PHÂN I: LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ
A/ Chủ đề 1:Rút gọn và tính giá trị biểu thức.
-Rút gọn biểu thức có chứa căn thức.
-Tính giá trị biểu thức.
-Xác định biểu thức theo điều kiện cho trước.
Phương pháp:
*Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ:
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
1. (A+B)
2
=A
2
+2AB+B
2
2. (A
−
B)
2
=A
2
−
2AB+B
2
3. A
2
−
B
2
=(A+B)(A
−
B)

4. (A+B)
3
=A
3
+3A
2
B+3AB
2
+B
3
5. (A
−
B)
3
=A
3
−
3A
2
B+3AB
2
−
B
3
6. A
3
+B
3
=(A+B)(A
2

−
AB+B
2
)
7. A
3
−
B
3
=(A
−
B)(A
2
+AB+B
2
)
8.
2
0
0
AkhiA
A A
AkhiA
≥

= =

− <

*Sử dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử:

+Phương pháp đặt nhân tử chung
+Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+Phương pháp nhóm các hạng tử
+Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp
*Căn bậc hai: x là một số không âm a
2
.x a x a⇔ = ⇔ =
*Điều kiện xác định của biểu thức
A
:Biểu thức
A
xác định
0A⇔ ≥
.
*Hằng đẳng thức căn bậc hai:
2
0
0
AkhiA
A A
AkhiA
≥

= =

− <

1
*Các phép biến đổi căn thức


2
2
2
2
) . . ( 0; 0)
) ( 0; 0)
) ( 0)
1
) . ( . 0; 0)
.( )
) ( 0; )
( )
) ( 0; 0; )
m+n=A
2 2 . ( ) oi
m.n=B
A B A B A B
A A
A B
B
B
A B A B B
A
A B A B B
B B
m m A B
B A B
A B
A B
n n A B

A B A B
A B
A B
A B m m n n m n m n v
+ = ≥ ≥
+ = ≥ >
+ = ≥
+ = ≥ ≠
+ = ≥ ≠ +
−
±
+ = ≥ ≥ ≠
−
±

+ ± = ± + = ± = ±


m
m
+)
2 2
2 2
a a ;
a a ;
a a a .
a bv b
a bv ab b
bv ab b
+ −

+ − +
− + +

B/ Chủ đề 2:Hàm số y=ax+b và hàm số y= ax
2
Hàm số y=ax+b
-Vẽ đồ thị hàm số.
-Lập phương trình đường thẳng theo các điều kiện cho trước.
-Xác định các yếu tố liên quan đến tính chất và đồ thị hai hàm số trên.
Phương pháp:
(1) Hàm số y=ax+b (a #0) xác định trên với mọi x và có tính chất sau:
-Hàm số đồng biến trên R : khi a>o
-Hàm số nghịch biến trên R : khi a<o
-Đồ thị là đường thẳng nên khi vẽ chỉ cần xác định hai điểm của đồ thị.
+Trong trường hợp b=0, đồ thị hàm số luôn đi gốc tọa độ.
+Trong trường hợp b
≠
0, đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại điểm b. -Đồ thị hàm
số luôn tạo với trục hoành một góc
α
mà
tg a
α
=
.
-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
A
,y
A
)

A
ax
A
y b⇔ = +
.
(2) Với hai đường thẳng :
ax+b (d)y =

, , ,
( )y a x b d= +

2
Ta có: -
, ,
a a (d) va (d )≠ ⇔
cắt nhau
+Nếu
,
b b=
thì chúng cắt nhau tại b trên trục tung;
-
, , ,
a = a ; d va (d )b b≠ ⇔
song song với nhau
-
, , ,
a = a ; d va (d )b b= ⇔
trùng nhau
-
, ,

