Sở Giáo dục - Đào tạo
Thái Bình
Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Thái Bình
Năm học 2007-2008
Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (1,5 điểm)
Cho phơng trình bậc hai x
2
+ bx + c = 0 ( x là ẩn số), có b + c = 1.
Xác định b, c để phơng trình đã cho có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện x
1
x
2
= 3.
Bài 2 (1,5 điểm)
Cho đa thức P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a, b, c, d R), thoả mãn các điều kiện
sau: P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3 và P(4) = 4. Hãy tính P(5).
Bài 3 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn.
1. Đờng phân giác trong của góc
ã
BAC
cắt cạnh BC tại D. Gọi H là chân đờng
vuông góc hạ từ A xuống BC và M là trung điểm của BC. Biết rằng AD = l , AH = h
và AD là trung tuyến của tam giác MAH. Hãy tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp
của tam giác ABC theo l và h.
2. Giả sử
ã ã
ACB 2.BAC=
. Chứng minh rằng AB
2
= BC.(BC+AC).
Bài 4 (1,0 điểm)
Giải phơng trình:

2 2 2
x 1 y y 9 z z 10 x 10
+ + =
(x, y, z là ẩn số )
Bài 5 (1,0 điểm)
Các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a
2
+ b
2
+ ab + bc + ca < 0.
Chứng minh bất đẳng thức a
2
+ b

2
< c
2
.
Bài 6 (1,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0, thoả mãn điều kiện a + b + c = 0.
Chứng minh rằng số M = 2a
4
+ 2b
4
+ 2c
4
là bình phơng của một số nguyên.
Bài 7 (1,0 điểm)
Giả sử số thực a thoả mãn điều kiện a
3
+ 2008a 2007 = 0.
Hãy tính giá trị của biểu thức
3 2 3 2
S 3a 2005a 2006 3a 2005a 2008
= + + +
.
Sở Giáo dục - Đào tạo
Thái Bình
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Thái Bình
Năm học 2007-2008
ĐáP án môn Toán
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Bài 1 (1,5 điểm)
Đề chính thức

Cho phơng trình bậc hai x
2
+ bx + c = 0 ( x là ẩn số), có b + c = 1.
Xác định b, c để phơng trình đã cho có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện x
1
x
2
= 3.
Cách Nội dung Điểm
Cách 1
Từ b + c = 1 nên phơng trình đã cho có hai nghiệm là
x 1
x c
=


=

0,5
* Nếu x
1
= 1; x
2
= c 1 c = 3
c = 2
Khi đó b = 1

0,5
* Nếu x
1
= c; x
2
= 1 c 1 = 3
c = 4
Khi đó b = 5
0,5
Cách 2
Các số b, c phải thoả mãn hệ điều kiện sau
b
2
4c > 0 (1)
b c = 1 (2)
x
1
+ x
2
= b (3) (x
1
, x
2
là 2 nghiệm của pt)
x
1
x
2
= 3 (4)
x

1
.x
2
= c (5)
Từ (3) (4) ta có x
1
=
b 3
2
+
x
2
=
b 3
2

0,5
Thay vào (5), ta đợc:
b 3 b 3
. c
2 2
+
=

2
b 9
4

= 1 b (vì b + c = 1)
b

2
+ 4b 5 = 0

b 1
b 5
=


=

0,5
Với b = 1 c = 2
b = 5 c = 4 (đều thoả mãn (1))
Kết luận: b = 1, c = 2
hoặc b = 5, c = 4
0,5
Bài 2 (1,5 điểm)
Cho đa thức P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a, b, c, d R), thoả mãn các điều kiện
sau: P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3 và P(4) = 4. Hãy tính P(5).
Cách Nội dung Điểm
Cách 1
Đặt Q(x) = P(x) x (Q(x) là đa thức bậc 4 có hệ số của x
4
là 1)

Q(1) = P(1) 1 = 0
Q(2) = P(2) 2 = 0
Q(3) = P(3) 3 = 0
Q(4) = P(4) 4 = 0
0,5
Vậy Q(x) có 4 nghiệm là x = 1, x = 2, x = 3, x = 4
Q(x) = (x1) (x2) (x3) (x4)
0,5
Từ đó suy ra P(x) = Q(x) + x
= (x1) (x2) (x3) (x4) + x
Do đó P(5) = 4 . 3 . 2 . 1 + 5
= 29
0,5
Cách 2
Chú ý: Có thể làm theo cách sau:
Từ giả thiết, ta có hệ pt sau:
1 1 a b c d
2 16 8a 4b 2c d
3 81 27a 9b 3c d
4 256 64a 16b 4c d
a b c d 0
8a 4b 2c d 14
27a 9b 3c d 78
64a 16b 4c d 252
= + + + +


