Đề thi HSG cấp tỉnh Daklak. Năm học 10-11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (140.3 KB, 4 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
ĐĂK LĂK NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 9 - THCS
(Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian làm bài 150 phút, không kể giao đề)
Ngày thi: 22/03/2011
Bài 1. ( 4,0 điểm)
Cho biểu thức
2 3
1 2
1 1
2
x x x
P
x x x x
x x x
− −
= − +
− + +
− +
1/ Thu gọn biểu thức P.
2/ Tìm tất cả số thực x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Bài 2. ( 5,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực dương .
1/ Chứng minh rằng
3 3 3
3a b c abc+ + ≥
.
2/ Tính giá trị biểu thức
P ab bc= +
nếu biết
2 2 2
2 2 2
2
2010
2011
a b
b c
b ac
+ =
+ =
=
.
Bài 3. ( 4,0 điểm)
1/ Giải hệ phương trình
2 2
7
2 2 11
xy x y
x y x y
− + =
+ + − =
2/ Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì số
( ) ( ) ( )
12 1 1 2 1 23
n
x n n n n= − + + + +
có thể viết được thành tổng các bình phương của ba số
nguyên dương lẻ liên tiếp.
Bài 4. ( 4,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), có
3BC R=
và AB < AC. Gọi
H là trực tâm tam giác ABC, nối AH cắt đường tròn tại điểm D khác A.
1/ Tính góc BAC. Suy ra tam giác OAH cân;
2/ Chứng minh rằng AD.BC = AB.CD + AC.BD.
Bài 5. ( 3,0 điểm)
Chứng minh rằng nếu lục giác lồi ABCDEF có 6 góc trong bằng nhau thì có
EFAB DE BC CD FA− = − = −
.
HẾT
• Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
• Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh……………… ……………… Số báo danh………
ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9 THCS
HỌC SINH GIỎI TỈNH - NĂM HỌC 2010 - 2011
Ngày thi: 22/03/2011
Bài 1. ( 4,0 điểm)
Cho biểu thức
2 3
1 2
1 1
2
x x x
P
x x x x
x x x
− −
= − +
− + +
− +
1/ Thu gọn biểu thức P.
2/ Tìm tất cả số thực x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Giải.
1/ Điều kiện :
0 2x< ≤
( 0,5 điểm)
( )
1 1 1 2 1 2
1
1 1
1 2 1 1
x x x x x
P x
x x
x x x x
− + − − − −
= + = + = ≠
− −
+ − + +
(0,5x3=1,5 điểm)
Khi x = 1 thì P = 1.
2/
2 2
1
2
x x
P
x
x x
− −
= =
−
+ −
(0,5 điểm)
Chứng minh được :
( )
2 2 2 2 2 2 2x x x x x x x x+ − ≤ + − ≤ + − → ≤ + − ≤
(0,5 điểm)
Nên
1 2P≤ ≤
(0,5 điểm)
1 1P Z P x
→ ∈ ⇔ = ⇔ =
(0,5 điểm)
Bài 2. ( 5 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực dương .
1/ Chứng minh rằng
3 3 3
3a b c abc+ + ≥
.
2/ Tính giá trị biểu thức
P ab bc= +
nếu biết
2 2 2
2 2 2
2
2010
2011
a b
b c
b ac
+ =
+ =
=
.
Giải.
1/
( ) ( )
3
3 3 3 3
3 3 3Q a b c abc a b ab a b c abc= + + − = + − + + −
(0,5 điểm)
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3a b c ab a b c a b c a b c
= + + − + + − + + +
(0,5 điểm)
( ) ( )
2
3 3 3a b c a b c ab ac bc
= + + + + − − −
(0,5 điểm)
( )
( )
2 2 2
a b c a b c ab ac bc= + + + + − − −
(0,5 điểm)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3
2 0 3Q a b c a b b c c a a b c abc
= + + − + − + − ≥ → + + ≥
(0,5 điểm)
2/
Vẽ tam giác vuông ABC đỉnh A, và đường cao AD
có kích thước như hình vẽ có (0,5 điểm)
AB = 2010, AC = 2011 (1,0 điểm)
và
2
ABC
P ab bc S= + =
(0,5 điểm)
2010.2011 4042110P
= =
(0,5 điểm)
b
a
D
B
A
C
c
Bài 3.( 4 điểm)
1/ Giải hệ phương trình
2 2
7
2 2 11
xy x y
x y x y
− + =
+ + − =
2/ Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì số
( ) ( ) ( )
12 1 1 2 1 23
n
x n n n n= − + + + +
có thể viết được thành tổng các bình phương của ba số
nguyên dương lẻ liên tiếp.
