HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 1
A.HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG
(A¬2010)1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d
1
:
3 0+ =x y
và d
2
:
3 0x y− =
. Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d
1
tại A, cắt d
2
tại hai điểm B và C sao
cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện
tích bằng
3
2
và điểm A có hoành độ dương.
2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường
thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y
−
4 = 0. Tìm tọa
độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác
đã cho.
3.(A–2002). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho
ABC∆
vuông tại A, biết phương
trình của cạnh
(BC): x 3 y 3 0− − =

. Điểm A, B thuộc Ox và bán kính đường tròn nội
tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của
ABC∆
.
4.Cho hai đường tròn (C
1
): x
2
+ y
2
= 13 và (C
2
): (x – 6)
2
+ y
2
= 25 cắt nhau tại A(2 ; 3).
Lập phương trình đường thẳng qua A cắt hai đường tròn hai dây cung có độ dài bằng
nhau

5.Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d
1
: x – 2y + 3 = 0, d
2
: 4x + 3y – 5 = 0.
Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I trên d
1
, tiếp xúc d
2
và có bán kính R = 2.

6. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x – 2y – 1 = 0, đường
chéo BD: x – 7y + 14 = 0 và đ/chéo AC qua điểm M(2 ; 1). Tìm các đỉnh của hình chữ
nhật.

7.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x
2
+ y
2
– 6x
+ 5 = 0. Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với (C) mà
góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60
0
.
8.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x
2
+ y
2
– 6x
+ 5 = 0. Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với (C) mà
góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60
0
.
9.Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(1;0) ; B(–2;4) ;C(–1; 4) ; D(3 ; 5) và đường
thẳng d: 3x – y – 5 = 0. Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện
tích bằng nhau.

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 2
10.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d: x - 2y -2 = 0 và điểm
A(0;1) ; B(3; 4). Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng d sao cho 2MA
2

+ MB
2
là nhỏ
nhất.
11. Trong mp với hệ trục tọa độ Oxy cho parabol (P):
2
y = x - 2x
và elip (E):
2
2
x
+ y =1
9
.Chứng minh rằng (P) giao (E) tại 4 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn. Viết
phương trình đường tròn đi qua 4 điểm đó
12.Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d
1
: x + y + 5 = 0, d
2
: x + 2y – 7 = 0 và
tam giác ABC có A(2 ; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d
1
và

điểm C thuộc d
2
. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
13. Cho ∆ABC có B(1; 2), phân giác trong góc A có phương trình (∆): 2x + y – 1 = 0;
khoảng cách từ C đến (∆) bằng 2 lần khoảng cách từ B đến (∆). Tìm A, C biết C thuộc
trục tung.

14. Cho ∆ ABC có diện tích bằng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G ∈ (d) 3x – y –8
=0. Tìm bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC.
15.Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có
phương trình
( ) ( )
2512
22
=++− yx
theo một dây cung có độ dài bằng 8.
16.Cho
∆
ABC biết: B(2; -1), đường cao qua A có phương trình d
1
: 3x - 4y + 27 = 0,
phân giác trong góc C có phương trình d
2
: x + 2y - 5 = 0. Tìm toạ độ điểm A.
17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
,Oxy
cho tam giác
ABC
có
)6;4(A
, phương trình các
đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh
C
lần lượt là
0132 =+− yx
và
029136 =+− yx

. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
18.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
,Oxy
xét elíp
)(E
đi qua điểm
)3;2( −−M
và có
phương trình một đường chuẩn là
.08 =+x
Viết phương trình chính tắc của
).(E
19.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
: 2 3 0x y∆ + − =
và hai điểm A(1; 0),
B(3; - 4). Hãy tìm trên đường thẳng
∆
một điểm M sao cho
3MA MB+
uuur uuur
nhỏ nhất.
20. Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mp tọa độ là 5x - 2y + 6 = 0; 4x + 7y
– 21 = 0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng
với gốc tọa độ O
21.Tìm phương trình chính tắc của elip (E), biết tiêu cự là 8 và (E) qua điểm M(–
15
;
1).

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 3
22 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình:
1
916
22
=−
yx
. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của
(H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).
23. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(
2
1
; 0) .
Đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình x – 2y + 2 = 0 , AB = 2AD. Tìm toạ độ
các đỉnh A, B, C, D, biết A có hoành độ âm .

24.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2);
P(2;0); Q(1;2) lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phương trình các cạnh
của hình vuông.
25.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(-1;1) và B(3;3), đường thẳng
(D): 3x – 4y + 8 = 0.
Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng(D).
26.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng
052:
1
=+− yxd
.
d
2
: 3x + 6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường

thẳng đó cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
hai đường thẳng d
1
, d
2
.
27. Cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)
2
+ (y + 2)
2
= 9 và d: x + y + m = 0. Tìm
m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB,
AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông
28.Trong mp với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d
1
): x + y + 1 = 0, (d
2
): 2x – y
– 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;-1) cắt (d
1
) và (d
2
) tương ứng tại
A và B sao cho
2MA MB 0+ =
uuuur uuur r

.
29 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình
2 2
1
9 4
x y
− =
. Giả sử (d) là một tiếp tuyến thay đổi và F là một trong hai tiêu điểm của (H),
kẻ FM ⊥(D). Chứng minh rằng M luôn nằm trên một đường tròn cố định, viết phương
trình đường tròn đó.
30 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm I(2; 4) ; B(1;1) ; C(5;5) . Tìm
điểm A sao cho I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC.
31.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của elip (E) có độ
dài trục lớn bằng 4
2
, các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của (E) cùng nằm trên
một đường tròn
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 4
32. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho đường thẳng
( )
: 2 4 0d x y− − =
. Lập phương trình
đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d).
33.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC với B(2; -7), phương trình đường
cao AA’: 3x + y + 11 = 0 ; phương trình trung tuyến CM : x + 2y + 7 = 0 . Viết phương
trình tổng quát của đường thẳng AB và AC
34. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1 ; 4 ) và cắt hai tia Ox,Oy tại hai điểm
A,B sao cho độ dài OA + OB đạt giá trị nhỏ nhất
35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho
ABCD

có cạnh AC đi qua điểm M(0;– 1).
Biết AB = 2AM, pt đường phân giác trong (AD): x – y = 0, đường cao (CH): 2x + y + 3
= 0. Tìm tọa độ các đỉnh của
ABCD
.
36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (–2 ; 5) và hai đường thẳng (d
1
) :
4x – 2y –1 = 0 ;
(d
2
) :
x = -2 + 3t
y = t



a) Tính góc giữa (d
1
) và (d
2
) .
b) Tìm điểm N trên (d
2
) cách điểm M một khoảng là 5
37.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1), đường cao
qua đỉnh B có phương trình là x – 3y – 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có
phương trình là x + y + 1 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh B và C của tam giác.
38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho (E): 9x
2

