Một số PP tìm GTLN - GTNN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (359.96 KB, 11 trang )
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - C.Nghệ
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
1
CHUYÊN ĐỀ 1
TÌM CỰC TRỊ ( TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT)
CỦA BIỂU THỨC
I. Các kiến thức thường dùng:
+ Với mọi x thuộc R
* x
2
0, tổng quát: [f(x)]
2k
0 (k
Z)
* [f(x)]
2k
+ m
m (k
R)
+ Với mọi x thuộc R
-x
2
0, tổng quát: -[f(x)]
2k
0 (k
Z)
m - [f(x)]
2k
m
+ Các bất đẳng thức chứa dấu trị tuyệt đối thường dùng: với mọi x, y thuộc R ta
có:
*
x
0
*
x b b x b
(b
0)
*
x y x y
dấu "=" xãy ra
x.y
0
*
x y x y
dấu "=" xãy ra
x.y
0
+ Bất đẳng thức cô-si
a + b
2
ab
( với
0, 0
a b
) dấu "=" xãy ra
a = b
2
a b
b a
( với a.b > 0) dấu "=" xãy ra
a = b
+ Với a
0, b
0, a + b = k ( k là số không đổi )
thì tích a.b lớn nhất
a = b
+ Với a
0, b
0, a . b = k ( k là số không đổi )
thì tổng a + b nhỏ nhất
a = b
II. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất
(GTNN) của biểu thức f(x) ( hoặc f(y) ):
1. Tìm GTNN (Min) của f(x)
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của f(x)
Bước 2: Biến đổi f(x)
a ( a là hằng số )
Bước 3: khẳng định f(x) có GTNN là a. Từ đó chỉ ra được x = x
0
thỏa mãn điều
kiện ở bước 1 sao cho f(x
0
) = a
2. Tìm GTLN (Max) của f(x) :
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của f(x)
Bước 2: Biến đồi f(x)
b ( b là hằng số )
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - C.Nghệ
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
2
Bước 3: Khẳng định f(x) có GTLN là b. Từ đó chỉ ra được x
0
thỏa mãn điều
kiện ở bước 1 sao cho f(x
0
) = b
III. Một số dạng toán tìm GTLN - GTNN thường gặp:
1.Dạng đa thức 1 biến:
Cách giải:
- Sử dụng bất đẳng thức A
2m
0 hoặc A
2m
+ k
k (k hằng số)
- Biến đổi để đưa dần các biến vào hằng đẳng thức (a + b)
2
hoặc (a - b)
2
- Nếu f(x) là đa thức bậc 2 dạng f(x) = ax
2
+ bx + c ta có thể biến đổi như sau:
f(x) = ax
2
+ bx + c =
2 2
2 2
2
2. .
2 4 4
b b b b
a x x c a x x c
a a a a
=
2
2
4
2 4
b ac b
a x
a a
Nếu a > 0
2
4
( )
4
ac b
f x
a
hay GTNN của f(x) =
2
4
4
ac b
a
Nếu a < 0
2
4
( )
4
ac b
f x
a
hay GTLN của f(x) =
2
4
4
ac b
a
Ví dụ: Tìm GTLN của biểu thức sau:
a. -x
2
-3x + 4
b. -2x
2
+ 4x -
3
2
Giải: a. ĐK: x
R
-x
2
-3x + 4 = -(x
2
+ 3x) + 4 = -(x
2
+ 2.x.
