Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
LỜI CẢM ƠN
Luận văn tốt nghiệp với đề tài : “CƠ SỞ VẬT LÝ CỦA QUANG
HỌC PHI TUYẾN” đã được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự
giúp đỡ nhiệt tình của Tiến Sĩ: MAI XUÂN DƯƠNG.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy, cô giáo trong khoa
Vật Lý – Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện tốt cho tôi hoàn thành
đề tài này.
Qua đây, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và những
người thân đã tạo điều kiện, động viên giúp đỡ tôi hoàn thành quá trình thực
tập chuyên ngành.
Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen
với công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn bè để
đề tài này của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, ngày 25 tháng 04 năm 2011
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Tùng Lâm
1
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp này đã được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình
của T.S Mai Xuân Dương
Tôi xin cam đoan rằng:
Đây là kết quả nghiên cứu của riêng tôi.
Kết quả này không trùng với kết quả của bất kỳ tác giả nào đã được công
bố.
Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, 25 tháng 04 năm 2011

Sinh viên
Nguyễn Tùng Lâm
2
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
MỤC LỤC
PHẦN I. MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài5
2.Mục đích nghiên cứu5
3.Nhiệm vụ 6
4.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 6
5.Phương pháp nghiên cứu6
PHẦN II. NỘI DUNG
CHƯƠNG I. Tương tác của bức xạ điện từ với vật chất7
1.1. Phổ năng lượng7
1.2. Chuyển mức tự phát và chuyển mức cưỡng bức 9
1.3. Các kết luận về xác suất các chuyển mức cưỡng bức & các chuyển mức tự
phát theo Einste13
1.4. Chuyển mức kết hợp giữa các mức năng lượng16
CHƯƠNG II. Một số vấn đề của quang học phi tuyến20
2.1. Quy luật xác suất “cư dân” các mức năng lượng mà giữa chúng có chuyển
mức kết hợp22
2.2. Tìm dạng của tenxơ độ thẩm phi tuyến25
2.3. Tương tác phi tuyến của các trường hợp điện từ25
2.4. Kích hoạt hài dao động thứ hai của sóng ánh sáng26
2.5. Điều kiện đồng bộ không gian27
2.6. Hấp thụ hai photon28
CHƯƠNG III. Một số bài toán bàn về các hiệu ứng của quang học phi
tuyến30
3

Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
3.1.Đánh giá độ lớn của các phần tử tenxơ 30
3.2. Tenxơ phân cực phi tuyến 32
3.3. Điều kiện đồng bộ không gian ở các tinh thể khúc xạ kép34
3.4. Mối quan hệ giữa hấp thụ phi tuyến và hiện tượng quang phi tuyến không
trật tự 36
3.5. Tương quan giữa tenxơ điện quang và tenxơ độ thẩm không tuyến tính ở
các tần số quang39
Chương IV. Một số vấn đề sưu tầm và đề nghị41
Vấn đề 1 41
Vấn đề 242
Vấn đề 3 44
Vấn đề 4 46
Vấn đề 546
Vấn đề 648
Vấn đề 7 50
Vấn đề 8 53
Vấn đề 9 55
Vấn đề 10 57
Vấn đề 11 59
Vấn đề 12 59
Vấn đề 13 61
PHẦN III. KẾT LUẬN 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO65
PHẦN I : MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
4
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Thuật ngữ quang học phi tuyến đuợc đưa ra với các quá trình vật lý, ở
đó trao đổi năng lượng giữa một số trường điện từ của các tần số khác nhau
bởi sự phụ thuộc độ ẩm điện môi của môi trường vào độ lớn của trường.
Sự có mặt của các laser (light amphification by stimulated emisson of
radiation ) có công suất đủ mạnh để có thể quan sát được các hiệu ứng phi
tuyến trong dải tần số ánh sáng khả kiến (chúng ta sẽ gọi dải tần số quang học
).
Chúng ta đã bắt gặp khái niệm độ thẩm phi tuyến với việc đưa ra tenxơ
– mối quan hệ giữa sự thay đổi chỉ số khúc xạ (đáng ra là elipxoit chỉ số khúc
xạ) với điện trường ngoài.
Hiệu ứng điện quang tuyến tính có thể được mô tả bằng con đường
khác đó là biểu diễn phần cực trên tổng tần số thông qua tích biên độ điện
trường sóng ánh sáng và biên độ điện trường tần số thấp :
Tenxơ được xác định bởi các phương trình này, chúng ta có thể biểu
diễn nó qua tenxơ điện quang :
trong đó, là các giá trị chính của tenxơ thẩm điện môi ở tần số
Vì lý do trên, với kiến thức ít ỏi và lòng ham hiểu biết tôi quyết định
chọn và nghiên cứu đề tài “CƠ SỞ VẬT LÝ CỦA QUANG HỌC PHI
TUYẾN”
2. Mục đích nghiên cứu
Nâng cao trình độ kiến thức về môn học VLCR và phục vụ các đối
tượng học tập, nghiên cứu về VLCR cơ sở để giải quyết các bài toán về các
hiệu ứng của quang học phi tuyến.
5
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
3. Nhiệm vụ
Nghiên cứu những hiện tượng xuất hiện do hệ quả của sự biến đổi tính
chất quang học của hệ vật chất khi có sự hiện diện của ánh sáng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu xung quanh các vấn đề cơ bản của quang học phi tuyến, về
bức xạ điên từ của vật chất, các chuyển mức tự phát và chuyển mức cưỡng
bức, chuyển mức kết hợp, các mối quan hệ giữa hấp thụ phi tuyến và hiện
tượng quang phi tuyến không trật tự… và các bài tập liên quan.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu tham khảo.
Thảo luận và đánh giá.
PHẦN II. NỘI DUNG
Ch¬ng I : T¬ng t¸c cña bøc x¹ ®iÖn tõ víi vËt chÊt
1.1.Phổ năng lượng
Chúng ta giới hạn với các chuyển mức trong vùng quang học (với bước
sóng đặc trưng , tương ứng với có nghĩa là ) giữa các mức năng lượng mà vị
trí của chúng được cố định.
* Thí nghiệm thứ nhất
6
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Chúng ta xem xét ion 3d (nhóm sắt) trong tinh thể. Năng lượng tương
tác spin- quỹ đạo tương ứng với ~100. Điều đó dẫn tới phá vỡ sơ đồ quan hệ
và, tất nhiên số lượng tử J không phải là đặc trưng đại diện cho các trạng thái
lượng tử “như nhau”. Chúng ta quan tâm tới các mức năng lượng tạo cơ hội
cho việc “huỷ bỏ”, suy biến quỹ đạo bội (2L+1) một cách gián tiếp của trường
tinh thể.
Hàm riêng của ion trong tinh thể được tìm từ Hamiltonian :
trong đó, - thế cầu đối xứng được tạo bởi hạt nhân
- thế năng của điện tử trong trường tuần hoàn mạng tinh thể
Khi – có nghĩa là ion tự do, hàm riêng và .
Nếu vẫn còn được sử dụng làm hàm cơ sở khi tính toán nhiễu loạn. ()
Trong nhóm chuyển tiếp, sắt (3d) không có lớp điện tử chắn ngoài cùng
và bán kính trung bình lớn nhất, nên đã dẫn tới tương tác mạnh với trường

tinh thể, trong đó, còn .Trong trường hợp này, trước hết tìm hàm riêng của
toán tử: sau đó sử dụng chúng như các hàm cơ sở trong lý thuyết nhiễu loạn
với Hamiltonian nhiễu loạn : . Tương tác từ của trường mạnh:
m=
(Suy biến bậc sáu)
m=

m=
Hình 1.1. Sơ đồ các mức năng lượng
điện tử p : ion ở trạng thái m=
tự do ,trong điện trường hệ
các điện tích và trong từ trường. m=


7
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
m=
ion tự do + Điện trường + Từ trường
tinh thể
Suy biến quỹ đạo bậc ba bị khử bỏ bởi điện trường .Tuy vậy, suy biến
spin còn lại, vì vậy , hàm riêng có dạng xf(r), yf(r), z f(r), trong đó, m= 1/2
hoặc m = - 1/2. Cuối cùng, chúng sẽ lại suy biến trong từ trường .
* Trường hợp thú vị thứ hai là các ion – 4f của nguyên tố đất hiếm
trong tinh thể. Năng lượng tương tác ion với tinh thể V
1
tương ứng , trong khi
đó năng lượng tương tác spin – quỹ đạo cỡ ~. Suy ra, hàm sóng trong tinh
thể, gần đúng bậc nhất , là tổ hợp tuyến tính
2J +1 là đại diện cho các trạng thái lượng tử như nhau, còn M – thì không !

