April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 1

CHUYÊN ĐỀ 9: SỐ PHỨC
VẤN ĐỀ 1: SỐ PHỨC
1. Khái niệm số phức
a) Tập số phức


b) Số phức (dạng đại số) :
z a bi
 
.
a là phần thực, b là phần ảo,
2
1
i
 
là đơn vị ảo.
c)
z
là số thực
0
b
 
.
z
là số thuần ảo

0
a
 
.
Số 0 vừa là số thực, vừa là số ảo.
d) Hai số phức bằng nhau
'
' '
'
a a
a bi a b i
b b


   




2. Biểu diễn hình học của số phức
Số phức
z a bi
 
được biểu diễn
bởi điểm
( ; )
M a b
hay bởi
( ; )
u a b


trong mặt phẳng Oxy.

3. Cộng, trừ số phức








' ' ' '
a bi a b i a a b b i
      









' ' ' '
a bi a b i a a b b i
      

Số đối của
z a bi

 
là
z a bi
   
.
u

biểu diễn
z a bi
 
,
'
u

biểu diễn
' ' '
z a b i
 
thì
'
u u

 
biểu
diễn
'
z z

và
'

u u

 
biểu diễn
'
z z

.
April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 2

4.

Phép nhân hai s
ố

ph
ứ
c










' ' ' ' ' '
a bi a b i aa bb ab a b i
     





k a bi ka kbi
  

5. Số phức liên hợp của
z a bi
 
là
z a bi
 

Số phức liên hợp ta có một số tính chất sau
a)
z z

;
b)
' '
z z z z
  
;
c)

' '
zz zz

;
d)
'
'
z z
z
z

;
e)
2 2
zz a b
 

f)
z
là số thực
z z
 
,
z
là số ảo
z z
  

6. Môđun của số phức
z a bi

 

a)
2 2
.
z a bi a b z z OM
     

(M là điểm biểu
diễn số phức
z a bi
 
;
b) 0,z z
  

,
0 0
z z
  
;
c)
. ' '
z z z z

;
d)
' '
z
z

z z
 ;
e)
' ' '
z z z z z z
    
.
April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 3

7.

Chia hai s
ố

ph
ứ
c

a)




  
 
2 2

' '
' ' ' ' ' ' '
' ' ( ' ' )
' '
a bi a b i
z a bi
z a b i a b i a b i
aa bb ab a b i
a b
 

 
  
  



b)
1
2
1
z z
z

 ;
c)
1
2
' '. '.
'

.
z z z z z
z z
z z z
z

   ;
d)
'
'
z
z z
z
    
.
8. Căn bậc hai của số phức
a)
z x yi
 
là một căn bậc của số phức
a bi
  

2 2
2
2
x y a
z
xy b


 
   



;
b)
0
 
có đúng một căn bậc hai là
0
z

;
c)
0
 
có hai căn bậ hai đối nhau;
d) Hai căn bậc hai của
0
a

là
a
 ;
e) Hai căn bậc hai của
0
a

là

a i
 ;
9. Phương trình bậc hai
Xét phương trình
2
0
Az Bz C
  
trong đó A, B, C là các số phức cho
trước,
0
A

.
April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 4

2
4
B AC
  

a)
0
 
phương trình có hai nghiệm phân biệt
1

1
2
2
B
z
A
B
z
A
  




  




trong đó

là một căn bậc hai của


b)
0
 
phương trình có nghiệm kép.
10. Dạng lượng giác của số phức
a)





cos sin 0
z r i r
    
là dạng lượng giác của số phức
2 2
cos
sin
r a b
a
z a bi
r
b
r


 


    



 


;

b)

được gọi là một acgumen của z,


;
Ox OM
 
;
c)
1 cos sin
z z i
     
.

11. Nhận, chia số phức dưới dạng lượng giác
Cho




cos sin , ' ' cos ' sin '
z r i z r i
       
:
a)







. ' ' cos ' sin '
z z rr i
     
;
b)
   
 
cos ' sin '
' '
z r
i
z r
     
.
April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 5

12.

Công th
ứ
c Moa
-
vro






cos sin cos sin
n n
r i r n i n
       
 
;


cos sin cos sin
n
i n i n
       
 
.
13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Số phức


cos sinz r i
   
có hai căn bậc hai là
cos sin
2 2
r i
 
 


 
 
và

cos sin cos sin
2 2 2 2
r i r i
      
   
   
   
   

Mở rộng:


cos sinz r i
   
có n căn bậc n khác nhau
2 2
cos sin ; 0,1,2,3 , 1
n
k k
r i k n
n n
     
 
  
 

 

Dạng toán 1: Thực hiện cộng trừ, nhân, chia số phức
Bài tập cơ bản
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau
1.