3
2
+
9
4
) + 4 +
9
4
= -(x +
3
2
)
2
+
25
4
Vì -(x +
3
2
)
2
0 nên -(x +
3
2
)
2
+
25
4
25
4
Suy ra -(x +
3
2
)
2
+
25
4
có GTLN là
25
4
khi -(x +
3
2
)
2
= 0
x +
3
2
= 0
x = -
3
2
Vậy -x
2
-3x + 4 có GTLN là
25
4
khi x = -
3
2
b. ĐK: x
R
-2x
2
+ 4x -
3
2
= -2(x
2
- 2x) -
3
2
= -2(x
2
-2x + 1) -
3
2
+ 2
= -2(x - 1)
2
+
1
2
1
2
vì -2(x - 1)
2
0
Suy ra GTLN của -2(x - 1)
2
+
1
2
là
1
2
khi -2(x - 1)
2
x - 1 = 0
x = 1
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - C.Nghệ
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
3
Vậy -2x
2
+ 4x -
3
2
có GTLN là
1
2
khi x = 1
2.Dạng biểu thức f(x) là phân thức một biến:
2.1.Trường hợp 1: Nếu f(x) có dạng f(x) =
( )
m
A x
(với m là hằng số)
Cách giải:
- Kiểm tra
( )
m
A x
0
- f(x) có GTLN khi A(x) có GTNN và ngược lại f(x) có GTNN khi A(x)
có GTLN
Ví dụ: Tìm GTLN của biểu thức:
a. A =
2
1
2 2
x x
b. B =
2
5
4 8 7
x x
Giải:
a. Ta có: x
2
-2x + 2 = x
2
- 2x + 1 + 1 = (x-1)
2
+ 1 > 0
2
1
( 1) 1
x
> 0
A có GTLN
(x - 1)
2
+ 1 có GTNN mà (x - 1)
2
+ 1
1
Min (x - 1)
2
+ 1 = 1 khi và chỉ khi x = 1
Max A =
1
1
= 1 khi và chỉ khi x = 1.
b. Ta có: 4x
2
- 8x + 7 = 4x
2
- 8x + 4 + 3 = (2x - 2)
2
+ 3
3
B > 0
Vậy B có GTLN
(2x - 2)
2
+ 3 có GTNN
Mà (2x - 2)
2
+ 3
3
Min(4x
2
- 8x + 7) = 3
2x - 2 = 0
x = 1
Max B =
5
3
x = 1
2.2. Trường hợp 2: f(x) có dạng f(x) =
( )
( )
B x
A x
Cách giải: Nếu bậc của đa thức B(x) lớn hơn bậc của đa thức A(x) ta chia đa
thức B(x) cho đa thức A(x), thực hiện phép chia có dạng:
+ f(x) = m +
2
( )
( )
Q x
P x
Suy ra Min f(x) = m
( )
( )
Q x
P x
= 0
+ Hoặc dạng f(x) = -
2
( )
( )
Q x
P x
+ n
Suy ra Max f(x) = n
( )
( )
Q x
P x
= 0 (với m, n là hằng số)
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - C.Nghệ
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
4
Nếu B(x) là đa thức bậc 1 và Q(x) là đa thức bậc 2. ta giả sử y là một giá trị nào
đó của f(x). Khi đó ta có phương trình:
y =
( )
( )
B x
A x
y.A(x) - B(x) = 0 (*)
Xét trường hợp y = 0
B(x) = 0 ta tìm được x
Xét trường hợp y
0 thì (*) có nghiệm
0. Từ đó tìm ra x
Lưu ý: + Trường hợp biêu thức là những phân thức 2 biến, 3 biến ta cũng xét các dạng
tương tự như trên.
