Đề thi HSG toán 7 nga son (09-10)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (78.42 KB, 4 trang )
Phòng giáo dục và đào tạo
Huyện nga sơn
Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 7
năm học 2009 2010
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề bài:
Câu1(4điểm):Tìm x biết:
a) 7,5 x : ( 9 - 6
13
21
) = 2
13
25
; b) (3x -1)
2
46 = 2 . 3
3
c) 2
x
+ 2
x+2
=160 ; d)
1
2
x
+
+
2x
+
= 3x
Câu 2(3điểm): So sánh:
a) 3
500
và 7
300
; b)
9
1
243
ữ
và
13
1
83
ữ
c) P =
19
20
10 1
10 1
+
+
và Q =
20
21
10 1
10 1
+
+
Câu 3(4điểm): Tìm ba số tự nhiên có tổng các bình phơng là 1201; số thứ nhất và số thứ
hai tỉ lệ với 3 và 4; số thứ nhất và số thứ ba tỉ lệ với 5 và 8.
Câu 4(8điểm): Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Gọi M là trung điểm của BC, điểm E
nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK cùng vuông góc với AE( Hvà K thuộc đờng thẳng AE).
Chứng minh rằng:
a) BH = AK.
b) MBH = MAK.
c) Tam giác MHK là tam giác vuông cân.
d) Khi E di động trên đoạn thẳng MC thì BH
2
+ CK
2
luôn không đổi.
Câu 5(1điểm): Cho ba số chính phơng x ; y ; z. Chứng minh rằng:
A = (x y)(y z)(z - x)
M
12
Hết
Đề thi gồm 01 trang
Hớng dẫn chấm
Môn: Toán 7
Câu ý Nội dung Điểm
Câu1
4đ
a)
1đ
b)
1đ
a) 7,5 x : ( 9 - 6
13
21
) = 2
13
25
7,5 x :
50
21
=
63
25
7,5 x =
63
25
.
50
21
x =
4
5
. Vậy x =
4
5
b) (3x -1)
2
46 = 2 . 3
3
(3x -1)
2
46 = 54
(3x -1)
2
= 100
(3x -1)
2
= 10
2
3x 1 = 10 hoặc 3x 1 = - 10
* Nếu 3x 1 = 10
x =
11
3
* Nếu 3x 1 = -10
x = -3
Vậy x =
11
3
; x = -3
1
0,5
0,25
0,25
c)
1đ
c) 2x + 2x+2 =160
2x(1+ 22) =160
2x = 32
x = 5
Vậy x = 5
0,5
0,5
d)
1đ
d)
1
2
x +
+
2x +
= 3x (*)
*) Xét x < 0
VT
0; VP < 0 nên không có giá trị nào của x
thoả mãn
*) Xét x
0.
1
0
2
x + >
và
2 0x + >
nên
1
2
x +
=
1
2
x +
;
2x +
=
2x +
Khi đó (*) trở thành:
1
2
x +
+
2x +
= 3x
x = 2
1
2
Vậy x = 2
1
2
0,5
0,5
Câu2
3đ
a)
1đ
a) 3
500
và 7
300
Ta có: 3
500
= (3
5
)
100
= 243
100
7
300
= (7
3
)
100
= 343
100
Vì 243
100
< 343
100
nên 3
500
< 7
300
Vậy 3
500
< 7
300
0,5
0,5
b
)
1đ
b)
9
1
243
ữ
và
13
1
83
ữ
Ta có:
9
1
243
ữ
=
9
5
1
3
ữ
=
45
1
3
ữ
>
52
1
3
ữ
=
13
4
1
3
ữ
=
13
1
81
ữ
>
13
1
83
ữ
Vậy
9
1
243
ữ
>
13
1
83
ữ
1
c)
1đ
c) P =
19
20
10 1
10 1
+
+
và Q =
20
21
10 1
10 1
+
+
Ta có: 10P =
20
20
10 10
10 1
+
+
= 1 +
20
9
10 1+
(1)
10Q =
21
21
10 10
10 1
+
+
= 1 +
21
9
10 1+
(2)
Vì
20
9
10 1+
>
21
9
10 1+
nên từ (1) và (2) suy ra10P > 10Q
P > Q
Vậy P > Q
0,5
0,5
Câu3
4đ
Gọi 3 số tự nhiên cần tìm là x, y, z. Theo đề bài ta có
3 4
x y
=
và
5 8
x z
=
15 20 24
x y z
= =
Đặt:
15 20 24
x y z
= =
= k ( k
0)
x =15k; y = 20k; z = 24k
x
2
+ y
2
+ z
2
=(15k)
2
+(20k)
2
+ (24k)
2
= 1201k
2
= 1201
k
2
= 1
k =1 ( vì k
0 )
x = 15 ; y = 20 ; z = 24
Vậy: x = 15 ; y = 20 ; z = 24 là ba số phải tìm
1,0
0,75
0,5
0,75
0,5
0,5
Câu4
8đ
a)
2,
0đ
b)
2,
0đ
Xét ABH và CAK có:
+ H = K = 90
0
(gt)
+ AB = AC (gt)
+ ABH = CAK( cùng phụ với BAH )
ABH = CAK( ch gn)
BH = AK
Dễ thấy: AMB = AMC ( c.g.c)
AMB = AMC mà AMB + AMC = 180
0
AMB = AMC = 90
0
AM BC. Do ABC vuông cân nên ABC = 45
0
AMB
vuông cân tại M
MA = MB.
Xét MBH và MAK có:
+ BH = AK( chứng minh câu a)
+ MBH = MAK ( cùng phụ với AEB)
+ MA = MB ( chứng minh trên)
MBH = MAK ( c.g.c)
2
1
1
A
B
C
K
H
M
E
c)
2đ
d)
2đ
Theo câu b) MBH = MAK
MH = MK ( 1)
Và KMA = HMB
Mà HMB = 90
0
+ HMA
KMA = KMH + HMA
KMH = 90
0
(2)
Từ (1) và (2)
MKH vuông cân tại M
*Khi E khác M và C:
áp dụng định lí Pi - ta - go vào tam giác vuông ACK ta có:
AK
2
+ KC
2
= AC
2
mà AK = BH
AK
2
= BH
2
BH
2
+ KC
2
= AC
2
không đổi
* Khi E trùng với C thì BH
2
+ KC
2
= AB
2
+ 0
2
= AB
2
= AC
2
* Khi E trùng với M thì BH
2
+ KC
2
= MA
2
+ MC
2
= AC
2
Vậy khi E di động trên đoạn thẳng MC thì tổng BH
2
+ KC
2
luôn
không đổi
2
1
0,5
0,5
Câu5
1đ
Theo đề bài x; y; z là 3 số chính phơng. Mà một số chính phơng khi
chia cho 3 hoặc cho 4 đều chỉ có thể d 0 hoặc d 1.
Do đó trong 3 số chính phơng x; y; z khi chia cho 3 phải có hai số
có cùng số d, nên trong 3 số x - y; y - z; z - x phải có ít nhất một số
chia hết cho 3 suy ra (x y)(y z)(z - x)
M
3
Chứng minh tơng tự ta cũng có (x y)(y z)(z - x)
M
4
Mà (3,4) =1 nên A = (x y)(y z)(z - x)
M
3.4
Hay A = (x y)(y z)(z - x)
M
12
0,25
0,25
0,25
0,25
