Đề thi - đáp án kỳ thi hsg trường môn toán k10 2010-2011
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (252.37 KB, 3 trang )
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT YÊN THÀNH 2
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG. NĂM 2011.
Môn thi: Toán. Khối 10.
Thời gian làm bài 150 phút.
Câu 1: ( 3 điểm).
Cho phương trình:
3)1)(3(42
2
−=+−++− mxxxx
(1).
a) Giải phương trình (1) khi m=12.
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Câu 2: ( 3 điểm).
a) Giải hệ phương trình:
=+
=++
5
5
22
yx
xyyx
.
b) Giải bất phương trình:
12145
2
−≥−− xxx
.
Câu 3: ( 2 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng: (d
1
):
01 =+− yx
; (d
2
):
012 =−+ yx
và điểm P(2;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua P và cắt (d
1
), (d
2
)
tương ứng tại A, B sao cho P là trung điểm của AB.
Câu 4: ( 1 điểm).
Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC. Chứng minh rằng:
abcICcIBbIAa =++
222
.
Câu 5: ( 1 điểm).
Cho z ≥ y ≥ x > 0. Chứng minh rằng:
++≤++
+
zx
zxzx
yzx
y
11
)()(
111
.
Hết
Họ và tên thí sinh: SBD:
ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM ĐỀ THI HSG TRƯỜNG NĂM 2011. MÔN TOÁN. KHỐI 10.
Câu Ý Nội dung Điểm
1) 3
điểm
a)
1.5
điểm
Khi m=12, ta có:
9)1)(3(42
2
=+−++− xxxx
⇔
01232432
22
=−++−+++− xxxx
Đặt t=
32
2
++− xx
, t≥0. Ta có pt:
0.5
−=
=
⇔=−+
)(6
2
0124
2
Lt
t
tt
0.5
t=2⇔
1012
2
=⇔=−+− xxx
0.5
b)
1.5
điểm
Đặt t=
32
2
++− xx
, ta có: t≥0, t=0 khi x=3, x=-1; t=
( )
241
2
≤+−− x
,
t=2 khi x=1. Do đó đk của t là: 0≤t≤2.
0.5
Ta có pt:
mtt =+ 4
2
. Gọi f(t)=
tt 4
2
+
⇒ f(t) NB (-∞;-2), ĐB (-2;+∞) ⇒
f(t) ĐB (0;2).
0.5
Ta có BBT:
t 0 2
f(t) 12
0
Từ BBT suy ra: Để phương trình có nghiệm thì 0≤m≤12.
0.5
2) 3
điểm
a)
1.5
điểm
Đặt S=x+y, P=xy. ĐK: S
2
≥4P. Ta có hệ:
=−
=+
)2(52
)1(5
2
PS
PS
0.5
(1)⇔P=5-S. Thay vào (2):
0152
2
=−+ SS
⇔
=⇒−=
=⇒=
)(105
23
LPS
PS
0.5
=
=
∪
=
=
⇔
=
=
2
1
1
2
2
3
y
x
y
x
P
S
0.5
b)
1.5
điểm
12145
2
−≥−− xxx
⇔
( )
−≥−−
≥−
<−
≥−−
2
2
2
12145
012
012
0145
xxx
x
x
xx
0.5
⇔
≤++
≥−
<−
≥−−
0153
012
012
0145
2
2
xx
x
x
xx
⇔
≥
<
≥∪−≤
VN
x
x
xx
2
1
2
1
72
0.5
⇔x≤-2. Vậy tập nghiệm của bpt: T=(-∞;-2].
0.5
3) 2
điểm
Gọi d là đường thẳng cần tìm. Giả sử A(x
0
;y
0
), ta có:
A thuộc d
1
nên
01
00
=+− yx
, (1)
0.5
P là trung điểm AB nên B(4-x
0
;2-y
0
)
B thuộc d
2
nên
012)4(2
00
=−−+− yx
, (2)
0.5
Từ (1) và (2) ta có hệ:
=+−−
=+−
092
01
00
00
yx
yx
⇔
=
=
3
11
3
8
0
0
y
x
⇒A(
3
8
;
3
11
)
0.5
)
3
8
;
3
2
( −−=
→
AP
là vtcp của (d) ⇒
)1;4( −=
→
n
là vtpt của (d).
Vậy phương trình đường thẳng d là:
4(x-2)-1(y-1)=0⇔4x-y-7=0.
0.5
4) 1
điểm
Chứng minh
→→→→
=++ 0 ICcIBbIAa
, (1)
0.5
⇒
0) (
2
=++
→→→
ICcIBbIAa
⇔
0.2.2.2
222222
=+++++
→→→→→→
ICIBbcICIAacIBIAabICcIBbIAa
⇔
0)(
)()(
222
222222222222
=−++
−++−++++
BCICIBbc
ACICIAacABIBIAabICcIBbIAa
⇔
abccbacICbIBaIAcba )())((
222
++=++++
⇔
abcICcIBbIAa =++
222
.
0.5
5) 1
điểm
++≤++
+
zx
zxzx
yzx
y
11
)()(
111
⇔
xz
zx
zx
y
zx
xz
y
2
)(
)(
1
)(
+
≤+++
⇔
0
22
≤−+−⇔+≤+ yzxzxyyyzxyxzy
0.5
⇔y(y-x)+z(x-y)≤0⇔(x-y)(z-y)≤0 : đúng.
0.5
P
B
A
d2
d1
d
B
C
A
I
