Trêng THPT Ng« QuyÒn GV: Hµ C«ng Th¬
GIỚI HẠN DÃY SỐ
A / Lý thuyết:
•Nếu
,lim 0 lim 0
n n n n
u v n v u< ∀ = ⇒ =
•
lim c c=
•
lim lim
n n
u L u L= ⇒ =
•
3
3
lim lim
n n
u L u L= ⇒ =
;
•
lim , 0 0,lim
n n n
u L u n L u L= > ∀ ⇒ > =
•
2
1
1 1 1
...
1
u

S u u q u q
q
= + + + =
−
•
1
lim lim 0
n
n
u
u
= +∞ ⇒ =
3
1 1 1
lim 0; lim 0; lim 0;
n
n n
= = =
lim 0
n
q =
nếu
1q <
*
1
lim 0,
k
k N
n
= ∈

lim 0
k
c
n
=
3
lim ; lim ; lim ; n n n= +∞ = +∞ = +∞
lim
n
q = +∞
nếu
1q >
;
*
lim ,
k
n k N= +∞ ∈
lim
n
u = ±∞
,
lim
n
v = ±∞ lim
n
u = ±∞
,
lim 0
n
v L= ≠ lim 0

n
u L= ≠
,
lim 0
n
v =
lim
n
u lim
n
v
lim .
n n
u v
lim
n
u
Dấu của
L
lim .
n n
u v
Dấu của
L
Dấu của
n
v
lim
n
n

u
v
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
+
−
+
−
+∞
−∞
−∞
+∞
+
+
−
−

+
−
+
−
+∞
−∞
−∞
+∞
B/ Bài Tập:
Bài 1 tìm các giới hạn sau:
1.
2 1
lim
1
n
n
+
+
2.
2
2
3 4 1
lim
2 3 7
n n
n n
− + +
− +
3.
3

3
4
lim
5 8
n
n n
+
+ +
4.
( ) ( )
( )
3
2 1 3 2
lim
6 1
n n n
n
+ +
+
5.
2
1
lim
2
n
n
+
+
6.
2

4
lim
3 2
n
n n
+
− +
7.
( )
( )
3
2 1
lim
6 1
n n
n
+
+
8.
3
2
lim
1
n
n
+
+
9.
( )
( )

( )
2
3
2 1 3 2
lim
6 1
n n n
n
+ +
+
Bài 2 tìm các giới hạn sau:
1.
2
1
lim
2 3
n
n
+
+
2.
2 1
lim
2 2
n
n
+
+ +
ds2
3.

1
lim
1
n
n
+
+
ds1
4.
2
lim
1
n
n n
−
+ +
ds0
5.
3
3
2
lim
2
n n
n
+ +
+
ds1
6.
3

3
2
1 1
lim
3 2
n
n
+ −
+ −
7.
3
2 3
2
1
lim
1 3
n n n n
n n
+ + +
+ +
Bài 3 tìm các giới hạn sau:
1.
( )
lim 1n n+ −
ds0
2.
(
)
2 2
lim 5 1n n n n+ + − −

ds3
3.
(
)
2 2
lim 3 2 1 3 4 8n n n n+ − − − +
ds
3
(
)
2
lim 4n n n− −
ds-2
- 1 -
Trêng THPT Ng« QuyÒn GV: Hµ C«ng Th¬
5.
(
)
2
lim 3n n− +
ds0
6.
( )
lim 1n n+ +
7.
(
)
3 2 3
lim n n n− +
ds1/3

8.
( )
3 3
lim 1n n− +
ds0
9.
3
3
2
1
lim
1
n n
n n
+ −
+ −
10.
(
)
3 3 2 2
lim 3 1 4n n n n− + − +
Bài 4 tìm các giới hạn sau:
1.
1 4
lim
1 4
n
n
−
+

2.
1
2
3 4
lim
3 4
n n
n n
+
+
−
+
3.
3 4 5
lim
3 4 5
n n n
n n n
− +
+ −
4.
1
1
2 6 4
lim
3 6
n n n
n n
+
+

+ −
+
5.
2
2
3 4 1
lim
2
n
n n
n
− + +
Bài 5 tìm các giới hạn sau:
1.
sin
lim
1
n
n
π
+
2.
2
sin10 cos10
lim
2
n n
n n
+
+