4 2 3 5
i i i
    

2.
1
2 2
3
i i
 
  
 
 

3.
 
2 5
2 3

3 4
i i
 
  
 
 

April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 6

4.
1 3 1
3 2
3 2 2
i i i
   
    
   
   

5.
4 1 5 3
3 5 4 5
i i
   
   
   

   

6.




2 3 3
i i
 

7.
3 2
1
i i
i i
 



8.
3
1 2
i


9.
1
1
i

i



10.
m
i m

11.
a i a
a i a



12.
  
3
1 2 1
i
i i

 

13.
a i b
i a


14.
2 3

4 5
i
i




Bài 2: Thực hiện các phép tính sau
1.




2 2
1 1
i i
  
2.




3 3
2 3
i i
  

3.



3
3 4
i

4.
3
1
3
2
i
 

 
 

5.




   
2 2
2 2
1 2 1
3 2 2
i i
i i
  
  


6.


6
2
i


April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 7

7.




3 3
1 2
i i
   8.


100
1
i

9.



5
3 3
i

10.
Bài 3: Cho
z x yi
 
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau
1.
2
2 4
z z i
 

2.
1
z i
iz



Bài 4: Phân tích thành nhân tử, với , ,a b c


.
1.
2

1
a

2.
2
2 3
a


3.
4 2
4 9
a b

4.
2 2
3 5
a b


5.
4
16
a

6.
3
27
a



7.
3
8
a

8.
4 2
1
a a
 

Bài 5: Tìm căn bậc hai của số phức sau
1.
1 4 3
i
  2.
4 6 5
i

3.
1 2 6
i
 
4.
5 12
i
 

5.

4 5
3 2
i
 

6.
7 24
i


7.
40 42
i
 

8.
11 4 3
i

9.
1 2
4 2
i

10.
5 12
i
 

April 23, 2014


[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 8

11.
8 6
i

12.
33 56
i



Dạng toán 2: Giải phương trình trên tập số phức
Bài tập cơ bản
Bài 6: Giải các phương trình sau (ẩn z)
1.
2
0
z z
 

2.
2
2
0
z z
 


3.
2 2 4
z z i
  
4.
2
0
z z
 

5.
2 1 8
z z i
   
6.


4 5 2
i z i
  

7.
4
z i
z i

 
 


 

8.
2 1 3
1 2
i i
z
i i
  

 

9.
2 3 1 12
z z i
  

10.




2
3 2 3
i z i i
  

11.
 
1

2 3 0
2
i z i iz
i
 
 
    
 
 
 

12.
1 1
3 3
2 2
z i i
 
  
 
 

13.
3 5
2 4
i
i
z

 


14.




2
3 2 5 0
z i z z
   

15.




2 2
9 1 0
z z z
   

16.
3 2
2 3 5 3 3 0
z z z i
    


Bài 7: Giải các phương trình sau (ẩn x)
April 23, 2014


[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 9

1.
2
3 1 0
x x
  
2.
2
3 2 2 3 2 0
x x
  

3.


2
3 4 3 0
x i x i
    
4.
2
3 . 2 4 0
i x x i
   

5.
2

3 4 2 0
x x
   
6.
2
. 2 . 4 0
i x i x
  

7.
4
3 24 0
x
 
8.
4
2 16 0
x
 

Vấn đề 3: Tập hợp điểm
Bài 8: Hãy xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z
thỏa mãn điều kiện sau
1.
3 4
z z
  
2.
1 2
z z i

   

3.
2 2
z z i z i
   

4.
2 1 2 3
iz z
  

5.
2 2 2 1
i z z
  

6.
3 1
z
 

7.
2 3
z i z i
   

8.
3
1

z i
z i




9.
1 2
z i
  
10. 2
z i z
  

11.
1 1
z
 
12.
1 2
z i
  

Bài 9: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z
thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
1.
2
z i

là một số thực 2.

2
z i
 
là số thuần ảo
3.
. 9
z z




April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 10

Vấn đề 4: Dạng lượng giác của số phức
Bài 10: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau
1.
2 cos sin
3 3
i
 
 

 
 

2.

cos sin
4 4
i
 

3.
1 3
i

4.
4 4
i


5.
sin cos
8 8
i
 
 
6.




1 3 1
i i
 

Bài 11: Thực hiện các phép tính sau

1.




0 0 0 0
3 cos20 sin20 cos25 sin 25
i i 

2.
5 cos sin .3 cos sin
6 6 4 4
i i
   
   
 
   
   

3.