+ 16y
2
= 144
Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua M(2 ; 1) và cắt elip (E) tại A và B sao cho
M
là trung điểm của AB
39.Viết phương trình chính tắc của (E) có hai tiêu điểm
1 2
,F F
biết (E) qua
3 4
;
5 5
M
 
 ÷
 

và
1 2
MF F
∆
vuông tại M
40.Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường tròn : (C
1
): x
2
+ y

2
– 2x – 2y – 2 = 0. ; (C
2
): x
2

+ y
2
– 8x – 2y + 16 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C
1
) và (C
2
).
41.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình
đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3
= 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
42.Cho đường tròn (C): (x – 3)² + (y +1)² = 4 và điểm M (1; 3) Viết phương trình tiếp
tuyến (d) của (C),biết (d) đi qua M.Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến của (P) : y
2
=
4x kẻ từ các điểm A(0 ; 1) ; B(2 ;– 3) có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 5
43. Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x
2
+ y
2
– 2x + 6y –15 = 0 (C ). Viết
phương trình đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng: 4x – 3y + 2 = 0 và cắt
đường tròn (C) tại A;B sao cho AB = 6.
44. Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E):

2 2
1
4 3
x y
+ =
và đường thẳng
∆
:3x + 4y =12. Từ
điểm M bất kì trên
∆
kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB. Chứng minh rằng đường thẳng
AB luôn đi qua một điểm cố định.

45. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có
phương trình
01 =++ yx
, trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0. Viết
phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích
bằng
5,5
và trọng tâm G thuộc đường thẳng d:
043 =−+ yx
. Tìm tọa độ đỉnh C.
47. Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I
của AC nằm trên đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C.

48. Trong mp(Oxy) ,cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0. Lập
phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d).

49.

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(- 4 ; 6 ) và tạo với hai trục tọa độ một
tam giác có diện tích là

50. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC với C(2; 3) , phương trình đường
thẳng (AB): 3x – 4 y + 1 = 0 phương trình trung tuyến (AM) : 2x – 3y + 2 = 0 . Viết
phương trình tổng quát của đường thẳng AC và BC.
BµI TËP
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho 3 điểm: A(-2;1), B(-1;-2), C(3;-1)
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 6
a) Chứng minh rằng 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của
∆
ABC
c) Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Chứng tỏ rằng 3 điểm B, G, D thẳng hàng
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho
∆
ABC với A(2;6), B(-3;-4), C(5;0)
a) Tính chu vi và diện tích
∆
ABC
b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với trục hoành và của đường thẳng AC
với trục tung.
c) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp
∆
ABC .
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh
A(-1;0), B(4;0), C(0;m) với m

≠
0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m.
Xác định m để tam giác GAB vuông tại G. (TS 2004-K.D) §S:m=
54±
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;1), B(4;-3). Tìm điểm C
thuộc đường thẳng x -2y -1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
(TS 2004-K.B)
Bài 5 Cho đường tròn (C) có phương trình x
2
+y
2
– 4x –2y – 4 = 0
a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C)
b) Với giá trị nào của b thì đường thẳng (∆): y = x + b có điểm chung với(C).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 3x – 4y +1 =0
Bài 6 Cho 3 điểm A(-1;0), B(5;0), C(2;1)
a) Tìm phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A, B, C.
b) Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A
c) Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm D(3;-11)
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2) và
C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.
(TS 2007- K.A). §S:H(1;1)
ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình đường thẳng
Bài 1. Cho
( )
3;0M
và hai đường thẳng (d
1

):
2 2 0x y− − =
, (d
2
):
3 0x y+ + =
. Viết phương
trình đường thẳng (d) đi qua M, cắt (d
1
) ở A, cắt (d
2
) ở B sao cho MA = MB.
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 7
HD:tương tụ bài 12 sbt h×nh tr101
Bài 2. Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng (d):
3 4 1 0x y− + =
và có khoảng cách đến (d) bằng 1.
Bài 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
2;3I −
và cách đều hai điểm
( )
5; 1A −
và
( )
3;7B
. HD:tương tự bài 34a sbt h×nh
Bài 4. Cho ba điểm
( )
6; 3A − −

,
( )
4;3B −
,
( )
9;2C
. Viết phương trình đường thẳng (d) chứa
đường phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC. Tìm điểm P trên đường thẳng (d) sao
cho tứ giác ABPC là hình thang. HD:PT AB:3x-y+15=0;AC:x-3y-3=0 ;BC: x+13y-
35=0 :P(2;5)
Bài 5. Tam giác ABC có
( )
2; 1A −
, phương trình các đường phân giác trong kẻ từ B và C
lần lượt là (d
1
):
2 1 0x y− + =
, (d
2
):
3 0x y+ + =
. Tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh
BC.
HD:tương tụ bài 39 sbt h×nh
Bài 6. Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB là:
9 0x y+ − =
, đường cao qua đỉnh
A và B lần lượt là (d
1

):
2 13 0x y+ − =
, (d
2
):
7 5 49 0x y+ − =
. Lập phương trình các cạnh
của tam giác.
HD:A(5;4) ,B(2;7) tõ ®ã viÕt pt c¸c c¹nh
Bài 7. Phương trình hai cạnh của một tam giác là
5 2 6 0x y− + =
,
4 7 21 0x y+ − =
. Viết
phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm trùng với
( )
0;0O
.HD A(0;3)
Bài 8. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu
( )
4; 5C − −
và hai đường cao có
phương trình
5 3 4 0x y+ − =
,
3 8 13 0x y+ + =
Bài 9. Tìm tọa độ trực tâm của tam giác biết tọa độ các đỉnh là
( )
1;2A −
,

( )
5;7B
,
( )
4; 3C −
.
HD :dïng tÝch v« híng hoÆc giao cña 2 ®êng cao
Bài 10. Tam giác ABC có diện tích
3
2
S =
, hai đỉnh là
( )
2; 3A −
,
( )
3; 2B −
, trọng tâm G
nằm trên đường thẳng
3 8 0x y− − =
(1). Tìm tọa độ đỉnh C .§S:
)1;1(:)10;2(
21
−−− CC
Bài 11. Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết
( )
1;3A
và hai đường trung tuyến
là
2 1 0x y− + =

và
1 0y − =
. (§Ò A,B2005)
Bài 12. Tam giác ABC có trọng tâm
( )
2; 1G − −
, cạnh AB nằm trên đường thẳng
4 15 0x y+ + =
, cạnh AC nằm trên đường thẳng
2 5 3 0x y+ + =
.
1. Tìm tọa độ đỉnh A và trung điểm M của BC.
2. Tìm tọa độ đỉnh B và viết phương trình đường thẳng BC.
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 8
Bài 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương
trình đường thẳng BC là
3 3 0x y− − =
, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính
đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 14. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AB = AC,
·
90
o
BAC =
. Biết
( )
1; 1M −
là trung điểm cạnh BC và
2
;0

