hướng dẫn giải hệ phương trình 1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (91.99 KB, 2 trang )
Giải hệ phương trình
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
3
2
2 2 2
16 7 5 5 1 2 3 7 5
4 16 4 4 9 64 0
x y x x y y y x
x x y y y xy x x y
+ + + − + = − − + +
+ + + + + + + − + + =
Lời giải của Facebook :Ngón Chân Cái
Câu này anh đăng lên từ hôm 14/05/2015 và hôm nay 15/05/2015 anh sẽ chữa nhé !!!
*) Cảm quan đầu tiên khi nhìn vào hệ phương trình này thì phương trình 1 của hệ không thể ăn tươi nuốt sống
nó được, và cái phương trình 2 của hệ nó nghe có vẻ đối xứng với x và y. Ta sẽ biến đổi phương trình thứ 2 của
hệ xem sao
( )
( )
( )
2
2 2 2
4 16 4 4 9 64 0x x y y y xy x x y+ + + + + + + − + + =
( )
2
2 2 2 2
4 4 16 4 4 16 9 64x xy y y xy x x y⇔ + + + + + + + = + +
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
2 4 2 4 9 64x y y x x y⇔ + + + + + = + +
Chọn
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
3 ;8
9 64
(2 ;4)
2 ;4
2 4
2 4
a b x y
a b x y
a x y
b y x
a x y
b y x
+ = +
+ = + +
= +
⇒
= +
= + +
= + +
r r
r r
r
r
r
r
Đến đây ta sử dụng bất đẳng thức vecto quen thuộc
a b a b+ ≥ +
r r r r
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
2 4 2 4 9 64x y y x x y⇒ + + + + + ≥ + +
. Vậy nghiệm của phương trình 2 cũng là điều kiện để
bất đẳng thức trên xảy ra dấu bằng
⇔
a
r
và
b
r
cùng chiều
⇔
2 4
1
2 4
x y
x y
y x
+
= = ⇔ =
+
*) Nhiều bạn giải được ra
x y=
rất hồn nhiên kết luận là thế lên phương trình 1 của hệ sẽ ra kết quả nhưng
khi thế lên không phải ai cũng giải được đâu nhé! Anh sẽ thế
x y=
lên và sắp xếp lại phương trình 1 của hệ
thành như sau:
( )
3 2 3 2
7 16 5 1 2 3 7 5x x x x x x+ + + = − − − +
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
3
2 2
3
2 4 3 1 2 1 2 2 4 3x x x x x x x x⇔ + + + − = − − + − + −
Đặt
( ) ( )
( )
2
3
2
1 2 2 4 3
m x
n x x x x
= +
= − + − + −
( ) ( )
( )
( )
( )
3 2 2
1 2 2 4 3 1 2 4 3n x x x x x m x x⇒ = − + − + − = − − + −
Khi đó phương trình đã cho trở thành hệ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 2 3 2
3 2 3 2
4 3 1 2 4 3 1 2
1 2 4 3 4 3 1 2
m x x x n m x x x n
n x m x x n x x x m
+ + − = − + + − = −
⇔ ⇔
= − − + − + + − = −
Đây là hệ đối xứng loại 2, giải bằng cách
trừ vế cho vế 2 phương trình của hệ cho nhau ta được
( ) ( )
3 3
1 2n m x m n− = − −
( )
( )
2 2
1 2 0n m n nm m x⇔ − + + + − =
( )
2
2
3
1 2 0
2 4
m m
n m n x
⇔ − + + + − =
÷
÷
÷
( )
( )
2
2
3 2
1 2 0
2 4
x
m
n m n x
+
÷
⇔ − + + + − =
÷
÷
( )
2
2
3 4 16
0
2 4
m x x
n m n
+ +
⇔ − + + =
÷
÷
÷
2
2
3 4 16
0
2 4
n m
m x x
n
=
⇔
+ +
+ + =
÷
Dễ thấy
2
2
3 4 16
0
2 4
m x x
n
+ +
+ + =
÷
vô nghiệm do
2
3 4 16 0x x+ + >
⇔
( ) ( )
( )
2
3
2 1 2 2 4 3n m x x x x x= ⇔ + = − + − + −
3 2
2 3 7 5x x x⇔ + = − − +
3 2
3
9 19 3 0 3 2 2
3 2 2
x y
x x x x y
x y
= = −
⇔ + + + = ⇔ = = − −
= = − +
.
Vậy hệ đã cho được giải quyết xong!!!
