + 5) (x

2
+ 2x - x - 2) = (x
2
+ x + 5) (x + 2) (x - 1)
= (x - 1) (x +2) (x
2
+ x + 5).
Ví dụ 3: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15
Nhận xét: Ta có: 1 + 7 = 3 + 5 cho nên nếu ta nhân các thừa số x + 1 với x +7và x + 3
với x + 5 ta đợc các đa thức có phần biến giống nhau.
(x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15
= (x
2
+ 7x + x + 7) (x
2
+ 5x + 3x + 15) + 15
= (x
2
+ 8x + 7) (x
2
+ 8x + 15) + 15.
Đặt x
2
+ 8x + 7 = y ta đợc:
y (y + 8) + 15
GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân
7
Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
= y
2

+ 8 y + 15
= y
2
+ 3 y + 5 y + 15
= (y + 3) (y + 5)
=(x
2
+ 8x + 7 + 3) (x
2
+ 8x + 7 + 5)
= (x
2
+ 8x + 10) (x
2
+ 8x + 12)
= (x
2
+ 6x + 2x + 12) (x
2
+ 8x + 10)
= (x + 6) (x + 2) (x
2
+ 8x + 10)
3- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp tìm nghiệm của đa thức.
a) Cách tìm nghiệm của một đa thức
-Phơng pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức:Nghiệm nguyên (nếu có ) của một đa thức
phảI là ớc của hạng tử tự do.
VD. Tìm nghiệm nguyên của đa thức sau:
x
3

+ 3x
2
- 4
Giải: C1)Các ớc của 4 là : 1;2;4;-1;-2;-4 .Thử các giá trị này ta thấy x = 1 và x = -2 là
nghiệm của đa thức đã cho.
C2) Tổng các hệ số của đa thức bằng 0 nên đa thức đã cho có nghiệm x = 1.
- Phơng pháp tìm nghiệm hữu tỉ của một đa thức: Trong đa thức với hệ số
nguyên,nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q trong đó p là ớc của hệ số tự do;q là ớc
dơng của số hạng có bậc cao nhất.
VD Tìm nghiệm của đa thức sau:
2x
3
+ 5x
2
+ 5x + 3
GiảI: Các ớc của 3 là : 1;-1;3;-3 (p)
Các ớc dơng của 2 là : 1;2 (q)
Xét các số 1; 3;1/2; 3/2 ta thấy -3/2 là nghiệm của đa thức đã cho.
Chú ý:
-Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức đó có một nghiệm bằng 1.
Ví dụ: Đa thức
a) 3x
4
- 4x +1 có 3+ (-4) + 1 = 0 nên có một nghiệm x = 1.
b) 4x
3
+5x
2
- 3x - 6 có 4 + 5 + (-3) + (-6) = 0 nên có một nghiệm x = 1.
- Nếu đa thức có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số

hạng bậc lẻ thì đa thức đó có một nghiệm là -1 .
GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân
8
Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
Ví dụ: Đa thức a) 4x
5
+5x
4
+ 7x
3
+ 11x
2
+ 2x - 3
Tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng : 5 + 11 + (-3) = 13
Tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng : 4 + 7 + 2 = 13
Ta thấy tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ nên
đa thức đó có một nghiệm là -1
b)x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4
Tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng : 3 + 4 = 7
Tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng : 1 + 6 = 7
Ta thấy tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ nên
đa thức đó có một nghiệm là -1
a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp tìm nghiệm của đa thức.
Nếu đa thức F(x) có nghiệm x=a thì sẽ chứa nhân tử x-a do đó khi phân tích cần làm xuất
hiện các nhân tử chung sao cho có nhân tử x-a.
VD: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a. x
3
+ 3x
2
- 4
b. 2x
3
+ 5x
2
+ 5x + 3
GiảI :
a)C1 Đa thức x
3
+ 3x
2
- 4 có nghiệm là x= 1 nên chứa nhân tử x-1
Ta có : x
3
+ 3x
2
- 4 = x
3
- x
2
+ 4x
2
- 4x + 4x - 4
= x
2
(x-1) + 4x(x-1) + 4(x-1)