Bài 6 tìm các giới hạn sau:
1.
2
1 3 5 ... (2 1)
lim
3 4
n
n
+ + + + +
+
ds1/3
2.
2
1 2 3 ...
lim
3
n
n
+ + + +
−
ds1/2
3.
2 2 2 2
1 2 3 ...
lim
( 1)( 2)
n
n n n
+ + + +
+ +

ds1/3
4.
1 1 1
lim ...
1.2 2.3 ( 1)n n
 
+ + +
 
+
 
ds1
5.
1 1 1
lim ...
1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n
 
+ + +
 
− +
 
Bài 7 Tính các tổng sau:
1.
1 1
1 ...
2 4
S = + + +
2.
1 1 1
1 ...
3 9 27

S = − + − +
3.
2 3
1 0,1 (0,1) (0,1) ....S = + + + +
4.
2 3
2 0,3 (0,3) (0,3) ....S = + + + +
Bài 8:đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:
1. 1,1111….
2. 2,3333…
3. 0,2222…
4. 0,212121….
5. 0,23111…
GIỚI HẠN HÀM SỐ
A/Lý thuyết :
0
0
lim
x x
x x
→
=

0
lim
x x
C C
→
=


1
lim 0
x
x
→±∞
=
1
lim 0
k
x
x
→±∞
=

lim
k
x
x
→+∞
= +∞

, 2
lim
, 2 1
k
x
k l
x
k l
→−∞

+∞ =

=

−∞ = +

( ) ( ) ( )
0
0 0
lim lim lim
x x
x x x x
f x L f x f x L
− +
→
→ →
= ⇔ = =
( )
0
lim
x x
f x
→
( )
0
lim
x x
g x
→
( ) ( )

0
lim .
x x
f x g x
→
0L
>
+∞ +∞
−∞ −∞
0L
>
+∞
−∞
−∞
+∞
- 2 -
( )
0
lim
x x
f x
→
( )
0
lim
x x
g x
→
Dấu của g(x)
( )

( )
0
lim
x x
f x
g x
→
L
±∞
Tuỳ ý 0
L>0
0
+
+∞
-
−∞
L<0
+
−∞
-
+∞
Trêng THPT Ng« QuyÒn GV: Hµ C«ng Th¬
B/ Bài tập:
Bài 1:Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau:
1.
2
3
9
lim
3

x
x
x
→
−
−
2.
( )
2
1
lim 3 1
x
x x
→
+ +
3.
2
3
9
lim
4
x
x
x
→
−
+
4.
2
2

2 9
lim
4
x
x
x
→+∞
−
+
Bài 2 Tìm các giới hạn sau::
1.
2
lim
x
x
→
đs2
2.
( )
2
lim 3
x
x
→
+
đs5
3.
( )
2
2

lim 2 3 5
x
x x
→
− − +
đs-9
4.
( ) ( )
0
lim 3 2
x
x x
→
− +
đs-6
5.
1
5 2
lim
1
x
x
x
→
+
+
đs7/2
6.
2
2

3 1
lim
1
x
x x
x
→
+ −
−
đs3
7.
2
5 2 1
lim
1
x
x x
x
→
− + −
+
đs2/3
Bài 3:Tìm các giới hạn sau:
1.
( )
3
lim 2
x
x x
→+∞

+
đs
+∞
2.
( )
3
lim 2
x
x x
→−∞
+
đs
−∞
3.
2
2
5 3 1
lim
2 3
x
x x
x
→+∞
+ +
+
đs5/2
4.
2
2
5 3 1

lim
2 3
x
x x
x
→−∞
+ +
+
đs5/2
5.
4 2
4
5 1
lim
2 3
x
x x
x
→+∞
+ +
+
đs1/2
6.
4 2
4
5 1
lim
2 3
x
x x

x
→−∞
+ +
+
đs1/2
7.
2
3 1
lim
2 3
x
x
x
→+∞
+
+
đs0
8.
2
3 1
lim
2 3
x
x
x
→−∞
+
+
đs0
9.