a.a 1 d va (d )= − ⇔
vuông góc với nhau
+Đường thẳng y=ax+b có tung độ gốc là b, hoành độ gốc là –b/a
+Giao điểm của hai đường thẳng y=kx+bvà y=k’x+b’ là nghiệm của hệ:
y=kx+b = k’x+b’
y=kx+b
Hàm số y=ax
2
(a
≠
0)
*Hàm số y=ax
2
(a
≠
0) có đồ thị là parabol (P),có đỉnh là(0;0)
-Nếu a>0 thì (P) có điẻm thấp nhất là gốc tọa độ;
-Nếu a<0 thì (P) có điểm cao nhất là gốc tọa độ.
- Quay bề lõm lên trên nếu a>0; Hàm số nghịch biến khi x<0, đồng biến
khi x>0
- Quay bề lõm xuống dưới nếu a<0; Hàm số đồng biến khi x<0, nghịch biến khi x>0.
*Đường thẳng y=kx+b tiếp xúc với porabol y=ax
2
khi và chỉ khi phương trình ax
2
=-kx-
b=0 có nghiệm kép.
*Hoành độ giao điểm của hai đồ thị y=kx+b và y=ax
2
là nghiệm phương trình ax

2
=kx+b.
*Vị trí của đường thẳng và Parabol:
-Xét đường thắng x=m và (P) y=ax
2
.Luôn có giao điểm có tọa độ là (m;am
2
)
-Xét đường thẳng y=m và (P) y=ax
2
.Nếu m=0 thì có một giao điểm là gốc tọa độ;
.Nếu am>0 thì có hai giao điểm là hoành độ là
m
x
n
= ±
.Nếu am<0thì không có giao điểm.
-Xét đường thẳngy=mx+n (m
≠
0) và (P) y=ax
2
.Hoành độ giao điểmcủa chúng là nghiệm của phương trình hoành độ: ax
2
=mx+n.
C/ Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương trình:
Phương trình,bất phương trình bậc nhất,hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
I-Phương pháp:
1-Phương trình ax+b=0(a
≠
0),với a,b là các số đã cho,x là ẩn số là phương trình bậc

nhất một ẩn.
+Biện luận:
.Nếu a
≠
0 phương trình có nghiệm
b
x
a
−
=
.Nếu a=0, b
≠
0 phương trình vô nghiệm.
3
.Nếu a=0, b=0 phương trình có vô số nghiệm.
*Phương trình bật nhất một ẩn:
-Quy đồng và khử mẫu
. -Đưa về dạng ax+b=0(a
≠
0).
-Nghiệm duy nghiệm duy nhất:
b
x
a
−
=
*Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
-Tìm điều kiện xác định của phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.
-Giải phương trình vừa nhận được.

-So sánh giá trị vừa tìm được với điều kiện xác định (ĐKXĐ) rồi kết luận.
*Phương trình tích:
Để giải phương trình tích ta cần giải các phương trình thành phần của nó.Chẳng hạn
với:Phương trình A(x).B(x).C(x)=0 khi và chỉ khi:A(x)=0 hoặc B(x)=0 hoặc C(x)=0.
*Phương trình có chứa hệ số chữ(Giải và biện luận phương trình).( Đã trình bày ở trên rồi!)
*Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối(| |) của một biểu thức:
0
0
AkhiA
A
AkhiA
≥

=

− <



2-Bất phương trình bậc nhất ax+b>0(a#0) hoặc (
ax+b<0;ax+b 0;ax+b 0≥ ≤
)
.Nếu a>0 bất phương trình có nghiệm x>-b/a.
.Nếu a<0 bất phương trình có nghiệm x<-b/a.
*Chú ý khi nhân cả hai với cùng với một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình.
3-Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
, , ,
ax+by=c
a x+b y c



=



*Cách giải:
+Phương pháp thế:
.Dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình đã cho thành một hệ phương trình mới,trong
đó có một phương trình là một ẩn.
.Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
+Phương pháp cộng đại số:
.Nhân hai vế cua mỗi phương trình với một số thích hợp(nếu cần) sao cho các hệ số
của cùng ẩn bằng nhau hoặc đối nhau.
4
. Áp dụng quy tắc cộng(hoặc trừ) đại số để được một hệ phương trình mới trong
đó,một phương trình có hệ số của một trong hai ẩn bằng 0(tức là phương trình một ẩn).
.Giải phương trình một ẩn vừa có từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
*Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức
giống nhau ở cả hai
phương trình
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: ax
2
+bx+c=0(a
≠
0) (1)
II-Các dạng và cách giải:
Dạng 1: c=0 khi đó (1)
⇔
ax
2