3
G
 
 ÷
 
là trọng tâm tam giác ABC.
Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. §S:A(0;2);B(4;0) ;C(-2;-2)
Bài 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm
( )
2;3P
,
( )
4; 1Q −
,
( )
3;5R −
là trung
điểm các cạnh của một tam giác. Lập phương trình của các đường thẳng chứa các cạnh
của tam giác đó.
Bài 16 Tam giác có đỉnh
( )
1; 3A − −
, đường trung trực của cạnh AB là
3 2 4 0x y+ − =
và
trọng tâm
( )
4; 2G −
. Tìm tọa độ các đỉnh B, C.
Bài 17Lập phương trình các cạnh của tam giác MNP biết

( )
2; 1N −
, đường cao hạ từ M
là
3 4 27 0x y− + =
, đường phân giác trong từ đỉnh P là
2 5 0x y+ − =
.
Bài 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d
1
):
0x y− =
và (d
2
):
2 1 0x y+ − =
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc (d
1
), đỉnh C
thuộc (d
2
) và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.(K A-2005) §S:A(1;1), B(2;0) ,C(1;-1)
,D(0;0)
ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn(C):
( ) ( )
2 2
1 2 4x y− + − =
và đường thẳng
(d):

1 0x y− − =
.
1. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với (C) qua (d).
2. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’).
HD:§iÓm H(2;1) lµ trung ®iÓm cña ®o¹n II
’
, I
’
(3;0) lµ t©m ®tr (c
’
).
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ cho
( )
2;0A
và
( )
6;4B
. Viết phương trình đường tròn (C)
tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và có khoảng cách từ tâm của (C) đến B bằng 5.Bµi
3:HD IB=5;d(I;ox)=IA. §sè to¹ ®é t©m cña 2 ®.tr lµ:(2;1)vµ (2;-7)
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d):
2 5 0x y− − =
, và hai
điểm
( )
1;2A
;
( )
4;1B
. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng (d) và đi

qua hai điểm A,B.
HD.T©m I(a;b)thuéc ®t d vµ IA=IB
Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d):
1 0x y− + =
và đường tròn (C):
2 2
2 4 0x y x y+ + − =
. Tìm M trên đường thẳng (d) sao cho qua M vẽ được hai đường
thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho
·
60
o
AMB =
.
.HD:To¹ ®é M thuéc d vµ IM=2R.§s«:M(3;4) vµ M(-3;-2)
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 9
Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn (C):
2 2
2 2 1 0x y x y+ − − + =
và đường thẳng (d):
3 0x y− + =
. Tìm tọa độ điểm M nằm trên (d)
sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), và tiếp xúc
ngoài với (C).HD:Mthuéc d vµ IM=3.
Bài 6 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm
( )
2;1A
và cắt đường tròn (C):
( ) ( )
2 2

1 2 9x y− + − =
tại E và F sao cho A là trung điểm đoạn EF. HD:IA vu«ng gãc víi
EF
Bài 7. Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ và cắt đường tròn (C):
( ) ( )
2 2
1 3 25x y− + + =
thành một dây cung có độ dài bằng 8.
Bài 8. Tìm m để đường thẳng (d):
2. 1 2 0x my+ + − =
cắt đường tròn (C):
2 2
2 4 4 0x y x y+ − + − =
(có tâm I) tại
A B≠
. Tìm m để diện tích tam giác IAB lớn nhất.
Tính diện tích lớn nhất đó.
BÀI TẬP E LIP, HY PE BOL ,PA RABOL:
Bài 1: Cho elip (E): 16x
2
+ 25y
2
= 100
a) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai và tìm phương trình các
đường chuẩn của (E).
b) Tìm tung độ các điểm thuộc (E) có hoành độ x = 2 và tính khoảng cách từ điểm đó
tới 2 tiêu điểm.
Bài 2:a) Viết phương trình chính tắc của elip (E) nhận một tiêu điểm là F
2
(5;0) và có

độ dài trục nhỏ 2b =
64
. Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm thứ hai F
1
và tính tâm sai của
(E)
b) Tìm toạ độ điểm M ∈ (E) sao cho MF
2
= 2MF
1
Bài 3: a) Viết phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài trục lớn bằng 10, phương
trình một đường chuẩn là
4
25
=x
b) Một đường thẳng đi qua một tiêu điểm của (E), vuông góc với trục Ox, cắt (E) tại M
và N. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Bài 4: Cho hypebol (H): 24x
2
- 25y
2
= 600
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 10
a) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai và tìm phương trình các
đường chuẩn của (H)
b) Tìm tung độ của điểm thuộc (H) có hoành độ x = 10 và tính khoảng cách từ điểm đó
tới 2 tiêu điểm.
Bài 5:
a) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có tâm sai e =
5

và (H) đi qua điểm A
(
10
; 6)
b) Tìm phương trình các đường tiệm cận của (H). Vẽ (H)
c) Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ một điểm M tuỳ ý thuộc (H) đến 2 đường tiệm
cận của (H) là một số không đổi.
Bài 6: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm F
2
(
5
;0) và
phương trình một đường tiệm cận là y = 2x.
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip(E):
2 2
1
25 16
+ =
x y
có hai tiêu điểm F
1
,
F
2
.
Cho A và B là hai điểm thuộc (E) sao cho AF
1
+ BF
2
= 8. Hãy tính AF

2
+ BF
1
. (TN
THPT 2004)
Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hypebol (H) có phương trình
2 2
1
4 5
− =
x y
Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và viết phương trình các đường tiệm cận của
(H).
Bài 9: Cho parabol (P) có phương trình chính tắc là y
2
= 12x
a) Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của (P)
b) Một điểm nằm trên (P) có hoành độ x = 2. Hãy tính khoảng cách từ điểm đó đến tiêu
điểm.
c) Qua điểm I (2;0) vẽ một đường thẳng thay đổi cắt (P) tại 2 điểm A và B. Chứng minh
rằng tích các khoảng cách từ A và B tới trục Ox là một hằng số.
Bài 10: Cho parabol (P): y
2
= 8x
a) Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của (P)
b) Giả sử đường thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,
B có hoành độ tương ứng là x
1
, x
2

Chứng minh: AB = x
1
+ x
2
+ 4 (TN THPT 2005)

Baøi 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) :
2 2
4
(x 2) y
5
− + =
và hai
đường thẳng 
1
: x – y = 0, 
2
: x – 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 11
của đường tròn (C
1
); biết đường tròn (C
1
) tiếp xúc với các đường thẳng 
1
, 
2
và tâm
K thuộc đường tròn (C)
Baøi 2. 2009 B NC Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có

