_________—

^ w
THƯ VIỆN
ỈS.TS TRẤN VĂN HẠO
ụ HỌC NHA TRANG
dại học nha trang
512.5
Tr 121 H
JJ > Ạ I S Ố
T U Y Ế N T Í N H
DÙNG TRONG KINH TỂ
GS.TSTRẦN VĂN HẠO
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
DÙNG TRONG KINH TỂ
NHÀ XUẤT BẲN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT
1997
LỜI NÓI ĐẦU
Từ nàm học 1995 - 1996 Bộ Giáo dục và Đào
tạo đã ban hành Chương trình toán cao cấp C1 và
toán cao cấp C2 dùng cho các ngành kinh tế, Tài
chính kế toán, Quản trị kinh doanh, Ngoại thương.
Vì chương trình này có nhiều điểm khác biệt so
vói chương trình và sách hiện đang dùng tại các
Trường Đại Học, nên việc viết một quyển sách mới
phù hợp với chương trình để sinh viên tiện dùng là
một việc rất cần thiết.
Ngoài ra những nội dung về kinh tế, tài chính
nếu được đưa vào trong các ví dụ cũng sẽ làm cho
quyển sách phù hợp với yêu cầu đào tạo của ngành
nhiều hơn

Với những lý do đó, chúng tôi viết quyển sách
này. Vì thời gian gấp rút nên chắc chấn còn cổ
những thiếu sót. Chủng tôi mong sẽ nhận được ý
kiến của bạn đọc dể cuốn sách được hoàn thiện
hơn, nhàm đạt yêu cầu quyển sách cơ sỗ đầu tiên
trong một bộ sách Toán dùng cho các ngành kinh tế.
CHƯƠNG 1
MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
> Phép toán trên các ma trận.
> Định nghĩa và cách tính
định thức.
> Ma trận nghịch đảo.
> Hạng của ma trận.
§1 MA TRẬN
1.1. ĐỊNH NGHĨA .
1.1.1 Vectơ n-chiểu .
Ớ phổ thông ta đã quen với việc viết các vectơ
trong mặt phẳng dưới dạng tọa độ Ịà cặp sô' thực
a = (ai, a2) và các vectơ trong không gian như bộ
ba sô'thực b =(bj,b2 ,b3).
Tổng quát, chúng ta có định nghĩa sau :
o Định nghĩa 1 . Một bộ n sô' được gọi là một vectơ
n-chiều.
♦ Thí dụ 1.
Khi kiểm kê hàng tồn kho ỗ một cửa hàng về
các mặt hàng điện tử gồm (Tivi JVC, Tivi
SONY, đầu Video, cassette, băng) ta ghi lại như
sau : (10, 12, 15, 27, 30)
Đó là một vectơ 5 chiều ứng với 5 loại mặt hàng.
1.1.2. Định nghĩa ma trận .

Một bảng gồm m vectơ n-chiều, viết dưới dạng:
5
an a12
aln
A =
a21 a22 • • a2n
'■®ml ®m2 •
được gọi là một ma trận câp m X n
Như vậy, một ma trận cấp m X n có m dòng, n
cột. Ở đây ajj là phần tử nằm ở dòng i và cột j.
Ta cũng ký hiệu tắt ma trận là A= (a„) mxn.
♦ Thí dụ 2 .
Một công ty có 4 cửa hàng điện tử, lập bảng
thông kê 5 mặt hàng tồn kho như trong thí dụ 1
cho cả 4 cửa hàng, ta được một ma trận cấp 4 x 5 :
10 12 15 27 30'
9 14 18 16 24
~ 13 15 20 19 28
41 18 17 25 3L
♦ Thí dụ 3 .
Sau đây là một sô" thí dụ về ma trận :
f 3^
-2
B - ' i 3 i C -
5
0
I X)
; D = (4, 5, - 3, 2, 7, 9)
6
B là ma trận cấp 2 x 2 ,