= (x-1)(x
2
+ 4x + 4)
= (x-1) (x+2)
2
C2 Đa thức x
3
+ 3x
2
- 4 có nghiệm là x= -2 nên chứa nhân tử x + 2
Ta có x
3
+ 3x
2
- 4 = x
3
+2x
2
+x
2
+ 2x - 2x -4
= x
2
(x+2) + x(x +2) - 2(x+2)
= (x+2) (x
2
+x -2)
= (x+2) (x
2
- x + 2x -2)

= (x+2)[ x(x-1) +2(x-1)]
= (x+2)(x-1)(x+2) = (x-1) (x+2)
2
b) Đa thức 2x
3
+ 5x
2
+ 5x + 3 có nghiệm là x = -3/2 nên chứa nhân tử 2x+3 .
Ta có 2x
3
+ 5x
2
+ 5x + 3 = 2x
3
+ 3x
2
+2x
2
+ 3x +2x +3
GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân
9
Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
= x
2
(2x +3) + x(2x+3) + (2x+3)
= (2x+3) (x
2
+ x +1)
II. Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử .
Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Để giải bài toán rút gọn một biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử
thức ,mẫu thức thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng.
Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
60677
120106194
+
+
=
xxxx
xxxx
A
Giải : Ta có
60677
120106194
+
+
=
xxxx
xxxx
A
Ta thấy tử thức của phân thức có các nghiệm là 2; 3 ; 4 ; -5
Mẫu thức của phân thức có các nghiệm là -1 ; 3 ; -4;-5
Do đó
60677
120106194
+
+
=
xxxx
xxxx

A

)5)(4)(3)(1(
)5)(4)(3)(2(
+++
+
=
xxxx
xxxx
A

)4)(1(
)4)(2(
++

=
xx
xx
A
Ví dụ 2 :Rút gọn biểu thức
2
43
+
+
=
xx
xx
B
Giải: Ta thấy tử thức có nghiệm là 1; mẫu thức cũng có nghiệm là 1 ;nên ta có
2

43
+
+
=
xx
xx
B
=
2222
44
++
++
xxxxx
xxxxx
=
22
4
++
++
xx
xx
.Ta thấy cả tử và mẫu đều không phân tích đợc nữa.
Dạng 2 : Chứng minh chia hết
Để giải bài toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải nhng ở
đây tôi chỉ trình bày phơng pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ,ta có:
[(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15]

(x+6)
GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân

10
Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
GiảI: Ta có (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15
= (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15
= (x
2
+ 8x +7) (x
2
+ 8x +15) + 15
Đặt t = x
2
+ 8x +11
(t - 4)(t + 4) +15 = t
2
- 1
= (t + 1)(t - 1)
Thay t = x
2
+ 8x +11 , ta có
(x
2
+ 8x + 12) (x
2
+ 8x +10)
(x
2
+ 8x +10)(x +2)(x + 6)

(x+6).
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ta có

(4x + 3)
2
- 25 chia hết cho 8.
Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)
2
- 25 ra thừa số
(4x + 3)
2
-25 = (4x + 3)
2
- 5
2
= (4x + 3 + 5) (4x + 3 - 5)
= (4x + 8) (4x - 2) = 4 (x + 2) 2 (2x - 1) = 8 (x + 2) (2x - 1)
Do x là số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) là số nguyên.
Do đó 8 (x + 2) (2x - 1) chia hết cho 8. Ta suy ra ĐPCM.
Cách 2: (4x + 3)
2
- 25
= 16x
2
+ 24x + 9 - 25
= 16x
2
+ 24x - 16
= 8 (2x
2
+ 3x - 2).
Vì x là số nguyên nên 2x
2

+ 3x - 2 là số nguyên
Do đó 8 (2x
2
+ 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy ra ĐPCM.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n biểu thức.
A=
623
32
nnn
++
là số nguyên.
Ta có:
6
222
623
3232
++
=++
nnnnn
Muốn chứng minh biểu thức là số nguyên chỉ cần chứng minh 2n + 3n
2
+ n
3
chia
hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Ta có: 2n + 3n
2
+ n
3
= n (2 + 3n + n

2
)
= n (2 + 2n + n + n
2
) = n [ 2 (1 + n) + n (1 + n)]
= n (n + 1) (n + 2).
GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân
11
Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
Ta thấy n (n + 1) (n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên ít nhất có một thừa số
chia hết cho 2 và một thừa số chia hết cho 3 . Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau
nên tích này chia hết cho 6.
Vậy mọi số nguyên n biểu thức A=
623
32
nnn
++
là số nguyên.
Ví dụ 4: Chứng minh đa thức: x
50
+ x
49
+ + x
2
+ x + 1 chia hết cho đa thức x
16
+ x
15
+ + x
2