Một hệ quả khác là vị trí của các mức J bây giờ suy biến bởi trường tinh thể,
thành một số mức (số lượng chúng chỉ phụ thuộc vào nhóm đối xứng điểm
của tinh thể nơi có mặt ion ) chia nhau khoảng V
1
~ .
* Thí dụ thứ ba Chúng ta cùng xem xét các mức dao động của các
phần tử hai nguyên tử, ví dụ phần tử nitơ (N
2
). Hai nguyên tử lien kết với lực,
được tìm từ biểu thức cho thế năng :
U() = + (1.1)
trong đó, x – độ lệch khoảng cách nguyên tử khỏi giá trị cân bằng .
Nếu giới hạn ở thành phần điều hòa , bài toán dẫn tới bài toán vẽ dao
động tử điều hòa đã biết. Mức điện tử đã cho, khi ấy, suy biến thành các mức
dao động với năng lượng :
, (1.2)
trong đó, , m – khối lượng “hiệu dụng ” của hai hạt nhân.
1.2.Chuyển mức tự phát và chuyển mức cưỡng bức
8
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Giả sử, nguyên tử “có” hai mức năng lượng .
Sự có mặt của các mức năng lượng khác sẽ được xét đến chỉ trong
trường hợp chúng tương tác với mức 1 & 2 và có thể ảnh hưởng tới “ thời
gian sống ” của mức 2. Giả thiết rằng nguyên tử bị “ nhốt ” trong lớp dẫn lý
tưởng, có kích thước lớn hơn rất nhiều độ dài sóng chuyển mức
Chúng ta tìm Hamiltonian tương tác giữa nguyên tử và một trong các
kiểu dao động (mode) của “ hợp cộng hưởng ” được hình thành bởi lớp dẫn lý
tưởng ấy. Nhờ Hamiltonian này chúng ta sẽ tìm được xác suất chuyển mức
của nguyên tử từ mức 2 lên mức 1 (hoặc ngược lại ), trong thời gian đó mode

nhận (hoặc đánh mất) lượng tử kích hoạt.Tổng xác suất của các chuyển mức
này lấy theo tất cả các mode (của “ hộp cộng hưởng ”) tương tác với các
nguyên tử, cho chúng ta xác suất chuyển mức tự phát.
Hamiltonian tương tác của nguyên tử (có một điện tử ) với điện trường
mode thứ l trùng với thế năng của điện tử trong trường ngoài :
(2.1)
trong đó, đã xem điện trường chỉ có thành phần x tại điểm đặt điện tử.
Điện trường có thể biểu diễn qua các toán tử sinh và toán tử hủy
photon (t) và (t) :
Xem xét chuyển mức từ trạng thái ban đầu của hệ đang có nguyên tử
mức 2, còn mode thứ l chứa lượng tử vào trạng thái cuối cùng , trong đó
nguyên tử nằm ở mức thấp nhất 1, còn trường “ còn giữ ” thêm một photon.
Trong thái đầu và cuối có gần như cùng một năng lượng, sao cho xác
suất :
trong đó, và :
9
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
trong đó,
Từ đó suy ra rằng, xác suất “ xả ” cưỡng bức vào mode thứ 1 có dạng :
Bằng xác suất “ xả ” tự phát vào mode này nhân với số lượng tử
Tương tự, chúng ta có thể nói rằng xác suất hấp thụ khi chuyển mức từ
1 bằng xác suất “ xả ” cưỡng bức.
a, Thời gian sống tự phát
Xác suất chuyển mức tự phát vào mỗi mode đơn lẻ được xác định bởi
biểu thức (2.4). Tổng xác suất chuyển mức tự phát được xác định bởi các
chuyển mức tự phát trong tổ hợp các mode với tần số gần với .
Xác suất này có thể tìm được nếu nhân (2.4) với mật độ năng lượng các
trạng thái: và lấy tích phân kết quả vừa nhận được theo toàn bộ năng lượng:
Chúng ta nhớ rằng kết quả vừa nhận được khi giả thiết rằng nguyên tử

