PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV Toán Lê Bá Bánh@ @
A.Dùng công thức lượng giác đưa về dạng cơ bản
Bài 1 Giải phương trình :
a)
cos 2 cos 0
3
x x
π
 
+ − =
 ÷
 
b)
sin 2 s nx 0
4
x i
π
 
− + =
 ÷
 
c)
cos sin 3
5
x x
π
 
+ =
 ÷
 

d)
cos sin 4 0x x+ =
e)
2cos 2 cos 1 2sin 2 sinx x x x= +
f)
( )
sin 3 .cos os3 1 sinx x c x x= +
g)
3 os2 cos 2 1 0
2
c x x
π
 
+ + + =
 ÷
 
h)
( ) ( )
3
cos 4 3 sin 4 5 sin cos
2 2
x x x x
π π
π π
   
+ + + = + + −
 ÷  ÷
   
i)
2 2

sin cos 2
6
x x
π
 
+ =
 ÷
 
i)
( ) ( )
2cos 1 sin cos 1x x x− + =
Bài 2: Giải phương trình
2 2
2sin .sin cos 2 sin 2
2
x x x x
π
 
+ = −
 ÷
 
với
0 x
π
< <
Bài 3: Giải phương trình
4 4
5
sin cos
8

x x+ =
với
0 0
90 270x< <
Bài 4: Tính tổng các nghiệm của phương trình
4 4 6 6
3
sin cos sin cos
4
x x x x+ + + =
.với
0 20x
π
≤ ≤
Bài 5: Phương trình
( )
2 2
3sin 1 4sin sin 2cosx x x x+ = +
có bao nhiêu nghiệm
[ ]
0;2
π
∈
Bài 6: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình :

( )
2
2
sin 3 cos3 2cos 4x x x+ =
B. Phương trình lượng giác có điều kiện

Bài 7: Giải phương trình
tan3 .cot 1x x = −
ĐS:
3
4 4
x l x l
π π
π π
= + ∪ = +
Bài 8: Giải phương trình
t anx 3
tan3
1 3 t anx
x
−
=
+
ĐS:
3
x m
π
π
= +
Bài 9 : Giải phương trình
3 1
8sin
cos sin
x
x x
= +

ĐS:
6 12 2
x k x l
π π π
π
= + ∪ = − +
Bài 10: Giải phương trình
2 2
2cos 1
sin .sin sin
2cos 1
x
x x x
x
−
− =
−
với
0 2x
π
≤ ≤
Bài 11: Giải các phương trình :
a)
1
cot t anx
sin
x
x
= +
b)

sin 3 sin
sin 2 os2
1 cos 2
x x
x c x
x
−
= +
−
c)
2
2sin 3 1 8sin 2 .cos 2
4
x x x
π
 
+ = +
 ÷
 
d)
3 3 2
cos cos3 sin .sin cos 2x x x x x− =
thỏa mãn điều kiện
sin 3 0
4
x
π
 
− ≥
 ÷

 
e)
( )
2
4 . sin 2 3cos 0x x x
π π
− − =
C. Phương trình đưa về dạng tích.
Bài 12:Giải phương trình
( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = −
ĐS:
2
2 4
x k x l
π π
π π
= ± + ∪ = − +
Bài 13: Giải phương trình
1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x
+ + + + =
ĐS:
2
2
4 3
x k x l
π π
π π
= − + ∪ = ± +
1

Bài 14: Tìm x thuộc đoạn
[ ]
0;14
nghiệm đúng phương trình:

cos3 4cos2 3cos 4 0x x x
− + − =
. ĐS:
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
x
π π π π
 
=
 
 
Bài 15: Giải phương trình
2 2 2 2
sin `3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −
ĐS:
9 2
k l
x x
π π
= ∪ =
Bài 16: Giải phương trình
sin sin 2 sin 3 sin 4 sin5 sin 6 0x x x x x x+ + + + + =
ĐS:
2

2
7 3
k
x x l x m
π π
π π π
= ∪ = + ∪ = ± +
Bài 17: Giải phương trình :
3 3 2
cos 4sin 3cos .sin sin 0x x x x x− − + =
ĐS :
6 4
x k x l
π π
π π
= ± + ∪ = − +
Bài 18: Giải phương trình :
3 3 1
cos . os .cos sin .sin .sin
2 2 2 2 2
x x x x
x c x− =
ĐS:
2
2
4 6 3 2
x k x k x l
π π π π
π π
= − + ∪ = + ∪ = − +

Bài 19 Giải phương trình :
2 3
2 cos 6 sin 2sin 2sin
5 12 5 12 5 3 5 6
x x x x
π π π π
       
− − − = + − +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
ĐS:
5 5 5
5 5 5
4 12 3
x k x l x m
π π π
π π π
= + ∪ = − + ∪ = − +
Bài 20: Giải phương trình :
3
8cos cos3
3
x x
π
 
+ =
 ÷
 
. ĐS:
2

6 3
x k x l x m
π π
π π π
= + ∪ = ∪ = − +
Bài 21 : Giải phương trình :
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
π π
   
− = +
 ÷  ÷
   
. ĐS:
3 4 14
2 ; 2 ; 2
5 15 15
x k x l x m
π π π
π π π
= + = + = +
Bài 22: Giải phương trình :
sin 3 sin 2 sin
4 4
x x x
π π
   
− = +

 ÷  ÷
   
. ĐS:
4 2
x k
π π
= − +
Bài 23: Giải phương trình :
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π
 
− − =
 ÷
 
. ĐS :
2
4
x k x l
π
π π π
= + ∪ = − +
Bài 24: Giải phương trình :
2 2 2
11
tan cot cot 2
3

x x x+ + =
. ĐS:
6 2
x k
π π
= ± +
Bài 25: Giải phương trình :
sin sin 2 sin3 cos cos 2 cos3x x x x x x
+ + = + +
ĐS:
2
2
3 8 2
x k x l
π π π
π
= ± + ∪ = +
Bài 26: Giải phương trình :
3
2cos cos 2 sin 0x x x+ + =
. ĐS:
2 ;
2 4
x k x l
π π
π π
= + = − +
Bài 27: Giải phương trình :
( ) ( )
2