0 0 0 0
3 cos120 sin120 cos45 sin45
i i 

4.





0 0 0 0
2 cos18 sin18 cos72 sin72
i i 

5.
0 0
0 0
cos85 sin85
cos40 sin40
i
i



6.


 
0 0
0 0
2 cos45 sin45
3 cos15 sin15
i
i




April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 11

7.
2 2
2 cos sin
3 3
2 cos sin
2 2
i
i
 
 

 
 
 
 

 
 

8.
2 cos sin
3 3
7 cos sin
2 2

i
i
 
 

 
 
 
 

 
 

Bài 12: Viết dạng lượng giác của các số phức sau
1.
1 3
i

2.
1
i


3.




1 3 1
i i

 
4.


2 3
i i


5.
1 3
1
i
i



6.
1
2 2
i


7.
sin cos
i
  

8.
2 2
i


9.
1 3
i
 10.
3
i


11.
3 0
i


12.
5
tan
8
i




Bài 13: Viết dạng đại số của các số phức sau
1.
0 0
cos45 sin 45
i



2.
2 cos sin
6 6
i
 
 

 
 

April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 12

3.


0 0
3 cos120 sin120
i

4.


6
2
i



5.
  
3
1 1 2
i
i i

 

6.
1
i

7.
1
2 1
i
i



8.


60
1 3
i 
9.
 

40
7
1 3
2 2
1
i
i
i
 


 

 

10.
1 3 3
cos sin
4 4
2
i
 
 

 
 

11.
100
1

cos sin
1 4 4
i
i
i
  
   

   

   

12.
 
17
1
3
i


Bài 14: Tính
1.


0 0
cos12 sin12
i

2.



16
1
i

3.


6
3
i


4.


0 0
3 cos30 sin30
i

5.


0 0
cos15 sin15
i

6.





2008 2008
1 1i i  
7.
21
5 3 3
1 2 3
i
i
 

 

 
8.
12
1 3
2 2
i
 

 
 

9.
2008
1i
i


 
 
 


April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 13

Bài tập tổng hợp
Bài 15: Thực hiện các phép tính sau:
1.






2 3 2 5 4
i i i
   

2.
6 6
1 3 1 7
3 2
i i
   

  

   
   

3.
16 8
1 1
1 1
i i
i i
 
   

   
 
   

4.
3 7 5 8
2 3 2 3
i i
i i
 

 

5.









2 4 5 2 3 4 6
i i i i
     

6.
2 3 2009
1
i i i i
    

7.
2000 1999 201 82 47
i i i i i
   

8.


2
1 , 1
n
i i i n
    


9.
2 3 2000
. .
i i i i

10.






7 13 94
5 100
i i i i i

 
     
Bài 16: Cho các số phức
1 2 3
1 2 , 2 3 , 1
z i z i z i
      
. Tính
1.
1 2 3
z z z
 
2.
1 2 2 3 3 1

z z z z z z
 

3.
1 2 3
z z z

4.
2 2 2
1 2 3
z z z
 

April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 14

5.
3
1 2
2 3 1
z
z z
z z z
 

6.
2 2

1 2
2 2
2 3
z z
z z



Bài 17: Rút gọn các biểu thức sau
1.


4 3 2
1 2 3 1 3
A z iz i z z i
      
với
2 3
z i
 
.
2.




2 3 2
2 2
B z z z z z
    

với
 
1
3
2
z i
 
.
Bài 18: Tìm các số thực x, y sao cho
1.




1 2 1 2 1
i x y i i
    

2.
3 3
3 3
x y
i
i i
 
 
 

3.
   

 
2 2 2 2
1
4 3 3 2 4 3 2
2
i x i xy y x xy y i
      
4.






2 3 3 1 5 6 2
x y i x y i
      

5.


 
3
3 2
1 2 11 4
2 3
x i
y i i
i


   


6.




3
3 2 1 2 9 14
x i y i i
    
Bài 19: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
1.
8 6
i

2.
3 4
i


3.
1
i

4.
7 24
i



April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 15

5.
2
1
1
i
i

 
 

 

6.
2
1 3
3
i
i
 

 

 


7.
1 2
2 2
i

8.
1
i


9.
3
1 3
i
i



10.
1 1
2
2
i


11.