+bx = 0

⇔
x(ax+b) = 0

x o
b
x
a
=


⇔
−

=


Dạng 2:b=0 khi đó (1)
⇔
ax
2
+c=0
⇔
x=
c
a
−
-Nếu
c

a
−
≥
0 thì x=
±
c
a
-Nếu
c
a
−
<0 thì phương trình vô nghiệm.
Dạng 3: Công thức nghiệm tổng quát,công thức nghiệm thu gọn
CTN TỔNG QUÁT
2
4acb∆ = −
CTN THU GỌN
2
,
acb∆ = −
(
,
b =
2
b
)
0
∆ >
: Phương trình có hai nghiệm
phân biệt:

1,2
2
b
x
a
− ± ∆
=
0
∆ =
: Phương trình có nghiệm kép

1 2
2
b
x x
a
−
= =
0
∆ <
:Phương trình vô nghiệm.
,
0∆ >
:Phương trình có hai nghiệm
phân biệt:
, ,
1,2
b
x
a

− ± ∆
=
,
0∆ =
:Phương trình có nghiệm kép

,
1 2
b
x x
a
−
= =
,
0∆ <
:Phương trình vô nghiệm.
Dạng 4:Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai:
*Chú ý:dạng phương trình trùng phương.Phương trình vô tỷ và dạng đặt ẩn phụ.
III-Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
-Nếu phương trình (1) có hai ghiệm thì:
1 2
1. 2
b
S x x
a
c
P x x
a
−


= + =




= =



-Nếu có hai số u và v sao cho:
5

.
u v S
u v P
+ =


=


2
( 4 )S P≥
thì u,v là hai nghiệm của phương trình:
2
0X SX P− + =
-Nếu a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm là:
1 2
1;
c

x x
a
= =

-Nếu a+b+c = 0 thì phương ttrình có nghiệm là:
1 2
1;
c
x x
a
−
= − =
IV-Điều kiện có nghiệm của phương trình ax
2
+bx+c=0 (a
≠
0)
-Pt (1) có hai nghiệm cùng dấu
0
0P
∆ ≥


>

-Pt (1) có hai nghiệm
0
∆ ≥
có hai nghiệm phân biệt
0

∆ >
-Pt(1) có hai nghiệm dương
0
0
0
P
S
∆ ≥


>


>

-Pt (1) có hai nghiệm âm
0
0
0
P
S
∆ ≥


>


<

-Pt (1) có hai nghiệm trái dấu ac<0 hoặc P<0.

V-Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào
đó:
*Các dạng cụ thể là 1;2;3:
2 2
1 2
1 2
2 2
1 2
1 1
x x m
n
x x
x x h
+ =
+ =
+ =

*Biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm là:

2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1, ( ) 2 2
2, ( ) 4 4
3, ( )( ).
x x x x x x S P
x x x x x x S P

x x x x x x
+ = + − = −
− = + − = −
− = + −

6
PHẦN II-CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐỀ THI CÁC NĂM CUA SGD- ĐT LS
DẠNG RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN
QUAN ĐẾN CĂN BẬC HAI
BÀI 1(2điểm): Cho biểu thức:
2009 2009
(2 ).( 1)
2009 2009
a
P
a a
= − − +
−
a)Tìm điều kiện đối với a để biểu thức P xác định
b)Rút gọn biểu thức P
c)Tìm giá trị của a để
1
2009
P
−
≤
.
GIẢI:
a)Điều kiện của a để P xác định:
0; 2009.a a≠ ≠

b)Rút gọn P:

2 2
2
2. .2009 2009
( ).( )
2009. 2009
( 2009) ( 2009)
.
2009 2009 2009
2009
2009
a a a
P
a a
a a a
P
a a
a
P
− −
=
−
− − − −
= =
− −
−
=

1

)
2009
2009 1
2009 2009
2009 1
2010.
c P
a
a
a
−
≤
− −
⇔ ≤
⇔ − ≤ −
⇔ ≥
BÀI 2(0,5điểm): Cho hai biểu thức

