gi¸o viªn:
T
ống Văn Hiền
- 1 -
22
00
xx
xaxa
≥≥
⇔
==
CHỦ ĐỀ 1
CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI
VẤN ĐỀ 1. CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
a. Căn bậc hai của một số a > 0 là một x sao cho x
2
= a
VD : CBH của 4 là 2 và -2
b. Căn bậc hai số học của một số a không âm là một x, ký hiệu là a
sao cho : x = a
Vậy ta có
VD : 5;24 == 25
Như vậy, khi biết căn bậc số học của một số, ta dể dàng xác đònh được
các căn bậc hai của nó. Chẳng hạn, căn bậc hai số học của 25 là 5 suy
ra 25 có hai căn bậc hai là 5 và -5
• Chú ý :
Với hai số a và b không âm, ta có : a < b ⇔ ba <
II. LUYỆN TẬP
1. Điền vào chổ trống :
12
9
là của họcsố hai bậcCăn f) 26 là của hai bậcCăn e)
0,04 là của hai bậcCăn d)
2
1
là của họcsố hai bậcCăn
haicăn có không Số c)
4
3
là của họcsố hai bậcCăn
±
±)
)
b
a
2. Xác đònh tính đúng (Đ), sai (S) của các khẳng đònh sau :
Khẳng đònh Đ S
a) Mọi số dương đều có hai giá trò căn bậc hai
đối nhau
b) Mọi số thực a đều có một giá trò căn bậc hai
số học
c) Với mọi a ∈ R, aa =
2
d) Với mọi a ∈ R, 0≥− a
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
gi¸o viªn:
T
ống Văn Hiền
- 2 -
e) 5,25,6 <
f) 7,045,0 <
g) 1,001,0 <
h) Nếu 0 < a < 1 thì aa <
i) Nếu a > 1 thì aa >
3. Tìm căn bậc số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng :
121; 144; 169; 225; 256; 324; 361; 400; 0,01; 0,04; 0,49; 0,64; 0,25;
0,81.
4. So sánh :
a) 2 và 3 11) −+ 3 và 1 e) 2 và 2 d) 47 và 7 c) 41 và 6 b
5. Tìm x không âm, biết :
422053) <<−==== 2x f) x e) x d) x c) x b) x a
6. Bài tập trắc nghiệm:
Khẳng đònh Đ S
a) Mọi số dương đều có hai giá trò căn bậc hai
đối nhau
b) Mọi số thực a đều có một giá trò căn bậc hai
số học
c) Với mọi a ∈ R, aa =
2
d) Với mọi a ∈ R, 0≥− a
e) 5,25,6 <
f) 7,045,0 <
g) 1,001,0 <
h) Nếu 0 < a < 1 thì aa <
i) Nếu a > 1 thì aa >
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
gi¸o viªn:
T
ống Văn Hiền
- 3 -
VẤN ĐỀ 2. CĂN THỨC BẬC HAI
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
a) Cho A là một biểu thức đại số, khi đó A được gọi là căn thức
bậc hai.
b) A xác đònh (có nghóa) ⇔ A ≥ 0
c) AA =
2
II. LUYỆN TẬP
1. Tìm điều kiện của x để các căn bậc hai sau đây có nghóa:
2
)27 b) -3x4 c) -2x3
41x
d) e) f)
3-1x3
g) -5x h) 2x i) 1x
ax
x
+++
++
+
2. Rút gọn rồi tính :
() ()
86
2
23)
)1,0()
−+
684
222
(-5)2 h)(-5) g) 3-4- f) (-2)5
(-0,4)0,4 d) (-1,3)- c) (-0,3) b)
e
a
3. Xác đònh tính Đúng (Đ), sai (S) :
Khẳng đònh Đ S
a)
(
)
3131
2
−=−
b)
(
)
1221
2
−=−
c) 11 ±=
d) xx −=−
2
)(
e) -2 a với ≥+=+ 2)2(
2
aa
f) 20)2(
2
−=⇔=+ aa
g) x mọi với axxa =
2
h) 0 x mọi với ≤=− xx 33
2
i) 2- a với <+=+ 2)2(
2
aa
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
gi¸o viªn:
T
ống Văn Hiền
- 4 -
4. Rút gọn các biểu thức sau :
() () ()
() ()
22
4263
222
22
1)25 với a 0 2) 36a
3 với a 0
3) 81a5 4) 7
9a3 với a 0
5)23 6) 3-11 7) 42
8) 3-3 9) 4-17
aaa
aa
−<+≥
+−<
−+
()
2
10) 2323+−
BÀI TẬP BỔ SUNG.
