Sở Giáo Dục và Đào Tạo Hải Dơng
Trờng THPT Hồng Quang
******
Đề thi THử đại học lần I (Tháng 3năm2011)
Môn thi : Toán - Khối A,B
(Thời gian làm bài: 180 phút)
Câu I: ( 2,0 điểm ) Cho hàm số
4 2
5 4y x x
= +
(1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
2)Tìm m để đờng thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại 4 điểm phân biệt A,B,C,D sao cho
AB=BC=CD
Câu II: ( 2,0 điểm )
1) Giải phơng trình :
2 2
sin .sin 2 cos .sin 2 2sin ( ) 1
4
x x x x x
+ =
2) Giải bất phơng trình:
( )
3
3
2 2
27
3 3
log 3 2 log 7 12 1 log 2x x x x
+ + + +
Câu III: ( 1,0 điểm )
Tính tích phân:
( )
3
21
4
1
4 3
3 4 3
x
I dx
x
=
+
Câu IV: ( 1,0 điểm )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,đờng chéo BD=a (a>0 ) và
SB=SC=SD. M là trung điểm của đoạn thẳng SA ,N là điểm trên cạnh BC sao cho BN=2CN
và góc tạo bởi MN với mặt phẳng (ABCD) bằng
0
60
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a .
Câu V: ( 1,0 điểm )
Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình sau có nghiệm thực .
( )
3
3 2
2 1 1 2x x m x x
+
Câu VI: (2,0 điểm )
1)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ 0xy, cho tam giác ABC có phơng trình đờng phân giác
trong AD và đờng cao CH lần lợt là :
0x y
=
;
2 3 0x y
+ + =
. Đờng thẳng chứa cạnh
AC đi qua điểm
(2;3)M
, cho AB=2AM .Viết phơng trình các cạnh của tam giác .
2)Trong khụng gian với hệ to Oxyz cho hai im A(-3 ; 0; 0)v B(-2; 2; 0).Xỏc nh toạ
độ im C thuc trc tung Oy sao cho ba điểm A, B, C thng hng v vit phng trỡnh mt
phng (P) i qua hai im A,B đồng thời mt phng (P) to vi mt phng Oxy mt gúc
6
.
Câu VII: (1,0 điểm ) Cho ba số thực x,y,z thoả mãn điều kiện:
, , 0
2 3 3
x y z
x y z
>
+ + =
Chứng minh bất đẳng thức :
3 3 3 3 3 3
2 2 2
88 297 8 11 27
6
2 16 6 36 3 4
y x z y x z
xy y z y z xz x
+ +
+ + +
Hết
ĐáP áN KhốI A-B thi THử đại học lần I (Tháng 3năm2011)
Câu
Nội dung Điểm
Câu 1
(2
điểm)
1.
4 2
5 4y x x
= +
TXĐ D=R
Sự biến thiên
lim , lim
x x
y y
+
= =
+
3
10 10
' 4 10 0 0; ;
2 2
y x x x x x
= + = = = =
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng
10
( ; )
2
và
10
(0; )
2
nghịch biến trên các khoảng
10
,0
2
ữ
ữ
và
10
;
2
+
ữ
ữ
+ Hàm số đạt CĐ tại :
10
2
x =
;
9
4
CD
y =
+ Hàm số đạt CT tại :x=0;
4
CT
y =
+ Bảng biến thiên :
-
+
-
+
-
-
-4
9
4
9
4
0
0
0
0
-
10
2
10
2
+
-
y
y'
x
Đồ thị :
-Giao điểm của đồ thị với 0y: (0;-4
-Giao điểm của đồ thị với o x là :( -1 ;0 ) (1;0)
(-2;0 ) ( 2 ; 0)
0,25
0,25
0,25
0,25
2. Đờng thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại 4 điểm phân biệt A,B,C,D
2
: 5 4pt t t m + =
(2) có 2 nghiệm phân biệt dơng
9
4
4
m < <
khi đó
2 1 1 2
( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; )A t m B t m C t m D t m
với
1 2
,t t
là 2 nghiệm của ph-
ơng trình (2) và
2 1
0t t> >
AB=BC=CD
2 1 2 1
3 9t t t t = =
0,25
0.25
0,25
0,25
yêu cầu bài toán
2
: 5 4pt t t m + =
có 2 nghiệm
2 1
2 1
0
7
9
4
t t
m
t t
> >
=
=
Chú ý : học sinh có thể tính trực tiếp toạ độ A,B,C,D theo m và giải phơng trình
vôtỷ ,kết quả đúng ,giám khảo vẫn cho điểm tối đa.