2007 2009
2 2008
A
B
= −
=
.Hãy so sánh hai số A và B
GIAI:
Ta có:
2
2 2 2 2
2

2007 2008 1
2009 2008 1
2.2008 2 2007.2009
2.2008 2 2008 1 2.2008 2. 2008 4.2008.
4.2008.
A
A
B
A B
= −


= +

= +
= + − < + =
=
<
BÀI 3 ( 1điểm):Rút gọn biêủ thức
1
1
a a
A a
a
+
= −
+
(với a
≥
0)

GIẢI:
7
2
2
1 (1 )
1
1 ( )
1
1
1
( 1) ( 1)
1
( 1).( 1)
1
( 1)
2 1.
a a a a
A
a
a a a a
A
a
a a a a
A
a
a a a
A
a
a a
A

a
A a
A a a
+ − +
=
+
+ − +
=
+
+ − −
=
+
− − −
=
+
− −
=
−
= −
= − +
BÀI 4(2 điểm): Cho biểu thức:
( 1) 3( 1) 6 4
1 1 1
x x x x
P
x x x
+ − −
= + −
− − −
a)Rút gọn P;

b)Tìm x để P<
1
2
GIẢI:
a)Điều kiện để P xác định là
0; 1.x x≥ ≠
Khi đó:
2 2
2
( 1) 3( 1) 6 4
1 1 1
3 3 6 4
1
2 1 ( 1) ( 1)
1
( ) 1 ( 1).( 1)
1
.
1
x x x x
P
x x x
x x x x
P
x
x x x x
P
x
x x x
x

P
x
+ − −
= + −
− − −
+ + − − +
=
−
− + − −
= = =
−
− − +
−
=
+

b) Để
1
2
P <
thì điều kiện là
[
)
1 1
0, 1; .
2
1
1 1 1 1 2 2 1
0 0
2 2

1 1 1
3 0 9.
0;9 ; 1.
x
x x
x
x x x x
x x x
x x
x x
−
≥ ≠ <
+
− − − − −
< ⇔ − < ⇔ <
+ + +
⇔ − < ⇔ <
∈ ≠
Bài 5:Tính giá tri biểu thức(2điểm
a)
2
1 (1 2)A = + −
1 1 2 1 2 1 2.= + − = + − =
8
b)???
BÀI 6(1điểm):Chứng minh đẳng thức
3 1 3
1
2 2
+

+ =
GIẢI:

2
(2 3).2
2.2
4 2 3
4
(1 3) 1 3
.
4 2
VT
VT
VT VP
+
=
+
=
+ +
= = =
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH,HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PT
Bài 1(1điểm) Giải phương trình sau:
{ }
2
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2 1
2 1; : ( 1)

1
:
2. ( 1) ( 2 1).( 1)
( 1) ( 1)
2 2 1 ( 2 2 1)
2 2 1 2 2
( 2 1) 1
1 2 1
2 1 ( 2 1)( 2 1)
2 1 2 1
2 1
( 2) 1
1 2
1 2
x x
MTC x x
x x
GIAI
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x
x
x
x
S
−
+ = + −
−

+ + + −
⇔ =
− −
⇒ + − + = − + −
⇔ + − + = − + −
⇔ − = −
+
⇔ = − = −
− − +
+ +
⇔ = − = −
−
−
⇔ = −
⇒ = −
BÀI 2(1điểm): Giải hệ phương trình sau (Giải theo một trong hai phương pháp)
*Phương pháp thế:

5 7 7 5 7 5 7 5 2
3 2 4 3(7 5 ) 2 4 21 17 4 1 1
x y x y x y x y x
x y y y y y y
+ = = − = − = − =
    
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
− = − − = − = = =
    
*Phương pháp cộng đại số:
5 7 3 15 21 17 17 2

3 2 4 3 2 4 3 2 4 1
( ; ) (2;1)
x y x y y x
x y x y x y y
S x y
+ = + = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = − = =
   
⇒ = =

9
BÀI 3(1điểm): Giải hệ phương trình
GIẢI:
2 3 3 6 0 2
3 2 0 3 2 6 0 2
( ; ) (2;0)
x y x y y x
x y x y x y o
S x y
− = − = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = − = =
   