c là ma trận cấp 5 x 1 ,
D là ma trận cấp 1 x 6 .
© Định nghĩa 2 . Ma trận cấp n X n được gọi là
ma trận vuông cấp n.
- Ma trận cấp m X 1 được gọi là vectơ cột.
- Ma trận cấp 1 X n được gọi là vectơ dòng
(đó chính là vectơ n-chiều đã nêu trên).
1.1.3. Ma trận bằng nhau .
Hai ma trận A = (ay)m X n, B= (bịj)m X n được gọi là
bằng nhau, nếu chúng có cùng câp m X n, và các
phần tử nằm ở các dòng và các cột tương ứng
đều bằng nhau, tức là a ịj = by với mọi l ắ i ắ m,
1 £ j £ n.
1.1.4. Ma trộn chuyển vị .
Cho ma trân A = (ajj)m X n- Nếu lây dòng 1 của
ma trân A sắp thành cột 1 của một ma trận
mdi, dòng 2 thành cột 2, dòng m thành cột
m thì ta được một ma trận cấp n X m, gọi là ma
trận chuyển vị của ma trân A, và ký hiệu là AT.
♦ Thí dụ 4 . Cho ma trận A =
lo
2 3
-1 ả
thì
ma trận chuyển vị AT là :
( 1 0'
2
-1
3
4

^-5
%
Rõ ràng nếu chuyển vị ma trận AT ta lạ 1 dược
ma trận A.
7
1.1.5. Ma trận không và ma trận đơn vị .
Ta hãy xét hai loại ma trận đặc biệt. Ma trận
0 = (o) (mọi phần tử a,j = 0) được gọi là ma trận
không (cấp m X n).
Ma trận đơn vị là một ma trận vuông cấp n
In = (a¡j) „ x „ mà a¡¡ = 1, a„ = 0, Vi * j
1.2. PHÉP TOÁN TRÊN CÁC MA TRẬN .
1.2.1. P hép cộn g hai ma trận .
Cho A = (aö)m X n> B= (bg)m x „ là hai ma trận cùng
cấp m X n.
Tổng A + B là một ma trận cùng cấp m X n, viết là
C=A+B, c = (Cg) mà Cjj = a¡j + bg với mỗi cặp (i, j)
♦ Thí dụ 5.
1.2.2. P hép nhân một sô' với một ma trận.
Cho sô' thực r và ma trận A = (a¡j)m X „ . Phép
nhân sô' thực r với ma trận A sẽ cho ta một ma
trận cùng câ'p vứi A, mỗi phần tử của nó là tích
của r với các phần tử của A.!,
. ( 2 3 -1
A —
v5 1 3
1 -3 2 -2
-1 4 1 a
thì :
rA = (rag),

8
♦ Thí dụ 6.
f
1 2 -3 -1^
' 3
6 -9
-3n
A =
2 0 5 3
thì 3.A = 6 0 15
9
,-2
1
0
-4/
-6
3
0
-12,
Bạn đọc có thể thử thấy rằng hai phép toán
trên đối vđi các ma trận cấp m X n thỏa các
tính châ't sau:
Cho A — (aịj)m xn > B = (bjk)nx p> c = (Cjj)m X n
1) A + B = B + A
2) (A + B) + c = A + (B + C)
3) 0 + A = A , trong đó 0 là ma trận không câp
m X n.
4) Ma trận (-1)A = (-aij)m X n thỏa tính chất
(-1) A + A = 0
5) (a + b)A = aA + bA với mọi số’ thực a, b.