2 1 3

i 
12.
1 1
1 1
i i

 

Bài 20: Giải các phương trình sau:
1.
3
125 0
z
 
2.
4
16 0
z
 

3.
3
64 0
z i
 
4.
3
27 0
z i
 


5.
7 4 3
2 2 0
z iz iz
   
6.
6 3
1 0
z iz i
   

Bài 21: Gọi
1 2
;
u u
là hai căn bậc hai của
1
3 4
z i
 
và
1 2
;
v v
là hai căn bậc
hai của
2
3 4
z i

 
. Tính
1 2 1 2
u u v v
  
?
Bài 22: Giải các phương trình sau trên tập số phức
1.
2
5 0
z
 
2.
2
2 2 0
z z
  

3.
2
4 10 0
z z
  
4.
2
5 9 0
z z
  

5.

2
2 3 1 0
z z
   
6.
2
3 2 3 0
z z
  

7.




0
z z z z
  

8.
2
2 0
z z
  

April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 16


9.
2
2
z z
 

10.
2 3 2 3
z z i
  

11.
3
z z


12.




2
2 2 2 3 0
z i z i
    

Bài 23: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1.
2

4 4
5 6 0
z i z i
z i z i
 
 
  
 
 
 

2.






2
5 3 3 0
z i z z z
    

3.




2 2
2 6 2 16 0

z z z z
    

4.




3 2
1 3 3 0
z i z i z i
     

5.




2
2 2 0
z i z z
   

6.
2
2 2 1 0
z iz i
   

7.





2
5 14 2 12 5 0
z i z i
    

8.
2
80 4099 100 0
z z i
   

9.




2
3 6 3 13 0
z i z i
      

10.


2
cos sin cos sin 0

z i z i
       

Bài 24: Giải các phương trình sau trên tập số phức
1.


2
3 4 5 1 0
x i x i
    

April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 17

2.


2
1 2 0
x i x i
    

3.
2
3 2 0
x x

  

4.
2
1 0
x x
  

5.
3
1 0
x
 

Bài 25: Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
1.
3 2
2 2 0
z iz iz
   

2.
3 2
( 3) (4 4 ) 4 4 0
z i z i z i
      

Bài 26: Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện
1.





2
z z i
 
là số thực
2.
2
z z


3.


2 10
z i   và
. 25
z z


4.
1
1
z
z i



và

3
1
1
z i
z




5.
2
2
2 . 8
z z z z
  
và
2
z z
 

6.
1 5
z
 
và


17 5 . 2
z z z z
  


7.
1
z

và


2
2
1
z z
 

April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 18

8.
2 2
z i
  
. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
9.
1
z

và

1
z z
z
z
 

Bài 27: Tìm số phức z thoản mãn điều kiện sau
1.
2
z  và
2
z
là số thuần ảo
2.
2 2
z z i
  
và
2
2
z i
z


là số thuần ảo
3.
1 2 3 4
z i z i
    
và

2
z i
z i


là số ảo.
4.
5
z

và
7
1
z i
z


là số thực.
Bài 28: Giải các phương trình trùng phương
1.


4 2
8 1 63 16 0
z i z i
    

2.



4 2
24 1 308 144 0
z i z i
    

3.


4 2
6 1 5 6 0
z i z i
    

Bài 29: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa
mãn hệ thức sau:
1.
3
z
z i



2.
2
2
1
z z
 

April 23, 2014


[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 19

3.




2
z z i
 
là số thực 4.
3 4
z z i
  

5.
z i
z i


là số thực

Bài 30: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa
mãn hệ thức sau:
1.



1 3 2
z i z
  
biết z thỏa mãn
1 2
z
 
.
2.


1 3 2
z i z
  
biết rằng z thỏa mãn
1 2
z
 

3.


1 2 3
z i z   biết rằng z thỏa mãn
2
2
3
5
zz
z  

4.


1 1
z i z
  
biết rằng
2 1
z
 

Bài 31: Tính tổng
2 3 1
1
n
S z z z z

     
biết rằng
2 2
cos sinz i
n n
 
  .
Bài 32: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau
1.
4 3 2
1
i i i i
   


2.




1 2
i i
 

3.
2
1
i
i



4. 1 sin cos ,0
2
i

      
.
April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 20


5. 3 cos sin
6 6
i
 
 
 
 
 

6. cot ,
2
i

     

7.
 
sin 1 cos ,0
2
i

      
.
Bài 33: Tìm modun và một acgumen của các số phức sau:
1.


 
 
 

8
6
6 8
2 3 2
1
1
2 3 2
i
i
i
i






2.
 
   
4
10 4
1
1
3 2 3 2
i
i i
 

 


3.




1 3 1 3
n n
i i  

4.
sin cos
8 8
i
 
 
5.
cos sin
4 4
i
 

6.
2 2 3
i
 
7. 1 sin cos ,0
2
i


      

8.
1 cos sin
,0
1 cos sin 2
i
i
    
  
   

April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 21

9.
4 3
i


Bài 34: Tìm moodun và một acgumen của các số phức sau
1.