D¹ng bµi to¸n:
(
)
2
2 yxba ±→±
Vi dụ: Tính:
*322
*423
*526
+
+
−
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
.12235,526,1667,828,724,423,18265
27102,1465,17122,743,23,23,945
a +++−+−−
++−−+−−
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
gi¸o viªn:
T
ống Văn Hiền
- 5 -
.526526,
171222488,
1733217332
156633126,
821523415,
3181524615
4959649596,
322526,
174945
b +−−
−−−
−++
−+−
−−−
−+−
−−+
++−
−+
()()
.13302942,
.45354810743
.48.222.222,
945.2185
.
4552
322322
.,
1712217122
2323
.,
2323
2323
.
2323
.2,
.44.
c
d
e
f
g
h
i
jmnmn
kxxyy
+++
++−+
+++−+
−+
+−
−+
−
−+
+−
+
−+
+−
−
−+
+−
++
Dạng tốn : Phân tích thành nhân tử có chứa căn bậc hai :
Ví dụ
a) x
2
– 3 b) x
2
– 6
c) 332
2
++ xx d) x
2
- 2 55 +x
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
gi¸o viªn:
T
ống Văn Hiền
- 6 -
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Phân tích nhân tử :
3241823250
548427275108
22425436150
3841853250
125220380445
2282633175112
−+−
−−+
−+−
−+−
−−+
+−+
Bài 2: Phân tích nhân tử:
1
3285032
2
35021218758
27531227
271275147
83218
6514
92549
1614
236
32775
1
3285032
5
++−
−−+−
−+
−++
−+
−−
++−
VẤN ĐỀ 3. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CĂN THỨC
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
0)B 0;(A
B
A
0)B 0;(A
>≥=
≥≥=
B
A
BABA
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
gi¸o viªn:
T
ống Văn Hiền
- 7 -
II. LUYỆN TẬP
1. Tính :
5,1.5.48.30.4,6.4,0)
63.162.13.45.40.10)
2,7 h)2,5 g)
7 e) 2 d) 52 c) 5 b)
f
a
2. Tính :
42
3.)7.(64.09,0)
80.45)
24
2 h)12,1.360 g) 2 f)
2,5.14,4 d) 90.6,4 c) 75.48 b)
−e
a
3. Rút gọn các biểu thức sau :
0 a với a)-(3 h) 0 a với 5a g)
0 a với 13a f) 0 a với
3
2a
e)
b a với
b-a
1
d) 1 a với a)-27.48(1 c)
3 a với a b) 0a với
2
2
4
>−>−
>>
>−>
≥−<
2
24
22
180.2,0345.
52
8
3
.
)(
)3(36,0)
aaa
a
a
baa
aaa
4. Chứng minh :
(
)
(
)
()
nhau của đảo nghòch số hailà 2006( và 2006
22 b) 17-9
)20052005)
962221238179.)
2
+−
=−++−=+
c
a
5. Rút gọn rồi tính
3- b2;- a tại
2- x tại 9x6x4(1
2
==−+
=++
)44(9)
))
22
2
bbab
a
6. Tính :
0,5
12,5
d)
23
2300
c)
144
25
b)
169
9
)a
7. Rút gọn các biểu thức sau :
()
()
-2)(x 8-4x h)3)(x
2)-(x
g)
0)y1;y(x,
y
1-x
f) 0)(x
x2-x
e) 0) b0;(a
16a
d)
0)n 0;(m
45mn
c) 0)(x
48x
b) 0)(y
4
4
23
>
+
+
+<
−
−
+
−
>≠
−
+−
−
>
++
+
≠<
>>>>
2
2
3
1
)3(
1
12
112
1
128
20
3
7
63
)
232
2
4
2
66
6
3
3
x
xx
x
x
x
x
yy
xx
ba
b
m
x
y
y
a
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
gi¸o viªn:
T
ống Văn Hiền
- 8 -
8. Xác đònh tính đúng (Đ), sai (S) của các phép tính sau :
Khẳng đònh Đ S
a)
12
15.7
7
21
:
2
35
24
=
b) 7.25
01,0.48
63.100
=
c) xyy
xy
yx
=
4
5,0
42
d) 0) z 0; x (với <>=
224
3
2
10.01,0
10
y
x
zy
x
z
Hãy chọn đáp án đúng
Cho biểu thức : 1)(a <
−
−
=
2
2
)1(
36
48
1
a
a
E
)1()1()
2
aaa −+===
8
1
d)
8
1
E c)
8
1
- E b)
8
1
E
9. Cho biểu thức : b a 0 với <<
−
−
=
2
)( ba
ab
a
ba
E .