2sin 1 3cos 4 2sin 4 4cos 3x x x x+ + − + =
ĐS:
7
2 ; 2 ;
6 6 2
x k x l x m
π π π
π π
= − + = + =
Bài 28: Giải phương trình :
( )
2` 2 2
2cos 2cos 2 2cos 3 3 cos 4 2sin 2 1x x x x x+ + − = +
ĐS:
8 4
x k
π π
= +
Bài 29: Giải phương trình :
2 2
1
sin 2 os 8 os10
2
x c x c x− =
. ĐS:
;
20 10 12 3
x k x l
π π π π
= + = ± +

2
Bài 30: Giải phương trình :
( ) ( )
2
2sin 1 2sin 2 1 3 4cosx x x+ − = −
ĐS:
7
2 ; 2 ; 2
6 6 3
x k x l x m
π π π
π π π
= − + = + = ± +
Bài 31:Giải phương trình :
sin 3 s nx sin 2 0x i x
− + =
. ĐS:
; 2
3
x k x l
π
π π
= = ± +
Bài 32: Giải phương trình :
( )
cos 2 os4 os2 .cos3 0x c x c x x+ + =
. ĐS:
2
x k
π

π
= +
Bài 33: Giải phương trình :
1 sin os3 cos sin 2 os2x c x x x c x+ + = + +
ĐS:
7
; 2 ; 2 ; 2
3 6 6
x k x l x m x n
π π π
π π π π
= = ± + = − + = +
Bài 34: Giải phương trình :
2 2 2
sin sin sin 3 2x x x+ + =
. ĐS:
;
4 2 6 3
x k x l
π π π π
= + = +
Bài 35: Giải phương trình :
( )
3 3 5 5
sin os 2 sin cosx c x x x+ = +
. ĐS:
4 2
x k
π π
= +

Bài 36: Giải phương trình :
2 2 2 2
3 5 11 13
sin sin sin sin
2 4 2 2 4 2
x x x x
π π
   
+ − = + −
 ÷  ÷
   
ĐS:
;
4 32 8
x k x l
π π π
= = +
Bài 37: Giải phương trình :
( )
8 8 10 10
5
sin os 2 sin os os2
4
x c x x c x c x+ = + +
. ĐS:
4 2
x k
π π
= +
Bài 38: Giải phương trình :

sin 4 cos4 1 4 2 sin
4
x x x
π
 
− = + −
 ÷
 
. ĐS:
4
x k
π
π
= +
Bài 39: Giải phương trình :
3
cos2 2cos
3 6 2
x x
π π
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
. ĐS:
2 ; 2
6 2
x k x l
π π
π π

= − + = +
Bài 40: Giải phương trình :
3
sin 2 sin
4
x x
π
 
+ =
 ÷
 
. ĐS:
4
x k
π
π
= +
Bài 41: Giải phương trình :
3
sin 4 2cos 2
4 8
x x
π π
   
+ = −
 ÷  ÷
   
. ĐS:
3
16 2

x k
π π
= − +
Bài 42: Giải phương trình :
3
sin 2sin
4 2 4 2
x x
π π
   
+ = −
 ÷  ÷
   
. ĐS:
5
2 ; 2 ; 2
2 6 6
x k x l x m
π π π
π π π
= + = + = +
Bài 43: Giải phương trình :
3
2 sin
4
tan
4 cos
x
x
x

π
π
 
−
 ÷
 
 
− =
 ÷
 
. ĐS:
;
4
x k x l
π
π π
= + =
Bài 44: Giải phương trình :
( )
2
4
4
2 sin 2 .sin 3
tan 1
os
x x
x
c x
−
+ =

. ĐS:
2 5 2
;
18 3 18 3
x k x l
π π π π
= + = +
Bài 45: Giải phương trình :
2
tan cos os sin 1 t anx.tan
2
x
x x c x x
 
+ − = +
 ÷
 
. ĐS:
2x k
π
=
Bài 46: Giải phương trình :
( )
3 t anx t anx 2sin 6cos 0x x− + + =
. ĐS:
3
x k
π
π
= ± +

Bài 47: Giải phương trình :
( )
( )
2
os cos 1
2 1 sin
sin cos
c x x
x
x x
−
= +
+
. ĐS;
2 ; 2
2
x k x l
π
π π π
= − + = +
Bài 48: Giải phương trình :
tan .cos sin 2 0
2
x
x x+ =
. ĐS:
2 ;
2
x k x l
π

π π π
= + = +
Bài 49: Giải phương trình :
2
1 cos
tan
1 cos
x
x
x
+
=
−
. ĐS:
2 ;
4
x k x l
π
π π π
= + = − +
3
Bài 50: Giải phương trình :
t anx+ tan 2 tan 3 0x x
− =
. ĐS;
3
x k
π
=
Bài 51: Giải phương trình :

1
tan sin 2 os2 2 2cos 0
cos
x x c x x
x
 
− − + − =
 ÷
 
Bài 52: Giải phương trình :
2
1 os2
1 cot 2
sin 2
c x
x
x
−
+ =
. ĐS:
4 2
x k
π π
= +
Bài 53: Giải phương trình :
1
2 tan cot 2 2sin 2
sin 2
x x x
x

+ = +
. ĐS:
3
x k
π
π
= ± +
Bài 54: Giải phương trình :
1 1 2
cos sin 2 sin 4x x x
+ =
. ĐS:
5
2 ; 2
6 6
x k x l
π π
π π
= + = +
Bài 55: Giải phương trình :
2
2 tan cot 3
sin 2
x x
x
+ = +
. ĐS:
3
x k
π