được đặt trong trong điện trường cực đại vì thê trong (2.2), sin(kz)=1. Khi
tương tác với nguyên tử với tổ hợp các mode nó được thực hiện với giá trị
trung bình của tất cả các mode :
b,Các chuyển mức cưỡng bức, cảm ứng bởi trường đơn sắc
Xác suất chuyển mức cưỡng bức, là một phần của tổng xác suất các
chuyển mức, tỷ lệ thuận với năng lượng trường điện từ và được xác định bởi
biểu thức (2.3). Chúng ta quan tâm tới các chuyển mức “ bị ” cảm ứng bởi
trường đơn sắc (trường sẽ được gọi là đơn sắc nếu bề rộng vạch phổ của nó
tương đương với bề rộng tự nhiên của chuyển mức nguyên tử ). Phân tích từ
biểu thức (2.3) tìm đặc trưng của các chuyển mức bởi tương tác với mỗi mode
đơn lẻ.Vì tần số của trường được giả thiết là cho trước, phân bố của các trạng
10
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
thái cuối cùng, mà tích phân (2.3) lấy theo chúng, được gây ra chỉ bởi “ độ
nhòe ” của nhảy mức nguyên tử, mô tả bởi hàm chuẩn hóa dạng đường g().
Nhân (2.3) với g()/h, trong đó, và lấy vi phân theo toàn bộ năng lượng,
ta nhận được:
Đối với sóng chạy, kết quả này phải chia cho 2, để tính đến sự khác biệt
mật độ năng lượng tại ví trí của nguyên tử.
Số lượng tử có thể biểu diễn qua thông lượng công suất (công suất trên
một đơn vị diện tích )
Khi ấy :
Cùng (2.5) ta nhận được :
c, Các chuyển mức giữa các mức suy biến
Giả sử mức trên cùng g
2
suy biến bội hoặc tách thành g
2
các mức gần

nhau, toàn bộ chúng có bề rộng nhỏ hơn so với (). Cũng giả sử rằng g
1
cũng
suy biến với bội g
1
.
Chúng ta xem xét chuyển mức giữa các nhóm mức đã được chỉ ra .
Khác với các chuyển mức giữa 2 mức đơn lẻ, xác suất chuyển mức tự phát
giữa 2 và 1 tăng lên trong trường hợp này vào g
1
lần (số trạng thái hữu hạn )
so với biểu thức (2.5), có nghĩa là :
các ký hiệu : cb – cưỡng bức
: tp – tự phát
: ksb – không suy biến
Xác suất chuyển mức cưỡng bức từ 2 cũng tăng g
1
lần, sử dụng (2.6)
và (2.7) ta tìm được :
11
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Xác suất chuyển mức cưỡng bức từ 1 tăng hơn so với trường hợp
không suy biến vào g
2
lần(số trạng thái hữu hạn) :
Suy ra rằng xác suất các chuyển mức xuống được xác định với cùng
biểu thức như trong trường hợp không suy biến, trong khi xác suất của chuyển
mức lên nhân với tỷ số . Giá trị thực của xác suất các chuyển mức lên và
xuống, trong trường hợp này đã không bằng nhau.

1.3. Các kết luận về xác suất các chuyển mức cưỡng bức & các chuyển
mức tự phát theo Einstein
Các kết quả ở phần (1.2) có thể dẫn ra bằng con đường khác theo
Einstein .
Chúng ta cùng ông xem xét tương tác nguyên tử với trường bức xạ của
vật đen tuyệt đối ở nhiệt độ T. Mật độ phổ năng lượng của trường này được
xác định bằng biểu thức :
Tổng xác suất chuyển mức từ mức 2 tương ứng với năng lượng lớn hơn
lên mức 1. Khi không có trường có thể viết tương tự (1.5) :
Xác suất chuyển mức từ 1 bằng :

trong đó, A=, –các hằng số phụ thuộc vào các dữ kiện cụ thể.
Nếu mẫu ở trong trạng thái cân bằng nhiệt với nhiệt độ T, xác suất
chuyển mức 2 bằng xác suất 1 , từ đó :
12
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Tỷ số các “ cư dân ” của các mức được xác định bởi phân bố
Boltzmann :
trong đó, – bội suy biến của các mức 2 và 1 tương ứng .
Nhờ (3.2), (3.3) và (3.4) chúng ta nhận được :
Thay (3.5) vào (3.6), ta nhận được :
Vì cả hệ (trường và nguyên tử ) nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt,
giá trị , xác định bởi (3.7) phải bằng mật độ phổ năng lượng của trường bức
xạ của vật đen tuyệt đối :
Đẳng thức này phải đúng ở mọi nhiệt độ:
(3.9) là kết quả cơ bản của phép dẫn mà Einstein lần đầu tiên đưa ra
(Einstein A. Phys . Z., 1917 .18.121)
Tương ứng với (3.2) và (3.9) xác suất chuyển mức cưỡng bức, nhờ
tương tác với trường, bằng :