+ Nếu f(x) = c - A(x) (c là hằng số )
f(x) có GTLN
A(x) có GTNN
Ví dụ 1. Cho biểu thức A =
3 2 2
( ) ( )
( 2) 3( ) ( 2 )
a a b b a b
a a a b ab ab b
(a
b)
a. Rút gọn A
b. Với giá trị nào của a và b thì A đạt GTLN
Giải:
a. Rút gọn tử thức và phân tích mẫu thức thành nhân tử ta được:
A =
2 2
2
2 2 2
1
2 3
2 3
a b
a a
a b a a
b. A =
2
1
2 3
a a
Ta có: a
2
+ 2a + 3 = (a + 1)
2
+ 2
2
A > 0
A có GTLN
a
2
+ 2a + 3 có GTNN
Mà Min(a
2
+ 2a + 3) = Min[ (a + 1)
2
+ 2] = 2
a = -1
Max A =
1
2
a = -1
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức:
B =
2
2
5 26 41
2
x x
x
Giải:
ĐK: x
2
B =
2
2
5 26 41
2
x x
x
=
2
2
5( 4 4) 6( 2) 9
( 2)
x x x
x
=
2
2 2 2
5( 2) 6( 2) 9
( 2) ( 2) ( 2)
x x
x x x
=
2
6 3
5
2 2
x x
=
2
3 3
2. .1 1 4
2 2x x
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - C.Nghệ
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
5
=
2
3
1 4 4
2x
Min B = 4
3
1 0 3 2 0
2
x
x
vậy Min B = 4
x = 5
Ví dụ 3: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức sau:
C =
2
4 3
1
x
x
Giải: x
2
+1
1
C có nghĩa với mọi x
R
Gọi y là một giá trị của C =
2
4 3
1
x
x
phương trình y =
2
4 3
1
x
x
có nghiệm
(x
2
+ 1)y = 4x + 3
yx
2
- 4x + y - 3 = 0 (*)
Nếu y = 0 thì (*)
0.x
2
- 4.x + 0 - 3 = 0
4x - 3 = 0
x =
3
4
(1)
Nếu y
0 thì (*) có nghiệm
'
0
4 - y(y - 3)
0
-y
2
+ 3y + 4
0
(y - 4)(-y - 1)
0
4 0
( )
1 0
4 0
( )
1 0
y
I
y
y
II
y
Giải hệ (I) vô nghiệm
Giải hệ (II) có nghiệm: -1
y
4
Với y = -1 thay vào phương trình (*) ta có -x
2
- 4x -1 - 3 = 0
-x
2
- 4x - 4 = 0
Giải phương trình -x
2
- 4x - 4 = 0 ta được x = -2 (2)
Với y = 4 thay vào phương trình (*) ta có 4x
2
- 4x + 1 = 0
Giải phương trình 4x
2
- 4x + 1 = 0 ta được x =
1
2
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có:
Max C = 4 khi x =
1
2
Min C = -1 khi x = -2
3. Dạng 3: Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Cách giải:
Cách 1: Sử dụng các bất đẳng thức:
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - C.Nghệ
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
6
A B A B
dấu bằng xãy ra
A.B
0
A B A B
dấu bằng xãy ra
A.B
0
Bất đẳng thức Cô-si:
1 1
2 . 2
A A
A A
dấu bằng xãy ra
A =
1
( 0)
A b b
-b
A
b
Cách 2: Lập bảng xét dấu:
VD: f(x) = ax + b
0
Cách 3: Xét trong từng khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đối, từ đó tìm được
GTNN, GTLN
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức:
a. A = 8
x x
b. B =
5 2
x x
Giải:
a. Áp dụng bất đẳng thức
A B A B
. Ta có:
8
x x
8
x x
8
x x
8
Biểu thức 8
x x
có GTNN
8
x x
8 xãy ra dấu "="
x(8-x)
0
Lập bảng xét dấu:
x 0 8
x - 0 + +
8 - x + + 0 -
x(8 - x) - 0 + 0 -
Dựa vào bảng xét dấu ta có:
Min A = 8
0
x
8
b. Cách 1: Giải như bài a
Cách 2: Ta xét trong từng khoảng các giá trị của x để bỏ dấu :
B =
5 2
x x
=
5 2
5 2
5 2
x x
x x
x x
x
f(x)
b
a
0
Trái dấu
với a
Cùng dấu
với a
nếu x > 5
nếu 5
x
-2
nếu x < -2
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - C.Nghệ
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
7
B =
2 3
7
2 3
x
x
Trường hợp B = 2x - 3 nếu x > 5 nên B > 2.5 - 3 = 7
B > 7
Trường hợp B = -2x + 3 nếu x < -2 nên B = -2x + 3 > -2.(-2) + 3 = 7
B > 7
Vậy Min B = 7
Chú ý: - Nên giải theo cách 2 khi số dấu phải xét trong biểu thức là 2 hoặc 3 dấu .
Trường hợp số dấu nhiều hơn 3 ta nên giải theo cách 1 thì lời giải ngắn gọn hơn.