Giải.
1/
( ) ( )
( ) ( )
1 1 6
2 2
2 2
1 1 13
7
2 2 11
x y
x y
xy x y
x y x y
+ − =
⇔
+ + − =
− + =
+ + − =
(0,5 điểm)
Đặt u = x+1; v = y-1 . Ta có
( )
2
25
6
u v
uv
+ =
=
(0,5 điểm)
Có hai trường hợp :
+
5 3 2 2 1
6 2 3 3 4
u v u u x x
uv v v y y
+ = = = = =
⇔ ∨ ⇔ ∨
= = = = =
(0,5 điểm)
+
5 3 2 4 3
6 2 3 1 2
u v u u x x
uv v v y y
+ = − = − = − = − = −
⇔ ∨ ⇔ ∨
= = − = − = − = −
(0,5 điểm)
2/
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
12 1 2 1 1 23 12 2 1 23
n
x n n n n n n n n= − + + + + = + − + + +
(0,5 điểm)
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2
12 1 23 12 12 11 2 1 2 1 2 3n n n n n n n= + − + = + + = − + + + +
(0,5x3=1,5 điểm)
Vậy có điều phải chứng minh.
Bài 4.( 4 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), có
3BC R=
và AB < AC. Gọi H là
trực tâm tam giác ABC, nối AH cắt đường tròn tại điểm D khác A.
1/ Tính góc BAC. Suy ra tam giác OAH cân.
2/ Chứng minh rằng AD.BC = AB.CD + AC.BD.
Giải.
1/ Trong tam giác vuông IOC với I là trung điểm BC
có
· ·
0
3
sin 60
2
IC
IOC IOC
OC
= = → =
(0,5 điểm)
·
·
0
1
60
2
BAC BOC→ = =
(0,5 điểm)
Vẽ đường kính AE , có BH, CE cùng vuông góc AC
nên BH//CE, tương tự CH//BE. Nên tứ giác BHCE là
hình bình hành tâm I. (0,5 điểm)
Có OI là đường trung bình tam AHE nên
AH = 2OI = 2OC.sin30
0
= R = OA
Vậy tam giác OAH cân tại A. (0,5điểm)
K
E
D
A
B'
A'
C'
H
B
C
I
O
2/ Ta có
ABK ADC
∆ ∆
:
(
·
·
·
·
;BAK DAC ABK ADC= =
) (0,5 điểm)
Suy ra
. .
AB BK
AB CD AD BK
AD DC
= → =
(1) (0,5 điểm)
Chứng minh tương tự hai tam giác ACK và ADB đồng dạng nên có
. .
AC CK
AC BD AD CK
AD DB
= → =
(2) (0,5 điểm)
Từ (1) và (2) có AD.BC = AB.CD + AC.BD (0,5 điểm)
Bài 5.( 3 điểm)
Chứng minh rằng nếu lục giác lồi ABCDEF có 6 góc trong bằng nhau thì có
EFAB DE BC CD FA− = − = −
.
Giải.
- Theo giả thiết suy ra cả 6 góc trong của lục giác đều bằng
0
120
. (0,5 điểm)
- Vẽ ba phân giác trong BP, DM, FN. Có các tứ giác BCDP,
DEFM, FNBA đều là hình bình hành ( các góc đối bằng nhau)
(1 điểm)
- Tam giác MNP có 3 góc bằng
0
60
là tam giác đều.
(0,5 điểm)
AB DE FN FM MN− = − =
(0,5 điểm)
tương tự suy ra
EFAB DE BC CD FA− = − = −
(0,5 điểm)
A
F
D
P
N
M
B
C
E
Hết