= + + + +



= + + + +


= + + + +

+ + + =


+ + + =



+ + + =


+ + + =

0,5
Giải hệ phơng trình này ta đợc:
a 10
b 35
c 49
d 24
=


=


=



=

(Phải trình bày cách giải hệ phơng trình này)
0,5
Vậy P(x) = x
4
10x
3
+ 35x
2
49x + 24
P(5) = 29.
0,5
Bài 3 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn.
1. Đờng phân giác trong của góc
ã
BAC
cắt cạnh BC tại D. Gọi H là chân đờng
vuông góc hạ từ A xuống BC và M là trung điểm của BC. Biết rằng AD = l , AH = h
và AD là trung tuyến của tam giác MAH. Hãy tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp
của tam giác ABC theo l và h.
2. Giả sử
ã ã
ACB 2.BAC=
. Chứng minh rằng AB
2
= BC.(BC+AC).

ý Nội dung Điểm
1.
Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC.
AD cắt (O) tại N.
O, M, N thẳng hàng.
0,5
Vì M là trung điểm BC OM BC
Vậy MN // AH.
Lại có vuông AHD = vuông NMD
(DH = DM và
ã
ã
ADH NDM=
)
MN = AH
Vậy NMAH là hình bình hành.
0,5
Mà D là giao điểm 2 đờng chéo hình hình hành NMAH
D là trung điểm AN
OD AN.
0,5
Xét tam giác vuông ODN: DN
2
= NM.NO
ON =
2 2
DN
MN
=
l

h
.
Vậy bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC là R =
2
l
h
0,5
2.
Từ:
ã ã
ACB 2.BAC=

Dựng tia phân giác CE
à
ả
à
1 2
C C A= =
BCE ~ BAC (
à
B
chung,
à
à
1
C A=
)

BE BC
BC BA

=
hay
BE a
a c
=
(1)
(a = BC, b = CA, c = AB)
0,5
Theo tính chất phân giác
BE a
EA b
=

BE a
c a b
=
+

BE c
a a b
=
+
(2)
Từ (1) (2)
a c
c a b
=
+
c
2

= a(a+b) đpcm.
0,5
A C
B
Ec
b
a
1
2
A
B C
M
DH
O
N
h
l
Bài 4 (1,0 điểm)
Giải phơng trình:

2 2 2
x 1 y y 9 z z 10 x 10
+ + =
(x, y, z là ẩn số )
ý Nội dung Điểm
ĐK:
2
2
2
10 x 0

10 x 10
1 y 0 1 y 1
3 z 3
9 z 0













Với a, b R, ta có a.b
2 2
a b
2
+
. Dấu = xảy ra a = b.
áp dụng kết quả trên, ta có :
2 2
2
x 1 y
x 1 y
2
+


Dấu = xảy ra x =
2
1 y
2 2
2
y 9 z
y 9 z
2
+

Dấu = xảy ra y =
2
9 z
2 2
2
z 10 x
z 10 x
2
+

Dấu = xảy ra z =
2
10 x
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên với nhau, ta đợc :
2 2 2
x 1 y y 9 z z 10 x 10 + +
0,5
Vậy pt đã cho tơng đơng với:
2

2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
x, y,z 0
x 1 y
x y 1
y 9 z
y z 9
z 10 x
z x 10
x, y,z 0
x 1
x 1
y 0
y 0
z 3
z 9
x 1
KL y 0
z 3



=



+ =

=

+ =

=

+ =




=


=

=

=

=


=

=



=


=

0,5
Bài 5 (1,0 điểm)
Các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a
2
+ b
2
+ ab + bc + ca < 0.
Chứng minh bất đẳng thức a
2
+ b
2
< c
2
.
ý Nội dung Điểm
Giả sử a
2
+ b
2
c
2
Từ gt a
2
+ b

2
+ a
2
+ b
2
+ 2(ab + bc + ca) < 0
0,5
Lại có:
a
2
+ b
2
+ a
2
+ b
2
+ 2(ab + bc + ca) a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca) = (a + b +
c)
2
(a + b + c)
2
< 0 (vô lý)
Vậy a
2

+ b
2
< c
2
đpcm.
0,5
Bài 6 (1,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0, thoả mãn điều kiện a + b + c = 0.
Chứng minh rằng số M = 2a
4
+ 2b
4
+ 2c
4
là bình phơng của một số nguyên.
Cách Nội dung Điểm
Cách 1
Từ a + b + c = 0 c = a b
c
4
= (a + b)
4
= a
4
+ 4a
3
b + 6a
2
b
2

+ 4ab
3
+ b
4
2c
4
= 2a
4
+ 8a
3
b + 12a
2
b
2
+ 8ab
3
+ 2b
4
0,5
Lúc đó: M = 2a
4
+ 2b
4
+ 2c
4
= 4a
4
+ 4b
4
+ 8a