Sau khi rút gọn ta được :
ba aE d) b-aE c) b- E b)b E ====)
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
gi¸o viªn:
T
ống Văn Hiền
- 9 -
VẤN ĐỀ 4. CÁC PHÉP BIỂN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI
oOo
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
0) (B ≥= BABA .
2
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
0) B 0;A ( BA
0) B 0;(A
≥≤−=
≥≥=
BA
BABA
.
2
2
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
0) AB ; 0(B ≥≠=
B
AB
B
A
4. Trục căn thức ở mẫu
a. Trường hợp mẫu có dạng một tích
0) C 0;(B >≠=
CB
CA
CB
A
.
.
b. Trường hợp có dạng một tổng hoặc một hiệu
CB
CBA
CB
A
−
=
±
)( m
II. LUYỆN TẬP
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn :
2
7.63.a 288000,05- 20000 108 ;;;;54
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
0 y và 0 x với
x
2
x
3
2
- 25- >>;;;53 xy
3. So sánh :
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
gi¸o viªn:
T
ống Văn Hiền
- 10 -
2
1
6 và
2
1
d)
5
1
và
3
1
c) 53 và 7 b) 12 và 33 615051)a
4. Khử mẫu của các biểu thức sau :
b
a
a
b
36
9
;;;;
600
1
3
b
a
;
b
a
ab
50
3
540
11
5. Trục căn ở mẫu của các biểu thức sau :
yx −+−−
+
−+
+ 1
;
710
3
;
56
2
;
32
32
;
13
2
;
1
;
25
222
;
203
1
;
52
5
;
10
5
3
3
6. Rút gọn các biểu thức sau :
()()
(
)
()
3
1
15
11
33
75248
4
3
3
4
12
3
4
)
32:6.)2(35327523818)
80
4
1
5349
49
3
4520
2
3
45)
4
+−+−+
−−−−++−
+−−+−
2
1
h)
48 f) 2 e)
2
1
7
5
c)
49
12
b) 180
g
d
a
7. Rút gọn các biểu thức sau :
8. Trục căn thức sau:
34
1)
6373
6
2)
3223
2
3)
2342
11
4)
432432
+=
−+
=
+
=
+
−=
−+
0) b0; b0; a (
a
aa
c)
0) x 0; (m
x2x-1
m
b)0) b0; (a
b
a
2
≠>>
−
−
+
+
≠>
+−
+
>>++
1
:
1
81
484
.)
2
b
bb
mxmxm
a
b
b
a
aba
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
giáo viên:
T
ng Vn Hin
- 11 -
MT S BI TP RẩN LUYN
Sử dụng ph-ơng pháp trục căn thức:Đ-a ra biểu thức hợp lý, để
liên hợp với mẫu, nhằm mục đích khử các căn số học d-ới mẫu.
()
2
33
2
333
)(
,
bababa
babaaa
hoplien
hoplienhoplien
+
m
m
3333333
333333
53535353511
;;
5353535351235
623230311
;;;;
233235567225236
11322322
;;
10151421252210
322322
1118111
;;;;;
124964115255123423
+++
++
+++
++++++++
++
++++++
+
+++++
bài tập 2.
Dạng bài toán: sử dụng hằng đẳng thức lập ph-ơng.
3
3
3
)( ynxbma Hoặc
Đặt tba =
33
,rồi lập ph-ơng chuyển về ph-ơng
trình bậc ba ẩn t để giải.