 
 
 

8
6
6 8
2 3 2
1
1
2 3 2
i
i
i
i






2.
 
   
4
10 4
1
1
3 2 3 2
i
i i
 

 


3.




1 3 1 3
n n
i i  

Bài 35: Chứng minh các biểu thức sau có giá trị thực:
1.




7 7
2 5 2 5
i i  

2.
19 7 20 5
9 7 6
n n
i i
i i
 
   

   

 
   

3.
6 6
1 3 1 3
2 2
i i
   
   

   
   
   

4.
5 5
1 3 1 3
2 2
i i
   
   

   
   
   

5.
6 6
3 1 3

2 2
i i
   
 

   
   
   

Bài 36: Trong các số phức z thỏa mãn các điều kiện sau, tìm số phức z có modun
nhỏ nhất.
April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 22

1.
 


1 2
z z i
  là số thực
2.
2 3
z i z i
   

3. 3 2

iz z i
   

Bài 37: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện sau, tìm số phức z có modun nhỏ
nhất, lớn nhất.
1.
3
2 3
2
z i
  

2.
2 2 2 2
z i  
3.


1
2 1
1
i z
i

 


4.
1 2 1
z i

  

5.
2 4 5
z i  

Bài 38: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
phức sau:
  
4 2 6
; 1 1 2 ;
1 3
i i
i i
i i

 
 

1. Chứng minh rằng ABC là ta, giác vuông cân
2. Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho ABCD là hình vuông.
Bài 39: Giải phương trình
2
1
2
7
z
z
z


 
 
 

 

Bài 40: Chứng minh rằng nếu
1
z

thì
2
1
2
z i
iz




BÀI 3: TUYỂN TẬP SỐ PHỨC THI ĐẠI HỌC
Bài 41: Gọi
1 2
,
z z
là hai nghiệm của phương trình
2
2 10 0
z z
  

. Tính giá trị
của biểu thức
2 2
1 2
A z z
  .
April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 23

Bài 42: Tìm số phức z thỏa mãn
 
2 10
z i   và
. 25
z z


Bài 43: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z
thỏa mãn điều kiện


3 4 2
z i
  

Bài 44: Cho số phức z thỏa mãn
     

2
1 2 8 1 2
i i z i i z
      . Xác định
phần thực và phần ảo của z.
Bài 46: Giải phương trình
4 3 7
2
z i
z i
z i
 
 

trên tập số phức.
Bài 47: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết




2
2 1 2
z i i
  

Bài 48: Cho số phức z thỏa mãn





2
2 1 2
z i i
  

Bài 49: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
điều kiện


1
z i i z
  
Bài 50: Tìm số phức z thỏa mãn
2
z  và
2
z
là số thuần ảo.
Bài 51: Cho số phức z thỏa mãn
     
2
2 3 4 1 3
i z i z i
      Xác định phần
thực và phần ảo của số phức z.
Bài 52: Tìm tất cả các số phức z, biết
2
2
z z z
 

.
Bài 53: Tính mô đun của số phức z biết
  


 
2 1 1 1 1 2 2
z i z i i
      
.
Bài 54: Tìm số phức z biết:
5 3
1 0
i
z
z

  
.
Bài 55: Tìm phần thực và phần ảo của số phức
3
1 3
1
i
z
i
 


 

 

 

Bài 56: Tìm số phức z, biết


2 3 1 9
z i z i
   

April 23, 2014

[SỐ PHỨC]

Nguyễn Ngọc Quang Page 24

Bài 57: Cho số phức z thỏa mãn


5
2
1
z i
i
z

 

. Tính modun của số phức

2
1
z z
   
.
Bài 58: Gọi
1 2
,
z z
là hai nghiệm của phương trình
2
2 3 4 0
z iz
  
. Viết dạng
lượng giác của
1 2
,
z z
.
Bài 59: Cho số phức z thỏa mãn
 


2 1 2
2 7 8
1
i
i z i
i


   

. Tìm mô đun của
số phức
1
z i
   

Bài 60: Giải phương trình


2
3 1 5 0
z i z i
   
trên tập số phức.
Bài 61: Cho số phức
1 3
z i
  . Viết dưới dạng lượng giác của z. Tìm phần thực
và phần ảo của số phức


5
1 .
i z
  
Bài 62: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện





1 2 2
i z i z i
   
. Tính modun
của
2
2 1
z z
z
 
  .