π
= +
Bài 56: Giải phương trình ;
2
tan 2 cot 8cosx x x+ =
. ĐS :
5
; ;
2 24 2 24 2
x k x l x m
π π π π π
π
= + = + = +
Bài 57: Giải phương trình:
( )
tan cot 2 sin 2 os2x x x c x+ = +
. ĐS:
;
4 2 8 2
x k x l
π π π π
= + = +
Bài 58: Giải phương trình :
( )
2 cos sin
1
t anx cot 2 cot 1
x x
x x
−

=
+ −
. ĐS:
2
4
x k
π
π
= − +
Bài 59: Giải phương trình :
sin sin 2 sin3
3
cos os2 os3
x x x
x c x c x
+ +
=
+ +
. ĐS:
; 2
6 3
x k x l
π π
π π
= + = − +
Bài 60: Giải phương trình :
( )
2
sin 2 cot tan 2 4cosx x x x+ =
. ĐS:

;
2 6
x k x l
π π
π π
= + = ± +
Bài 61: Giải phương trình :
( )
2 2
cot tan
16 1 cos4
cos2
x x
x
x
−
= +
. ĐS:
16 8
x k
π π
= +
D. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI & BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 62: Giải phương trình :
4 4
3
os sin os .sin 3
4 4 2
c x x c x x
π π

   
+ + − − =
 ÷  ÷
   
ĐS:
4
x k
π
π
= +
Bài 63: Giải phương trình :
os3 os2 cos 1 0c x c x x
+ − − =
ĐS:
2
; 2
3
x k x l
π
π π
= = ± +
Bài 64: Giải phương trình
2 2
os 3 cos2 os 0c x x c x− =
. ĐS:
2
x k
π
=
Bài 65: Giải phương trình :

( )
2
5sin 2 3 1 sinx tanx x− = −
. ĐS:
5
2 ; 2
6 6
x k x l
π π
π π
= + = +
Bài 66: Giải phương trình :
( )
6 6
2 sin os s nx cos
0
2 2sin
x c x i x
x
+ −
=
−
. ĐS:
5
2
4
x m
π
π
= +

Bài 67: Giải phương trình : Tìm các nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2
π
của phương trình :

os3 sin 3
5 sinx 3 os2
1 2sin 2
c x x
c x
x
+
 
+ = +
 ÷
+
 
. ĐS:
5
;
3 3
x x
π π
= =
Bài 68: Giải phương trình :
1
2 tan cot 2 2sin 2
sin 2
x x x

x
+ = +
. ĐS:
3
x l
π
π
= ± +
Bài 69: Giải phương trình :
1 1
2sin3 2cos3
sinx cos
x x
x
− = +
. ĐS:
7
; ;
4 12 12
x k x l x m
π π π
π π π
= + = − + = +
4
Bài 70: Giải phương trình:
3
tan 2 tan 2 1
4
x x
π

 
− = −
 ÷
 
. ĐS :
;
8 2 2
x k x l
π π π
= + =
Bài 72: Giải phương trình :
4 4
4
sin 2 os 2
os 4
tan tan
4 4
x c x
c x
x x
π π
+
=
   
− +
 ÷  ÷
   
ĐS:
2
x m

π
=
Bài 73 : Giải phương trình :
2
tan tan tan 3 2x x x− =
. ĐS:
4 2
x l
π π
= +
Bài 74: Giải các phương trình:
a)
4 4 2
1
sin os os2 sin 2 2 0
4
x c x c x x+ − + − =
b)
3
4cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ =
ĐS:
2
2
4
3
2
4
x k
x l
x m

π
π
π
π
π
π
= +
= +
= +
©
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
«
c)
( )
2
sin 2 3 os2 5 os 2
6
x c x c x
π

 
+ = + −
 ÷
 
ĐS:
7
12
x k
π
π
= +
d)
os4
cot tanx 2
sin 2
c x
x
x
= +
ĐS:
3
x k
π
π
= ± +
e)
( )
2
cos 2sin 3 2 2cos 1
1

1 sin 2
x x x
x
+ − −
=
+
ĐS:
2
4
x k
π
π
= +
f)
( )
( )
cos cos 2sin 3sin sinx 2
1
sin 2 1
x x x x
x
+ + +
=
−
ĐS:
2
4
x k
π
π

= − +
g)
os2 3cot 2 sin 4
2
cot 2 os2
c x x x
x c x
+ +
=
−
h)
( )
4 2
1 2
48 1 cot 2 cot 0
os sin
x x
c x x
− − + =
ĐS:
8 4
x k
π π
= +
E. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX & COSX
Bài 75: Giải các phương trình:
a)
3 sin 2 os2 2x c x+ =
b)
3

3sin3 3 os9 1 4sin 3x c x x− = +
c)
cos7 cos5 3 sin 2 1 sin 7 sin5x x x x x− = −
d)
2 2
2 3 sin . os 2cos 3 4 sin os os
8 8 8 3 3
x c x x x c x c x
π π π π π
 
         
− − + − = + + − +
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
 
         
 
ĐS
5
24
3
2
8
x k
x l
π
π
π
π

= +




= +


e)
3 3
4sin cos3 4 3 . os 3 3 os4 3x x si x c x c x+ + =
ĐS:
24 2
8 2
x k
x l
π π
π π

= − +



= +


f)Tìm nghiệm của phương trình
os7 3 sin7 2c x x− = −
thỏa điều kiện
2 6
5 7
x

π π
< <
ĐS:
53 5 59
; ;
84 12 84
x
π π π
 
∈
 
 
g)
( )
2 3 sinx cos 2 3x+ − = +
. ĐS:
2
2
2
2
3
x k
x l
π
π
π
π

= +




= +


h)
( )
2
1 cos os2 os3 2
3 3 sinx
2cos cos 1 3
x c x c x
x x
+ + +
= −
+ −
ĐS:
2x l
π
=
5
i)
2 2
os 3sin 2 1 sinc x x x− = +
j)
( )
4 4
4 os sin 3 sin 4 2c x x x+ + =
ĐS:
4 2