6) a(A + B) = aA + aB.
7) (ab)A = a(bA).
8) l.A = A
1.2.3. Phép nhản hai ma trận .
b^ji •
Cho ma trận A = (aịịXn X n, B = (bý)n X P (chú ý số cột
của ma trận A bằng số dòng của ma trận B).
Ta gọi ma trận c = (cik)m X p là tích của hai ma
trận A và B và ký hiệu c = A.B nếu phần tử cik
(nằm ở dòng i cột k của ma trận C) là tổng của các
tích của các phần tử của dòng i của ma trận A nhân
với các phần tử của cột k của ma trận B, tức là :
9
n
c ik ~ a ij^jk
j = l
♦ Thi du 7 .
' 2
'1
2 3
-f|
-1
l )
2
-1 1
0
=
5 7
,-3
2 0 )

,3 0
2
ly
d
-8
-7
1.2.4-Thídu áp dung .
♦ Thi du 8 .
Bä T.M. có hai cda häng (viet tát lá Ch) bán
häng dien tö. So hlcrng häng hóa bán ra trong
tháng 1 vä tháng 2 cho bdi hai ma trän C, vä C2 :
Tivi 14' Tivi 21'
Ch, ( 10 2
Ch2l 4 1
Cassette Bang Video
40
35
15
20
= C,
Tvfcmg tif
_ (12 4 20 10)
2 ~ llO 3 15 löj
Väy lUttng häng hóa bán ra cá 2 tháng dvlöc cho
bdi ma trän Ci+ C2.
c , + c
2
=
22


6

60

25
^j
14

4

50

35
J
♦ Thi du 9.
10
Hãy tính nhu cầu về vật tư cho từng phân xưởng
(viết tắt là Px) theo kế hoạch sản xuất cho bỡi ma
trận A (kế hoạch sản xuất các sản phẩm - viết tắt
là Sf) và ma trận B định mức hao phí các vật liệu
(viết, tắt là VI), với :
Sf, Sf2 Sf3
Pxl
T o
0 5^
A = Px2
0
8 4
Px3
V 0

2
10,
VI,
Vl2 V l3
Vl4
V l5
Sfi
2
1 / 2
0
1 / 1 0 0N
B = Sf2
0
1 / 8
1
1
0
Sfg
.0
0
2
1 1 / 3 ,
Giải . Rõ ràng nhu cầu vật tư cho các phân xưởng
là một ma trận c3 X 5, với c = A.B
Cụ thể là :
Vll
V
12
V
13

V
14
V
15
p>,
'20
5
10
6
5
/
3
>
p
*2
0 1
16
12
4/3
p.<
lo
1/4
7

1
12
10
/
3
;

Thật vậy, muôn tính sô' lượng vật liệu 1 mà
phân xưởng 1 cần thì ta phải căn cứ sô' các sản
phẩm mà Pxi sản xuất, mỗi loại sản phẩm cần bao
nhiêu vật liệu mỗi loại
(10 X 2) + (0 X 0) + (5 X 0) = 20
11
tức là lấy dòng .1 của ma trận A nhân với cột 1
của ma trận B rồi cộng lại.
1.2.5 Tính chât của phép nhân ma trận
Sau đây là một số’ tính chất của phép nhân ma
trận:
a) Cho A = (aq)jnxn J B = (bjj)nxp 7 c = (Cij)pxq thl
(A.B).C = A.(B.C).
b) Ma trận đơn vị I„ có tính chất là với mọi ma
trận A vuông cấp n ta có
In. A = A.In = A
§2. ĐỊNH THỨC
2.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT .
2.1.1. H oán vị .
Ở phổ thông chúng ta đã biết một hoán vị của n
phần tử là một bộ .gồm n phần tử đó, được sắp xếp
theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt
đúng một lần.
Trong giáo trình này ta chỉ xét hoán vị cứa n số
tự nhiên 1, 2, 3, , n và gọi là hoán vị bậc n.
Như vậy mỗi hoán vị dược ký hiệu bởi dãy
ij, Ỉ2, , in trong đó ij * ik và là nhữtig sô' từ 1 đến n.
12
♦ Thí dụ 1. Các hoán vị bậc 4 khác nhau là
1234, 1243,1324, 1342, 1423, 1432