(
)
()
33
33
33
3
3
27
847
6
27
847
6.
3152631526.
;725257.
3231526.
3324
25712
.
++
++
+
+
+
+
e
d
c
b
a
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
gi¸o viªn:
T
ống Văn Hiền
- 12 -
c¸c d¹ng bµi tËp TỔNG HỢP VỀ CĂN BẬC HAI
.
VD
1
: Cho biểu thức :
x
x
x
x
x
x
P
−
+
+
+
+
−
+
=
4
52
2
2
2
1
a) Rút gọn P nếu x ≥ 0; x ≠ 4
b) Tìm x để P = 2
VD
2
: Cho biểu thức :
−
+
−
−
+
−
−
=
1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
Q
c) Rút gọn Q với a > 0; a ≠ 4 và a ≠ 1
d) Tìm giá trò của a để Q dương.
VD
3
: Cho biểu thức:
222222
:1
baa
b
ba
a
ba
a
R
−−
−
+−
−
=
với a > b > 0
a) Rút gọn R
b) Xácđònh giá trò của R khi a = 3b
VD
4
: Cho biểu thức :
1 x và 0 x với ≠≥
−
+
+
++
−
−
+
= x
x
x
xx
x
x
x
A
1
1
1
1
12
3
3
a) Rút gọn A
b) Tìm x khi A = 3
VD
5
: Cho biểu thức
9 x và 0 x với ≠>
−
−
+
−
+
+
+
=
xxx
x
x
x
x
x
C
1
3
13
:
9
9
3
a) Rút gọn C
b) Tìm x sao cho C < -1
VD
6
: Cho biểu thức :
(
)
ab
abba
ba
abba
A
+
−
−
−+
=
4
2
a) Tìm điều kiện để A có nghóa
b) Khi A có nghóa, chứng minh rằng giá trò của A không phụ thuộc
vào a
VD
7
: Một số bài theo SGK
Chứng minh đẳng thức sau:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
giáo viên:
T
ng Vn Hin
- 13 -
1)
22
2222
1
1
1
1
1
:)
2
57
1
:
31
515
21
714
)
5,1
6
1
.
3
216
8
6
)
2
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
=
+
=
ba
ba
ab
ba
bbaa
f
ba
b
ab
b
ba
ba
ba
b
a
a
aa
ba
baab
abba
c
b
a
a
e)
1) a vaứ 0 a (vụựi
a
aa
1 d)
b)a vaứ dửụng ba, (vụựi
32
MT S BI TP RẩN LUYN
Bài tập 1.
Cho biểu thức:
14
423
=
x
xx
A
1. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
2. Tính A
2
.
3. Rút gọn A.
Bài tập 2.
Cho biểu thức:
(
)
ab
abba
ba
abba
A
+
+
=
4
2
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tính giá trị A khi:
.
322
32
,
322
32
,2.2
.5,52,1.2
=
++
+
=
==
ba
ba
3. Tính giá trị của a khi:
a) A=3 và b=2.
b) A=-2006 và b=2006.
c) A=2 và b=a
2
-2.
4. Với mối quan hệ nào của a và b thì A=0.
Chú ý: Cũng với câu hỏi nh- trên ứng với biểu thức:
(
)
ab
abba
ba
abba
A
+
+
=
4
2
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
giáo viên:
T
ng Vn Hin
- 14 -
Bài tập 3.
Cho biểu thức:
ab
ba
aab
b
bab
a
A
+
+
+
= ; a,b> 0 ; a b
1. Rút gọn A.
2. Tính giá trị của A khi 526;526 =+= ba
3. Tìm kiều kiện của a để A=1.
Bài tập 4.
Cho biểu thức:
2
1
:
1
1
11
2
+
++
+
+
=
a
aaa
a
aa
a
A
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Chứng minh rằng A > 0 với mọi a 0, a 1.
Bài tập 5.
Cho biểu thức:
+
+
+
+
+
=
mnn
m
mnm
n
mn
nm
nm
nm
A :
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tính giá trị của A biết: 32;32 =+= nm .
3. Với điều kiện nào của m, n để biểu thức nhận giá trị 4= mA
Bài tập 6.