Biểu thức này đúng cho điện từ trường bất kỳ có phổ “ nhiễu trắng ”
hay nói cách khác, mật độ phổ năng lượng trường phải không đổi trong vùng
tần số tương ứng với các chuyển mức cưỡng bức.
Để xác định xác suất chuyển mức W
21
trường cảm ứng đơn sắc, chúng
ta giả thiết rằng các xác suất của các chuyển mức bởi các thành phần các tần
số khác nhau của điện trường là như nhau, sao cho (3.10) là trường hợp riêng
của biểu thức chung :
13
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
trong đó, – hàm chuẩn hóa dạng đường (với cực đại tại ).
Nếu là không đổi trong giới hạn dải tần số hấp thụ thì (3.11) đơn giản
hóa và có hình thức của (3.10).
Trong trường hợp điện từ trường đơn sắc tần số với mật độ năng lượng
, mật độ phổ năng lượng bằng :
Thay biểu thức này vào (3.11), chúng ta nhận được xác suất chuyển
mức hưởng ứng bởi trường đơn sắc :
Có thể biểu diễn qua mật độ thông lượng công suất (công suất trên một
đơn vị diện tích ) :
Nhờ (3.9) ta tìm được :
Hai công thức cuối cùng tương tự (2.8) và (2.9) !
a, Hệ số hấp thụ
Nếu sóng đơn sắc lan truyền trong môi trường với “ cư dân ” ở các mức
N
2
và N
1
thì sự thay đổi mật độ thông lượng công suất được tạo điều kiện bởi

các chuyển mức cưỡng bức :
nhờ sử dụng các công thức (3.13) và (3.14) .
Suy ra, mật độ thông lượng công suất sẽ thay đổi theo định luật :
trong đó,
14
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Nếu quan sát (3.15) chúng ta dễ nhận ra rằng nó đúng cho trường hợp
dẫn (vạch phổ) đồng nhất cũng như không đồng nhất. Tính chất này có được
bởi , như chúng ta thấy từ (3.11) là độ hiệu dụng tương đối, cùng với nó mà
bức xạ tần số cảm ứng các chuyển mức.
1.4.Chuyển mức kết hợp giữa các mức năng lượng
Phân tích hiệu ứng phát xạ cưỡng bức và hấp thụ dẫn chúng ta tới biểu
thức (3.15) nhờ đặt cơ sở trên giả thiết rằng cường độ các chuyển mức giữa
các mức 1, hưởng ứng bởi trường trong dải quang học không phụ thuộc vào
thời gian. Giả thiết này không phải lúc nào cũng đúng. Nếu quay lại kết luận
của (3.15), chúng ta sẽ thấy rằng nó dựa trên cơ sở của “ qui tắc vòng Fermi ”
(3.17) và tương ứng với (3.18), chỉ đúng khi , trong đó - phần tử ma trận
nhiễu loạn, tương ứng với trạng thái đầu và trạng thái cuối, còn dải tần số là
độ không xác định của năng lượng của trạng thái cuối cùng.Tính không xác
định này là do sự phân bố các trạng thái cuối hoặc như “ nở ” rộng đồng nhất
(vạch phổ) nếu được xác định bởi thời gian sống trên các mức năng lượng k
và m.
Trên thực tế, chúng ta bắt gặp các trường hợp khi mà bất đẳng thức
đảm bảo cho tính đúng đắn của quy tắc Fermi bị “ phá vỡ ” và. Điều này có
thể “ đi ” qua với cường độ trường đủ lớn hoặc khoảng tần số rất hẹp.
Xét hệ ở đó tham gia tương tác chỉ có 2 mức năng lượng. Kí hiệu các
mức ấy là 1 và 2. Các hàm sóng không phụ thuộc vào thời gian, tương ứng
với các mức đó là các hàm riêng của hamiltonian không nhiễu loạn :
trong đó, là năng lượng của các mức.