2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431
3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421
4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321
Ta cũng đã biết có tất cả n! hoán vị bậc n khác
nhau .
2.1.2. Nghịch t h ế .
Cho hoán vị ib i2, , in. Cặp số (ij ik) trong hoán
vị đó lập thành một nghịch thế nếu ij > iit và ij
đứng trước (bên trái) ik trong hoán vị đó.
♦ Thí dụ 2.
Trong hoán vị 3241 ta có các nghịch thế lập nên
từ các cặp (3,2), (3,1), (2,1), (4,1). Như vậy trong
hoán vị này có tất cả 4 nghịch thế.
Còn trong hoán vị 1243 thì chỉ có một nghịch
thế do cặp (4,3) tạo ra.
Một hoán vị được gọi là chẵn (lẻ), nếu số nghịch
thế trong hoán vị đó là chẵn (lẻ).
2.1.3.Định nghĩa định thức cấp n .
Cho ma trận vuông cấp n.
Ml
l 21
vanl
a i2 -■
■ a ln
a 22
•• 4 2n
a n2 '
' a nn
13
Ta hãy xét các tích của n phần tử nằm ở các

dòng khác nhau và các cột khác nhau của ma trận
A. Mỗi tích như vậy có thể viết dưới dạng :
a 11,a21 -a n i„ Cd
tro n g đó Ĩị, i,i là m ột hoán vị bậc n. Vì có
n! ho á n vị bậc n khác nhau nên có tá t cá n! tích
dạn g (1).
Bây giờ ta gán cho mỗi tích dạng (1) một dấu: Nêu
hoán vị 11, Ì2, i„ là chẵn thì tích đó lấy dấu +, còn
nếu hoán vị đó là lẻ thì tích tương ứng lấy dấu
Cuối cùng ta đi đến định nghĩa sau :
o Định nghĩa .
Định thức cấp n (của ma trận A) là tổng của n!
hạn g tử dạng (1), mỗi hạ n g tử là tích của n ph ần
tử nằm ở các dòng và cột khác nhau của ma trận
A, và mỗi h ạ n g tử có dấu + hoặc trừ tùy theo hoán
vị ii, Ỉ2, irilà chẵn hay lẻ,
Ký hiệu định thức cấp n là Dn thì ta có thế viết:
~
'y
a Uị a 2ij • ■ ■ a !1 1(1
Người ta cũng dùng ký hiệu sau đây đế chỉ đinh
thức cấp n của m a trận A :
D
lì
a ll
a 12 •■ ■a lu
a 21
a22
- a2n
a „l

a n2
■' a tm
♦ Thí dụ 3. Ớ phổ thông ta đâ biết k h ái niệm
định thức câp 2
14
d 2
a ll
a 21
a I <)
a22
D2 là tổng của 2! = 2 hạng tử a ua22 và a ]2a2i trong
đó hoán vị 12 chẵn, hoán vị 21 lẻ nên ta có :
D2 = a Ị ] a22 - a i-2a2i
♦ Thí dụ 4 . Tương tự, ta có định thức cấp 3
a n a i2 a i:t
a 21 a 22
a 31
a 32
a2;ỉ
a3;ì
D;ị có 3! = 6 h ạn g tử trong đó có 3 hạn g tử với dâu
+ và 3 hạng tử với dấu trừ.
D;j = a 11^22 Ssii + a ]2 a23 a3i + a i3 a2i a,'î2
an a2;i a,32 — a j2 a2Ị a,33 — a 13 a22 331
♦ Thí dụ 5.
D.
0 10 0 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
0 0 10 0