3
b + 12a
2
b
2
+ 8ab
3
= 4a
4
+ 4b
4
+ 4a
2
b
2
+ 8a
3
b + 8a
2
b
2
+ 8ab
3
=
( )
2
2 2
2a 2b 2ab+ +
Do a, b, c Z 2a
2

+ 2b
2
+ 2ab Z
Từ đó suy ra đpcm.
0,5
Cách 2
Xét đa thức bậc ba mà 3 nghiệm là: x = a, x = b, x = c
P(x) = (x a) (x b) (x c)
P(x) = x
3
+ (ab + bc + ca)x abc (vì a + b + c = 0)
0,25
Do P(a) = P(b) = P(c) = 0 nên ta có hệ:
3
3
3
a (ab bc ca)a abc 0 (1)
b (ab bc ca)b abc 0 (2)
c (ab bc ca)c abc 0 (3)

+ + + =

+ + + =


+ + + =

0,25
Nhân 2 vế của các đẳng thức (1), (2), (3) thứ tự với 2a, 2b, 2c rồi cộng
lại, ta đợc:

2a
4
+ 2b
4
+ 2c
4
+ 2(ab + bc + ca) (a
2
+ b
2
+ c
2
) = 0
0,25
Mà a
2
+ b
2
+ c
2
= (a + b + c)
2
2(ab + bc + ca) = 2(ab + bc + ca)
2a
4
+ 2b
4
+ 2c
4
=

( )
2
2 ab bc ca

+ +

đpcm.
0,25
Chú ý:
Từ a + b + c = 0
(a + b)
2
= c
2
(a + b)
2
= c(a + b)
a
2
+ b
2
+ 2ab = ac bc
a
2
+ b
2
+ ab = ab ac bc
Do đó
( )
( )

2
2
2 2
a b ab ab bc ca+ + = + +
Bài 7 (1,0 điểm)
Giả sử số thực a thoả mãn điều kiện a
3
+ 2008a 2007 = 0.
Hãy tính giá trị của biểu thức
3 2 3 2
S 3a 2005a 2006 3a 2005a 2008
= + + +
.
ý Nội dung Điểm
Từ a
3
+ 2008a -2007 = 0 (1)
a
3
= 2008a + 2007
a
3
+ 3a
2
+ 3a + 1 = 2008a + 2007 + 3a
2
+ 3a + 1
(a + 1)
3
= 3a

2
2005a + 2008
0,5
Lại có (1) a
3
= 2008a - 2007
1 3a + 3a
2
a
3
= 1 3a + 3a
2
+ 2008a 2007
(1 a)
3
= 3a
2
+ 2005a 2006
Vậy S =
( ) ( )
3 3
3 3
1 a a 1
+ +
= 1 a + a + 1
= 2
0,5
Chú ý:
* Điều kiện bài toán số 7 bao giờ cũng tồn tại, vì pt: x
3

+ 2008x 2007 = 0 có
đúng 1 nghiệm thuộc khoảng (0 ; 1).
* Mọi cách giải khác mà hợp lý, vẫn cho điểm tối đa.
* Khi chấm, yêu cầu bám sát biểu điểm.
* Tổ chấm thảo luận để thống nhất biểu điểm chi tiết.
* Nếu trong lời giải có nhiều bớc liên quan với nhau, học sinh làm sai ở bớc nào thì
từ đó trở đi sẽ không đợc điểm.
* Điểm toàn bài không làm tròn (lấy đến 0,25đ).
Sở Giáo dục - Đào tạo
thái bình
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên
Năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức:
đề chính thức

x 7 x 3 2 x 1
A
x 5 x 6 x 2 x 3
+ +
= +
+
với x 0; x 4; x 9
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A khi
2
x 3 2
=

.
Bài 2. (2,0 điểm) Cho hai đờng thẳng:
(d
1
): y = (m 1)x m
2
2m
(d
2
): y = (m 2)x m
2
m + 1
cắt nhau tại G.
a) Xác định toạ độ điểm G.
b) Chứng tỏ rằng điểm G luôn thuộc một đờng thẳng cố định khi m thay đổi.
Bài 3. (1,5 điểm) Giải các phơng trình sau:
a)
2
1 1 1
0
1 1 1
x x x
=
+
+ +
b)
2
2
x
x 1

1
x

=
ữ
+

+
Bài 4. (3,5 điểm)
Cho điểm M thuộc nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB. Điểm C thuộc
đoạn OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm M kẻ tiếp tuyến Ax, By với đ-
ờng tròn. Đờng thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By tại P, Q. Gọi E là
giao điểm của AM với CP, F là giao điểm của BM với CQ.
a) Chứng minh rằng:
+ Tứ giác APMC và tứ giác EMFC là tứ giác nội tiếp.
+ EF // AB.
b) Giả sử có EC.EP = FC.FQ. Chứng minh rằng: EC = FQ và EP = FC.
Bài 5. (0,5 điểm) Cho hai số thực x, y thoả mãn x
2
+ y
2
+ xy = 1.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x
2
xy + 2y
2
.
Sở Giáo dục - Đào tạo
thái bình
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên

Năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2,5 điểm)
1. Giải phơng trình: (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) 3 = 0
2. Tính giá trị của biểu thức A = (x
3
3x 3)
2011
với
1
+
3
3
2 - 3
2 - 3
x =
Bài 2. (2,0 điểm)
(với m là tham số)
đề chính thức
Cho hệ phơng trình:





ax + by = c
bx + cy = a
cx + ay = b

(a, b, c là tham số)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình trên có nghiệm là:
a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
Bài 3. (2,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn:
( )
x = 2x x- y +2y-x+2
2. Cho đa thức P(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a 0). Biết rằng P(m) = P(n) (m n).
Chứng minh: mn
2
2
4ac - b
4a
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O. Gọi I là điểm
trên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B). Gọi M, N, P theo thứ tự là hình
chiếu của I trên các đờng thẳng BC, CA và AB.
1. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
2. Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất.
3. Gọi E, F, G theo thứ tự là tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC với

cạnh BC, CA và AB. Kẻ EQ vuông góc với GF. Chứng minh rằng QE là
phân giác của góc BQC.
Bài 5. (0,5 điểm)
Giải bất phơng trình:
+ + + + +
3
3 2 3 2 4 3
2x 4x 4x 16x 12x 6x 3 4x 2x 2x 1
S GIO DC - O TO THI BèNH
THI TUYN SINH VO LP 10 THPT CHUYấN THI BèNH
Nm hc : 2009-2010
Mụn thi: TON
(Dnh cho thớ sinh thi vo chuyờn Toỏn, Tin)
Thi gian lm bi:150 phỳt (khụng k thi gian giao )
thi gm : 01 trang
Bi 1. (2,0 im) :
a. Cho k l s nguyờn dng bt kỡ. Chng minh bt ng thc sau:

1 1 1
2( )
( 1) 1k k k k
<
+ +
b.
Chng minh rng:
1 1 1 1 88
2 45
3 2 4 3 2010 2009
+ + + + <L
đề chính thức

Bài 2. (2.5 điểm): Cho phương trình ẩn x:
2
( 1) 6 0x m x+ − − =
(1) (m là
tham số)
a. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm
x 1 2= +
b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm
1 2
, x x
sao cho biểu thức:
2 2
1 2
( 9)( 4)A x x
= − −
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3. (2,0 điểm):
a. Giải hệ phương trình sau :
2 2
3 3
3
9
x y xy
x y

+ − =


+ =



b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:
3 2 3
2 3 2x x x y+ + + =
Bài 4. (3,0 điểm): Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB
(M không trùng với O; B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ
đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt
nhau tại điểm thứ hai là N.
a. Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra 3
điểm
C, M, N thẳng hàng.
b. Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.
Bài 5. (0.5 điểm): Cho góc xOy bằng
o
120
, trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điểm A sao
cho độ dài đoạn thẳng OA là một số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại
ít nhất ba đường thẳng phân biệt đi qua A và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B và C sao
cho độ dài các đoạn thẳng OB và OC đều là các số nguyên dương.
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH
Năm học : 2009-2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm : 01 trang
Bài 1. (2,5 điểm) Cho
+ + +
= + − ≥ ≠
+ + − −
2 x 4 x 7 x 1

A ( x 0; x 1)
x 3 x 2 x 3 x 1
a.
Rút gọn A.
b.
Tìm các giá trị của x để
+
=
x 1
A
8

Bài 2. (2,0 điểm) Cho parabol (P):
2
y x=
và đường thẳng (d):
2
y (2m 1)x m m= − − +

(m là
tham số).
a. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
®Ò chÝnh thøc
b. Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là
1 2
x ,x
sao cho:

3 3
1 2

x x 1
− =
.
Bài 3. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình sau :
2
2 2
x xy 1 y 2x
2x y 9

− + = −


+ =


Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R (AB<AC).
Đường tròn tâm I đường kính OA cắt AB, AC lần lượt tại M và N (M,N không trùng với
A).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.
a. Chứng minh rằng M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
b. Chứng minh rằng
AB.AC
R
2AH
=
.
c. Kẻ dây cung AE của đường tròn tâm I đường kính OA song song với MN. Gọi F là
giao điểm của MN và HE. Chứng minh rằng F là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Bài 5. (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn:
a b c 3+ + =

.
Chứng minh rằng :
2 2 2
a b c 3

b 1 c 1 a 1 2
+ + ≥
+ + +