đỉnh A(-1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – 4 = 0. Xác định toạ độ các
điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Baøi 3. 2009D Chuan Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M
(2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt
có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng
AC.
Baøi 4. 2009D NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)
2
+
y
2
= 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho
·
IMO
= 30
0
.
Baøi 5. 2010 A Chuan Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d
1
:
3 0+ =x y
và d
2
:
3 0x y− =
. Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d
1
tại A, cắt d
2
tại hai

điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam
giác ABC có diện tích bằng
3
2
và điểm A có hoành độ dương.
Baøi 6. 2010 A NC
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng
đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y
−
4 = 0. Tìm tọa độ các
đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
Baøi 7. 2010 B Chuan
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4; 1), phân
giác trong góc A có phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết
diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
Baøi 8. 2010 B NC Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A(2;
3
) và elip (E):
2 2
1
3 2
x y
+ =
. Gọi F
1
và F
2
là các tiêu điểm của (E) (F
1
có hoành độ âm); M là giao điểm có

tung độ dương của đường thẳng AF
1
với (E); N là điểm đối xứng của F
2
qua M. Viết
phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF
2
.
Baøi 9. 2010D Chuan
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là H(3;-1),
tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0). Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.
Baøi 10. 2010D NC Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và ∆ là đường thẳng
đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆. Viết phương trình đường thẳng
∆, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.
Baøi 11. CÑ 2009 Chuan Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có
C(1; 2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình
là 5x+y+9 = 0 và x + 3y  5 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh A và B.
Baøi 12. CÑ 2009 NC Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng 
1
: x
2y 3 = 0 và   
2
: x + y +1 = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 
1
sao cho
khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 
2
bằng
1
2

TUYỂN CHỌN TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG (2010 – 2011)
HèNH GII TCH TRONG THI 12
1. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hypebol (H) cú phng trỡnh:
2 2
x y
1
2 3
=
v
im
M(2; 1). Vit phng trỡnh ng thng d i qua M, bit rng ng thng ú ct (H)
ti hai im A, B m M l trung im ca AB.
2. Trong mt phng vi h ta Oxy, hóy lp phng trỡnh tip tuyn chung ca elip
(E):
2 2
1
8 6
+ =
x y
v parabol (P): y
2
= 12x.
3. Trong mt phng vi h trc to Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú din tớch bng
12, tõm I l giao im ca ng thng
03:
1
= yxd
v
06:
2

=+ yxd
. Trung im
ca mt cnh l giao im ca d
1
vi trc Ox. Tỡm to cỏc nh ca hỡnh ch nht.
4. Trong mt phng Oxy cho tam giỏc ABC vi A(1; -2), ng cao
: 1 0CH x y + =
,
phõn giỏc trong
: 2 5 0BN x y+ + =
.Tỡm to cỏc nh B,C v tớnh din tớch tam giỏc
ABC
5. Trong mt phng ta Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú tõm
1
( ;0)
2
I
. ng
thng AB cú phng trỡnh: x 2y + 2 = 0, AB = 2AD v honh im A õm. Tỡm ta
cỏc nh ca hỡnh ch nht ú.
6. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng
3
2

và trọng tâm thuộc đờng thẳng

: 3x y 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C.
7. Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E):
2 2
1

4 3
x y
+ =
và đờng thẳng

:3x + 4y =12. Từ
điểm M bất kì trên

kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB. Chứng minh rằng đờng thẳng
AB luôn đi qua một điểm cố định.
8. Trong mt phng vi h to Oxy cho im C(2;-5 ) v ng thng
:3 4 4 0x y + =
.
Tỡm trờn

hai im A v B i xng nhau qua I(2;5/2) sao cho din tớch tam giỏc ABC
bng15.
9. Trong mt phng vi h to Oxy cho elớp
2 2
( ): 1
9 4
x y
E + =
v hai im A(3;-2) , B(-
3;2) . Tỡm trờn (E) im C cú honh v tung dng sao cho tam giỏc ABC cú
din tớch ln nht.
10. Trong mt phng to Oxy cho hai ng thng (d
1
) : 4x - 3y - 12 = 0 v (d
2

): 4x
+ 3y - 12 = 0. Tỡm to tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc cú 3 cnh nm
trờn (d
1
), (d
2
), trc Oy.
11. Cho im A(-1 ;0), B(1 ;2) v ng thng (d): x - y - 1 = 0. Lp phng trỡnh
ng trũn i qua 2 im A, B v tip xỳc vi ng thng (d).
12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình (x-1)
2
+ (y+2)
2
= 9 và đờng thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm
A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao
cho tam giác ABC vuông.
HèNH GII TCH TRONG THI 13
13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4 = 0 và đ-
ờng thẳng d có phơng trình x + y + m = 0. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một
điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm)
sao cho tam giác ABC vuông.
14. Cho ng trũn (C): x
2
+ y
2
2x + 4y + 2 = 0.

Vit phng trỡnh ng trũn (C') tõm M(5, 1) bit (C') ct (C) ti cỏc im A, B sao
cho
3AB =
.
15. Trong mt phng Oxy cho tam giỏc ABC cú trng tõm G(2, 0) bit phng trỡnh
cỏc cnh AB, AC theo th t l 4x + y + 14 = 0;
02y5x2 =+
. Tỡm ta cỏc nh A,
B, C.
16. Vit phng trỡnh ng trũn i qua hai im A(2; 5), B(4;1) v tip xỳc vi ng
thng cú phng trỡnh 3x y + 9 = 0.
17. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): x
2
+ y
2
- 2x - 2my + m
2
-
24 = 0 cú tõm I v ng thng : mx + 4y = 0. Tỡm m bit ng thng ct ng
trũn (C) ti hai im phõn bit A,B tha món din tớch tam giỏc IAB bng 12.
18. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú phng trỡnh cnh
AB: x - y - 2 = 0, phng trỡnh cnh AC: x + 2y - 5 = 0. Bit trng tõm ca tam giỏc
G(3; 2). Vit phng trỡnh cnh BC.
19. Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ca e lớp (E):
2 2
1
16 9
x y
+ =
, bit tip tuyn i qua

imA(4;3)
20. Trong mp (Oxy) cho ng thng () cú phng trỡnh: x 2y 2 = 0 v hai
im A (-1;2); B (3;4). Tỡm im M