0 0 0 0 1
T h ật vậy, trong 5! hạn g tử của định thức này chỉ
có một hạng tử khác không, đó là :
a ¡2 .a24 .a;n .343.3r>ñ = 1
M ặt khác hoán vị 24135 là một hoán vị lẻ (có 3
nghịch th ế tạo bởi các cặp (2,1), (4,1), (4,3)), do đó
hạng tử này m ang dấu
/5
2.1.4. Tinh châ't của định thức ,
Sau đáy là một số tính chát cơ bàu cua định thức
mà chúng ta thừa nhận, không chứng m m h.
V Tính chất 1. Cho A là mot ma trận vuông cap n,
A 1 là ma trận chuyên VỊ cua ma trận A.
T hế thì : |a 11 IAI
Nói m ột cách khác ta có thề phát bien: định thức
kh ôn g thay đổi qua một phép chuyển VỊ.
V Tính chất 2. Nếu ta trao đổi hai dòng (hoậc hai
cột) của m ột định thức cho nhau thì định thức
đổi dấu.
V Tính chất 3 . Nếu đối với một dòng thứ 1 nào
đó của định thức.
a I ! 3 12 ' 3 1 II I
*3-9 I <3 )■ > - & 7j| j
3 ! 1 3 i'2 3 m
ị a nl a n2 ' 3 II n
a ,j + a ’ ịj (j - 1,2,,-,,n)
N\i t !)"„
Trong đó :
Ta có a,j =
Thì r>„ -

16
a n a 12
;
i a M
a Ị •>
• a h
a , j a - -
" a2„
i
a 2 1
a.J; a.,
a',1 a',2
a' rl
! a"ii
a1',2
. ,.a’\
a„i an2
1
a„i an2 •- ' an
•V Tính chai 4 . Nêu đối với một dòng thứ 1 nào
đó của định thức D„ ta có a,j - r a’,j thì
D„ = r D’n, trong đó D’„ có dạng ở trên.
Từ 4 tính chất cơ bản đó chúng ta suy ra một sô"
hệ quả sau đây.
Hê quả 1 ■
Nêu trong một định thức có hai dòng (hoặc hai
cột) trùng nhau, thì định thức đó bằng không.
T hật vậy, nếu định thức D„ có hai dòng thứ i và
thứ k trùng nhau, thì bằng cách trao đổi hai dòng
dó cho nhau, định thức D„ vẫn không đổi, trong

khi đó theo tính ch ất 2, định thức D„ dổi dấu, Vậy
D„ = -D„ hay D„ = 0.
Ta củng suy ra được từ tính chảt 3. 4 và hệ quả 1.
Hè quả 2 .
Một định thức sẽ không đổi. nếu ta lây các phần
tử bủa mọt dòng nhàn với cùng một số rồi cộng với
các phần tử tương ứng của một dòng khác.
/7
Sau đây ta sẽ áp dụng hệ quả đó đế tính định
thức.
♦ Thí dụ 6 . Tính định thức
1
-3 0 2
2
õ 3
-1
2
-4 -1
5
3
-7
4 2
Ta sẽ làm cho các phần tử ở cột thứ n h át từ
dòng thứ hai trở đì triệt tiêu, bằn g cách lấy dòng
th ứ n h ấ t n h â n vói 2 rồi cộng vào dòng thứ hai,
sau đó lấy dòng thứ n h ấ t nh â n với -2 rồi cộng vào
dòng thứ ba và cuối cùng lấy dòng th ứ n h ấ t nh ân
với -3 rồi cộng với dòng thứ tư. Ta được :
1 -3 0
2

0
-1 3
3
0
2
-1
1
0
2
4
- 4
Tiếp theo, ta lấy dòng thứ hai nh ân với 2 rồi
cộng lần lượt với dòng thứ 3 và dòng thứ tư, được :
1
-3
0
2
0
-%
3
3
0 0 5
7
0 0 10
2
Cuối cùng lấy dòng thứ ba n h â n với -2 rồi cộng
với dòng thứ tư, ta được :
1 -3 0 2
0
-2