Câu 2
(2
điểm)
1. phơng trình đã cho
2
sin .sin 2 cos .sin 2 1 cos( 2 ) 1
2
x x x x x
+ =
2
sin .sin 2 cos .sin 2 sin 2 0x x x x x
=
sin 2 (sin cos .sin 2 1) 0x x x x
=
sin 2 0
sin cos .sin 2 1 0
x
x x x
=
=
giải phơng trình :
sin 2 0 ( )
2
k
x x k Z
= =
giải phơng trình:
2
sin cos .sin 2 1 0 sin 2(1 sin ).sin 1 0x x x x x x
= =
3 2
2sin sin 1 0 (sin 1)(2sin 2sin 1) 0x x x x x
= + + =
sin 1 2 ( )
2
x x k k Z
= = +
( pt:
2
2sin 2sin 1 0x x
+ + =
vô nghiệm )
Vậy phơng trình có các nghiệm :
( )
2
k
x k Z
=
0,25
0,25
0,25
0,25
2.
Tập xác định
( ) ( ) ( )
;1 2;3 4;D
= +
với mọi
x D
pt
( ) ( )
2 2
3 3 3
log 3 2 log 7 12 log 24x x x x
+ + +
( 1)( 2)( 3)( 4) 24x x x x
( ) ( )
2 2
5 4 5 6 24x x x x + +
[ ]
2
2
5 0
0;5
5 10 0
x x
x
x x
+
kết hợp với tập xác định D ,Tập nghiệm của bất ph-
ơng trình là :
[
) ( ) (
]
0;1 2;3 4;5T
=
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 3
(1
điểm)
( )
3
21
4
1
4 3
3 4 3
x
I dx
x
=
+
Đặt
( )
3
4
3
4
1 4.
4 3 ; .
4
4 3
dx
x t dt t dt dx
x
= = =
; đổi cận :
1 1
21 3
x t
x t
= =
= =
( )
6
3 3 3
4 2
2 2
1 1 1
3 9 27.
3 3
t dt dt
I t t dt
t t
= = +
+ +
5
3
3
202
9 27. 27.
1
5 5
t
t t J J
= + =
ữ
0,25
0,25
0,25
với
3
2
1
3
dt
J
t
=
+
Đặt
3 tant
=
đổi cận :
1
6
3
3
t
t
= =
= =
( )
2
3 1 tandt d
= +
từ đó tính đợc
3
18
J
=
và
202 202 3 3
27
5 5 2
I J
= =
0,25
Câu 4
(1
điểm)
Gọi H là hình chiếu của S trên
mp(ABCD) ,SB=SC=SD nên H là tâm
tam giácđều BCD.Gọi I là trung điểm
HA thì MI // SH nên
( )MI ABCD
và góc
giữa MN với mp(ABCD) là
MNI
0
60=
.
TheoTa-let HN// AB và tam giác HNI có
0
1 1 3
, , 150
3 3 3 3
a a
HN AB HI AC NHI
= = = = =
áp dụng định lý hàm cos
2
2 2 2 0
7
2 . cos150
9
a
NI HN HI HN HI
= + =
7
3
a
NI
=
tam giác vuông
MIN
có ;
0
21
.tan 60
3
a
MI N I= =
2 21
2
3
a
SH MI = =
thể tích khối chóp S.ABCD=
3
1 1 1 2 21 7.
. . . . . 3. .
3 2 6 3 3
a a
AC DB SH a a
= =
Chú ý : học sinh có thể chọn hệ
toạ độ và gọi
3
( ; ; )
6
a
S o x
.từ giả
thiết góc tạo bởi MN với mặt
phẳng (ABCD) bằng
0
60
tìm ra
2 21.