() sao cho 2MA
2
+ MB
2
cú giỏ tr nh nht.
21. Cho ng trũn (C): x
2
+ y
2
2x 6y + 6 = 0 v im M (2;4)
a) Vit phng trỡnh ng thng i qua M ct ng trũn ti 2 im A v B, sao cho
M l trung im ca AB.
b) Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ca ng trũn, bit tip tuyn cú h s gúc k = -1.
22. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú cnh AB: x -2y -1
=0, ng chộo BD: x- 7y +14 = 0 v ng chộo AC i qua im M(2;1). Tỡm to
cỏc nh ca hỡnh ch nht.
23. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C) cú phng trỡnh:
2 2
4 3 4 0x y x+ + =
.
Tia Oy ct (C) ti A. Lp phng trỡnh ng trũn (C),bỏn kớnh R = 2 v tip xỳc
ngoi vi(C) ti A.
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 14
24. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình:
1
916

22
=−
yx
. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm
của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).
25. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng
052:
1
=+− yxd
.
d
2
: 3x +6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường
thẳng đó cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
hai đường thẳng d
1
, d
2
.
26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn
2 2
( ) : 1C x y+ =
, đường thẳng
( ) : 0d x y m+ + =
. Tìm
m

để
( )C
cắt
( )d
tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn
nhất.
27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng
∆
: 2x + 3y + 4 = 0.
Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng
∆
sao cho đường thẳng AB và
∆
hợp với nhau
góc 45
0
.
28. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho elip (E) :
044
22
=−+ yx
.Tìm những điểm N
trên elip (E)
sao cho :
0
21
60
ˆ
=FNF
( F

1
, F
2
là hai tiêu điểm của elip (E) )
29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) :
0124
22
=−−−+ yxyx
và đường thẳng d :
01 =++ yx
. Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm
M kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến hợp với nhau góc 90
0
30. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao và đường
phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là : (d
1
) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d
2
) : x + 2y – 5 = 0
31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuông tại
A, phương trình đường thẳng BC là :
3
x – y -
3
= 0, các đỉnh A và B thuộc trục
hoành và bán kính đường tròn nội tiếptam giác ABC bằng 2 . Tìm tọa độ trọng tâm G
của tam giác ABC .
32. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) :
2 2
x y 2x 8y 8 0+ + − − =

.
Viết
phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường tròn
theo một dây cung có độ dài bằng 6.
33. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn :
(C
1
) : (x - 5)
2
+ (y + 12)
2
= 225 và (C
2
) : (x – 1)
2
+ ( y – 2)
2
= 25
HèNH GII TCH TRONG THI 15
34. Tam giỏc cõn ABC cú ỏy BC nm trờn ng thng : 2x 5y + 1 = 0, cnh bờn
AB nm trờn ng thng : 12x y 23 = 0 . Vit phng trỡnh ng thng AC bit
rng nú i qua im (3;1)
35. Trong mt phng to Oxy cho tam giỏc ABC, cú im A(2; 3), trng tõm G(2;
0). Hai nh B v C ln lt nm trờn hai ng thng d
1
: x + y + 5 = 0 v d
2
: x + 2y
7 = 0. Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm C v tip xỳc vi ng thng BG.
36. Trong mt phng to Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú phng trỡnh ng

thng AB: x 2y + 1 = 0, phng trỡnh ng thng BD: x 7y + 14 = 0, ng thng
AC i qua M(2; 1). Tỡm to cỏc nh ca hỡnh ch nht.
37. Trong h ta Oxy, hóy vit phng trỡnh hyperbol (H) dng chớnh tc bit rng
(H) tip xỳc vi ng thng
: 2 0d x y =
ti im A cú honh bng 4.
38. Trong h ta Oxy, cho hai ng trũn cú phng trỡnh
( )
2 2
1
: 4 5 0C x y y+ =
v
( )
2 2
2
: 6 8 16 0.C x y x y+ + + =
Lp phng trỡnh tip tuyn chung ca
( )
1
C
v
( )
2
.C
39. Trong mt phng vi h to Oxy, hóy vit phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc
ABC bit trc tõm
(1;0)H
, chõn ng cao h t nh B l
(0; 2)K
, trung im cnh AB

l
(3;1)M
.
40. Trong mt phng vi h ta Oxy cho ng trũn hai ng trũn
2 2
( ): 2 2 1 0,C x y x y+ + =
2 2
( ') : 4 5 0C x y x+ + =
cựng i qua M(1; 0). Vit
phng
trỡnh ng thng qua M ct hai ng trũn
( ), ( ')C C
ln lt ti A, B sao cho MA=
2MB.
41. Trong mt phng vi h ta Oxy cho hai ng thng

:
3 8 0x y+ + =
,
':3 4 10 0x y + =
v im A(-2 ; 1). Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng
thng

, i qua im A v tip xỳc vi ng thng

.
42. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc ABC bit A(5; 2). Phng trỡnh
ng trung trc cnh BC, ng trung tuyn CC ln lt l x + y 6 = 0 v 2x y + 3
= 0. Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC.
43. Trong mt phng oxy cho

ABC

cú A(2;1) . ng cao qua nh B cú phng trỡnh
x- 3y - 7 = 0 .ng trung tuyn qua nh C cú phng trỡnh x + y +1 = 0 . Xỏc nh
ta B v C . Tớnh din tớch
ABC

.
44. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với
)2;1(,)1;2( BA
, trọng tâm G của
tam giác nằm trên đờng thẳng
02 =+ yx
. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác
ABC bằng 13,5 .
45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với
)5;2(,)1;1( BA
, đỉnh C nằm trên
đờng thẳng
04 =x
, và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng
0632 =+ yx
.
Tính diện tích tam giác ABC
HèNH GII TCH TRONG THI 16
46. Trong mp(Oxy) cho 4 im A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5). Tỡm to im M
thuc ng thng
( ): 3 5 0x y =
sao cho hai tam giỏc MAB, MCD cú din tớch bng
nhau

47. Trong mp(Oxy)Cho hỡnh tam giỏc ABC cú din tớch bng 2. Bit A(1;0), B(0;2) v
trung im I ca AC nm trờn ng thng y = x. Tỡm to nh C.
48. Trong mt phng Oxy cho cỏc im
( ) ( ) ( ) ( )
A 1;0 ,B 2;4 ,C 1;4 ,D 3;5
v ng thng
d :3x y 5 0 =
. Tỡm im M trờn d sao cho hai tam giỏc MAB, MCD cú din tớch bng
nhau.
49. Trong mpOxy, cho ng trũn (C): x
2
+ y
2
6x + 5 = 0. Tỡm M thuc trc tung sao
cho qua M k c hai tip tuyn ca (C) m gúc gia hai tip tuyn ú bng 60
0
.
50. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng
3
2
và trọng tâm thuộc đờng thẳng

: 3x y 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C.
51. Trong mt phng ta Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú tõm
1
( ;0)
2
I
ng thng AB cú phng trỡnh: x 2y + 2 = 0, AB = 2AD v honh im A õm.
Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh ch nht ú.

52. Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú din tớch bng 12, tõm I
l giao im ca hai ng chộo
1 2
d : x y 3 0; d : x y 6 0 = + =
. Trung im mt cnh l
giao im ca
1
d
v tia Ox. Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh ch nht.
53. Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh vuụng cú nh l
( )
4;8
v mt ng chộo
cú phng trỡnh l
7x y 8 0 + =
. Vit phng trỡnh cỏc cnh
54. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): x
2
+ y
2
- 2x - 2my + m
2
-
24 = 0 cú tõm I v ng thng : mx + 4y = 0. Tỡm m bit ng thng ct ng
trũn (C) ti hai im phõn bit A,B tha món din tớch tam giỏc IAB bng 12.
55.Trong h ta Oxy, cho im A(3; 2), cỏc ng thng
1
: x + y 3 = 0 v ng
thng


2
: x + y 9 = 0. Tỡm ta im B thuc
1
v im C thuc
2
sao cho tam giỏc
ABC vuụng cõn ti A.
B.HèNH GII TCH KHễNG GIAN
1. Cho ba im O(0 ; 0 ; 0), A(0 ; 0 ; 4), B(2 ; 0 ; 0) v mp (P) : 2x + 2y z + 5 = 0. Lp
PT mt cu (S) i qua im O, A, B v cú khang cỏch t tõm I n mp (P) bng 5/3
2.Trong khụng gian ta Oxyz, cho ng thng
1 2
:
2 1 1
x y z +
= =

v mt phng
(P) : x 2y + z = 0. Gi C l giao im ca vi (P), M l im thuc . Tớnh khong
cỏch t M n (P), bit MC =
6
.
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 17
3.Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng
2 2 3
:
2 3 2
x y z+ − +
∆ = =
. Tính khoảng cách từ A đến ∆. Viết phương trình mặt cầu tâm A,

cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.
4.Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d
1
:
1 1 2
x y z
= =
, d
2
:
1 2
1
x t
y t
z t
= − −


=


= +


và mp (P): x – y – z = 0. Tìm tọa độ hai điểm M
1
d∈
, N
2
d∈

sao cho MN // (P) và MN =
2.
5.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có
phương trình:
x 1 2t
y 1 t
z t
= +


= − +


= −

Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M, cắt
và vuông góc với đường thẳng d.
6.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có
phương trình:
x 1 y 1 z
2 1 1
− +
= =
−
.Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm
M, cắt và vuông góc với đường thẳng
7. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau:

1 2
x 1 2t

x y 1 z 2
d : ; d : y 1 t
2 1 1
z 3
= − +

− +

= = = +

−

=

8.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;7;-1), B(4;2;0) và mặt phẳng
(P): x + 2y - 2z + 1 = 0.Viêt phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mặt
phẳng (P)
9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình
2 2 2
x + y + z - 2x + 4y -6z -11 = 0
và mặt phẳng (
α
) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0.
Viết phương trình (
β
) // (
α
) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6π.
10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4;
3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – 3 = 0. Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt

phẳng (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
MA + MB + MC
.
11. Trong không gian Oxyz cho mp (P): x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng :
(d
1
)
x 1 3 y z 2
1 1 2
+ − +
= =
; (d
2
)
x 1 2t
y 2 t (t )
z 1 t
= +


= + ∈


= +

¡
. Viết phương trình tham số của đường thẳng
∆ nằm
12. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng(P): 2x –

2y – z +1 = 0,
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 18
(Q): x + 2y – 2z – 4 = 0 và mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x – 6y +m = 0. Tìm tất cả các
giá trị của m để (S) cắt (d) tại 2 điểm MN sao cho MN = 8.
13. Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
2 os . 2sin . 4 4 4sin 0x y z c x y z
α α α
+ + + − + − − =
luôn là
phương trình của một mặt cầu. Tìm α để bán kính mặt cầu là lớn nhất.
14. Cho điểm A( 3 ; 4 ; 2) ; (d)
y z -1
x = =
2 3
và m.phẳng (P): 4x +2y + z – 1 = 0
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P) .
b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa (d) và vuông góc với mặt phẳng (P)
15. Trong không gian với hệ toạ độ
,Oxyz
cho hình vuông
MNPQ
có
)4;3;2(),1;3;5( −− PM

. Tìm toạ độ đỉnh
Q
biết rằng đỉnh
N
nằm trong mặt phẳng
.06:)( =−−+ zyx
γ
16. Trong không gian với hệ toạ độ
,Oxyz
cho các điểm
)2;3;0(),0;1;0(),0;0;1( CBA
và
mặt phẳng
.022:)( =++ yx
α
Tìm toạ độ của điểm
M
biết rằng
M
cách đều các điểm
CBA ,,
và mặt phẳng
).(
α
17.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
1
1
: 2
2
x t

d y t
z t
= −


=


= − +

và
2
: 1 3
1
x t
d y t
z t
=


= +


= −

. Lập phương trình đường thẳng đi qua M(1; 0; 1) và cắt cả hai đường
thẳng d
1
và d
2

.
18.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
1
1
: 2
2
x t
d y t
z t
= −


=


= − +

và
2
: 1 3
1
x t
d y t
z t
=


= +



= −

. Lập phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d
1

và d
2
.
.
19. Trong không gian Oxyz, tìm trên Ox điểm cách đều đ.thẳng (d) :
x 1 y z 2
1 2 2
− +
= =
và
mp (P): 2x – y – 2z = 0.
20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng
1
x y z
d :
1 1 2
= =
và
2
x 1 2t
d : y t
z 1 t
= − −



=


= +

. Xét vị trí tương đối của d
1
và d
2
. Viết phương trình đường thẳng qua O,
cắt d
2
và vuông góc với d
1
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 19
21. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho
( )
052: =+−+ zyxP
và
31
2
3
:)(
−=+=
+
zy
x
d
, điểm A( -2; 3; 4). Gọi
∆

là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao
điểm của ( d) và (P) đồng thời vuông góc với d.Tìm trên
∆
điểm M sao cho khoảng
cách AM ngắn nhất.
22.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng
)(
1
d
và
)(
2
d
có phương
trình .
Lập phương trình mặt phẳng chứa (d
1
) và
)(
2
d
.
23. Cho 2 đường thẳng (
∆
) và (
)'∆
có phương trình .
( )
( )






+=
=
+=
∆





=
+=
+=
∆
4t'2
t'2y
t'2-2x
: ;
4
2t-1y
t3x
:
'
zz
Viết phương trình đường vuông góc chung của (
∆
)

và (
)'∆
24. Cho hai điểm A(0; 0; -3), B(2; 0; -1) và mp (P) có pt:
3x 8y 7z 1 0− + + =
. Viết pt
chính tắc đường thẳng d nằm trên mp (P) và d vuông góc với AB tại giao điểm của
đường thẳng AB và (P).
25. Cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2),D( 4; -1; 2) (P) có phương trình:
02 =−++ zyx
. Gọi A’là hình chiêú của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi ( S) là mặt cầu đi qua
4 điểm A’, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P)
và (S).
.26. Cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình
x 1 2t
y t
z 1 3t
= +


=


= +

. Lập pt mặt
phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất
. 27. Cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai điểm A(1;7;-1), B(4;2;0). Lập
phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên (P).
28. Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Tìm tọa độ trực tâm của tam giác
ABC.