3 3
0 0
5 7
0 0 0
-12
Bằng cách đó, ta đã làm cho phần định thức
nằm phía dưới đường chéo bằng không cả (đường
chéo này ta thường gọi là đường chéo chính của
định thức).
Bây giờ ta thấy định thức D bằng tích của các phần
tử trên đường chéo chính (vì tấ t cả các hạng tử khác
đều có ít nhất một phần tử bằng không).
Vậy :
D = a u .a22 .a:« ,au = 1(-1).5.(-12) = 60
2.2. ĐỊNH LÝ LAPLACE .
2.2.1. Định thức con .
Cho m ột định thức D câ'p n. Định thức con cấp
k (1 s k < n) của định thức D là định thức của
ma trậ n vuông cấp k gồm các p h ần tứ nằm ở
giao của k dòng và k cột tùy ý của định thức D.
Đặc biệt định thức con cấp n duy nhất của định
thức D chính là D, còn định thức con cấp 1 trong
định thức D chính là một phần tử tùy ý của D.
♦ Thí dụ 7 .Cho định thức cấp 3
19
Ị a i i a 12 a ỉd I
D7 - I 3^1 a<>3) j
ị a .,1 a ,2 a ,,
Trong định thức D có tấ t cả 9 định thức con câp
2, đó là:

all a 12
a u a ii
a Ị9 a Ị ị
a2I 3 22 a2l a23
ĩ
a 79 a ■> {
í3 3 ì
a ,
a 2l a 22 a 2l 3 23
a 31 3 32 a 3i a 33
a23ị
a.ni
2.2.2. Đ ịnh th ứ c co n bù v à p hầ n bù đại sô.
a) Cho một định thức con M cáp k trong đinh thức
D vẨp n. Ta gọi định thức con bù của định thức
con M trong D là định thức con M’ thu đươc từ
D bằn g cách xóa k dòng và k cột lập nên định
thức con M
♦ Thí dụ 8 Cho định thức cấp 5
a
u
3 12 3 13
í
u
3 13
a
21 3 22 3 23
a
¿4
a

a
31
a ;J2
3 33
a
,Í1
3 3.3
a
41
a 12 3 13
a
Í1 3 13
a
V1
a 52
a 5.,
a
n
3 53
Với định thức con cấp 2 :
M
ỉ a2l|
3 11 a n
ta có dinh thức con bù là :
20
M' =
a 12
a i:;
a,:-
a :!2

a ;j:ì
a,!5
a -9 a ;j a-f>
thu được từ D bằng cách bỏ dòng 2, dòng 4 và cột
1, cột 4
b) Giả sử định thức con M lập nên từ các phần tử
nằm ở giao điểm của k dòng i[, i2, Ik và k cột
j ], j2, jk và giả sử M’ là dinh thức con bù của
định thức con M trong định thức D. Ta định
nghĩa phần bù đại số của M trong D là ;
Ị_lýi' M '
Đặc biệt phần bù đại sô" A,j của phần tử a,j trong
định thức D là :
trong đó M,J là định thức con bù của phần tử a,j
trong D.
2.2.3. Định lý Laplace .
Giả sử trong định thức D cấp n ta đã chọn k
dòng (hoặc k cột) tùy V (1 k n 1)- T h ế thì
định thức D bằn g tống của các tích của tấ t cả
các, định thức con câ"p k lập được trên k dòng
(hoặc k cột) đó với ph ần bù đại sô" của chúng.
Người ta cùng nói đâv là' định lý khai triển
định thức theo k dòng hoặc k cột
♦ Thí dụ 9 : Tính định thức :
21
Trên hai dòng đầu có thế lập được 6 định thức
con cấp 2, nhưng chỉ có một định thức con cấp hai
khác không. Vì vậy, theo định lý Laplace, nếu
khai triển định thức theo 2 dòng đầu, ta có :
2 3