15
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Toán tử nhiễu loạn, gây bởi tương tác của trường dao động kiểu () có
dạng :

trong đó, - toán tử tương ứng, và .
Chúng ta viết biểu thức cho hàm sóng nhiễu loạn phụ thuộc vào thời
gian:
trong đó, còn thỏa mãn phương trình Schrodinger có chứa thời gian :
Thay (4.3) vào (4.4) sau đó nhân với và lấy tích phân :
(Khi dẫn (4.5) chúng ta đã sử dụng : và bỏ qua ở vế phải của đẳng thức
này, bởi hệ số pha dao động tới tần số hoàn toàn khác với các tần số của 2
phần tử còn lại và lấy trung bình theo thời gian đóng góp của tử này vào a
2
được bỏ qua vì quá nhỏ).
Bằng phương pháp tương tự chúng ta cũng nhận được :
(4.6)
Ký hiệu độ lệch tần số so với tần số cộng hưởng :
và
Viết lại các phương trình cuối cùng :
Các phương trình này được giải tương đối với và . Kết quả, cho chúng
ta : :
Trong đó :
Trong điều kiện cộng hưởng
16
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
1,0
0,5

2
Xác suất “ cư dân ” các mức năng lượng và dao động giữa 1,0 và 0
với tần số :
Chương II : Một số vấn đề của quang học phi tuyến
2.1.Quy luật xác suất “ cư dân ” các mức năng lượng mà giữa chúng có
chuyển mức kết hợp
Từ phương trình Schrodinger (1.5.4) thỏa mãn hàm sóng (1.5.3) chúng
ta đã đưa ra được biểu thức cho a
1
và a
2
(1.5.6) và (1.5.7) :
Đặt độ lệch tần số cộng hưởng
Chúng ta viết lại 2 phương trình trên :
(2.1.1)
Các phương trình này được giải với biến số và .
17
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Chúng ta sẽ tìm nghiệm của (2.1.1) dưới dạng :
Đưa (2.1.2) vào (2.1.1) dẫn tới :
Và cho phép nhận được phương trình đặc trưng mà nghiệm của nó :
(2.1.4)
trong đó,
(2.1.5)
Khi ấy, nghiệm đầy đủ :
Tương tự với
Nếu t=0 hệ ở mức thấp nhất , thì . Khi ấy (2.1.6) sẽ cho :
Sử dụng (2.1.1) và (2.1.6) chúng ta dễ dàng tìm được thông qua . Điều
kiện ban đầu dẫn tới biểu thức :

Từ (2.1.7) và (2.1.8) ta nhận được :
Thay (2.1.4) và các biểu thức này vào (2.1.6) và sử dụng (2.1.1) chúng
ta nhận được nghiệm số cần tìm ở dạng cuối cùng :

Ở điều kiện cộng hưởng
18
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Và vì thế mà xác suất “ cư dân ” của các mức năng lượng và sẽ dao
động trong khoảng từ 0 với tần số :
Sự phụ thuộc vào phù hợp với hình vẽ ở cuối chương I.
Một đại lượng nữa trong các công thức trên cần tìm hiểu thêm đó là
phần tử ma trận của mômen lưỡng cực từ :
Sử dụng biểu thức (1.5.3) và chúng ta nhận được :
Nếu công suất phát xạ bằng 0 , khi a
1
hoặc a
2
=0 thì có nghĩa là là
nguyên tử hoàn toàn ở trạng thái 1 hoặc trạng thái 2, mômen lưỡng cực từ “
thôi không dao động nữa ”. Nếu trường điện từ kích hoạt vào thời điểm t bị
ngắt, các nguyên tử giữ nguyên, theo (2.1.3), mômen lưỡng cực từ. (Chúng ta
đã giả thiết rằng –toán tử mômen lưỡng cực thay đổi với tần số , khi ấy toàn
bộ các nguyên tử sẽ phát xạ ở tần số .
2.2. Tìm dạng của tenxơ độ thẩm phi tuyến
Không gian vật lý của bài toán được xây dựng với điều kiện tác động ,
đồng thời lên môi trường chiết quang và điện môi 2 trường sáng có mối quan
hệ phi tuyến :
Một trường phân cực dọc theo trục k với tần số :
Môi trường phân cực dọc theo trục k với tần số :

