Đề+Đa HSG dự bị toán 9 2008- 2009
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (81.55 KB, 3 trang )
Sở giáo dục& đào tạo
Hà Nam
Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi toán lớp 9 thcs
năm học 2008-2009
(dự bị)
Bài 1 (5 điểm)
a) Điều kiện: x > 0; y > 0; xy
1 0,5
Đặt M =
xy x
x 1
1
xy 1 1 xy
+
+
+ +
+
N =
xy x
x 1
1
xy 1 xy 1
+
+
+
A = M : N
M =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1 1
1 1
x xy xy x xy xy xy
xy xy
+ + + + + +
+
0,5
=
( ) ( )
1 1
1 1
x x y xy xy xy x y x xy
xy xy
+ + + + + +
+
0,25
=
( )
( ) ( )
2 1
1 1
x
xy xy
+
+
=
( )
2 1
1
x
xy
+
0,5
N =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
1
xy xy xy x xy x xy
xy
+ + + +
0,5
=
1 1
1
xy xy xy x y x x y x xy
xy
+ +
0,25
=
( ) ( )
2 1 2 1
1 1
xy x xy x
xy xy
+ +
=
0.5
( ) ( )
2 1 2 1
1
:
1 1
x xy x
A
xy xy
xy
+ +
= =
0,5
b) Theo bất đẳng thức côsi ta có:
1 1 1 1 1
2 . 2 2 3+ = = A A
x y x y xy
1,0
Vậy A
max
=9
1 1 1
3
9
x y
x y
= = = =
0,5
Bài 2 (4 điểm)
a) Với m = -1, từ (*) ta có phơng trình: (x+1)
4
+ 2(x+1)
2
3 = 0
Đặt (x+1)
2
= y (y > 0). Ta có phơng trình: y
2
+ 2y - 3 = 0
y
1
=1; y
2
= -3 (loại) 0,5
Vậy (x+1)
2
=1
x(x+2) = 0
x = 0 hoặc x = -2 0,5
b) Đặt t = (x+1)
2
, (t
0) ta có phơng trình: t
2
- (m-1)t - m
2
+ m - 1 = 0 (**)
=
( )
( )
2
2
1 4 1m m m +
=
2
5 6 5m m +
=
2
5 16
5 m
3 5
+
ữ
0,5
> 0 với mọi m
0,25
c
a
=-m
2
+m-1<0 với mọi m. Suy ra phơng trình (**) có 2 nghiệm trái dấu
0,5
Vậy phơng trình (**) luôn có một nghiệm dơng với mọi m. Do đó phơng trình (*)
luôn có hai nghiệm phân biệt 0,25
c) Ta luôn có đẳng thức
1 2 1 2
+ +x x x x
, với mọi m
0,25
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
1 2
0x x
mà giả thiết cho
1 2 1 2 1 2
2x x x x x x+ = + = +
0,25
Vậy ta có
1 2
0x x
0,25
Từ việc đặt t=
( )
2
2
1 2 1 0x x x t+ + + =
. Phơng trình này có 2 nghiệm cùng dấu khi
và chỉ khi
1 0 1
c
t t
a
=
0,25
Ta biết nghiệm dơng của phơng trình (**) là:
2
2
1 5 6 5
1 5 6 5 3
2
m m m
t m m m
+ +
= +
0,25
điều kiện
3m
, bình phơng hai vế ta có:
5m
2
- 6m+5
9 - 6m + m
2
4m
2
4
1m
0,25
Câu 3 (3 điểm)
Gọi giá hai loại vở là x (nghìn đồng) và y (nghìn đồng) , giả sử x > y
Số vở loại giá x (nghìn đồng) mà An, Bình, Cẩm mua tơng ứng là a, b, c 0,25
Ta có:
(12 ) 50 ( ) 12 50
(14 ) 50 ( ) 14 50
(16 ) 50 ( ) 16 50
xa y a x y a y
xb y b x y b y
xc y c x y c y
+ = + =
+ = + =
+ = + =
0,75
Vì x-y > 0 nên từ phơng trình (3) ta có 16y < 50. suy ra y < 4 0,25
1. Nếu y=1 thì từ (1) và (2) cho
38
36
a
b
=
suy ra a chia hết cho 19, vô lý vì a
12
0,25
2. Nếu y = 2 thì (1) và (2) cho
26
22
a
b
=
Suy ra a chia hết cho 13, vô lý vì a
12
0,25
3. Nếu y = 3 thì từ (1) cho x-y =
14
a
. Suy ra x-y
14
12
Từ (3) cho (x-y)c = 2 suy ra x-y
2
0,25
Vậy x-3 = 2 suy ra x = 5. thay vào 0,25
2a +36=50 suy ra a=7 <12
2b +42=50 suy ra b=4 <14
2c +48=50 suy ra c=1 <16
0,75
Câu 4 (6 điểm)
1. Ta có cung CA=cung AD. Suy ra góc CMA=gócDMA (tính chất góc nội tiếp).
Suy ra MA là phân giác của góc CMD
1,0
2. Xét
MAC và
MDI có góc M
1
= góc M
2
; gócMAC = gócMDC ( góc nội tiếp
cùng chắn cung MC)
0,5
Suy ra
MAC đồng dạng với
MDI (g.g)
0,5
Suy ra MA.MI=MC.MD 0,5
3. Từ M kẻ hai cát tuyến MAI và MDE đến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AID
Thì MA.MI=ME.MD 0,5
Kết hợp với kết quả câu 2 ta có MC=ME. 0,5
Tam giác CME cân, AM là phân giác góc ở đỉnh nên AM vuông góc với CE 0,5
góc AFC = 90
0
Khi M chạy trên cung nhỏ BC thì F chạy trên cung tròn thuộc đ-
ờng tròn đờng kính AC
1,0
4. Ta có AE=AC. 0,5
Quỹ tích của E là cung tròn CED thuộc đờng tròn tâm A bán kính AC 0,5
Câu 5 (2 điểm)
Vì a, b, c, a, b, c > 0 nên đẳng thức đã cho có nghĩa.
Bình phơng hai vế:
(
)
( )
( )
(
)
2
2
, , , , , ,
aa bb cc a b c a b c+ + = + + + +
0,25
, , , , , , , , ,
2( . )aa bb cc aa bb bb cc cc a a+ + + + +
=
=
, , , , , , , , ,
aa bb cc a b ab a c ac b c bc+ + + + + + + +
0,25
, , , , , , , , , , , ,
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0a b aa bb ab a c aa cc ac b c bb cc bc + + + + + =
0,5
(
)
(
)
(
)
2 2 2
, , , , , ,
0a b ab a c ac b c bc + + =
0,5
Do đó
, , , , , ,
, ,a b ab a c ac b c bc= = =
. Từ đo suy ra điều phảichứng minh
0,5
chú ý: + Mọi cách giải đúng khác với đáp án cho điểm tơng ứng với biểu điểm
+ Điểm bài thi là tổng điểm của các bài và không làm tròn số
D
E
H
M
B
C
A
F
I
2
1