4 5
1 2
4 6
= (-2X-2) = 4
2.2.4. Khai triển định thức theo các phần
tử của m ột dòng hay m ột cột .
Áp dụng định lý Laplace cho một dòng (hay một
cột), ta có công thức khai triển theo các phần tử
của l dòng sau đây (dòng thứ i).
D = aiiAịi + ai2Ai2 + + ainAin
trong đó Ajj là phần bù dại số’ của phần tử 3ij.
Tương tự, công thức khai triển định thức theo
các phần tử của cột j là :
D = aijAtj + a2jA2j + + anjAnj
♦ Thí dụ 1Ọ : Tính định thức
0 4 0 0
D . 1 3 2 - 1
-2 5 3 1
3 7 2 -2
22
Khai triển theo d ồ ^ thứ nh ất/ta dược :
D = 4.(-l)“ 2
1 2
-1
1
2
l
-2 3 1
= - 4.
-2

3
1
3 -2 2
2
2
Tính định thức câ'p 3. N hân cột thứ nhất với 2
rồi cộng với cột thứ hai, và cộng cột thứ n hât với
cột thứ ba, ta được :
1
0 0
II
p
-2
7 -1
= -4
3 -4
5
-1
5
(- 4)31 - 124
2.3. CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC .
Nếu trong định thức có nhiều dòng nhiều cột
chứa p h ần tử 0 như trong thí dụ 9, thì ta có thế
dùng định lý Laplace khai triển trên các dòng và
cột đó.
Trong trường hợp tổng quát, ta có thể dùng hệ
quả 2 và tính chất 2 của định thức đế’ làm triệt
tiêu các phần tử nằm dưới đường chéo chính của
định thức. Lúc đó định thức bằng tích của các
phần tử trê n đường chéo chính.

* Trong quá trình làm triệt tiêu các phần tử nằm
dưới đường chéo chính, nếu thầy đã xuất hiện
nhiều sô' 0, ta có thể áp dụng ngay định lý
Laplace.
♦ Thí dụ 11 .Tính định thức
23
3 5 1 4
2 - 1 3 -2
1 2 0 - 3
4 12-1
Nếu ta nhân dòng đầu với các số rồi cộng vào
các dòng khác để làm triệt tiêu các phần tử ở cột
1 thì xuất hiện các phân số. Vì vậy trước hết ta
làm xuâ't hiện sô" 1 ỗ góc trên bên trái bằng một
trong hai cách : hoặc nhân dòng thứ hai với -1 rồi
cộng vào dòng đầu hoặc đổi chỗ dòng thứ nhất cho
dòng thứ ba.
Chẳng hạn, đổi chỗ dòng thứ nhất cho dòng thứ
ba ta được.
1
2
0
-3 1
2
0
-3
2
-1 3
-2
0 -5 3

4
3
5
1
4
0
-1 1
13
4
1
2 -1
0 -7
2
11
Đến đây ta lại đổi chỗ dòng thứ 2 với dòng thứ 3
để xuất hiện sô" -1 ở dòng thứ hai :
D =
1
2
3
4
2 0 - 3
-1 3 -2
5 1 4
1 2 -1
2 0 -3
J — i——13
Ố -2 -61
lo -5 -80
Bây giờ dùng định lý Laplace, khai triển theo

hai cột đầu, ta được :
24
1 2
/ 1+ 2+ 1+2
-2 -61
0 -1
( - 1)
1
à ĩ
1
00
Õ
( - 1) ( - 145) 145
§ 3 . MA TRẬN VUÔNG
Trong phần này ta chỉ xét các ma trận vuông cấp
n. Mỗi ma trận vuông A có định thức của nó, mà ở
trên ta đã ký hiệu là |a| hay det A.
3.1. ĐỊNH THÚC CỦA TÍCH HAI MA TRẬN:
Cho hai ma trận vuông cấp n :
a n a l2-
-a tn ^
f b „
b)2-
•b,„ ^
A =
a 21 a 22- •a 2n
; B =
b 2i
b 22-
•b2,i

ỉ
a n2' •a nn'
^bnj
b„2-
• ■ ^nrì '
Gọi C là tích của A và B. Ta có định lý sau :
o Đinh lý 1 .
Định thức của tích hai ma trận bằng tích của các
định thức của các ma trận đó:
|c | = |a .b | = |a |.|b |
25