Cho biểu thức:
+
+
+
= 1
1
1
1 a
aa
a
aa
A
1. Tìm điều kiện để A có nghĩa.
2. Rút gọn biểu thức A.
3. Tìm a để A = -a
2
.
4. Tìm a để A = 0.
Bài tập 7.
Cho biểu thức:
+
+
=
112
1
2
x
xx
x
xx
x
x
A
1. Tìm điều kiện để A có nghĩa.
2. Rút gọn biểu thức A.
3. Tìm x để A > (-6).
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
giáo viên:
T
ng Vn Hin
- 15 -
Bài tập 8 Cho biểu thức:
(
)
()
xx
x
xx
A 82
123
2
2
2
2
2
++
+
=
1. Rút gọn biểy thức A.
2. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài tập 9.
Cho biểu thức:
ba
bab
aba
ab
abA
+
= : ; a,b>0; ab.
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm a để A = a
2
.
3. Chứng minh rằng A < (a+1)
2
; với mọi a,b>0; ab.
4. Tìm a, b để A< (-a
2
).
Bài tập 10.
Cho biểu thức:
1
1
+
+
=
xx
xx
A
1. Rút gọn A.
2. Tìm x biết A=2x.
3. Tìm giá trị của A, biết
223
1
+
=x
Bài tập 11.
Cho biểu thức:
+
+
+
=
1
3
1
3
x
xx
x
xx
A
1. Xác định x để A có nghĩa.
2. Rút gọn A.
3. Tìm x, biết A = 8.
4. Tìm x, biết A = x
2
+ 9.
Bài tập 12.
Cho biểu thức:
11
1
1
1
3
22
+
+
+
+
+
=
a
aa
aa
aaa
a
A ; với a > 1.
1. Rút gọn A.
2. Chứng minh A 0 , với mọi a > 1.
3. Tìm a để A = 0.
4. Tính A, biết a = 10.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
giáo viên:
T
ng Vn Hin
- 16 -
Bài tập 13.
Cho biểu thức: 1
1
1
1
1
+
+
=
aa
A
1. Rút gọn A.
2. Tìm các giá trị nguyên của a, để A nhận giá trị nguyên.
Bài tập 14.
Cho biểu thức:
.1;4;0,;
1
1
22
2
2
3
>
+
= xyxyx
x
x
yxyxx
x
yxy
x
A
1. Rút gọn A.
2. Tìm tất cả các số nguyên d-ơng x để y = 625 và A<0,2.
Bài tập 15.
Cho biểu thức:
(
)
(
)
baba
baa
babbaa
a
baba
a
A
222
1
:
133
++
+
++
=
1. Rút gọn A.
2. Tìm các giá trị nguyên của a, để A nhận giá trị nguyên.
Bài tập 16.
Cho biểu thức:
(
)
()
.2;
2
2
:
2413
2413
223
223
+
++
+
= a
a
a
aaaa
aaaa
A
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm a, biết A = a
2
.
3. Tìm các giá trị nguyên của a, để A nhận giá trị nguyên.
Bài tập 17.
Cho biểu thức:
+++
+
+
=
1
2
1
1
:
1
2
1
aaaa
a
a
a
a
A
1. Rút gọn A.
2. Tìm cac giá trị của A nếu 200622007 =a .
Bài tập 18.
Cho biểu thức:
+
+
+
+=
aaaa
a
a
a
a
A
1
2
1
1
:
1
1
1. Rút gọn A.
2. Tìm a để A<1.
3. Tìm A nếu 3819 =a .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
giáo viên:
T
ng Vn Hin
- 17 -
Bài tập 19.
Cho biểu thức:
aa
a
a
A
+
+
=
1
1
1
1
1
42
3
2
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm giá trị lớn nhất của A.
Bài tập 20.
Cho biểu thức: A =
+
+
aa
a
a
a
a
11
1
:
1
22
1
1. Rút gọn A.
2. Tìm giá trị của a để A đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập 21.
Cho biểu thức:
33
33
:
11211
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
A
+
+++
++
+
+=
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Cho xy = 6. Xác định x, y để A có giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 22.
Cho biểu thức:
+
+
=
1
1
1
3
:
1
1
1
8
1
1
xx
xx
x
x
x
x
x
x
A
1. Rút gọn A.
2. So sánh A với 1.
Bài tập 23.