19
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Nếu môi trường không tuyến tính thì sự có mặt của 2 trường này sẽ dẫn
tới sự xuất hiện hiện tượng phân cực ở các tần số :
Giả sử có thành phần thứ i của phân cực ở tần số :
Chúng ta phải xác định tenxơ độ thẩm phi tuyến ! (trong đó, tenxơ
phải trùng với định nghĩa Kleinman và theo định nghĩa của Bloen berger
tenxơ độ thẩm liên hệ với bởi : )
Tenxơ độ thẩm phi tuyến được xác định nhờ mối quan hệ với biên độ
của các trường :
Ở đây, tổng được lấy theo tất cả các chỉ số lặp lại. Tương tự cho biểu
thức tenxơ độ thẩm với hiệu các tần số :
Ở đây, theo (2.2.1)
( Phải nói thêm rằng chỉ các tinh thể không đối xứng tâm mới có tenxơ
khác không . Điều này được suy ra từ khái niệm đối xứng : trong tinh thể với
tâm đối xứng khi thay đổi dấu của thành phần trường và thì dấu của thành
phần tenxơ phần cực cũng thay đổi mà không thay đổi giá trị tuyệt đối của
chúng .Sử dụng (2.2.4) chúng ta nhận được :
Sao cho . Ở tinh thể không có tâm quay đảo cũng phải tồn tại các điều
kiện tồn tại hiệu ứng áp điện và phi tuyến quang bậc hai P~ E
2
. Trên cơ sở cuản
các yếu tố đó có thể nói rằng : tinh thể chất lỏng hoặc chất khí bất kỳ đều có độ
phi tuyến bậc ba P ~ E
3
.)
20
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Bài toán này được giải quyết theo các kết quả nhận được từ thực
nghiệm. Trong phần lớn các thực nghiệm nghiên cứu quang phi tuyến của các
tinh thể “trong suốt” trong toàn dải giới hạn bởi các tần số .
Điều quan trọng dẫn tới là hàm đơn trị (có nghĩa là P(t) được xác định
bằng giá trị tức thời của trường E(t) ở thời điểm t. Sự hấp thụ ánh sáng rõ nét
ở tinh thể xảy ra khi xuất hiện hiệu ứng tán sắc tần số và trong trường hợp này
phân cực phi tuyến được xác định bởi giá trị của trường và cả ở thời điểm sau
đó ).
Chúng ta viết lại đẳng thức cho :
Bởi sự thay đổi vị trí trong (2.2.6) không thay đổi đại lượng nên .Vì
vậy, chúng ta có thể thay 2 chỉ số bằng một số ký hiệu chỉ số duy nhất, như
đã được sử dụng trong tinh thể học .
Và bây giờ d
ij
là ma trận 3x6, tác dụng lên của nó lên “vectơ ” - cột ,
chúng ta nhân được vectơ phân cực :
Ở đây, trong trường hợp không có “ thất thoát ” các chỉ số tần số ở
được bỏ qua. Trong các ký hiệu ngược của phần tử tenxơ cũng thỏa mãn mối
tương quan đối xứng như các phần tử tenxơ áp điện, đối với nhóm đối xứng
điểm này các tenxơ có cùng một dạng.
Lấy ví dụ ở tinh thể KH
2
PO
4
(KDR) có nhóm đối xứng 4’2m, tenxơ d
ij
bằng:
Và thành phần của tenxơ phần cực phi tuyến có dạng
21
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
2.3.Tương tác phi tuyến của các trường hợp điện từ
Chúng ta viết phương trình Macxoen :
Và cho phân cực dưới dạng tổng quát các thành phần tuyến tính và
không tuyến tính theo trường :
trong đó, - độ thẩm tuyến tính được coi là vô hướng.
Phương trình thứ nhất của (2.2.1) được viết lại :
trong đó, – điện dẫn , . Lấy roter của cả 2 vế (2.3.1) và thay vào đó từ
(2.3.4). Ta nhận được :
Ở đây chúng ta đã sử dụng : rot rot =grad div và div
Chúng ta quay trở về trường hợp một chiều để phân tích (2.3.5). Chiều
lan truyền sóng trường được chọn dọc theo trục OZ, và vì vậy, .
Giới hạn chỉ xem xét tương tác của 3 tần số và các trường tương ứng
được mô tả dưới dạng sóng chạy phẳng :
trong đó, i, j, k ký hiệu tọa độ Đề Các x và y. Chúng ta thấy rằng khi
nghiệm của phương trình (2.3.5) là (2.3.6) với biên độ không phụ thuộc vào z.
Tìm biểu thức, ví dụ cho thành phần thứ i của phân cực không tuyến tính ở
tần số được xem xét ở chương sau.
2.4.Kích hoạt hài dao động thứ 2 của sóng ánh sáng
22
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Lần đầu tiên Franken P.A và các công suất đã tiến hành thực nghiệm
kích hoạt hài dao động thứ 2 của sóng ánh sáng. Tia sáng laser rubin (hồng
ngọc) với được điều tiêu lên bề mặt thanh tinh thể thạch anh. Kết quả phân
tích bức xạ truyền qua nhờ máy phân tích quang phổ, đã phát hiện rằng bức
xạ đầu ra chứa thêm tần số phân đối . Việc sử dụng vật liệu mẫu có độ phi
tuyến cao và nguồn laser công suất lớn cùng với việc thực hiện các điều kiện
đồng bộ không gian, những năm gần đây cho phép tăng hiệu suất biến đổi tới
65% (thay vào việc trước đây khi Franken tiến hành thí nghiệm đầu tiên chỉ