12 2
x k
x l
π π
π π

= +



= − +


h)
( )
t anx 3cot 4 sinx 3cosx x− = +
ĐS:
3
4 2
9 3
x l
x m
π
π
π π

= − +




= +


k)
3
4sin 1 3sin 3 os3x x c x− = −
l) sin8x-cos6x=
3(sin 6 os8 )x c x+
m)
sin 2 2cos 2 1 sinx 4cosx x x
+ = + −
ĐS:
2
3
x k
π
π
= ± +
n)
3
2cos os2 sinx 0x c x+ + =
ĐS:
2
2
4
x k
x l
π
π
π

π

= +



= − +


o)
2sin 2 os2 7sin 2cos 4x c x x x
− = + −
ĐS:
2
6
5
2
6
x k
x l
π
π
π
π

= +



= +



p)
sin 2 os2 3sin cos 2 0x c x x x
+ + − − =
ĐS:
2
6
5
2
6
2
2
2
x k
x l
x m
x n
π
π
π
π
π
π
π π

= +




= +



= +


= +

q)
( )
sinx sin 2 3 cos os2x x c x+ = +
F. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
( )
sinx cos sin cosa x b x x c± + =
Bài 76: Giải các phương trình:
a)
( )
( )
1 2 sinx cos 2sin cos 1 2 0x x x+ + − − − =
b)
3 3
3
1 sin os sin 2
2
x c x x+ + =
e)
( )
sin 2 4 cos sinx 4x x+ − =
c)

3 3
2sin sinx 2cos cos os2x x x c x− = − +
d)
3
2sin os2 cos 0x c x x− + =
f)
3 3
cos sin os2x x c x+ =
g)
( ) ( )
cos2 5 2 2 cos sinx cosx x x+ = − −
h)
cos sin cos sinx 1x x x+ + =
i)
sinx cos 2sin 2 1x x− + =
j)
1 sinx 1 cos 1x− + − =
k)
( )
sin 2 sinx cos 2x x+ =
l)
sin .cos 2sin 2cos 2x x x x
+ + =
m)
3 3
1
cos sin 1 sin 2
2
x x x+ = −
n)

3 3
cos sin 2sin 2 sinx cosx x x x+ = + +
o)
sin 2 2 sin 1
4
x x
π
 
+ − =
 ÷
 
Bài 77 : Giải các phương trình:
a)
( ) ( )
5 sinx cos sin3 os3 2 2 2 sin 2x x c x x+ + − = +
b)
3 2
cos os 2sin 2 0x c x x+ + − =

c)
3 3
cos sin sinx cosx x x− = −
d)
3 3
1 os sin sin 2c x x x+ − =
e)
2 3
cos sin cos 0x x x+ + =
f)
3 3

sin os 1 tan .tan
4 4
x c x x x
π π
   
+ = − + −
 ÷  ÷
   
g)
( )
3 2
2
1 sinx
3tan t anx 3 8cos 0
os 4 2
x
x
c x
π
+
 
− + − − =
 ÷
 
G. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SINX & COSX
Bài 78:Giải các phương trình:
a)
( ) ( )
2 2
2sin 3 3 sin x cos 3 1 os 1x x c x+ + + − = −

b)
2 2
2sin 3 3 sin x cos os 2x x c x+ − =
c)
2 2
3 os 2sin cos 3sin 1c x x x x+ − =
d)
sin 3 os3 2cos 0x c x x
+ + =
e)
4 2 2 4
3cos 4sin cos sin 0x x x x− + =
f)
( )
2 2
tan sin 2sin 3 os2 sinxcosx x x c x x− = +
g)
2
sin sin 2 2x x+ =
h)
2 2
cos sin 2 3 sin x cos 1x x x− − =
i)
( )
2 2
3 sin 1 3 sin x cos os 1 3 0x x c x+ − − + − =
j)
3
6sin 2cos 5sin 2 cosx x x x− =
k)

3 3 2
cos 4sin 3cos sin sinx 0x x x x− − + =
l)
3
2 2 os 3cos sinx 0
4
c x x
π
 
− − − =
 ÷
 
m) sin2x+2tanx =3
6
n)
( )
3 3
4 os sin cos 3sinc x x x x+ = +
o)
( ) ( )
2
sin 1 t anx 3sin cos sinx 3x x x+ = − +
p)
1
3 sinx cos
cos
x
x
+ =
H. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIẢI BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN SỐ PHỤ

Bài 79: Giải các phương trình:
a)
sin 2 os2 t anx 2 0x c x
+ + − =
HD đặt t =tanx b)
2 2 2
2cos 2 os2 4sin 2 . os 0x c x x c x+ − =
HD t =cos2x
c)
8 8 2
17
sin os os 2
16
x c x c x+ =
HD:
2
sin 2t x=
d)
3
cos 3sinx 3
cos 3sinx 1
x
x
+ = −
+ +
HD
cos 3sinxt x= +

e)
2 2

3tan 4 tan 4cot 3cot 2 0x x x x+ + + + =
f)
2 4
2 4
1 1 27
sin sin
sin sin 4
x x
x x
+ + + =
HD:
2
2
1
sin
sin
t x
x
= +
g)
( )
2 2
3cot 2 2 sin 2 3 2 cosx x x+ = +
HD:
2
cos
sin
x
t
x