+ x + 1.
Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị
chia nh sau:
x
50
+ x
49
+ + x
2
+ x + 1
= (x
50
+ x
49
+ + x
35
+ x
34
) +(x
33
+ x
32
+ + x
18
+ x
17
) + x
16
x
2

+ x + 1.
= (x
34
) (x
16
+ x
15
+ + x
2
+ x + 1) + x
17
(x
16
+ x
15
+ + x
2
+ x + 1)
+ x
16
+x
2
+ x + 1
= (x
16
+ x
15
+ +x
2
+ x + 1) (x

34
+ x
17
+ 1)
Rõ ràng: x
50
+ x
49
+ + x
2
+ x + 1 chia hết cho x
16
+ x
15
+ x + 1. Kết quả của phép
chia là : x
34
+ x
17
+ 1
Ví dụ 5: Chứng minh đa thức a
3
+ b
3
+c
3
- 3abc chia hết cho đa thức
a +b +c
Đặt A = a
3

+ b
3
+ c
3
- 3abc; B = a + b + c.Dự đoán đa thức A phân tích thành nhân
tử có một nhân tử là a + b + c.
Ta có: A = a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc
= a
3
+ a
2
b + a
2
c + b
2
a + b
3
+ b
2
c + c
2
a + c
2
b + c

3
- a
2
b - ab
2
- abc - a
2
c - acb - ac
2
- acb -
b
2
c - bc
2

= a
2
(a+b+c) + c
2
(a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c)
= (a + b + c) (a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - ac - bc)
= B. (a
2
+ b

2
+ c
2
- ab - ac - bc)
Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B.
?Ví dụ 6: Cho
cbacba ++
=++
1111
CMR:
nnnnnn
cbacba ++
=++
1111
với n lẻ.
Ta có:
cbaabc
abacbc
cbacba ++
=
++
=>
++
=++
11111
GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân
12
Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
=> (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc.
=> abc + b

2
c + bc
2
+ a
2
c + abc + ac
2
+ a
2
b + ab
2
+ abc = abc
=> (abc + b
2
c) + (bc
2
+ ac
2
) + (a
2
c + abc) + (a
2
c + ab
2
) = 0
=> bc (a + b) + c
2
(a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = 0
=> (a + b) (bc + c
2

+ ac + ab) = 0
=> (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = 0 -> (a + b) (b + c) (a + c) =0
=> a + b = 0 => a = - hoặc b + c = 0 => b = - c
Hoặc a + c = 0 => a = - c
Vì n lẻ nên a
2
= -b
n
hoặc b
n
= - c
2
hoặc a
n
= - c
n
Thay vào ta suy ra điều phải chứng minh.
Dạng 3: áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng phơng trình.
a) Giải phơng trình nghiệm nguyên.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình.
3x
2
+ 10xy + 8y
2
= 96
Ta có: 3x
2
+ 10xy + 8y
2
= 3x

2
+ 4xy + 6xy + 8y
2
= x (3x + 4y) + 2y (3a + 4y) = (3n + 4y) (x + 2y) = 96
Ta có: 96 - 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16
Mà x, y > 0 => 3x + 4y > 7; x + 2y > 3
Ta có các hệ phơng trình sau:
x + 2y = 4 x + 2y = 6
3x + 4y = 24 3x + 4y = 16
x + 2y = 8 x + 2y = 12
3x + 4y = 12 3x + 4y = 8
Giải hệ (I) ta đợc x = 16; y = - 6 (Loại).
Giải hệ (II) ta đợc x = 4; y = 1 (Loại)
Giải hệ (III) ta đợc x = 4; y = 6 (Loại)
Giải hệ (IV) ta đợc x = - 16;y = 14 (Loại)
Vậy nghiệm của hệ x = 4; y = 1.
Vậy nghiệm của phơng trình: x= 4; y = 1
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
2x
3
+ xy - 7 = 0
GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân
13
(I)
(II)
(III) (IV)
Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
=> 2x
3
+ xy = 7 => x (2x