có dưới 20%) .
Hành trình đi tìm biểu thức cho với việc cho là hàm của tần số và giả
thiết rằng sự thay đổi biên độ phức của các trường dọc theo trục OZ là đủ
chậm với điều kiện . Chúng ta có được biểu thức :
Với:
Áp dụng (2.4.1) vào trường hợp kích hoạt đa hài thứ 2.Trong trường
hợp riêng hai từ tần số, bằng nhau Chúng ta đưa ra thêm điều kiện nữa là sự
tổn hao công suất đầu vào () của “ tia ” laser do “ chuyển hóa ” thành bức xạ
tần số được cho là rất nhỏ, sao cho
. Nếu , có nghĩa là môi trường hoàn toàn trong suốt ở tần số thì (2.4.1) sẽ có
dạng :
Trong đó, .
Nếu ( không có đa hài 2 ở đầu vào ) thì với tinh thể có chiều dày L,
nghiệm của (2.4.2) sẽ có dạng :
23
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Hay:
Và cuối cùng, biểu thức cho công suất đa hài thứ hai ở lối ra :
với góc giữa chiều lan truyền sóng ánh sáng và trục j, S – diện tích tiết diện
ngang của mẫu, nhờ (2.4.4) sẽ có dạng :
2.5.Điều kiện đồng bộ không gian
Từ (2.4.5) chúng ta nhìn thấy rằng để nhận được công suất đáng kể của
đa hài thứ hai cần phải thỏa mãn điều kiện . Điều kiện này mang tên điều kiện
đồng bộ không gian ( index matching condition – điều kiện đồng bộ - cân
bằng các chỉ số, có nghĩa là, các chỉ số khúc xạ )
Nếu điều kiện (2.5.1) được thực hiện thì !
Nếu , khi thay đổi chiều dày tinh thể L, công suất đa hài thứ hai đi qua
hàng loạt các giá trị =0 và = max cách biệt nhau bởi “ độ dài kết hợp ” l
c

,
trong đó :
Khi sự đóng góp vào từ các phần tử độ dài nhỏ vô hạn dz của tinh thể
khác pha và hoàn toàn trung hòa trên khoảng cách l
c
.
Nếu như thì toàn bộ tinh thể (độ dài L) tác dụng như siêu mạng đồng
pha của các lưỡng cực điện với bức xạ cực đại theo phương lan truyền sóng .
Điều kiện đồng bộ không gian, tất nhiên, không thể thực hiện ở vật liệu
với tán sắc thường bởi với sự phân cực k
3
>2k
1
ở các vật liệu này.
Minh họa hiệu ứng này ở tinh thể KH
2
PO
4
(KDR) sẽ được trình bày ở
chương sau.
24
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
2.6.Hấp thụ hai photon
Trong các quá trình xảy ra hiện tượng quang phi tuyến, trường hợp có
(bỏ qua chỉ số) là một trường hợp đặc biệt. Biểu thức cho phân cực không phi
tuyến tương đương với :
Điều kiện đối xứng d=0 ở các tinh thể đối xứng tâm cũng không áp đặt
giới hạn cho đại lượng e, ngay cả khi tinh thể có tâm đảo.
Thành phần P= tương ứng với tán xạ 4 phonon và có thể dẫn tới kích

hoạt bức xạ bởi phân cực không tuyến tính :
Ở các tần số (kiểu tán xạ này đã được nghiên cứu kỹ bởi Kroll N.M và
Talanor V.
Nếu hệ số e ở (2.6.1) là đại lượng phức thì công suất thất thoát , đại
lượng công suất hấp thụ bởi môi trường sẽ tỷ lệ với E
4
. Hiệu ứng này tương
ứng với hấp thụ 2 photon ánh sáng bởi cường độ hấp thụ của các quá trình 1
photon tỷ lệ với E
2
.
Chúng ta sẽ xem xét quá trình quang phi tuyến này với việc sử dụng
hiểu biết cơ học lượng tử về lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc vào thời gian sẽ
được trình bày ở chương sau.
25
Nguyễn Tùng Lâm K33E- Vật lý