=
h)
( ) ( )
2 4 2
2sin 4sin 1 os2 7cos 2 3cos 2 4x x c x x x− = + −
i)
2
2
2
2 tan 5tan 5cot 4 0
sin
x x x
x
+ + + + =
j)
2 3 2 3
tan tan tan cot cot cot 0x x x x x x+ + + + + =
k)
2
2
1 1
cos cos
os cos
x x
c x x
+ = +
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài 80: Giải các phương trình
a)
os3 1 3sin3c x x= −

b) 3sinx+2
cos 2 0x − =
c)
sin cos sinx cos 2x x x− + + =
d)
cos sin3 0x x+ =
e) Tìm nghiệm
( )
0;2x
π
∈
của phương trình
sin 3 sinx
sin 2 os2
1 os2
x
x c x
c x
−
= +
−
. ĐS:
9 21 29
; ; ;
16 16 16 16
x
π π π π
 
∈
 

 
f)
4sin 3 cos 3x x+ =
g)
2
2cos sinx 1x + =
h)
2
2 sin 2 2cos 2 2 2cos 2x x x− = +
i)
4 4
sin os sinx cosx c x x− = +
j)
1
cot t anx
sinx
x = +

K. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN THỨC
Bài 81: Giải các phương trình:
a)
1 sin 2 2 os2x c x+ =
ĐS:
4
12
x k
x l
π
π
π

π

= − +



= +


b)
3 cos 1 cos 2x x− − + =
ĐS:
2x k
π π
= +
c)
3 3 3 3
sin os sin cot os tan 2sin 2x c x x x c x x x+ + + =
ĐS:
2
4
x k
π
π
= +
d)
5cos os2 2sin 0x c x x− + =
e)
2
2sin 3 1 8sin 2 cos 2

4
x x x
π
 
+ = +
 ÷
 
ĐS:
2
12
17
2
12
x m
x n
π
π
π
π

= +



= +


f)
sinx 3cos sinx 3 cos 2x x+ + + =
g)

1 sin 2 1 sin 2
4cos
sinx
x x
x
− + +
=
ĐS:
6
3
x k
x l
π
π
π
π

= +



= +


h)
os2 1 sin 2 2 sinx cosc x x x+ + = +
ĐS:
4
2
x k

x l
π
π
π

= − +


=

i) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình :
(
)
2
os 3 9 160 800 1
8
c x x x
π
 
− + + =
 
 
ĐS: x = -7 ; x = -31
7
L. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CHỨA THAM SỐ m
Bài 82: Định m để phương trình
( )
( )
2 2
3 2 os 1m m c x m m− + = −

có nghiệm . ĐS:
0 1m m
≤ ∪ =
Bài 83:Định m để phương trình
sin 2 3 2cos 3 sinx m x m x+ = +
có nhiều hơn một nghiệm
thuộc khoảng
( )
0;
π
. ĐS:
2 3 2 3
3 3
0
m
m

− < <



≠

Bài 84: Định m để phương trình
sin 2 sinx 2 cosx m m x
+ = +
có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng
3
0;
4

π
 
 
 
ĐS:
2
0
2
1
3
2
m
m
m

≤ ≤


=



=


Bài 85: Định m để phương trình
( )
2
cos 2 2 2 3 os 2 2 0m x m c x m− + + + =
ĐS:

4 2m m
≤ − ∪ ≥ −
Bài 86: Định m để phương trình
4 4
sin osx c x m+ =
có nghiệm . ĐS:
1
1
2
m≤ ≤
Bài 87: Định m để phương trình
( ) ( )
2
2sin 1 2cos 2 2sin 3 4cosx x x m x− + + = −
có đúng 2 nghiệm
thuộc
[ ]
0;
π
. ĐS
1 0 3m m m
< − ∪ = ∪ >
Bài 88: Định m để phương trình
( )
cos 2 2 1 cos 1 0x m x m− + + + =
có nghiệm thỏa
3
2 2
x
π π

< <
. ĐS:
1 0m− ≤ <
Bài 89: Định m đẻ phương trình
4 6
sin os2 cos 0x c x m x+ + =
có nghiệm trên khoảng
0;
4
π
 
 ÷
 
Bài 90: Định m để phương trình
( ) ( )
4 4 6 6 2
4 sin os 4 sin os sin 4x c x x c x x m+ − + − =
có nghiệm
ĐS :
9
1
16
m− ≤ ≤
Bài 91: Định m để phương trình
cos 2 cos 2 1 0x m x m
+ + + =
có nghiệm ĐS:
2 0m
− ≤ ≤
Bài 92: Định m để phương trình

cos4 6sin cosx x x m
+ =
có 2 nghiệm phân biệt trên
0;
4
π
 
 
 
ĐS:
17
2
8
m≤ ≤
Bài 93: Định m để phương trình
( ) ( )
2
cos 1 os2 cos sinx c x m x m x+ − =
có đúng hai nghiệm trên
2
0;
3
π
 
 ÷
 
ĐS :
1
1
2

m− < < −
Bài 94: Định m để phương trình
2
cos 2 4sin cos 2 0m x x x m− + − =
có nghiệm thuộc
0;
4
π
 
 ÷
 
ĐS:
1 4m< <
Bài 95: Định m để phương trình
( )
2
2
1 tan 1 3 0
os
m x m
c x
− − + + =
có nhiều hơn một nghiệm
0;
2
π
 
∈
 ÷
 

ĐS:
1 1
1;
3 2
m m< < ≠
8
Bài 96: Cho phương trình
2
1
3 sin sin 2
2
x x m+ =
(1)
a) Giải phương trình khi m =
3
b) Định m để phương trình (1) có nghiệm
Bài 97:Cho phương trình
( )
2 sin 1 cos
cos
a
a x a x
x
+ + =
(1)
a) Giải phương trình khi a =1 b) Định a để phương trình (1) có nghiệm
Bài 98: Định m để phương trình
cos 2 sin 2 2 1x m x m
− = −
có nghiệm thuộc đoạn

0;
2
π
 
 
 
Bài 99: Định tham số m để phương trình
( ) ( )
sinx cos 2 2 1 sinx cos sin x cosm x x x+ + = + + +
có nghiệm
Bài 100: Cho phương trình
( )
2 2
2cos 2 sin cos os sin sinx cosx x x c x x m x+ + = +
(1)
a) Giải phương trình (1) khi m =2
b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn
0;
2
π
 
