Đề thi và Đáp án HSG Tỉnh lớp 9(Hà Tĩnh)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (86.81 KB, 2 trang )
Truy cập: để dowload các tài liệu liên quan
ĐỀ THI HSG TỈNH HÀ TĨNH LỚP 9
Bài 1: Cho phương trình
( )
− − + − + − =
÷
3
3
1 1
x m 1 x m 3 0
xx
(*)
a) Giải phương trình khi m = 3
b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm dương phân biệt
Bài 2: a) Cho a, b, c ∈ Z thỏa mãn điều kiện
+ + = + +
÷
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
Chứng minh rằng a
3
+ b
3
+ c
3
chia hết cho 3
b) Giải phương trình x
3
+ ax
2
+ bx + 1 = 0, biết rằng a, b, c là số hữu tỉ và 1 +
2
là
nghiệm của phương trình
Bài 3: Cho x, y ∈ N
*
thỏa mãn x + y = 2011.
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P =
( ) ( )
+ + +
2 2
x x y y y x
Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, một dây cung MN = R di chuyển trên
nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng song song ON cắt đường thẳng AB tại E. Qua N kẻ
đường thẳng song song OM cắt đường thẳng AB tại F.
a) CMR: ∆MNE ∼ ∆NFM
b) Gọi K là giao điểm của EN và FM. Hãy xác định vị trí của dây MN để chu vi tam giác
MKN lớn nhất
Bài 5: Cho a, b, c > 0 và abc = 1.
Chứng minh rằng
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + ≥
+ + + + + +
3 3 3
a b c 3
1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 Lời giải tóm tắt :
ĐKXĐ: x ≠ 0
Đặt
− =
1
x t
x
phương trình (*) trở thành
( )
( )
2
t 1 t t 3 m 0− + + − =
a) m = 3 (Tự giải)
b) Với t = 1 ⇒ x
2
– x – 1 = 0 phương trình này luôn có 1 nghiệm dương (vì ac < 0)
Để phương trình (*) có đúng 2 nghiệm dương phân biệt thì phương trình t
2
+ t + 4 – m = 0
phải có nghiệm kép khác 1. Hay m =
11
4
Bài 2 : Lời giải tóm tắt :
a) ĐK: a, b, c ≠ 0. Từ gt suy ra a + b + c = 0. Mà a
3
+ b
3
+ c
3
– (a + b + c) = a(a – 1)(a + 1) + b(b
– 1 )(b + 1) + c(c – 1)(c + 1) chia hết cho 3 và a + b + c = 0 chia hết cho 3 nên a
3
+ b
3
+ c
3
chia
hết cho 3
b) Vì 1 +
2
là nghiệm của phương trình nên ta có
( ) ( )
+ + + + + =2 2a b 5 3a b 8 0
vì a, b là số hữu tỉ nên
+ + =
+ + =
2a b 5 0
3a b 8 0
⇔
= −
=
a 3
b 1
. Thay vào a,b vào pt rồi giải tiếp
Truy cập: để dowload các tài liệu liên quan
Bài 3:Lời giải tóm tắt:
Cách 1: Vì x, y ∈ N
*
nên
≤ − ≤1 x y 2009
( )
⇔ ≤ − ≤
2
2
1 x y 2009
Mà (x – y)
2
= (x + y)
2
– 4xy = 2011
2
– 4xy. Do đó –xy =
( )
− −
2
1
x y 4044121
4
Vậy P = 2011
3
- 6031xy = 2011
3
+ 6031
( )
− −
2
1
x y 4044121
4
Ta có 2011
3
+ 6031.
( )
−
2
1
1 4044121
4
≤ P ≤ 2011
3
+ 6031.
( )
−
2
1
2009 4044121
4
Hay 2035205401 ≤ P ≤ 8120605021.
Vậy GTNN của P là 2035205401. Dấu “=” xảy ra khi x = 1006 và y = 1005 hoặc x =
1005 và y = 1006. GTLN của P là 8120605021. Dấu “=” xảy ra khi x = 2010 và y = 1 hoặc x =
1 và y = 2010
Cách 2: P = 2011
3
- 6031xy theo bài ra ta có 1 ≤ x, y ≤ 2010
Ta chứng minh 2010 ≤ xy ≤ 1005. 1006. Thật vậy
xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x
2
– 2010 = 2010x – x
2
+ x – 2010
= (2010 – x)(x – 1) ≥ 0 (vì 1 ≤ x, y ≤ 2010)
Ta có xy ≥ 2010. Do đó P ≤ 8120605021
Mặt khác 1005.1006 – xy = 1005. 1006 – x(2011 – x) = … = (1005 – x)(1006 – x) ≥ 0
Ta có 1005.1006 – xy ≥ 0 Do đó 2035205401 ≤ P
Bài 4: Lời giải tóm tắt :
a) Dễ dàng chứng minh được
·
·
= =
0
EMN FNM 120
Mặt khác ∆EMO ∼ ∆ONF ⇒
= ⇒ =
ME MO ME MN
NO NF MN NF
(vì ∆MON đều)
b) ∆MNE ∼ ∆NFM
·
·
·
⇒ = =MNE NFM FMO
mà
·
·
·
( )
·
·
( )
= − + = − + = − =
0 0 0 0 0
MKN 180 MNE NMF 180 FMO NMF 180 60 120
không đổi
K thuộc cung tròn chứa góc 120
0
dựng trên đoạn thẳng MN = R không đổi. Từ đó suy ra
K là điểm giữa cung MKN hay MK = NK. Kéo dài EM và FN cắt nhau tại I và ta chứng minh
được MN ở vị trí sao cho AM = MN = NB = R
Bài 5:Lời giải tóm tắt:
Áp dụng BĐT CauChy ta có
( ) ( ) ( ) ( )
+ + + +
+ + ≥ =
+ + + +
3 3
3
a 1 b 1 c a 1 b 1 c 3a
3 . .
1 b 1 c 8 8 1 b 1 c 8 8 4
tương tự rồi cộng lại được
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ +
+ + ≥ −
+ + + + + +
3 3 3
a b c a b c 3
1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 3 4
Mà
+ + ≥ =
3
a b c 3 abc 3
ruy ra đpcm
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