3
a
x =
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5
(1
điểm)
( )
3
3 2
2 1 1 2x x m x x
+
(1)
Ta có
1 2 0 2x x x + >
nên (1)
( )
( )
3
3 2
2 1 1 2x x x x m + +
(2)
Xét hàm số :
3 2
( ) 2 1g x x x
= +
liên tục trên
[
)
2;+
và
2
'( ) 3 4 0 2g x x x x= + >
nên
3 2
( ) 2 1g x x x
= +
đồng biến trên
[
)
2;+
,
( ) (2) 15g x g =
Xét hàm số:
( )
3
( ) 1 2h x x x= +
liên tục trên
[
)
2;+
và
( )
2
1 1
'( ) 3 1 2 . 0 2
2 1 2 2
h x x x x
x x
= + + > >
ữ
nên
( )h x
đồng biến trên
[
)
2;+
,
( ) (2) 1h x h =
và
( ) ( ). ( )f x g x h x=
đồng biến trên
[
)
2;+
và
( ) ( ). ( )f x g x h x=
(2) (2). (2) 15f g h = =
bất phơng trình
( )f x m
có nghiệm
[
)
2; 15x m +
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 6
(2
điểm)
1. M' là điểm đối xứng của M qua đờng phân giác trong của góc A
'(3;2)M
Đờng thẳng AB đi qua M' và vuông góc với đờng cao CH có pt :x-2y+1=0
Toạ độ A thoả mãn hệ phơng trình:
2 1 0
0
x y
x y
+ =
=
(1;1)A
Đờng thẳng AC đi qua A(1;1) và M(2;3) có phơng trình :2x-y-1=0
Toạ độ C thoả mãn hệ phơng trình:
2 1 0
2 3 0
x y
x y
=
+ + =
1
( ; 2)
2
C
3 2
( ; 3), (1;2)
2 3
AC AM AM AC
=
r r
r r
vậy
M
tia đối của tiaAC nên
'M
tia đối
của tiaAB và AB=2AM hay AB=2AM'
2 'AB AM =
r r
từ đó B(-3;-1) và phơng
trình đờng thẳng BC là: 2x+5y +11=0
Chú ý : học sinh có thể gọi B(2t-1;t) và giải phơng trình ( ẩn t )AB=2AM tìm ra 2
điểm
1 2
( 3; 1) (5;3)B B
và phải loại
2
B
vì
2
B
và C nằm cùng 1 phía đối với phân
giác trong của góc A. nếu không loại
2
B
chỉ cho 0,5 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
2.Gi C(0; c; 0) thuc trc tung Oy, ta cú
(1;2;0);AB
=
uuur
( )
3; ;0AC c
=
uuur
, khi ú
iu kin cn v A, B, C thng hng l
ACA &B
cựng phng, tc l
3
6
1 2
c
c
= =
C(0; 6; 0);
mp(P) cha ng thng AB, khụng vuụng gúc vi mt phng (Oxy), nờn mp(P)
ct trc Oz ti D(0; 0; d) (
0d
), ct trc Oy ti C, cắt trục 0x tại A, mp(P) cú
phng trỡnh :
1
3 6
x y z
d
+ + =
; gi
( )
1 1 1
; ; ; 0;0;1
3 6
n k
d
= =
ữ
r r
là véc tơ pháp tuyến
của mp(P) và mp(0xy), gi thit mp(P) hp vi mp(Oxy) mt gúc
6
,
cos ( ; )n k =
ur uur
cos
6
6
cos
1
36
1
9
1
.1
1
00
2
=
++
++
d
d
0,25
0,25
0,25
15
6
5
12
)12()365(3
2
3
365
6
222
2
===+=
+
ddd
d
Cỏc mp tho món yờu cu bi toỏn cú phng trỡnh l:
2 15 6 0
2 15 6 0
x y z
x y z
+ =
+ + =
0,25
Câu 7
(1
điểm)
đặt
2
3
x a
y b
z c
=
=
=
, , 0
3
a b c
a b c
>
+ + =
bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
3 3 3 3 3 3
2 2 2
11 11 11
6
4 4 4
b a a c c b
ab b ac a bc c
+ +
+ + +
Ta chứng minh :
( ) ( )
3 3
2
2
11
3 0 , 0
4
b a
a b a b a b a b
ab b
+ + >
+
(1)
( ) ( )
3 3
2
2
11
3 0 , 0
4
a c
c a c a c a c a
ac a
+ + >
+
(2)
( ) ( )
3 3
2
2
11
3 0 , 0
4
c b
b c b c b c b c
bc c
+ + >
+
(3)
cộng từng vế củabất đẳng thức (1)(2)(3) ta đợc bất đẳng thức cần chứng minh
Dấu bằng xảy ra
1
1
1
2
1
3
x
a b c y
z
=
= = = =
=
0,25
0,25
0,25
0,25
*Chú ý: Học sinh giải bằng cách khác đúng,giám khảo vẫn cho điểm tối đa