 
 
ĐS: a)
4
2
2
2
x k
x l

x m
π
π
π
π
π

= − +


=


= − +


b)
2 2m
− ≤ ≤
Bài 101: Cho phương trình
3 3
cos sinx x m− =
(1)
a) Giải phương trình (1) khi m = -1
b) Định tham số m để phương trình (1) có đúng hai nghiệm thuộc đoạn
;
4 4
π π
 
−

 
 
ĐS: a)
2
2
2
x k
x l
π
π
π π

= +


= − +

b)
2
1
2
m≤ <
Bài 102: Cho
( ) ( )
3
2
os 2 2 sinx cos 3sin 2f x c x x x m= + + − +
a) Giải phương trình f(x) =0 khi m = - 3
b) Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x). Từ đó định m để
( )

2
36f x
 
≤
 
với
x
∀ ∈
¡
ĐS: a)
4
2
2
2
x k
x l
x m
π
π
π
π
π

= − +


=


= +



b)
3 4 2 3m− + ≤ ≤
Bài 103: Cho phương trình
( )
sinx cos 1 1 2sin cosm x x x+ + = +
(1)
a) Giải phương trình (1) khi
1
2
m =
b) Định m để phương trình (10 có nghiệm thuộc đoạn
0;
2
π
 
 
 
ĐS:
1
2 2 2
2
m≤ ≤ − +
Bài 104: Cho phương trình sin2x + 4
( )
cos sinxx m− =
(1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 4
b) Định tham số m để phương trình (1) có nghiệm

9
ĐS: a)
2
2
2
x k
x l
π
π
π
=



= − +

b)
1 4 2 1 4 2m− − ≤ ≤ − +
Bài 105: Cho phương trình :
( )
2 sinx cos 2sin cos 0x x x m+ + + =
. Định m để phương trình có nghiệm.
ĐS:
1 2 2 2m− − ≤ <
Bài 106: Định m để phương trình
3 3
sin osx c x m+ =
có nghiệm x
3
;

4 4
π π
 
∈
 
 
. ĐS:
0 1m
≤ ≤
Bài 107: Định m để phương trình
( )
sin 4 sin 2 os2 2x m x c x m+ − =
có nghiệm x
;
8 8
π π
 
∈ −
 
 
ĐS:
2 1
1
2 2
m− + ≤ ≤
Bài 108: Cho phương trình
( )
1 1 1
sinx cos 1 t anx cot 0
2 sinx cos

m x x
x
 
+ + + + + + =
 ÷
 
(1)
a) Giải phương trình (1) khi
1
2
m =
b) Định m nguyên để phương trình (1) có nghiệm trong khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
ĐS: a)
4
x k
π
π
= − +
b)
3;m m Z≤ − ∈
Bài 109: Cho
( ) ( )
2
2

sin 2 2 sinx cos 3sin 2f x x x x m= + + − +
. Định m để
( )
1f x ≤
với
0;
2
x
π
 
∀ ∈
 
 
ĐS:
3 3 4 2m− ≤ ≤ −
Bài 110: Cho phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
4 6 sin 3 2 1 sinx 2 2 sin cos 3 4 cos 0m x m m x x m x− + − + − + − =
(1)
a) Giải phương trình khi m =2 b) Định m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất x
0;
4
π
 
∈
 
 
ĐS; a)
4

x k
π
π
= +
b) m <
3
4

1m
∪ ≥
Bài 111: Định m để phương trình
( )
( )
4 2 2 2 4
3sin 2 2 sin cos 1 os 0x m x x m c x− + + − =
có đúng hai nghiệm
thuộc khoảng
;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
. ĐS :
1
1
2
m m= − ∪ >
Bài 112: Cho phương trình

( )
2
2
1
cot t anx cot 2 0
os
x m x
c x
+ + + + =
(1)
a) Giải phương trình khi m =
5
2
b) Định m để phương trình vô nghiệm
ĐS: a)
4
x l
π
π
= − +
b)
5 5
2 2
m− < <
Bài 113: Định m để phương trình
( )
2
2
3
3tan t anx cot 1 0

sin
x m x
x
+ + + − =
có nghiệm.
ĐS:
4m ≥
Bài 114: Cho hai hàm số :
( ) ( ) ( )
2sin cos 2cos sinxf x x x x= + −
và
( )
2cos sinx 2sin cos
2sin cos 2cos sinx
x x x
g x
x x x
+ −
= +
+ −
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x)
b) Xác định tham số m để phương trình
( ) ( ) ( )
3 3m g x f x m
 
− = −
 
có nghiệm
10
ĐS: a)

( )
( )
5
ax
2
5
minf
2
M f x
x

=



= −


b)
37
2; 3
16
m m m≤ − ∪ ≥ ≠
Bài 115: Cho
( )
6 4
3cos 2 sin 2 os4f x x x c x m= + + −
và
( )
2 2

2cos 2 3cos 2 1g x x x= +
a) giải phương trình f(x) =0 khi m =0 b) Định m để phương trình f(x)= g(x) có nghiệm
ĐS: a)
4 2
x k
π π
= +
b)
1 0m
− ≤ ≤
Bài 116: Định m để phương trình
9cos 2
t anx 3
2 sinx cos
x
m
x
 
= + +
 ÷
+
 
có nghiệm.
ĐS:
3 3 3
0
2
m m
− −
≤ ∪ >

M. Gía trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Bài 117: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:
a)
cos 2sin 3
2cos sinx 4
x x
y
x
+ +
=
− +
với
( )
;x
π π
∈ −
ĐS: Maxy =2 ; min y =
2
11
b)
sinx
2 cos
y
x
=
+
với
[ ]
0;x
π