2
3
3 1
lim
2 5
x
x
x
→+∞
+
+
đs0
10.
2
3
3 1
lim
2 5
x
x
x
→−∞
+
+
đs0
11.
2
2 2
lim
1

x
x x
x
→+∞
+ +
+
đs
+∞
12.
2
2 2
lim
1
x
x x
x
→−∞
+ +
+
đs
−∞
13.
2
lim 2
x
x x
→+∞
+
đs
+∞

14.
2
lim 2
x
x x
→−∞
+
đs
+∞
15.
2
4 1
lim
3 1
x
x
x
→±∞
+
−
đs
2
3
±
16.
4
2
3 5
lim
2 4 5

x
x x x
x x
→±∞
+ −
+ −
đs
1
2
17.
2
2
3 4
lim
4 1
x
x x
x x
→±∞
+ +
+ −
đs5 , -1
18.
2 2
9 1 4 2
lim
1
x
x x x
x

→±∞
+ − +
+
đs
1±
Bài 4 Tìm các giới hạn sau::
1.
( )
2
3
5 2
lim
3
x
x
x
→
+
−
đs
+∞
2.
( )
2
3
2 3
lim
3
x
x

x
→
 
+
−
 
−
 
 
đs
−∞
3.
3
5 2
lim
3
x
x
x
−
→
+
−
đs
−∞
4.
3
5 2
lim
3

x
x
x
+
→
+
−
đs
+∞
5.
2
2
5 2
lim
2
x
x x
x
−
→
+ +
−
đs
−∞
6.
2
2
5 2
lim
2

x
x x
x
+
→
+ +
−
đs
+∞
Bài 5 Tìm các giới hạn sau::
Cho hàm số :
( )
2
2 3 1 , 2
3 7 , 2
x x x
f x
x x

+ − ≥
=

+ <


Tìm các giới hạn sau:
1.
( )
1
lim

x
f x
→
2.
( )
3
lim
x
f x
→
3.
( )
2
lim
x
f x
→
Bài 6 Tìm các giới hạn sau::
- 3 -
Trờng THPT Ngô Quyền GV: Hà Công Thơ
Cho hm s :
( )
2
1 2 , 1
5 4 , 1
x x
f x
x x

<

=

+


Tỡm cỏc gii hn sau:
1.
( )
0
lim
x
f x

2.
( )
3
lim
x
f x

3.
( )
1
lim
x
f x

Bi 7 Tỡm cỏc gii hn sau::(dng
0
0

)
1.
2
3
2 15
lim
3
x
x x
x

+

s8
2.
2
2
1
2 3
lim
1
x
x x
x

+

s2
3.
2

2
2
3 2
lim
2
x
x x
x x

+

s1/2
4.
2
2
2
3 2
lim
6
x
x x
x x

+
+
s1/5
5.
3 2
2
1

1
lim
3 2
x
x x x
x x

+
+
s0
6.
4 4
lim
x a
x a
x a



s4a
3
7.
( )
2
2
0
lim
h
x h x
h


+
s2x
8.
4 2
3 2
3
6 27
lim
3 3
x
x x
x x x


+ + +
s-36/5
9.
5
3
1
1
lim
1
x
x
x

+
+

s5/3
10.
1
1
lim
1
m
n
x
x
x



sm/n
11.
( )
6 5
2
1
4 5
lim
1
x
x x x
x

+

s10

Bi 8 Tỡm cỏc gii hn sau::(dng
0
0
)
1.
1
1
lim
1
x
x
x



s1/2
2.
2
3
1 2
lim
9
x
x
x

+

s1/24
3.

2
1
2 3
lim
1
x
x
x

+

s-1/8
4.
2
2
4 1 3
lim
4
x
x
x

+

s1/6
5.
2
2
2 5 7
lim

2
x
x x
x x

+ +

s1/12
6.
3
2
4 2
lim
2
x
x
x

+
+
s1/3
Bi 9Tỡm cỏc gii hn sau:(dng
0
0
)
1.
3
2
1
1

lim
1
x
x
x



s1/6
2.
2
2
lim
4 1 3
x
x x
x

+
+
s9/8
3.
3
0
1 1
lim
3
x
x
x



s1/9
4.
3
2
1
1
lim
3 2
x
x
x

+
+
s-2/3
5.
3
1
7 2
lim
1
x
x
x

+

s1/2

6.
3
1
1
lim
1
x
x
x



s2/3
7.
3
0
1 1
lim
x
x x
x

+
s5/6
8.
0
1 4 3
lim
x
x x

x

+ + +
9.
0
9 16 7
lim
x
x x
x

+ + +
10.
( )
3
2
3
2
1
2 1
lim
1
x
x x
x

+

Bi 10:Tỡm caực giụựi haùn sau
1.