2
+ y) = 7
x = 1 x = 1
2x
2
+ y = 7 y = 5
x = 7 x = 7
2x
2
+ y =1 y = - 97
x = - 1 x = - 1
2x
2
+ y =-7 y - 9
x = - 7 x = - 7
2x
2
+ y = - 1 y = -99
Ví dụ 3: Tìm số nguyên x > y > 0 thỏa mãn
x
3
+ 7 y = y
3
+ 7x
=> x
3
- y
3
- 7x + 7y = 0
=> (x - y)

3
(x
2
+ xy + y
2
) - 7 (x - y) = 0
=> (x - y) (x
2
+ xy + y
2
- 7) = 0 Vì x > y > 0
=> x
2
+ xy + y
2
- 7 = 0
=> x
2
- 2xy + y
2
= 7 - 3xy
=> (x - y)
2
= 7 - 3xy
=> 7 - 3xy > 0 => 3xy < 7 => xy <
3
7
x.y 2 => x = 2; y = 1
b) Giải phơng trình bậc cao
Ví dụ 1: Giải phơng trình

( 3x - 5 )
2
-( x - 1 )
2
= 0
Giải: Ta có:
( 3x - 5 )
2
-( x - 1 )
2
= 0
( 3x - 5 + x - 1 )(3x - 5 - x + 1) = 0
( 4x - 6)(2x - 4) = 0
4x - 6 = 0 x = 3/2
hoặc 2x - 4 = 0 x = 2
Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là x =3/2 hoặc x = 2
Ví dụ 2: Giải phơng trình
GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân
14
=>
=>
=>
=>
=>
Hoặc
Hoặc
Hoặc
Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
x
3

+ 3x
2
+ 4x + 2 = 0
Giải : Ta có
x
3
+ 3x
2
+ 4x + 2 = 0
x
3
+ x
2
+2x
2
+2x +2x + 2 = 0
x
2
(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = 0
(x + 1)(x
2
+ 2x + 2) = 0
hoặc (x + 1) = 0 => x = -1
hoặc (x
2
+ 2x + 2) = 0 không có giá trị nào của x

Q
Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là x = -1
III - Bài tập:

Phân tích đa thức thành nhân tử.
1) x
3
- 4x
2
+ 8x - 8
2) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ yz
2
+ 2xyz
3) x
2
+ 7x + 10
4) y
2
+ y - 2
5) n
4
- 5n
2
+ 4
6) 15x
3

+ x
2
- 2n
7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b)
8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b)
9) x
4
- 2x
3
+ 3x
2
- 2x + 1
10) x
4
- 4x
3
+ 10x
2
- 12x + 9
11) (x
2
+ x) (x
2
+ x + 1) - 2
12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 3
13) Tính nhanh số trị của biểu thức sau với.
a) x = - 5
4
3
P = (x+ 2)

2
- 2 (x + 2) (x - 8) + (x - 8)
2
b) a = 5,75; b = 4,25
Q = a
3
- a
2
b - ab
2
+ b
3
14) CMR biểu thức (2n + 3)
2
- 9 chia hết cho 4 với mọi n nguyên.
15) CM biểu thức
24812
32
nnn
++
là số nguyên với mọi số chẵn n.
GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân
15
Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
16) Chứng minh đa thức: x
79
+ x
78
+ + x
2

+ x+ 1 chia hết cho đa thức x
19
+ x
18
+ +
x
2
+ x + 1
C - Kết luận:
I. Thực tiễn khảo sát sau khi áp dụng.
Sau khi áp dụng các cách giải bài toán "Phân tích đa thức thành nhân tử"
trong đại số 8 thực tế học sinh chủ động khi giải toán "Phân tích đa thức thành
nhân tử" chứ không lúng túng, mơ hồ nh trớc.
Kết quả tôi đã thu đợc sau khi áp dụng đề tài này đợc thể hiện ở bảng sau:
Lớp Sỉ số
Giỏi Khá TB Yếu- kém
SL % SL % Sl % SL %
8A 28 04 14,3 08 25,6 12 45,8 04 14,3
II. Kết quả:
Sau khi thực hiện giảng dạy phần "Phân tích đa thức thành nhân tử" theo nội
dung đề tài, tôi đã trình bày trớc tổ và đợc tổ triển khai áp dụng cho khối 8, luyện
thêm cho khối 8 trong trờng. Kết quả chung thu đợc thật đáng khả quan.
Để giải quyết các bài toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" đại số ở lớp 8
các em phải biến đổi đồng nhất các biểu thức đaị số, phải biến đổi và sử dụng các
hằng đẳng thức đáng nhớ từ dạng đơn giản đến phức tạp. Ngoài ra còn liên quan
mật thiết đến các kiến thức chứng minh đẳng thức bởi thế nói các bài toán "Phân
tích đa thức thành nhân tử" đại số 8 tạo ra khả năng giúp học sinh có điều kiện
để rèn luyện kĩ năng biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số, kĩ năng tính toán, khả
năng t duy.
Đề tài này giúp học sinh giải quyết các bài toán "Phân tích đa thức thành