∈
ĐS: Max
3
3
y =
khi
2
3
x
π
=
min y =0 khi x= 0 hoặc x =
π
c) Tìm giá trị lớn nhất của
2
sin
2
x
y x= +
trên đoạn
;
2 2
π π
 
−
 
 
ĐS: Max
1
4

y
π
= +
khi
2
x
π
=
d) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
4 2
4 2
3cos 4sin
3sin 2cos
x x
y
x x
+
=
+
. ĐS:
2
2
8 1
ax ;sin
5 3
4
min ;sin 1
3
M y x
y x


= =



= =


e)
sinx os2 sinxy c x= + −
. ĐS:
axy =3M
khi
2
2
x k
π
π
= +
Min y = -1 khi
2
2
x l
π
π
= − +
f)
8 4
2sin os 2y x c x= +
ĐS: Max y = 3 khi

2
x k
π
π
= +
. min y =
1
27
khi
1
cos2
3
x =
g)
2
4sin 2 sin 2
4
y x x
π
 
= + +
 ÷
 
. ĐS: Max y =
2 2+
khi
3
8
x k
π

π
= +
. min y =
2 2−
khi
8
x l
π
π
= − +
h)
2012
sinx cosy x= −
. ĐS: Max y = 1 khi
2
x
π
=
min y = -1 khi x =0
i) Tìm giá trị lớn nhất của
sinx cos cos sinxy x x= +
Max y =
4
2
khi x =
2
4
k
π
π

+
j)
cos sinxy x= +
. ĐS: Max y =
4
8
khi
2
4
x k
π
π
= +
min y = 1 khi
2
2
x l
π
π
= +
k) Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 1
sinx cos
y
x
= +
với
0;
2
x

π
 
∈
 ÷
 
. ĐS: minn y =
2 2
khi
4
x
π
=
Bài 118: Cho hàm số
2 cos 1
cos sinx 2
k
k x k
y
x
+ +
=
+ +
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
k
y
khi k =1
b) Định k để giá trị lớn nhất của
k
y
là nhỏ nhất

ĐS:a) Max y =2 min y =0 b)
1
3
k =
Min( Max
k
y
) =
3 3
3
+
11
Bài 119: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau;
a)
sinx cos
sinx cos 3
x
y
x
+
=
− +
ĐS ;
14
ax
7
14
min
7
M y

y

=



= −


b )
1 cos
sinx cos 2
x
y
x
−
=
+ −
ĐS:
ax 0
min 1
M y
y
=


= −

c)
2

2
os sin x cos
1 sin
c x x
y
x
+
=
+
ĐS:
2 6
ax
4
2 6
min
4
M y
y

+
=



−
=


d)
4 4

sin os sin x cos 1y x c x x= + + +
. ĐS:
17
ax
8
min 1
M y
y

=


=

e)
2
2cos cos 1
cos 1
x x
y
x
+ +
=
+
ĐS:
ax 2
min 1
M y
y
=



=

f)
2 2
2sin 3sin cos 5cosy x x x x= + +
. ĐS:
7 3 2
ax
2
7 3 2
min
2
M y
y

+
=



−
=


g)
1 sinx 1 cosy x= + + +
ĐS:
ax 4 2 2

min 1
M y
y

= +

=


h)
2 2
2 4
sin os 1
1 1
x x
y c
x x
= + +
+ +

2
17
ax
8
min 2sin 1 sin1 2
M y
y

=



= − − +


Bài 120: Tìm dáng điệu của tam giác ABC để
( )
3cos 2 cos cosM A B C= + +
đạt giá trị nhỏ nhất
ĐS: min M =
11
3

Bài 121: Cho tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của
( )
3 cos 3 cos osP B A c C= + +
Max P =
5 3
2
Bài 122: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng P = cosA+cosB+cosC có giá trị lớn nhất nhưng không
có giá trị nhỏ nhất . Max P =
3
2
khi tam giác ABC đều.
Bài 123: Tìm Max , min của:
a) Max của
2 2
sin os
9 9
x c x
y = +

ĐS: Max y =10 b) Max của
15 20
sin osy x c x= +
ĐS: Max y =1
c) Max của
2 2
2 2
2 2
1 1
sin os
sin os
y x c x
x c x
   
= + + +
 ÷  ÷
   
ĐS: Max y=
15
2
d) Max của
2
1
sinx
sin
y
x
= −
với
( )

0;x
π
∈
ĐS : Max y =0
e) min của
2 2
tan tan
6 2
y x x
π π
   
= + + −
 ÷  ÷
   
ĐS: min y =
2
3
Bài 124: Cho A ; B;C là 3 góc của tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của P = cosA+ cosB +cosC . ĐS: Max P =
3
2
N. Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 125: Cho tam giác ABC .
a) Chứng minh rằng
2 2 2
cos os os 1 2cos . os .cosc B c C A c B C+ + = −
b) Tam giác ABC vuông khi chỉ khi
2 2 2
cos os os 1A c B c C+ + =
Baì 126:Chứng minh rằng 3 cạnh AB =c ; BC = a ; AB =c của tam giác ABC lập thành cấp số cộng
khi chỉ khi

cot .cot 3
2 2
A C
=
Bài 127: Chứng minh rằng : Nếu tam giác ABC thỏa
5tan .tan 1
2 2
A B
=
thì 3c =2(a +b)
12
Bài 128: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có cotA ; cotB ; cotC theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì

2 2 2
; ;a b c
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
Bài 129: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng
sin sin sin
tan .tan .cot
cos ó cos 1 2 2 2
A B C A B C
A c B C
+ −
=
+ − +
Bài 130: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng :
a)
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A

+ + =
b)
2 2 2
tan tan tan 1
2 2 2
A B C
+ + ≥
c) Tìm giá trị lớn nhất của P =
tan .tan .tan
2 2 2
A B C
d)
1
tan .tan .tan
2 2 2
3 3
A B C
≤