Cho biểu thức:
+
+
++
+
= a
a
a
aa
a
a
a
A
1
1
1
1
12
3
3
1. Rút gọn A.
2. Tìm a để A a 1 <0; (hoặc xét dấu của biểu thức A a 1 ).
Bài tập 24. Cho biểu thức:
121
2
1
12
1
+
+
+=
a
aa
aa
aaaa
a
aa
A
1. Rút gọn biểu thức A
2. Tính a, biết
16
6
+
=A .
3. Chứng minh A > 2/3.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
giáo viên:
T
ng Vn Hin
- 18 -
Bài tập 25.
Cho biểu thức:
(
)
yx
xyyx
xy
yx
yx
yx
A
+
+
+
=
2
33
:
1. Rút gọn A.
2. Chứng minh A 0.
Bài tập 26. Cho biểu thức:
+
+
+
+
= 1
3
22
:
9
33
33
2
a
a
a
a
a
a
a
a
A
1. Rút gọn A.
2. Tính giá trị của A với
32
8
+
=a .
Bài tập 27.
Xét biểu thức:
+
+
+
=
1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x
A
1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A0.
Bài tập 28. Cho biểu thức:
+
= 1
12
2
41
21
:1
41
4
x
x
x
x
x
xx
A
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm các giá trị của x để A > A
2
.
3. Tìm các giá trị của x để |A| > 1/4.
Bài tập 29.
Cho biểu thức:
2
22
;
2
232
3
+
+++
=
=
x
xxx
B
x
xx
A
1. Rút gọn A và B.
2. Tìm x sao cho A=B.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
gi¸o viªn:
T
ống Văn Hiền
- 19 -
CHỦ ĐỀ 2
HÀM SỐ BẬC NHẤT
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
v Hàm số bậc nhất có dạng tổng quát là : y = ax + b (a ≠ 0) (*)
v Hàm số (*) đồng biến khi a > 0
v Hàm số (*) nghòch biến khi a < 0
v Đồ thò của hàm số (*) là đường thẳng có hệ số góc là a.
v Cho hai đường thẳng :
(d
1
) : y = a
1
x + b
1
(d
2
) : y = a
2
x + b
2
• (d
1
) // (d
2
) ⇔
≠
=
21
21
bb
aa
• (d
1
) cắt (d
2
) ⇔ a
1
≠ a
2
• (d
1
) trùng (d
2
) ⇔
=
=
21
21
bb
aa
II. LUYỆN TẬP
1. Cho hàm số : y = x
4
3
. Tính
f(-5); f(-4); f(-1); f(0); f( )
2
1
f(1); f(2) f(4) f(a) f(a+1)
2. Trong các hàm số dưới nay, hàm nào là hàm số bậc nhất ? Hãy xác đònh
các hệ số a, b và xét tính đồng biến hay nghòch biến của nó
a) y = 3 – 0,5x b) y = -1,5x c) y = 5 – 2x
2
d) y = 1)12( +− x e) y = )2(3 −x f) y + 32 −= x
3. Cho hàm số bậc nhất y = (m + 1)x + 5
a) Tìm m để hàm số là hàm đồng biến
b) Tìm m để hàm số là hàm nghòch biến
4. Cho hàm số y = (m – 3)x
a) Tìm m để hàm đồng biến
b) Tìm m để đồ thò hàm số đi qua điểm A(1; 2)
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
gi¸o viªn:
T
ống Văn Hiền
- 20 -
c) Tìm m để đồ thò hàm số đi qua điểm B(1; -2)
d) Vẽ đồ thò ứng với m tìm được ở câu b), c)
5. Cho hàm số y = (a – 1)x + a.
a) Tìm a để đồ thò hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
b) Tìm a để đồ thò hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoàng độ bằng -3
c) Vẽ đồ thò hàm số ứng với a tìm được ở câu a, b trên cùng hệ trục tọa
độ và tìm tọa độ giao điểm
6. a) Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ Oxy đồ thò các hàm số sau :
D
1
: y = x
D
2
: y = 2x
D
3
: y = -x + 3
b) Đừơng thẳng D
3
cắt D
1
, D
2
theo thứ tự tại A, B. Tìm tọa độ của A, B và
tính diện tích tam giác OAB.