nhân tử" trong đại số 8 có phơng pháp hơn, hiệu quả hơn .Khơi dậy đợc sự đam mê
học toán nói chung và sự say mê giải các bài toán "Phân tích đa thức thành nhân
tử"nói riêng.
Yêu cầu về phát huy tính tự giác rèn luyện khả năng t duy tích cực độc lập, sáng
tạo của học sinh thông qua hoạt động giải toán đã đợc học.
Về mặt t tởng các bài toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" giúp học sinh
thêm gần gũi với kiến thức thực tế của đời sống, rèn luyện nếp nghĩ, làm việc khoa
học, luôn có t tởng cầu tiến trong học tập cũng nh trong công việc.
III. Bài học kinh nghiệm:
GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân
16
Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
Với đề tài "Phân tích đa thức thành nhân tử" đại số 8. Tôi đã cố gắng hệ
thống một số dạng cơ bản nhất về các bài toán "Phân tích đa thức thành nhân tử"
trong đại số 8. Trong mỗi giờ dạy tôi đa ra cơ sở lí thuyết và những ví dụ, trong mỗi
ví dụ có gợi ý và hớng dẫn học sinh cách giải và những chú ý cần thiết để khi gặp
các bài toán khác các em có thể giải đợc.
Các dạng bài tập đa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm giúp cho
học sinh có những kiến thức cơ bản về giải bài toán "Phân tích đa thức thành
nhân tử" trong đại số 8. Bên cạnh đó tôi còn đa ra các ví dụ là các bài toán tổng
hợp các kiến thức và kĩ năng tính toán, khả năng t duy ở cấp học này, qua đó làm
cho các em say mê hứng thú học tập bộ môn Toán.
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy vẫn còn có học sinh nắm cha vững tất cả
các dạng giải toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" nh trình bày ở trên, đặc biệt
là với học sinh yếu, kém.
Trên đây là một số kinh nghiệm, biện pháp mà tôi đã thực hiện nhằm nâng cao
chất lợng dạy môn toán ở cấp học THCS. Những điều đó, có đợc cũng qua tích lũy
thực tế giảng dạy, tìm tòi các tài liệu, sách báo, Internet, học hỏi các thế hệ đồng
nghiệp do trình độ năng lực của bản thân có hạn, không tránh khỏi những thiếu
sót . Rất mong nhận đợc sự giúp đỡ, góp ý của quý Thầy giáo , Cô giáo và bạn

đồng nghiệp để hoạt động dạy học của chúng ta ngày càng thêm hiệu quả.
Hải Nhân, ngày 20 tháng 3 năm 2011
Ngời thực hiện:
Vũ Trờng Sơn
tài liệu tham khảo
1) Một số vấn đề đổi mới phơng pháp dạy học môn toán ở trờng THCS.
2) Sách hớng dẫn giảng dạy môn toán lớp 8.
3) Sách giáo khoa toán 8.
4) Tài liệu Bồi dỡng thờng xuyên môn toán chu kỳ 2004-2007
GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân
17
Sáng kiến kinh nghiệm toán 8 năm học 2010-2011
5) Toán nâng cao và các chuyên đề Đại Số 8.
Mục lục :

TT
Nội dung
Trang
1
Phần A : Đặt vấn đề
1
2
I - Lý do chọn đề tài
1
3
II Thực trạng vấn đề cần nghiên cứu
1
4
Phần b : giải quyết vấn đề :
2

5
I. Các bớc phân tích đa thức thành nhân tử 3
6 II. Các bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử 10
7 III. Bài tập 4
8
PHầN C: Kết luận
16
9 I. Thực tế khảo sát khi giảng dạy 16
10 II. Kết quả 16
11 III. Bài học king nghiệm 17
12 Tài liệu tham khảo 18
13 Mục lục 18
GV: Vũ Trờng Sơn Trờng THCS Hải Nhân
18