29.Cho ba điểm A(2; 0; 1) B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng
(P): x + y + z - 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm
thuộc mặt phẳng (P)
30. Cho A(1;2;0), B(0;4;0), C(0;0;3).
a) Viết phương trình đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình (P) chứa OA, sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng
cách từ C đến (P).
3
3
9
1
6
4-x
:)(d ;
1
2-z
3
1y
2
1
);(
21
−
=
−
==
+
=
− zyx
d

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 20
31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
( )
: 2 5 0x y z
α
+ + − =
và mặt cầu
(S)
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 25x y z
− + + + − =
a) Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu song song với Ox và vuông góc với
( )
α
b) Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai A(1;– 4;4) điểm B(3; – 5; – 1) và hợp với
( )
α
một góc 60
0
32.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P): 3x + 2y – z + 4 = 0 và điểm
A(4;0;0), B(0; 4; 0). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
a) Tìm tọa độ giao điểm E của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
b) Xác định tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (P) đồng thời K
cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P).
.
33.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(-1 ; 0 ; 2) ; B( 3 ; 1 ; 0) ; C(0 ; 1 ; 1)
và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) : 3x –z + 5 = 0 ; (Q) : 4x + y –
2z + 1 = 0
a) Viết phương trình tham số của (d) và phương trình mặt phẳng (
α

) qua A ; B; C .
b) Tìm giao điểm H của (d) và (
α
) . Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC .
34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 4 điểm A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2),
D(-1;-3;1).
Chứng tỏ A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện và tìm trực tâm của tam giác ABC.
35.Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(1 ; 2) và tạo với đường thẳng (D):
x + 3 y - 5
=
1 2
một góc 45
0
.
36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d là giao tuyến của 2 mp:
(P) : x - my + z - m =0và Q) : mx + y - mz -1 = 0, m là tham số.
a) Lập phương trình hình chiếu Δ của (d) lên mặt phẳng Oxy.
b) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng Δ luôn tiếp xúc với một đường
tròn cố định trong mặt phẳng
37. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) : x
2
+ 4y
2
= 16
a) Đường thẳng d qua tiêu điểm trái , vuông góc với trục lớn , cắt (E) tại M và N .
Tính độ dài MN
b) Cmr : OM
2
+ MF
1

.MF
2
luôn là hằng số với M tùy ý trên (E)
38. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d):
2 4
3 2 2
x y z− −
= =
−
và hai điểm A(1;2; - 1), B(7;-2;3). Tìm trên (d) những điểm M sao cho khoảng cách từ
đó đến A và B là nhỏ nhất.6
39. Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1 ; 2 ; 3) và hai đường thẳng :(d
1
) :
1
3
1
2
2
2 −
=
−
+
=
− zyx

và (d
2
) :
1

1
2
1
1
1 +
=
−
=
−
− zyx
a) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng điểm A qua đường thẳng (d
1
) .
b) Chứng tỏ (d
1
) và (d
2
) chéo nhau . Viết phương trình đường vuông góc chung của
(d
1
) và (d
2
)

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 21
40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(-1;-
3;1). Lập phương trình của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng
(P): x +y – 2z + 4 = 0.
41.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1; -1; 0), B(1; -1; 2), C(2;
-2; 1), D(-1; 1; 1).

a) Viết phương trình của mặt phẳng chứa AB và song song với CD. Tính góc giữa
AB, CD.
b) Giả sử mặt phẳng (α) đi qua D và cắt ba trục tọa độ tại các điểm M, N, P khác
gốc O sao cho D là trực tâm của tam giác MNP. Hãy viết phương trình của (α).

42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm G(1 ; 1 ; 1) .
a) Viết phương trình mặt phẳng (
α
) qua G và vuông góc với đường thẳng OG .
b) (
α
) cắt Ox, Oy ,Oz tại A, B,C . Chứng minh tam giác ABC đều và G là trực
tâm tam giác ABC
43.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 5 = 0 và
các điểm
A(0; 0; 4), B(2; 0; 0)
a)Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P)
b)Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
44. Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng: (d
1
) :
x t
y 4 t
z 6 2t
=


= +



= +

; và (d
2
) :
x t '
y 3t ' 6
z t ' 1
=


= −


= −

Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; -1; 1) trên (d
2
). Tìm phương trình tham
số của đường thẳng qua K vuông góc với (d
1
) và cắt (d
1
).
45. Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :
D
1
:
2 1
1 1 2

x y z
− −
= =
−
, D
2
:
2 2
3
x t
y
z t
= −


=


=

a) Chứng minh rằng D
1
chéo D
2
. Viết phương trình đường vuông góc chung của D
1

và D
2


b) Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chungD
1
và D
2

46. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d có phương trình :
2 2
3
= +


= +

x t
y t
và một điểm A(0; 1). Tìm điểm M thuộc d sao cho AM ngắn nhất.
47. Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :
d
1
:
2 1
4 6 8
x y z
− +
= =
− −
; d
2
:
7 2

6 9 12
x y z− −
= =
−
a) Chứng minh rằng d
1
và d
2
song song . Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua d
1

và d
2
.
b) Cho điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I trên đường thẳng d
1
sao cho IA + IB
đạt giá trị nhỏ nhất
2 2
2( 2) 4 19 6 0x y m x my m
+ − + + + − =
là phương trình đường tròn
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 22
48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1 ; 2 ; -1); B(2 ; -1 3) ;
C(-4 ; 7 ; 5)
và (P) : x – 2y + z = 0
a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A , song song mặt phẳng (P) và vuông góc
đường thẳng BC
b) Tìm điểm M trên (P) sao cho độ dài AM + BM đạt giá trị nhỏ nhất .
49. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp

tam giác ABC biết A(1;4) B(-7;4) C(2;-5)
50.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

1
x 1 t
( ) : y 1 t
z 2
= +


∆ = − −


=

,
( )
2
x 3 y 1 z
:
1 2 1
− −
∆ = =
−

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa ∆
1
và song song với ∆
2
.