7. Biết rằng với x = 4 thì hàm số y = 2x + b có giá trò là 5.
a) Tìm b
b) vẽ đồ thò ứng với b tìm được ở câu a
8. Cho đường thẳng y = (1 – 4m)x + m – 2 (d)
a) Tìm m để (d) đi qua gốc tọa độ
b) Tìm m để (d) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng
2
3
c) Tìm m để (d) cắt trục hoàng tại điểm có hoành độ bằng
2
1
9. Cho đường thẳng y = (m – 2)x + n (m ≠ 2) (d)
Tìm các giá trò của m và n trong mỗi trường hợp sau :
a) (d) đi qua hai điểm A(-1; 2); B(3; -4)
b) (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 - 2 và cắt trục hoành
tại điểm có hoành độ bằng 2 + 2
c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng -2y + x – 3 = 0
d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1
e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y – 2x + 3 = 0
8. Với giá trò nào của m thì đồ thò hai hàm số y = 2x + 3 + m và y = 3x + 5
– m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung
9. Tìm giá trò của a để hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x +
1 song song nhau
10. Xác đònh k và m để hai đường thẳng sau nay trung nhau :
y = kx + (m – 2) ; y = (5 – k)x + (4 – m)
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
gi¸o viªn:
T
ống Văn Hiền
- 21 -
13. a) Vẽ đồ thò hai hàm số sau trên cùng mặt phẳng tọa độ :
y = 0,5x + 2; y = 5 – 2x
b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng trên với trục hoành theo thứ tự là A
và B và giao điểm của hai đường thẳng là C. Tìm tọa độ A, B, C
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
gi¸o viªn:
T
ống Văn Hiền
- 22 -
CHỦ ĐỀ 3
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
Phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng tổng quát : ax + by + c = 0 (1)
Nghiệm tổng quát của phương trình (1) là :
−=∈
b
c
-x y
b
a
Rx ;
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng tổng quát là :
=+
=+
''' cybxa
cbyax
(*)
Hệ (*) có vô số nghiệm nếu :
'
'
'
c
c
b
b
a
a
==
Hệ (*) vô nghiệm nếu :
'
'
'
c
c
b
b
a
a
≠=
Hệ (*) có nghiệm duy nhất nếu :
'
'
b
b
a
a
≠
Để giải hệ phương trình ta có thể dùng phương pháp thế hoặc phương pháp
cộng đại số (xem trong sách Toán 9 tập 2).
II. LUYỆN TẬP.
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau :
=
=
=+
=
=
=+
=
=+
=+
=
62y-6x
3y-3x
e)
6y3x
12y-7x
d)
53y-x
35y4x
c)
-8y-2x
15y3x
b)
232y5x
5y-3x
)a
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau :
=−
=+
=
=+
=+−
−=−
=+
=
=+
=+
=+
=
=
=+
=+
=
2
9
323
5322
h)
96y-0,75x
-2,64y0,35x
g)
187852
7215453
f)
-813y12x
57y-8x
)
414y9x
14,2y3,3x
d)
0,521y15x
89y-10x
c)
-243y-4x
167y4x
b)
3111y10x
-711y-2x
)
yx
yx
yx
yx
e
a
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau :
−=
−
−
+
=
−
+
+
=+
=−
=−
=+
+=+
++=+
+=+
+=+
8
311
8
51
yx
1
e)
35
94
9
7
x
15
d)
5
111
5
411
)
2xy-2)-x)(y(y1)x)(y-(y
2xy1)y)(x-(x1) -y)(x (x