⇒ = =
BÀI 4(2điểm):Giải và biện luận phương trình sau:

2
2
ax-1 2 ( 1)
x-1 1 1
a x
x x
+
+ =
+ −
(1)
GIẢI:
*Điều kiện:
1x
≠ ±
(1)
2
2 2
(1) (ax-1)(x+1)+2(x-1)=a(x 1)
ax ax-x-1+2x-2=ax
(a+1)x=a+3
a
⇒ +
⇔ + +
⇔
-Nếu
a+1 0 a -1≠ ⇒ ≠
thì
3
1
a

x
a
+
=
+
-Nếu
a+1=0 a=-1
⇒
thì phương trình vô nghiệm.
Vậy:
-Với
a 1;a -2≠ − ≠
thì phương trình có nghiệm duy nhất
a+3
a+1
x =
-Với
1; 2a a= − = −
thì phương trình vô nghiệm
BÀI 5(2.5điểm):
Cho phương trình
2
3 0(1)x x m+ − =
a)Giải phương trình với m=4
b)Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình(1)
c)Tìm m để (1)có nghiệm x=-2.Tìm nghiệm còn lại.
d)Tìm m để phương trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn đk sau:

1 2
2 3 13x x+ =

e)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu.Em có nhận xét gì về hai nghiệm
đó.
GIẢI:
10
2
1 2
2
1 2
1 2
a)Voi m=4 ta co:x 3 4 0(a=1,b=3,c=-4)
Nhan thay:a+b+c=1+3+(-4)=0
Theo he thuc Vi-et,co: x =1,x 4
) 4ac=9+4m
9
* >0 9+4m>0 m>-
4
3 9 4 3 9 4
x ;x
2a 2 2 2
9
* 0 9 4 0
4
3
x
2
x
c

a
b b
b m b m
a
m m
b
x
a
+ − =
= = −
∆ = −
∆ ⇔ ⇔
− + ∆ − + + − − ∆ − − +
= = = =
∆ = ⇔ + = ⇔ = −
= = − = −
2
9
* 0 9 4 0
4
m m∆ < ⇔ + < ⇔ < −
Phương trình vô nghiệm.
c)Phương trình (1) có nghiệm x=-2,do đó:
2
( 2) 3( 2) 0 2m m− + − − = ⇔ = −
*Tìm nghiệm thứ hai:
+Cách 1:Thay m=-2 vào phương trình đã cho:
2
x 3 2 0x+ + =
Có a-b+c=1-3+2=0 nên

1 2
c
x 1; 2
a
x= − = − = −
Vậy nghiệm còn lại là x=-1
+Cách 2:Ta có
1 2 2 1
x 3 ( 2) 1
b b
x x x
a a
+ = − ⇒ = − − = − − − = −
+Cách 3:Ta có
1 2 2 1
. : 1
2
c c m
x x x x
a a
−
= ⇒ = = = −
−
d)Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
1
1 2
2 2
1 2 2
1 2
1 2

1 2
1 2
0
9
22
4
3
2 3 13 19 .
.
.
418
2 3 13
2 3 13
m
b
x
x x
a
x x
x x x
c
x x m
x x
m
a
x x
x x
∆ ≥




≥ −

= −
 
+ = −

  
+ = −
+ = ⇔ ⇔ ⇔ =
  
  
= −
=
=

 
+ =



+ =

e)Phương trình có hai nghiệm cùng dấu
9
0
9
0
4
P>0

4
0
m
m
m

∆ ≥
≥ −


⇔ ⇔ ⇔ − ≤ <
 


− >

Hai nghiệm này luôn âm.Vì S=-3.
11
12
13
2
2
2
1 (1 )
1
1 ( )
1
1
1
( 1) ( 1)

1
( 1).( 1)
( 1).( 1)
( 1).( 1)
1
( 1)
2 1.
a a a a
A
a
a a a a
A
a
a a a a
A
a
a a a
A
a
a a
A
a a
a a
A
a
A a
A a a
+ − +
=
+

+ − +
=
+
+ − −
=
+
− − −
=
+
− −
=
+ −
− −
=
−
= −
= − +
14