b) Xác định điểm A trên ∆
1
và điểm B trên ∆
2
sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
51. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , viết phương trình đường thẳng (D) qua A(– 2 ;
0) và tạo với đường thẳng (d) : x + 3y – 3 = 0 một góc 45
0
52. Cho mặt phẳng (P):2x – y + 2z – 3 = 0 và mặt cầu (S ):
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 25x y z− + + + − =
a) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) và mặt cầu (S ) cắt nhau. Tìm bán kính của đường
tròn giao tuyến
b) Lập phương trình các tiếp diện của mặt cầu song song với mặt phẳng (P).
53.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
54.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
∆
:
3 8 0x y+ + =
,
':3 4 10 0x y∆ − + =
và điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường
thẳng
∆
, đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng
∆
’.
55.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0

sao cho MA = MB = MC.
56.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M(1;2;3). Lập phương trình mặt phẳng
đi qua M cắt ba tia Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ
nhất

57.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

1 2
x 2 t
x 4 y 1 z 5
d : và : d : y 3 3t , t
3 1 2
z t
= +

− − +

= = = − + ∈

− −

=

¡

a). Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau, tính khoảng cách giữa d

1
và d
2
.
b). Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d
1
và d
2
.
58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: d
1
:
2 1
4 6 8
x y z− +
= =
− −
và
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 23
d
2
:
7 2
6 9 12
x y z− −
= =
−
. Xét vị trí tương đối của d
1
và d

2
. Cho hai điểm A(1;-1;2) và B(3 ;-
4;-2), Tìm tọa độ điểm I trên đường thẳng d
1
sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất
59. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho (d) :
3 2 1
2 1 1
x y z− + +
= =
−
và mặt phẳng
(P) : x + y + z + 2 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (D) nằm trong (P) sao cho (D) ⊥
(d) và khoảng cách từ giao điểm của (d) và (P) đến đường thẳng (D) là
42
.
60. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và
C(1;1;1). Hãy viết
phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt
phẳng (P) bằng
3
.
61. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối
xứng với
O qua (ABC).
62. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

2
5
1

1
3
4
:
1
−
+
=
−
−
=
−
zyx
d

13
3
1
2
:
2
zyx
d
=
+
=
−

63. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P)
01 =+−+ zyx

,đường thẳng
d:
3
1
1
1
1
2
−
−
=
−
−
=
− zyx
Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường
thẳng
∆
nằm trong (P), vuông góc với d và cách I một khoảng bằng
23
.

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
I. PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG :
Phương pháp 1 :
Giả sử có hai đường thẳng (d
1
), (d
2

) lần lượt có phương trình như sau :
M 1
1 M 2
M 3
x x a t
(d ): y y a t
z z a t

= +


= +


= +


và
N 1
2 N 2
N 3
x x b t'
(d ): y y b t'
z z b t'

= +


= +



= +


 Lấy điểm M ∈ (d
1
) ; N ∈ (d
2
)
M(
M 1
x a t+
;
M 2
y a t+
;
M 3
z a t+
)
N(
N 1
x b t'+
;
N 2
y b t'+
;
N 3
z b t'+
)
 MN là đường vuông góc chung :

1 1
2
2
MN (d ) MN a
MN (d )
MN a


⊥ ⊥
 
⇔
 
⊥
⊥
 


uuuur
uuuur
Ta có hệ phương trình sau :
⇒ MN = ( )
(d
1
)
M
N


(d
2

)
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 24
MN .
1
a
= 0
MN .
1
a
= 0
 Giải hệ phương trình (*) tìm t và t’. Lấy t thế vào (d
1
) có tọa độ của M, t’ thế vào (d
2
)
có tọa độ N.
 Lập phương trình đường thẳng MN đó chính là phương trình đường vuông góc chung
cần tìm.
Phương pháp 2 :
 Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng (d
1
) và (d
2
) :
1
a (a=
;
2
a
;

3
a
)
b =
(
1
b
;
2
b
;
3
b
)
 Viết phương trình mp(α) chứa (d
1
) và đường vuông góc chung :
mp( ):
n a ,u
α


α

 
=

 

 Viết phương trình mp(β) chứa (d

2
) và đường vuông góc chung :
mp( ):
n b ,u
β


β

 
=

 

 Đường vuông góc chung cần tìm chính là giao tuyến của hai mp(α) và mp(β) .
II. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Phương pháp 1 :
Độ dài MN ở phần I chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp 2 :
 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
) và song song với (d
2
)
mp(P):
n a ,b
β




 
=

 

 Lấy điểm B ∈ (d
2
) và tính khoảng cách từ B đến mp(P) thì :
( )
( )
1 2
d ,d B,(P)δ = δ
= BH
(*)
⇒
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
u ; ;
b b b b b b
 
     
 ÷
 ÷  ÷  ÷
=
 ÷  ÷  ÷
 ÷
     
 
u là vectơ chỉ phương của

đường vuông góc chung
qua điểm A ∈ (d
1
)
qua điểm B ∈ (d
2
)
α
β
d
1
d
2
A
B


u
qua điểm A ∈ (d
1
)
P
d
1
d
2
B

H


HÌNH GIẢI TÍCH TRONG ĐỀ THI 25
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (α) : Ax + By +
Cz + D = 0
( )
0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
M ,( )
A B C
+ + +
δ α =
+ +
Phương pháp 3 :
(d
1
) đi qua A và có vectơ chỉ phương a
1

(d
2
) đi qua B và có vectơ chỉ phương a
2


Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng d
1
và d
2
được tính theo công thức :
( )
1 2
1 2
1 2
a ,a .AB
d ,d
a ,a
 
 
δ =
 
 
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng D và D’ lần lượt có phương trình :
x 2z 2 0
(D):
y 3 0

+ − =

− =

và
x 2 t
(D'): y 1 t

z 2t

= +

= −


=

1. Chứng minh rằng 2 đường thẳng D và D’ không cắt nhau nhưng vuông góc với
nhau
2. Viết phương trình đường vuông góc chung của D và D’ .
(Trích đề thi tuyển sinh khối D 2006)
Bài 2 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 2x – y + 2z – 3 = 0 và 2 đường
thẳng

1
x 4 y 1 z
(d ):
2 2 1
− −
= =
−
và
2
x 3 y 5 z 7
(d ):
2 3 2
+ + −
= =

−
a) Chứng tỏ (d
1
) song song với (α) và (d
2
) cắt (α)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
c) Viết phương trình đường thẳng (∆) // với mp(α), cắt (d
1
) và (d
2
) lần lượt tại M, N
sao cho MN = 3 (Trích đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A 2007)
Bài 3 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình :
1
x 7 y 5 z 9
(d ):
3 1 4
+ − −
= =
−
và

2
x y 4 z 18
(d ):
3 1 4
+ +
= =
−
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d
1
) và (d
2
)
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
) (Trích đề thi Đại Học Kiến Trúc Hà Nội
1998)
Bài 4 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình :
1
x 1 y 2 z 3
(d ):
1 2 3
− − −
= =
và

2
x 2y z 0
(d ):
2x y 3z 5 0

+ − =

− + − =