b)
3) 1)(2y -(6x 6) -1)(3y (4x
1) -7)(y (2x5)3)(2y-(x
)
yxyx
yx
yx
y
yx
yx
c
a
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
gi¸o viªn:
T
ống Văn Hiền
- 23 -
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau :
−−=+
−=+−
−−=+
−=+
xyx
xy
yxx
xyx
a
3)12(5)27(3
)32()1(54x
b)
12)5(342
13)2(5
)
22
Bài 6. Tìm giá trò của a và b để hai đường thẳng :
(d
1
) : (3a – 1)x + 2by = 56
(d
2
) : 3)23(
2
1
=+− ybax
Cắt nhau tại điểm M(2; -5)
Bài 7. Tìm a và b
a) để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3) và B
−1;
2
3
b) Để đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9; -6 và đi qua giao điểm
của hai đường thẳng (d
1
) : 2x + 5y = 17; (d
2
) : 4x – 10y = 14
Bài 8. Cho hệ phương trình :
=+
=−+
132
012
yx
yx
Nghiệm của hệ là :
=
=
=
=
=
=
−=
=
0y
1x
D)
1y
-1x
C)
2
1
y
0x
B)
1
1
)
y
x
A
Bài 9. Với giá trò nào của m thì hệ sau vô nghiệm :
=+
=−+
3
0132
ymx
yx
kháctrò giáMột D) 0m C)
3
2
m B) ==−=
3
2
)mA
Bài 10. Với giá trò nào của m thì hệ sau vô số nghiệm :
=+
=+
42
23
ymx
yx
A) m = 0 B) m = 3 C) m = 6 D) m = 9
=−
=+
=
=+
=+−
−=−
=+
=
=+
=+
=+
=
=
=+
=+
=
2
9
323
5322
h)
96y-0,75x
-2,64y0,35x
g)
187852
7215453
f)
-813y12x
57y-8x
)
414y9x
14,2y3,3x
d)
0,521y15x
89y-10x
c)
-243y-4x
167y4x
b)
3111y10x
-711y-2x
)
yx
yx
yx
yx
e
a
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
giáo viên:
T
ng Vn Hin
- 24 -
Mt vi dng toỏn khỏc thng gp:
1) VD
1
: Giải hệ ph,ơng trình
=+
=+
1
y
10
x
6
36
13
y
3
x
4
Giải :
Đặt ẩn phụ :
y
Y
x
X
1
;
1
==
Ta có hệ :
=+
=+
36
36
106
36
13
34
YX
YX
2) Ví dụ 2:
Giải hệ ph,ơng trình
=
+
+
=
+
+
1
14
8
312
7
1
14
5
312
10
xx
xx
3) Ví dụ 3:
Giải hệ ph,ơng trình :
=++
=++
=++
)3(232
)2(323
)1(1132
zyx
zyx
zyx
H-ớng dẫn: Rút z từ (1) thay vào (2); (3)
4) Ví dụ 4: Giải hệ ph,ơng trình:
=++
=++
)2(12
)1(6
222
zyx
zyx
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
giáo viên:
T
ng Vn Hin
- 25 -
H-ớng dẫn: Nhân (1) với 4 rồi trừ cho (2)
=> (x
2
+ y
2
+ z
2
) 4( x+ y + z ) = 12 24
x
2
4x + y
2
-4y + z
2
- 4z + 12 = 0
( x
2
4x + 4 ) + ( y
2
4y + 4 ) + ( z
2
4z -4 ) = 0
( x 2 )
2
+ ( y 2 )
2
+ ( z 2 )
2
= 0
=> x = y = z = 2
5) Ví dụ 5:
Giải hệ ph-ơng trình
=
+
=
+
+
4
3
2
1
3
5
3
1
1
2
yx
yx
( Đề thi vào 10 năm 1998 - 1999)
6) Ví dụ 6:
Giải hệ ph-ơng trình :
=
+
+
=
+
+
5
1
3
1
1
11
1
1
1
5
yx
yx
Câu 1 Cho hệ ph-ơng trình .
=+
=
nyx
nymx
2
5
a) Giải hệ khi m = n = 1 .
b) Tìm m , n để hệ đã cho có nghiệm
+=
=
13
3
y
x
Cho hệ ph-ơng trình :
=+
=
2
2
2
yx
mmyx
a) Giải hệ khi m = 1 .
b) Giải và biện luận hệ ph-ơng trình .
Câu 2 . Cho hệ ph-ơng trình :
=+
=+
13
52
ymx
ymx
a) Giải hệ ph-ơng trình với m = 1
b) Giải biện luận hệ ph-ơng trình theo tham số m .
Tìm m để hệ ph-ơng trình có nghiệm thoả mãn x
2
+ y
2
= 1
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version