- Ta có thể chuyển dạng B =
M N
thành B =
2 2
M N
dạng biểu thức
chứa căn bậc hai để giải.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức
C =
2 2
2 3 2 15
x x x x
Giải:
Nhận xét: Biểu thức trong dấu đều chứa x
2
+ 2x nên ta áp dụng
A A
được:
C =
2 2
2 3 15 2
x x x x
2 2
2 3 15 2
x x x x
=
18
= 18
Dấu "=" xãy ra
(x
2
+ 2x + 3)(15 - x
2
-2x)
0
Mà x
2
+ 2x + 3 = (x + 1)
2
+ 2 > 0
15 - x
2
- 2x
0
-(x + 1)
2
+16
0
-4
x + 1
4
-5
x
3
Vậy Min C = 18
-5
x
3
4. Dạng 4: Biểu thức có chứa căn thức:
Cách giải: - Vận dụng bất đẳng thức cô-si
a + b 2
ab
với
0, 0
a b
-
A
có nghĩa
A
0. Dấu "=" xãy ra
A = 0 ( n
N* )
Ví dụ :1. Tìm GTNN của biểu thức
a. A = x +
x
b. B =
2
4 3
x x
c. C = x -
2
x
+ 5
Giải:
a. A = x +
x
, A có nghĩa
x
0
nếu x > 5
nếu 5
x
-2
nếu x < -2
nếu 5
x
-
2
2n
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - C.Nghệ
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
8
A = x +
x
0
Vậy Min A = 0
x = 0
b. B =
2
4 3
x x
=
2
2 1
x
B có nghĩa
(x - 2)
2
- 1
0
B có GTNN
(x - 2)
2
- 1 = 0
(x - 3)(x - 1) = 0
Vậy Min B = 0
x = 3 hoặc x = 1
c. ĐK: x + 2
0
x
-2
C = x -
2
x
+ 5 = x + 2 -
2
x
+ 3
=
2
1 1
2 2. 2.
2 4
x x
11
4
=
2
1 11 11
2
2 4 4
x
GTNN của C =
11
4
1
2
2
x
= 0
x + 2 =
1
4
7
4
x
( thỏa mãn ĐK )
Vậy Min C =
11
4
7
4
x
2. Tìm GTLN của biểu thức A =
2
8 7
x x
Giải:
A =
2
8 7
x x
=
1 7
x x
A có nghĩa
(x -1)(7 - x)
0
1 0
7 0
1 0
7 0
x
x
x
x
1 7
x
Với 1
x
7
1 0,7 0
x x
Áp dụng bất đẳng thức cho hai số không âm x - 1 và 7 - x ta có:
A =
1 7
x x
1 7
3
2
x x
A có GTLN là 3
x - 1 = 7 - x
x = 4 ( dấu "=" xãy ra
x - 1 = 7 - x )
Vậy Max A = 3
x = 4
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức sau:
B =
2 1 2 1
x x x x
Giải: ĐK: x -1
0
1
x
B =
2 1 2 1
x x x x
=
1 2 1 1 1 2 1 1
x x x x
=
2 2
1 1 1 1
x x
=
1 1 1 1
x x
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - C.Nghệ
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
9
=
1 1 1 1
x x
Áp dụng bất đẳng thức
a b a b
ta có:
B =
1 1 1 1
x x
1 1 1 1
x x
= 2
Vậy Min B = 2
1 1 1 1 0
x x
1 1 0
1 1 0
1 2
1 1 0
1 1 0
x
x
x
x
x
( thỏa mãn ĐK )
Vậy với 1
x
2 thì B có GTNN là 2.