(
)
2
lim
x
x x x
+
+
2.
(
)
2
lim 2 1 4 4 3
x
x x x
+

3.
(
)
2 2
lim 1 1
x
x x x x
+
+ + +
4.
(
)
3 3

lim 1
x
x x
+
+
5.
+
x
lim
(
xxx 5
2
+
) (ẹs:-5/2)
6.

x
lim
(
1
22
+
xxx
) (ẹs:1/2)
- 4 -
Trêng THPT Ng« Qun GV: Hµ C«ng Th¬
7.
(
)
32 3

lim . 1
x
x x x
→+∞
+ −
8.
(
)
3 33 2 3
lim 5 8
x
x x x x
→+∞
+ − +
Bài 11:Tìm các giới hạn sau
1.
2
1
2 1
lim
1 1
x
x x
→
 
−
 
− −
 
2.

3
1
1 3
lim
1 1
x
x x
→
 
−
 
− −
 
3.
2 2
1
1 1
lim
3 2 5 6
x
x x x x
→
 
−
 
− + − +
 
BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x
0

1. f(x) =
2
9
3
3
6 3
x
khi x
x
khi x

−
≠

−


=

tại x
0
=3
2. f(x) =
2
25
5
5
9 5
x
khi x

x
khi x

−
≠

−


=

tại x
0
=5
3.
( )
2 3
2
2 7 5
khi 2
3 2
1 khi 2
x x x
x
f x
x x
x

− + −
≠


=
− +


=


tạix
0
=2
4.
( )
3
3
2
khi 1
1
4
khi 1
3
x x
x
x
f x
x

+ +
≠ −



+
=


= −


tại x
0
= -1
5.
( )
1 2 3
khi 2
2
1 khi 2
x
x
f x
x
x

− −
≠

=

−


=

tại x
0
=2
6.
( )
3
3 2 2
khi 2
2
3
khi 2
4
x
x
x
f x
x

+ −
≠


−
=


=



tại x
0
=2
7.
( )
2
khi 4
5 3
3
khi 4
2
x
x
x
f x
x

−
≠


+ −
=


=


tại x

0
=4
8.
( )
2
+4 2
2 1 2
x khi x
f x
x khi x

<
=

+ ≥

tại x
0
=2
9.
( )
4 2
1 1
3 2 1
x x khi x
f x
x khi x

+ − ≤ −
=


+ > −

tại x
0
= -1
10.
( )
2
0
1 0
x khi x
f x
x khi x

<

=

− ≥


tại x
0
=0
11.
( )
5
khi 5
2 1 3

3
khi 5
2
x
x
x
f x
x
−

>


− −
=


≤


tại x
0
=5
12.
( )
3 2
2 1
2
x x
f x

x
+ −
=
−
tại x
0
=2
13. f(x)=
5
1
4
−
++
x
xx
tại x
0
= 5
14. Chứng minh các hàm số
a)
( )
2
2 3
khi 1
1
4 khi 1
x x
x
f x
x

x

+ −
≠

=
−


=

liên tục trên R
b)
( )
3
3
2
khi 1
1
4
khi 1
3
x x
x
x
f x
x

+ +
≠ −



+
=


= −


liên tục trên R
c)
( )
2
2
7 4
khi 3
5 6
3
khi 3
4
x
x
x x
f x
x

+ −
≠



− +
=


=


liên tục trên
{ }
\ 2R
15. tìm a để hàm số liên tục trên R
1)
( )
2
1
2 3 1
x khi x
f x
ax khi x

<
=

− ≥

2)
( )
( )
2 2
2

1-a 2
a x khi x
f x
x khi x

≤

=

>


- 5 -