Bài 131: Cho A ; B ;C là 3 góc của một tam giác . Chứng minh rằng :

tan tan tan cot cot cot 4 3
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
+ + + + + ≥

Bài 132: Cho tam giác ABC không vuông
a) Chứng minh rằng tan A+tan B+tan C= tan A. tan B . tanC
b) Cho thêm góc B nhọn và tan A ; tan B ; tan C theo thứ tự lập thành một cáp số cộng . Chứng minh rằng A ;C
nhọn và

0
60B ≥
Bài 133: Cho tam giác ABC
a) Chứng minh rằng
2 2 2
sin sin sin 1 2sin .sin .sin
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
+ + = −
b)
1
sin .sin .sin
2 2 2 8
A B C
≤
c)
2 2 2
3
sin sin sin 1
4 2 2 2
A B C
≤ + + <
d)
2 2 2
9
2 os os os
2 2 2 4
A B C
c c c< + + ≤
e)

3
cos cos cos
2
A B C+ + ≤
f)
1
cos .cos .cos
8
A B C ≤

Bài 134: Xác định dáng điệu của tam giác ABC để T =cosA+cosB+cosC đạt giá trị lớn nhất
Đáp số tam giác ABC đều thì Max T =
3
2
P. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính các yếu tố trong tam giác
Bài 135: Tính các góc của tam giác ABC biết
3
cos sin sin
2
A B C= + −
. ĐS:
µ µ
µ
0 0
120 ; 30A B C= = =
Bài 136: Tính các góc của tam giác ABC thỏa
( )
5
cos2 3 os2 os2 0
2

A c B c C+ + + =
ĐS:
µ µ
µ
0 0
30 ; 75A B C= = =
Bài 137: Giả sử a ; b;c lần lượt là 3 cạnh đối diện với 3 góc A; B;C của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:

1
2cos . os sin
2 2 2 2
B C b c A
c
a
+
= +
. Tính góc A . ĐS:
µ
0
60A =
Bài 138: Tìm các góc A ;B;C của tam giác ABC thỏa
( )
3
sin .sin sin cos
2
B A C A B− + + =
.
ĐS:
µ µ
µ

0 0 0
30 ; 60 ; 90A B C= = =

Bài 139:Cho tam giác ABC thỏa
( ) ( )
1 cot 1 cot 2A B+ + =
. Tính góc C. ĐS :
µ
0
45C =
Bài 140: Tính các góc của tam giác ABC thỏa
sin sin sin
1 2
3
A B C
= =
. ĐS:
µ µ
µ
0 0 0
30 ; 60 ; 90A B C= = =
Bài 141: Tìm dáng điệu của tam giác ABC để
2 2 2
sin sin sinT A B C= + −
đạt giá trị nhỏ nhất và tìm min T
ĐS:
µ µ
µ
0 0
30 ; 120A B C= = =

và min T = -
1
4
13
Bài 142: Cho tam giác ABC có tanA ; tan B ; tan C theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. định dáng điệu của tam
giác ABC để góc B đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS: min
µ
0
60B =
khi tam giác ABC đều
Bài 143: Cho tam giác ABC không tù thỏa mãn điều kiện :
cos 2 2 2 cos 2 2 cos 3A B C+ + =
. Tính 3 góc của tam
giác ABC. ĐS: Tam giác ABC vuông cân tại A
Bài 144: Tính các góc của tam giác ABC thỏa
2 2 2
sin sin sin 1 2
b c a
A B C

+ ≤


+ + = +


ĐS:
∆
ABC vuông cân tại A
Bài 145: Chứng minh rằng tam giác ABC vuông khi 1 trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

a)
2 2 2
cos os os 1A c B c C+ + =
b)
cos cos
b c
B C
a
+
+ =
c)
cot
2
B a c
b
+
=
d) sin 2A+sin2B=4sin Asin B
e)
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
sin sina b A B a b A B+ − = − +
f)
( ) ( )
3 cos 2sin 4 sin 2cos 15B C B C+ + + =
g)
sin

2 2
B a c
a
−
=
h)
cos 2 os2 os2 1A c B c C
+ + = −
i)
sin
cot cot
cos cos
A
B C
B C
+ =
j)
sin sin
sin
cos cos
B C
A
B C
+
=
+
Bài 146 : Chứng minh rằng tam giác ABC cân khi 1 trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn
a)
sin
2sin

cos
A
C
B
=
b)
sin
2
2
A a
bc
=
c)
tan tan 2cot
2
C
A B+ =
d)
2 2
1 cos 2
sin
4
B a c
B
a c
+ +
=
−
e)
1 cos

2 tan tan
sin
C
A B
C
+
= +
f)
tan
2
b c B C
b c
− −
=
+
g)
3 3
sin . os sin . os
2 2 2 2
A B B A
c c=
h)
( )
( )
2 2
2 2
sin
sin
A B
a b

a b A B
−
−
=
+ +
i)
( )
a tan tan tan
2
A B
A b B a b
+
+ = +
j)
( )
2 2
2 2
2 2
os os 1
cot cot
sin sin 2
c A c B
A B
A B
+
= +
+
Bài 147: Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi 1 trong các điều kiện sau được thỏa:
a) cosA+cosB+cosC=sin
sin sin

2 2 2
A B C
+ +
b)
cot cot cot tan tan tan
2 2 2
A B C
A B C+ + = + +
c)
3 3 3
2
1
cos .cos
4
B C
a b c
a
a b c

=



− −

=

− −

d)

sin sin 2sin
tan 2 tan
B C A
tanB C A
+ =


+ =

e)
2
sin 3 sin 3 sin 3 0
cos .cos sin
2
A B C
C
A B
+ + =



=


f)
sin .sin
2 2 4
A B ab
c
=

g)
3 3 3
2
3
sin .sin
4
a b c
a
a b c
B C

− −
=


− −


≥


h)
1
sin .sin .sin
2 2 2 8
A B C
=




14