5. Dạng biểu thức là đa thức nhiều biến:
Cách giải: Với dạng này ta thường biến đổi về dạng tổng các bình phương và
chủ yếu là 2 phép biến đổi sau:
- Thêm bớt hạng tử để đưa dần các biến vào hằng đẳng thức
- Tách hạng tử để phân thành từng nhóm có chứa hằng đẳng thức
Ví dụ: 1. Tìm GTNN của biểu thức sau:
a. A = x
2
- 2x + y
2
- 4y + 6 b. B = x - 2
xy
+ 3y - 2
x
+ 1
Giải:
a. A = x
2
- 2x + y
2
- 4y + 6 = x
2
- 2x + 1 + y
2
- 4y + 4 + 1
= (x - 1)
2
+ (y - 2)
2
+ 1
1
A = 1
1 0 1
2 0 2
x x
y y
Vậy Min A = 1
1
2
x
y
b. ĐK:
0
0
x
y
B = x - 2
xy
+ 3y - 2
x
+ 1 = x - 2
xy
+ y + 2y - 2
x
+ 1
=
2
2 1 2 2
x y x y y y
=
2
2 2 2
1
2
y y
x y
=
2
1
1 4 4
2
x y y y
=
2 2
1 1 1
1 2 1
2 2 2
x y y
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - C.Nghệ
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
10
B có GTNN là
3
1 0
1
2
1
2
2 1 0
4
x
x y
y
y
Vậy Min B =
3
1
2
1
2
4
x
y
2. Tìm GTLN của biểu thức sau:
C = -x
2
- 5y
2
+ 4xy - 6x + 14y -15
Giải:
C = -x
2
- 5y
2
+ 4xy - 6x + 14y -15
= -(x
2
+ 5y
2
- 4xy + 6x - 14y + 15)
= -[x
2
- 2x(2y - 3) + (2y - 3)
2
+ 5y
2
- (2y - 3)
2
- 14y +15]
= -{[x - (2y - 3)]
2
+ (y
2
-2y + 1) + 5}
= - (x - 2y + 3)
2
- (y - 1)
2
+ 5
5
C có GTLN là 5
2 3 0 1
1 0 1
x y x
y y
Vậy Max C = 5
1
1
x
y
6. Biểu thức có dạng: [f(x) + a][f(x) + b]
Cách giải:
Bước 1: Đặt ẩn phụ t = f(x) +
2
a b
Bước 2: Thay ẩn phụ vào biểu thức và tiến hành tìm cực trị ( GTNN - GTLN )
theo ẩn phụ t.
Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức A = (x - 3)
2
+ (x + 7)
2
Giải:
Đặt t = x +
3 7
2
= x + 2
Ta có A = (t - 5)
4
+ (t + 5)
4
= t
4
- 20t
3
+ 150t
2
- 500t + 625 + t
4
+ 20t
3
150t
2
+ 500t + 625
= 2t
4
+ 300t
2
+ 1250
1250
A có GTNN là 1250
t = 0
x + 2 = 0
x = -2
Vậy Min A = 1250
x = -2
IV. Bài tập áp dụng:
1. Tìm GTNN của các biểu thức sau:
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán -Lý - Tin - C.Nghệ
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
11
a. 4x
2
+ 4x + 11 b. 3y
2
- 6y - 1
c. (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) d. 2x
2
+ y
2
- 2xy - 2x - 2y +12
e.
2
1
4 20 29
x x
f. x
2
+ 5y
2
+ 3z
2
- 4xy + 2xz - 2yz -6z +
2014
g.
2 2
2 1 6 9
x x x x
h.
3 4 1 15 8 1
x x x x
k.
2
1
2
x
x
với x
0 l. 1 2
x x x a
theo tham số a
m.
2
2
2 2000
x x
x
n.
2 2
2 2
2 3
x y x y
y x y x
2. Tìm GTLN của biểu thức sau:
a. -x
2
+ 2xy - 4y
2
+ 2x + 10y - 3 b.
2
1
9 12 11
x x
c. 3 6
x x
d.
1 1
x y
e.
3 2
3 3
1
x
x x x
f.
2
1
x x
g.
2
2000
x
x
với x > 0 h. (x - 3)
4
+ (x + 7)
4
3. Cho biểu thức A =
2
4 2
2
3 2 6
x
x x
a. Rút gọn biểu thức A
b. Tìm GTLN của A
4. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
a.
2
2 2
8 6
x xy
x y
b.
2 6
x x
5. Cho x, y là hai số thỏa mãn x + 2y = 3. Tìm GTNN của biểu thức B = x
2
+
2y
2
